2010年全國統(tǒng)一招生考試理科(新課標)數(shù)學(xué)試卷的第21題

1、第 頁共3頁一道新課標高考試題解法機理分析及其通性通法年全國統(tǒng)一招生考試理科(新課標)數(shù)學(xué)試卷的第題:設(shè)函數(shù)fx)，ex-1-x-ax2若a，0，求fx)的單調(diào)性區(qū)間；若x0時，fx)0，求a的取值范圍.這一道題看似簡單其實是一道深思熟慮的試題，尤其是第(II)問，命題者給出的答案非常巧妙并且頗有思辨性，但命題者解法不是中學(xué)數(shù)學(xué)教育中的通性通法，該解法中學(xué)教師和中學(xué)生接受都有點困難基于此，本文就命題者的解法機理分析及其通性通法談一下看法先看命題者給予的解答(記為方法一)：方法一：(II)f(x)=ex-1-2ax，由于exx+1，f(x)x-2ax，(1-2a)x，(i)右1-2a0，即a時，

2、由于x工0時，exx+1，可得e-x1-x，e-x-1-x，所以，2-2ax2a(e-x-1)，f(x)ex-1+2a(e-x-1)，e-x(ex-1)(ex-2a)，當(dāng)x(0,ln2a)時，fx)0，而f(0)，0，于是存在x(0,ln2a)，使得fx)時fx)0在0,+8)不恒成立2綜上所述：實數(shù)a的取值范圍是(-8丄2一、解題機理分析：從命題的邏輯關(guān)系來看，所謂的“若x0時，fx)0，求a的取值范圍”實際上是求“任意x0,+8)，fx)0”的充要條件，解答中對參量a的分類討論“G)若a-2時，任意x0,+8)，fx)0，所以當(dāng)x0時，fx)0”，即“a丄”就是“任意2x時存在x(0,ln

3、2a)2時，fx)0，”是求的“任意x0,+8)，fx)0”的必要條件，即“若vx0,+8)，fx)0，則a丄時，則存在x0,+8)，fx)0”22從同一解題思想方法出發(fā)，還可以選擇兩次求導(dǎo)數(shù)的方法來求“任意x0,+8)，fx)0”的充要條件.方法二：(II)fx),ex-1-2ax，令gx)，f，(x)，則g，(x)，e-2b，由于x0時,ex1，若ag,0)=0，即f,x)0，且f,0)=0，所以，f,x)f,0)=0；由于g,x)0只是“任意xe0,+8)，f,x)0”的充分條件，同方法樣也要求“任意xe0,+8），f,x）0”的必要條件，以下同方法一.方法一、方法二分別利用了若x0，則

4、exx+11的結(jié)論，事實上，對于x0，有更精確的結(jié)論是ex1+x+1x2，并且利用這個結(jié)論恰好可以進行變量分離、構(gòu)造函數(shù)和化歸2成恒成立問題來來解決，而變量分離、構(gòu)造函數(shù)和化歸成恒成立問題也恰好是中學(xué)數(shù)學(xué)常用的通性通法和思想方法，并且可以直接得到“任意xe0,+8），f,x）0”的充要條件.二、本題的通性通法：exex-x-1，x2方法三（參變量分離法）：（II）G）若x=0時，f,x）0成立時，a是任意實數(shù)；(ii)若%0時，f(x)0等價于ax+1，K(x)0，21x2ex-x-121，x2x22K(x)在(0,+8)上是增函數(shù)，即在0,+8)上是增函數(shù)，且K(0)=0，K(x)K(0)=

5、0，即卩ex1+x+x2，而g(x)=2即a0時，exx+1，令h（x）=e(x0)，則h,x)=ex-1-x0，則h,x)在區(qū)間0,+8)上是增函數(shù)，且h,0)=0，所以，h,x)=ex-1-x一丄x20，即ex1+x+丄x2，22所以，f(x)=ex(1+x)ax2x2-ax2一(1-2a)x2，22由于f,x）0在x0時恒成立，即丄（1-2a）x20恒成立，貝11-2a0，解之2故實數(shù)a的取值范圍是（-8丄.2方法三和方法四都利用了x0時,ex1+x+丄x2這個結(jié)論，事實上已經(jīng)觸及這個問題2的底線，也就是泰勒()公式:Xnxn+1+e,x，0,0成立時，a是任意實數(shù);(ii)若x0時fx

6、)0等價于ax+1(僅x=0等號成立)，所以gx)(*+】)0,(ex+1)x2(ex1)x2x3第 #頁共3頁第 #頁共3頁因為x0，要g(x)0，只需(ex+1)x2(ex1)0，現(xiàn)在設(shè)h(x)=(ex+1)x2(ex1)，即只需h(x)=xex2ex+x+20(x0)，又h(0)=0，則只需h(x)0(X0)，(1)當(dāng)x1時，因為h(x)=ex+xex2ex+1=xex一ex+1ex(x1)+1(x+1)(x一1)+1=x20，第 #頁共3頁第 #頁共3頁即h(x)0(2)當(dāng)0X0,所以t(x)t(0)=0，綜上所述:h(x)h(0)=0所以g(x(ex-1)x-2(ex-1)+2xx3(ex+x