中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個(gè)論題

1、中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個(gè)論題章建躍自2001年實(shí)施課標(biāo)教材實(shí)驗(yàn)以來，我們進(jìn)行了大量跟蹤調(diào)研，發(fā)現(xiàn)了一些帶有普遍性的問題。經(jīng)過整理，歸納出如下論題。序言：數(shù)學(xué)教改的基本共識(shí)在課改過程中，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)涉及的各環(huán)節(jié)及相關(guān)問題都進(jìn)行了全方位的反思和討論，提出了各種各樣的觀點(diǎn)，從中我們可以概括出一些基本共識(shí)：教學(xué)目標(biāo)全面關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知、能力和理性精神，強(qiáng)調(diào)以學(xué)生最近發(fā)展區(qū)為定向，促進(jìn)學(xué)生全面、和諧、可持續(xù)發(fā)展，為學(xué)生的富有個(gè)性的發(fā)展奠定必須的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，其實(shí)質(zhì)仍然是“數(shù)學(xué)育人”；教學(xué)內(nèi)容強(qiáng)調(diào)概念及其反映的思想方法教學(xué)的重要性，注重知識(shí)的聯(lián)系與綜合，反對(duì)“數(shù)學(xué)教學(xué)=解題教學(xué)=題型教學(xué)=技巧訓(xùn)練”的現(xiàn)象；教學(xué)要求個(gè)性

2、差異與統(tǒng)一要求的辯證統(tǒng)一，這是歷來強(qiáng)調(diào)的，但以前偏重統(tǒng)一性，現(xiàn)在強(qiáng)調(diào)以個(gè)性差異為出發(fā)點(diǎn)和基礎(chǔ)；教學(xué)設(shè)計(jì)不僅從內(nèi)容的教學(xué)需要預(yù)設(shè)提問、講授、訓(xùn)練等，而且特別強(qiáng)調(diào)課堂“生成”，設(shè)計(jì)能引發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考、自主探究的“開放性問題”，乃至強(qiáng)調(diào)“看過問題三百個(gè)，不會(huì)解題也會(huì)問”；教學(xué)方法強(qiáng)調(diào)講授、問答、訓(xùn)練的綜合，不再是單一的講授或活動(dòng)，是教師主導(dǎo)取向的講授式和學(xué)生自主取向的活動(dòng)式的融合，強(qiáng)調(diào)“啟發(fā)式教學(xué)”的核心地位；學(xué)習(xí)方式接受與探究的融合，強(qiáng)調(diào)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、積極性，注重獨(dú)立思考和合作學(xué)習(xí)的結(jié)合；教學(xué)過程以知識(shí)的（自然、水到渠成）發(fā)生發(fā)展過程為載體的學(xué)生認(rèn)知過程，以學(xué)生為主體的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，強(qiáng)調(diào)學(xué)生數(shù)

3、學(xué)思維的展開、深度參與（教學(xué)的有效性）；教學(xué)評(píng)價(jià)強(qiáng)調(diào)發(fā)揮評(píng)價(jià)對(duì)改進(jìn)教師的教、學(xué)生的學(xué)的作用，作為教師根據(jù)教學(xué)進(jìn)程進(jìn)行教學(xué)反饋、調(diào)節(jié)，以及學(xué)生通過自我監(jiān)控調(diào)節(jié)學(xué)習(xí)進(jìn)程的依據(jù)，重視形成性評(píng)價(jià)；教學(xué)媒體以信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)整合為焦點(diǎn)，追求“必要性”“平衡性”“廣泛性”“實(shí)踐性”“有效性”，服務(wù)于數(shù)學(xué)概念、原理的實(shí)質(zhì)理解，做紙筆所不能做的事。這些共識(shí)就是被廣大教師普遍接受的“新理念”。從中可見，“新理念”并不是對(duì)“舊理念”的拋棄，而是對(duì)“舊理念”的揚(yáng)棄，是繼承與發(fā)展的統(tǒng)一，而且有許多教育思想（例如“教學(xué)應(yīng)該實(shí)行啟發(fā)式，反對(duì)注入式”）是常新的、永不過時(shí)的。教育領(lǐng)域中，“全新理念”不能用來指導(dǎo)教改實(shí)踐?？?/p>

4、之，“新理念”就是要在教育領(lǐng)域落實(shí)科學(xué)發(fā)展觀，使學(xué)生得到全面、和諧與可持續(xù)發(fā)展。值得指出的是，上述共識(shí)許多都是常識(shí)。但常識(shí)往往被人們忘記。回顧我國在世紀(jì)之交開始的這場以課程改革為核心的教育改革，可以發(fā)現(xiàn)這些共識(shí)來之不易，人們的思想回歸常識(shí)也經(jīng)歷了一個(gè)曲折的過程。從教育改革的理念層面看，本次改革確實(shí)解放了人們的思想；對(duì)我國數(shù)學(xué)教育傳統(tǒng)的批判許多都是切中要害的；更重要的是引發(fā)了人們的新思考，促使人們更進(jìn)一步地考慮數(shù)學(xué)教育中的深層次問題；關(guān)注學(xué)生的個(gè)性基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)發(fā)揮學(xué)生的主體性，促進(jìn)學(xué)生積極主動(dòng)地學(xué)數(shù)學(xué)等，也是與時(shí)代發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)教育的新要求合拍的，有利于培養(yǎng)高素質(zhì)人才；等。但是，因?yàn)閷W(xué)生的成長過程沒有

5、重復(fù)的機(jī)會(huì)，所以教育改革應(yīng)該敢想而謹(jǐn)慎地干，切忌蠻干，看準(zhǔn)的問題也只能逐步地改，只能是在已有發(fā)展基礎(chǔ)上的深入，否則一定會(huì)陷入低層次的折騰。從教改的發(fā)展現(xiàn)狀看，關(guān)鍵還是將先進(jìn)理念具體化，變成具有可操作性的行動(dòng)指南，落實(shí)在課堂教學(xué)中，體現(xiàn)在教師的日常教學(xué)行為上。一、“理解數(shù)學(xué)”是當(dāng)好數(shù)學(xué)教師的前提數(shù)學(xué)水平高的人不一定能教好數(shù)學(xué)，但好的數(shù)學(xué)教師一定有好的數(shù)學(xué)功底，這是毋庸置疑的。在數(shù)學(xué)教師的知識(shí)結(jié)構(gòu)中，第一要素是“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”，其主要內(nèi)涵是：了解數(shù)學(xué)知識(shí)的背景，準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)概念、定理、法則、公式等的邏輯意義，深刻領(lǐng)悟內(nèi)容所反映的思想方法，具有挖掘知識(shí)所蘊(yùn)含的科學(xué)方法、理性思維過程和價(jià)值觀資源的能力和技

6、術(shù)，善于區(qū)分核心知識(shí)和非核心知識(shí)等。從我們的調(diào)研結(jié)果看，盡管現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)教師的學(xué)歷達(dá)標(biāo)率較高，還有許多數(shù)學(xué)教師具有碩士、博士學(xué)位，但總體而言，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)課程中的內(nèi)容及其反應(yīng)的思想方法的理解水平仍有很大的提高空間。例1“多項(xiàng)式乘法公式”中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。多項(xiàng)式的乘法公式是我們司空見慣的內(nèi)容，一般的，人們只是把它作為一個(gè)簡化多項(xiàng)式運(yùn)算的工具，教學(xué)中常常是直接給出公式（證明實(shí)在是輕而易舉），然后把重點(diǎn)放在公式中字母的變式、熟練應(yīng)用公式的訓(xùn)練上。乘法公式的熟練運(yùn)用是重要的，而且要達(dá)到“自動(dòng)化”水平。然而，如果教學(xué)僅限于此，則沒有揭示“從多項(xiàng)式乘法到乘法公式”所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。為了把問題看得更加

7、清楚，我們不妨把視野放得更寬些，從代數(shù)學(xué)的基本觀念和思想方法入手。所謂“代數(shù)”就是“用不定元（字母）代表數(shù)”，而“代數(shù)學(xué)”的根源就在于對(duì)“不定元（字母）”進(jìn)行加、減、乘、除、乘方、開方等運(yùn)算及其規(guī)律的研究，即“引進(jìn)一個(gè)量就要研究它的運(yùn)算，引進(jìn)一種運(yùn)算就要研究它的運(yùn)算律”。簡言之，代數(shù)學(xué)的根源在于代數(shù)運(yùn)算。在引入不定元（字母）代表數(shù)之前，數(shù)系的運(yùn)算規(guī)律不能方便地表達(dá)；用不定元（字母）代表數(shù)以后，不僅數(shù)系的加、乘和指數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算律（交換律、結(jié)合律、分配律、指數(shù)法則）能得到明白、簡便的表達(dá)，而且通過對(duì)不定元（字母）的運(yùn)算，自然而然地就得到了各種代數(shù)式（整式、分式、根式、指數(shù)式等）及其運(yùn)算法則，進(jìn)而就

8、可以用它們來解各種代數(shù)方程、求各種代數(shù)公式等。這里，“用不定元（字母）代表數(shù)”的思想具有根本的重要性，它徹底地解放了數(shù)學(xué)的“生產(chǎn)力”。因?yàn)樽帜甘菙?shù)的“代表”，是一種在運(yùn)算上滿足運(yùn)算律的符號(hào)，所以在字母連同數(shù)一起的運(yùn)算中，關(guān)于數(shù)系的一系列運(yùn)算律仍然有效、可用。這樣，我們就可以“暢通無阻”地對(duì)那些具有數(shù)系通性的對(duì)象（未知量、變量、待定系數(shù)等）施行運(yùn)算律，系統(tǒng)而簡捷地解決各種代數(shù)問題。因此，“整個(gè)代數(shù)學(xué)所發(fā)展的就是有系統(tǒng)、有效力地運(yùn)用這一系列簡樸、普遍成立的數(shù)系運(yùn)算律，去解決各種各樣的代數(shù)問題” HYPERLINK /Html/Article/13808/ l _edn1 o 。有了上述認(rèn)識(shí)，就可以

9、清楚地看到，多項(xiàng)式運(yùn)算就是含有字母符號(hào)的算式之間的運(yùn)算（字母代表數(shù)，數(shù)滿足運(yùn)算律，所以字母也滿足運(yùn)算律）；兩個(gè)多項(xiàng)式的乘積就是用分配律把它歸于單項(xiàng)式的乘積之和來計(jì)算，單項(xiàng)式的乘積是用乘法的交換律、結(jié)合律和指數(shù)法則來計(jì)算。而乘法公式則是研究一般多項(xiàng)式乘法基礎(chǔ)上對(duì)“特例”的考察：在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，字母a，b，c，d有某些特殊關(guān)系時(shí)的特殊形式，即當(dāng)c =a，d=b時(shí)，有(a+b)(ab) =aaab+babb=a2b2；當(dāng)c =a， d=b時(shí)，有(a+b)(a+b) =aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2；等。循著上述思路，我們還可以再繼續(xù)用運(yùn)算律對(duì)這些符號(hào)進(jìn)行

10、形式運(yùn)算，歸納地得到：(a2+ab+b2)(ab) =a3b3；(a3+a2b+ab2+b3)(ab) =a4b4；。(a+b)3 =a3+3a2b+3ab2+b3；(a+b)4 =a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；。另外，所謂“公式”，是指用數(shù)學(xué)符號(hào)表示的幾個(gè)量之間的關(guān)系式，具有普遍性，適用于同類關(guān)系的所有問題。所以，只要具有(a+b)(ab)這一形式，無論a，b代表什么，都可以表示為a2b2；同樣，形如(a+b)2 的式子都可以表示為a2+2ab+b2；等。由上所述，在乘法公式的教學(xué)中，讓學(xué)生獲得公式的同時(shí)，還應(yīng)強(qiáng)化運(yùn)用運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算的意識(shí)，要滲透歸納的意識(shí)，要讓學(xué)生體會(huì)從一般到

11、特殊等思想。實(shí)際上，“考察特例”是數(shù)學(xué)研究的“基本套路”，具有廣泛的適用性。例如，兩條直線的位置關(guān)系，我們要特別研究“平行”“垂直”；三角形中我們要特別研究直角三角形、等腰三角形；四邊形中，我們要特別研究平行四邊形；等。根據(jù)上述理解，本課的教學(xué)可以這樣設(shè)計(jì)：1復(fù)習(xí)與引入問題1 前面我們學(xué)習(xí)了單項(xiàng)式、多項(xiàng)式的乘法，你能說說運(yùn)算法則嗎？這些運(yùn)算的依據(jù)是什么？設(shè)計(jì)意圖：回顧運(yùn)算法則，強(qiáng)化“用運(yùn)算律計(jì)算”的意識(shí)。先行組織者：我們知道，(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd，其中a，b，c，d可以是數(shù)、式或別的什么。數(shù)學(xué)中，經(jīng)常要通過考察特殊情況來獲得對(duì)問題的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，例如在兩條直線的位置關(guān)系中

12、，我們特別研究了平行、垂直兩種特殊的位置關(guān)系，得到了一些有用的結(jié)論。類似的，在多項(xiàng)式乘法中，也有一些特殊情形值得研究。2公式的探究問題2我們知道，對(duì)于(x+b)(x+d)這樣的乘法，可以利用公式直接寫出它的結(jié)果。與(a+b)(c+d)比較，它實(shí)際上是a=c=x時(shí)的特殊情況。除此之外，在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，你認(rèn)為還有哪些情況比較特殊？你能得到什么？設(shè)計(jì)意圖：通過“先行組織者”，滲透從一般到特殊，考察特例，深入認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象的方法；在讓學(xué)生自主活動(dòng)之前，先指出已有特例(x+b)(x+d)，使學(xué)生有一個(gè)類比對(duì)象，明確思考方向。問題3通過上述活動(dòng)，我們得到了兩個(gè)公式。請(qǐng)你用自

13、己的語言表述出平方差公式、完全平方公式。設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生理解公式。3例題具體題目略。本環(huán)節(jié)的主要目的是通過變式（字母a，b取數(shù)、式等各種變形），讓學(xué)生體會(huì)公式在“形式化運(yùn)算”中的作用。另外，通過適當(dāng)反例，糾正學(xué)生可能的疏忽。最終要讓學(xué)生明確：第一，具備形式(a+b)(ab)或(ab)2，就可以用公式；第二，要注意哪個(gè)代表a，哪個(gè)代表b。4公式的多元聯(lián)系表示問題4如果a，b表示線段的長，則a2，b2分別表示正方形的面積。你能根據(jù)公式的形式，自己構(gòu)造一個(gè)圖形表示上述乘法公式嗎？設(shè)計(jì)意圖：通過構(gòu)造幾何模型表示公式，可以開拓學(xué)生的思路。通過數(shù)形結(jié)合、圖形直觀，可以加深理解、增強(qiáng)記憶。5小結(jié)（1）請(qǐng)你

14、總結(jié)一下本節(jié)課討論問題的基本過程。設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)“基本套路”，即“多項(xiàng)式乘法（一般）乘法公式（特殊）公式特征分析與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系”。（2）為什么要討論“特殊情形”？是如何得到的？設(shè)計(jì)意圖：體會(huì)“如何提出問題”。（3）你能否循著上述思路，再提出一些值得研究的問題？設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生自主研究。必要時(shí)可作一定的提示，如公式(a+b)2=a2+2ab+b2中，對(duì)“次數(shù)”進(jìn)行推廣，可以研究(a+b)3，(a+b)4。雖然這不是“課標(biāo)”要求的，但對(duì)學(xué)生思維發(fā)展是有好處的。說明：對(duì)本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)觀摩發(fā)現(xiàn)，受“創(chuàng)設(shè)問題情境”的局限，許多老師把“沒有數(shù)學(xué)知識(shí)的張老漢被地主騙去了土地觀察圖形（正方形面積剖

15、分的代數(shù)表達(dá)）猜想公式”作為教學(xué)起點(diǎn)。這一設(shè)計(jì)因?yàn)楦顢嗔恕皬囊话愕教厥狻钡难芯烤€索，因此對(duì)乘法公式的教育價(jià)值造成致命傷害。另外，造作的情景把簡單問題復(fù)雜化，增加了學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。我們認(rèn)為，從代數(shù)角度對(duì)乘法公式有了認(rèn)識(shí)以后，再用“幾何模型”解釋公式，才真正體現(xiàn)了“多元聯(lián)系表示”思想。另外，有的教師之所以跟風(fēng)，主要還是因?yàn)閷?duì)內(nèi)容的理解不到位。二、課堂教學(xué)的高立意與低起點(diǎn)隨著人教版初、高中數(shù)學(xué)課標(biāo)教材的推廣，筆者有機(jī)會(huì)深入課堂，進(jìn)行了大量的教學(xué)觀察和研討?？傮w印象是：課堂教學(xué)的品味不高是普遍性的，許多教師的“匠氣”十足，一切圍繞升學(xué)考試轉(zhuǎn)，以題型教學(xué)、技巧訓(xùn)練代替數(shù)學(xué)教學(xué)，功利化色彩濃厚，缺少起碼的思想、

16、精神追求，極大地?fù)p害了數(shù)學(xué)的育人功能。因此，提高課堂教學(xué)的品味是當(dāng)務(wù)之急。筆者認(rèn)為，只有充分地挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)蘊(yùn)含的價(jià)值觀資源，并在教學(xué)中將知識(shí)教學(xué)與價(jià)值觀影響融為一體，才能真正體現(xiàn)“數(shù)學(xué)育人”。其中，至關(guān)重要的是要提高課堂教學(xué)的思想性。在課堂教學(xué)實(shí)踐上，要做到“高立意，低起點(diǎn)”。例2 “四邊形”起始課的教學(xué)。以往，老師們一般都是單刀直入，直接進(jìn)入“平行四邊形性質(zhì)”的討論。這樣的教學(xué)，其基本立意是讓學(xué)生盡快知道知識(shí)點(diǎn)，以便展開解題訓(xùn)練，有“見木不見林”的弊端，容易造成被動(dòng)學(xué)習(xí)的局面，學(xué)生獨(dú)立思考、自主探究的機(jī)會(huì)也大大減少。下面給出一種利用先行組織者，引導(dǎo)學(xué)生開展“類比探究”的教學(xué)設(shè)計(jì)思路，其基本用

17、意是要讓學(xué)生體會(huì)幾何研究中理性思維的基本過程。先行組織者：我們今天開始學(xué)習(xí)四邊形的有關(guān)知識(shí)。在研究三角形時(shí)，我們類比了直線及其位置關(guān)系的研究思路。類似地，在具體研究四邊形之前，我們先來概括一下三角形的研究問題、線索和基本方法，以便為我們找到學(xué)習(xí)本章內(nèi)容的大方向。問題1你能總結(jié)一下“三角形”一章研究的問題、過程與方法嗎？設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生明確一個(gè)類比對(duì)象，使他們逐步養(yǎng)成用幾何研究的“基本套路”思考問題的習(xí)慣。通過歸納，得到：三角形的定義（概念，組成要素，角平分線、高、中線等相關(guān)元素） 三角形的分類（按邊的相等關(guān)系分類、按內(nèi)角的大小分類） 三角形的基本性質(zhì)（邊的大小關(guān)系、內(nèi)角和、外角和等） 三角形的

18、全等（確定三角形的條件，判定） 特殊三角形的研究，按角的特殊(直角三角形)、邊的特殊（等腰三角形）分類，從性質(zhì)、判定、大小度量等方面展開研究 相似三角形（主要研究性質(zhì)、判定等）。教師總結(jié)：通過“定義”，我們獲得了研究對(duì)象，認(rèn)識(shí)了它的組成要素和相關(guān)元素。分類的目的是為了對(duì)三角形進(jìn)行分門別類的研究，可以為研究提供方便。三角形的基本性質(zhì)，是對(duì)圖形本身的性質(zhì)的研究，其中三角形內(nèi)角和定理是平面幾何中最重要的定理之一?！叭刃巍笔嵌ㄐ云矫鎺缀窝芯康闹饕獌?nèi)容之一，由此可知確定三角形的基本條件。對(duì)特殊三角形的研究，體現(xiàn)了考察“特例”的重要性，這是數(shù)學(xué)研究的“基本套路”。“特殊性”可以從角的特殊和邊的特殊兩個(gè)角

19、度入手，由此得到等腰三角形和直角三角形這兩個(gè)研究對(duì)象?！靶再|(zhì)”和“判定”是對(duì)特殊三角形的兩大研究主題。值得注意的是，等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，它的特征性質(zhì)是研究平面幾何對(duì)稱性的種種表現(xiàn)與推論的基本工具；而直角三角形的性質(zhì)，特別是勾股定理，則是研究定量幾何的基本工具。問題2類比三角形的研究，你能勾畫一下“四邊形”研究的問題、過程和方法嗎？設(shè)計(jì)意圖：通過類比，先讓學(xué)生對(duì)本章的研究內(nèi)容有一個(gè)整體認(rèn)識(shí)，在后續(xù)研究中能夠“見木見林”，給學(xué)生提供基本思想方法，從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)主動(dòng)性。通過歸納得到：四邊形的定義（概念，組成要素，對(duì)角線等相關(guān)元素） 四邊形的基本性質(zhì)（內(nèi)角和、外角和等） 四邊形的全等（暫時(shí)不研究）

20、特殊四邊形的研究，也可以按角的特殊、邊的特殊分類，研究的基本內(nèi)容也是性質(zhì)、判定、大小度量等 相似四邊形（暫時(shí)不研究）。師生總結(jié)：邊的特殊性，可以從“大小關(guān)系”和“位置關(guān)系”兩個(gè)角度入手。如果兩組對(duì)邊分別相等，直觀上就可以發(fā)現(xiàn)，這樣的四邊形具有中心對(duì)稱性，對(duì)稱中心就是對(duì)角線的交點(diǎn)，而且由全等三角形易得兩對(duì)對(duì)角分別相等；再結(jié)合平行線的性質(zhì)，容易得到它的兩組對(duì)邊分別互相平行。這就是我們要研究的平行四邊形，研究的基本內(nèi)容也是性質(zhì)和判定。研究“性質(zhì)”，就是在“平行四邊形”的條件下，它的組成元素有什么普遍規(guī)律，如邊的大小關(guān)系、內(nèi)角的關(guān)系、對(duì)角線的關(guān)系等；研究“判定”，就是考察具備什么條件的四邊形才是平行四

21、邊形。在平行四邊形中，還可以進(jìn)一步研究特殊的平行四邊形：角的特殊矩形；邊的特殊菱形；邊角都特殊正方形。都要研究性質(zhì)和判定。值得注意的是，平行四邊形的特征性質(zhì)是平面幾何中研究平行性的主要工具，它在研究平行性問題中所扮演的角色就像等腰三角形在研究對(duì)稱性中所扮演的角色一樣，是基本且重要的工具。說明：上述設(shè)計(jì)的立意是使學(xué)生明確數(shù)學(xué)中研究一個(gè)問題的“基本套路”，是對(duì)思想方法的追索，而起點(diǎn)則是學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的“三角形”。在一個(gè)章節(jié)、一個(gè)單元的起始階段，引導(dǎo)學(xué)生先從整體上概括地思考一下研究的內(nèi)容和方法，不僅對(duì)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法有作用，而且對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力也有積極意義。三、大力提高概念教學(xué)的水平

22、概念是思維的細(xì)胞；“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧技巧不足道也！” HYPERLINK /Html/Article/13808/ l _edn2 o 因此我們必須十分重視基本概念的教學(xué)，在核心概念的教學(xué)上更要做到“不惜時(shí)，不惜力”。然而，當(dāng)前的課堂教學(xué)中，不重視概念教學(xué)是一個(gè)比較普遍的現(xiàn)象?！耙粋€(gè)定義，三項(xiàng)注意”式的抽象講解，在學(xué)生對(duì)概念還沒有基本理解的時(shí)候就要求學(xué)生進(jìn)行概念的綜合應(yīng)用，許多老師甚至認(rèn)為教概念不如多講幾道題目更實(shí)惠。更令人擔(dān)心的是，有些老師不知如何教概念。這一問題必須引起我們的充分重視。從教育與發(fā)展心理學(xué)的觀點(diǎn)出發(fā)，概念教學(xué)的核心就是“概括”：將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)家的思維

23、活動(dòng)打開，以若干典型具體事例為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開分析各事例的屬性、抽象概括共同本質(zhì)屬性、歸納得出數(shù)學(xué)概念等思維活動(dòng)而獲得概念。數(shù)學(xué)教學(xué)要“講背景，講思想，講應(yīng)用”，概念教學(xué)則要強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷概念的概括過程。由于“數(shù)學(xué)能力就是以數(shù)學(xué)概括為基礎(chǔ)的能力” HYPERLINK /Html/Article/13808/ l _edn3 o ，因此重視數(shù)學(xué)概念的概括過程對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力具有基本的重要性。一般而言，概念教學(xué)應(yīng)該經(jīng)歷如下幾個(gè)基本環(huán)節(jié)：（1）背景引入；（2）通過典型、豐富的具體例證（要盡量讓學(xué)生自己舉例），引導(dǎo)學(xué)生開展分析、比較、綜合的活動(dòng)；（3）概括共同本質(zhì)特征得到概念的本質(zhì)屬性；（4）下

24、定義（用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表達(dá)，可以通過看教科書完成）；（5）概念的辨析，即以實(shí)例（正例、反例）為載體，引導(dǎo)學(xué)生分析關(guān)鍵詞的含義，包括對(duì)概念特例的考察；（6）用概念作判斷的具體事例，這里要用有代表性的簡單例子，其目的是形成用概念作判斷的具體步驟；（7）概念的“精致”，主要是建立與相關(guān)概念的聯(lián)系，形成功能良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。概念教學(xué)要注意以下一些基本問題： HYPERLINK /Html/Article/13808/ l _edn4 o 第一，概念（特別是核心概念）教學(xué)中，要把“認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本套路”作為核心目標(biāo)之一；第二，數(shù)學(xué)概念的高度抽象性，決定了對(duì)它的認(rèn)識(shí)過程的曲折性，不可能一步到位，需要一

25、個(gè)螺旋上升、在已有基礎(chǔ)上再概括的過程；第三，人類認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念具有“漸進(jìn)性”，個(gè)體對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)要“重演”人類的認(rèn)識(shí)過程，因此學(xué)習(xí)像函數(shù)這樣的核心概念，需要區(qū)分不同年齡階段的概括層次（如變量說、對(duì)應(yīng)說、關(guān)系說等），這也是“教學(xué)與學(xué)生認(rèn)知水平相適應(yīng)”的本意所在；第四，為了更有利于學(xué)生開展概括活動(dòng)，例子的選擇至關(guān)重要，而且要重視讓學(xué)生自己舉例子，“一個(gè)好例子勝過一千條說教”；第五，“細(xì)節(jié)決定成敗”，必須安排概念的辨析、精致的過程，即要對(duì)概念內(nèi)涵進(jìn)行“深加工”，對(duì)概念要素作具體界定，讓學(xué)生在對(duì)概念的正例、反例作判斷的過程，更準(zhǔn)確地把握概念的細(xì)節(jié)；第六，在概念的系統(tǒng)中學(xué)習(xí)概念，即要通過概念的應(yīng)用，形成

26、用概念作判斷的“操作步驟”的同時(shí)，建立相關(guān)概念的聯(lián)系，這是一次新的概括過程。例3 “反比例函數(shù)”的教學(xué)設(shè)計(jì)。反比例函數(shù)概念貌似簡單，但要理解它的本質(zhì)并不容易。例如，在“京滬線鐵路全程為1463 km，某次列車的平均速度v隨它的全程運(yùn)行時(shí)間t的變化而變化”中，“速度隨時(shí)間的變化而變化”容易引起“變速運(yùn)動(dòng)”的心理圖式。在理解定義的過程中，要借助于“反比例”概念（當(dāng)兩個(gè)相互有關(guān)的量x和y在變化過程中保持其乘積不變時(shí)，稱它們成反比例，記作xy=k，k為常數(shù)），還要借助分式概念，而這兩個(gè)概念的理解是有一定難度的。因此，在反比例函數(shù)概念的教學(xué)中，如何使學(xué)生在已有反比例概念基礎(chǔ)上提升，用函數(shù)觀點(diǎn)看待和解釋成

27、反比例的兩個(gè)量的關(guān)系，正確理解并能用概念作判斷，還需要在一些關(guān)鍵點(diǎn)上做好文章。具體設(shè)計(jì)如下：問題1我們學(xué)習(xí)過反比例概念，你能舉出一些兩個(gè)量成反比例的例子嗎？學(xué)生舉例后追問：為什么你認(rèn)為自己的例子中的兩個(gè)量成反比例？設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生自己舉例并用概念解釋，調(diào)動(dòng)思維，激發(fā)思考，并從“兩個(gè)量在變化過程中”引向“變量”，“成反比例”是一種“變化規(guī)律”。問題2你所舉的這些例子（勻速運(yùn)動(dòng)路程固定，速度與時(shí)間的關(guān)系；總價(jià)固定，商品單價(jià)與商品數(shù)量的關(guān)系；長方形面積固定，長與寬的關(guān)系）有什么共同特征？設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生概括共同本質(zhì)特征，為理解反比例函數(shù)概念打下基礎(chǔ)。最終要使學(xué)生得到兩個(gè)本質(zhì)要素，一是有兩個(gè)變量，二

28、是變化規(guī)律都是“兩個(gè)變量成反比例”。問題3如何用函數(shù)的觀點(diǎn)解釋上述問題？設(shè)計(jì)意圖：通過用函數(shù)概念解釋，讓學(xué)生體會(huì)“兩個(gè)量成反比例”上升到“反比例函數(shù)”的過程，其中主要是確定自變量和函數(shù)。例如，按照綠化率的要求，某居民小區(qū)要種植10000 m2的矩形草坪，以草坪的寬x為自變量，長y為函數(shù)，那么，y隨x的變化而變化，給定一個(gè)寬x，長y就唯一確定了，并且對(duì)于不同的x及其對(duì)應(yīng)的y，都有相同的關(guān)系 （xy=10000的變形）。問題4請(qǐng)同學(xué)們閱讀課本，并舉例說明你對(duì)反比例函數(shù)概念的理解。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過閱讀課本明確反比例函數(shù)的定義；通過舉例，并用定義解釋，檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)概念的理解情況。問題5概念辨析：用定

29、義判斷， ， 是否為反比例函數(shù)，為什么？設(shè)計(jì)意圖：從“x與y成反比例”和“函數(shù)”兩方面辨析概念。通過反例的使用，使學(xué)生更進(jìn)一步明確反比例函數(shù)的兩個(gè)要素。另外，這里也包含用概念作判斷的“操作步驟”：第一步，看y是否隨x的變化而變化，任意一個(gè)x是否唯一對(duì)應(yīng)一個(gè)y的值；第二步，“自變量x與相應(yīng)的函數(shù)值y是否成反比例”，也就是看x與y的乘積是否為常數(shù)。對(duì)于 ，由于 是一個(gè)隨x的變化而變化的量，不是常數(shù)，所以x與y不成反比例，所以不是反比例函數(shù)。同樣，對(duì)于 ，由于 ，不是一個(gè)常數(shù)，所以它不是反比例函數(shù)。例題：已知y是x的反比例函數(shù)，當(dāng)x=2時(shí)，y=6，求函數(shù)關(guān)系式。說明：通過本例要使學(xué)生理解到，只有形如

30、 （k0，k是常數(shù)）的函數(shù)才是反比例函數(shù)?！扒蠓幢壤瘮?shù)”就是確定k的值。小結(jié)：反比例函數(shù)是一類特殊的函數(shù)，特殊在自變量與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值成反比例。四、什么叫“抓基礎(chǔ)”抓雙基是我國數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)勢，但這個(gè)優(yōu)勢正在喪失。其中的原因多種多樣，但對(duì)“怎樣做才是真正的抓基礎(chǔ)”的認(rèn)識(shí)不到位是主要原因之一。當(dāng)前，課堂教學(xué)演變?yōu)椤邦}型教學(xué)”，題型教學(xué)又進(jìn)一步蛻化為“刺激反應(yīng)”訓(xùn)練的狀況非常令人憂慮。有些教師往往用例題教學(xué)替代概念的概括過程，認(rèn)為“應(yīng)用概念的過程就是理解概念的過程”。殊不知沒有概括過程必然導(dǎo)致概念理解的先天不足，沒有理解的應(yīng)用是盲目的應(yīng)用。結(jié)果不僅“事倍功半”，而且對(duì)概念的死記硬背和對(duì)解題的機(jī)械模仿

31、必然導(dǎo)致“功能僵化”，學(xué)生面對(duì)新情境時(shí)無法“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”，難以實(shí)現(xiàn)概念的正確、有效應(yīng)用，質(zhì)量效益都無保障。有的教師試圖通過“題型教學(xué)”窮盡“題型”，幻想通過“題型”的機(jī)械重復(fù)、強(qiáng)化訓(xùn)練，讓學(xué)生掌握對(duì)應(yīng)的“特技”和“動(dòng)作要領(lǐng)”而提高考試分?jǐn)?shù)。對(duì)具有普適意義的、遷移能力強(qiáng)的“根本大法”數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，卻因其不是“立竿見影”而得不到重視。為了真正體現(xiàn)“雙基”教學(xué)的思想，應(yīng)當(dāng)提高對(duì)“抓基礎(chǔ)”的認(rèn)識(shí)水平：首先，要強(qiáng)調(diào)基本概念教學(xué)的重要性，重視基本概念蘊(yùn)含的智力開發(fā)價(jià)值，主要是要充分挖掘基本概念蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法的教育價(jià)值，“無知者無能”學(xué)生的數(shù)學(xué)能力不強(qiáng)的主要根源在于沒有掌握數(shù)學(xué)基本概念及其聯(lián)系

32、方式；第二，要讓學(xué)生養(yǎng)成“不斷回到概念去，從基本概念出發(fā)思考問題、解決問題”的習(xí)慣；第三，要加強(qiáng)概念聯(lián)系性的教學(xué)，從概念的聯(lián)系中尋找解決問題的新思路解題的靈活性并不來自于“題型+技巧”，而是來自于概念聯(lián)系通道的順暢。“基礎(chǔ)”是發(fā)展的“根”和“本”，根深才能長成參天大樹，本固才能立于不敗之地。例4 關(guān)于“配方法”的教學(xué)思考。在處理各種代數(shù)問題時(shí)，我們總是運(yùn)用各種代數(shù)運(yùn)算來分析量與量之間的代數(shù)關(guān)系。由于不定元（字母）代表數(shù)，因此代數(shù)問題中所處理的字母符號(hào)滿足數(shù)系通性。而配方法的要點(diǎn)就是應(yīng)用任意實(shí)數(shù)a都有a20這一簡單、明白、常用、好用的“基本事實(shí)”來解決各種“二次問題”。一元二次方程、一元二次不等

33、式和二次函數(shù)在初中數(shù)學(xué)中占有重要地位，是初中數(shù)學(xué)當(dāng)之無愧的核心概念，而配方法則是處理這“三個(gè)二次”的基本工具，善用配方法是處理好“二次問題”的根本。那么，如何加強(qiáng)配方法的基礎(chǔ)地位呢？我認(rèn)為，首先要讓學(xué)生理解配方法的概念、理論依據(jù)和操作步驟，然后在處理“三個(gè)二次”的過程中，逐步形成應(yīng)用配方法解決代數(shù)問題的“基本套路”。其教學(xué)要點(diǎn)如下：1“配方法”的教學(xué)，明確如下三點(diǎn)：概念：“配方”就是把二次（三項(xiàng)）式配成一個(gè)含二項(xiàng)式的完全平方的式子，即ax2+bx+c= 。理論依據(jù)：完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，這是完全平方公式的一個(gè)重要應(yīng)用。步驟：以“二次”為基點(diǎn)，依次完成（1）二次項(xiàng)系數(shù)變1

34、；（2）加上并減去一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。2一元二次方程求根公式的推導(dǎo)，經(jīng)歷如下從特殊到一般、由單一到綜合的過程：（1）從最簡單的開始：從x2=2，x2=0，x2=2等的求解中，歸納出x2=a的解的情況是當(dāng)a0時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 ；當(dāng)a0時(shí)，沒有實(shí)數(shù)根。說明：因?yàn)檫@是后續(xù)所有討論的基礎(chǔ)，所以這里一定不能因?yàn)椤昂唵巍币粠Ф^，要讓學(xué)生經(jīng)歷好概括的過程。（2）變式：從x2+2x+3=0，x2+2x+1=0，x2+x+5=0等的解答中，歸納出x2+bx+c=0的解法。這里有兩個(gè)重要思想方法，一是利用配方法，化歸為最簡單的情形(x+p)2=q，然后求解；二是通過開方將方程降次，變成兩個(gè)一元一次方程。說明：

35、這一過程是從特殊過渡到一般的中間橋梁，應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生經(jīng)歷到用配方法將x2+bx+c=0化歸為最簡形式的完整過程。老師只要提出問題，不必講解，由學(xué)生獨(dú)立完成。（3）推廣到一般情形。對(duì)于ax2+bx+c=0，通過與“變式”的比較，得到利用配方法化歸為(x+p)2=q就能解的思想方法，并讓學(xué)生獨(dú)立思考，自己推導(dǎo)出求根公式。在一元二次方程求根公式的教學(xué)中，要讓學(xué)生體會(huì)到研究“二次問題”的一個(gè)“基本套路”：從最簡單的情形開始，從特殊到一般，逐步將復(fù)雜問題化歸為簡單問題。在化歸過程中要注意化歸的條件（完備性，這是對(duì)思維嚴(yán)謹(jǐn)性的訓(xùn)練）。3二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)的討論，沿用一元二次方程求根公式的

36、“套路”：從最簡單的y=x2開始，到y(tǒng)=ax2，再到y(tǒng)=a(xh)2+k ，最后到y(tǒng)=ax2+bx+c。一脈相承的思想方法：“化歸”到前一種情況。研究工具：配方法。當(dāng)然，函數(shù)所研究的問題比方程要復(fù)雜，所以這里也要注意概括研究的基本問題，如開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、單調(diào)性（包括最大值、最小值）等，還要通過實(shí)例讓學(xué)生感受為什么要研究這些性質(zhì)。實(shí)際上，“配方”的目標(biāo)是在某個(gè)元是“二次”的前提下，配成“完全平方式”，以便應(yīng)用實(shí)數(shù)平方的“非負(fù)性”。這種方法不僅簡單，沒有什么技巧性，而且可以“程序化”，因此好用，其靈活性也完全因此而生。例如：（1）證明：無論m取何值，2x2+(m1)x+(m4)=0都有

37、兩個(gè)不等實(shí)根。由于“有兩個(gè)不等實(shí)根”等價(jià)于“判別式恒大于0”，而判別式=m210m+33，是關(guān)于m的二次三項(xiàng)式，配成=(m5)2+8，由“非負(fù)性”立即得解。（2）已知x2+4y22x+4y+2=0，求x，y的值。一個(gè)方程兩個(gè)未知數(shù)，一般是不定的，但特殊情況下可以，即實(shí)質(zhì)是“方程組”。因?yàn)槭恰岸巍?，自然想到“配方”為“完全平方式”，利用“非?fù)性”化歸為方程組。順便提及，許多老師對(duì)“十字相乘法”情有獨(dú)鐘，但它實(shí)際上只是代數(shù)變換中處理一類特殊問題的一種技巧，不像配方法具有內(nèi)在的“基本套路”，更沒有配方法那種大巧若拙的品味。五、怎樣才是真正“教完了”當(dāng)我們強(qiáng)調(diào)課堂教學(xué)中要讓學(xué)生經(jīng)歷概念的發(fā)生過程時(shí)，

38、經(jīng)常會(huì)聽到一些老師疑慮：“這樣能教完嗎？”于是就給學(xué)生吃“壓縮餅干”，基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)搞“一個(gè)定義，三項(xiàng)注意”，學(xué)生沒有經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程的機(jī)會(huì)，沒有經(jīng)過自己獨(dú)立思考而概括出概念和原理的機(jī)會(huì)，解題教學(xué)搞“一步到位”，在學(xué)生沒有必須的認(rèn)知準(zhǔn)備時(shí)就要他們做高難度的題目。調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這些問題有越來越嚴(yán)重的趨勢。在匆忙完成的基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)中，教學(xué)的“準(zhǔn)”“簡”“精”都出問題：不“準(zhǔn)”或者是沒有圍繞概念的核心，或者教錯(cuò)了；不“簡”在細(xì)枝末節(jié)上下功夫，把簡單問題復(fù)雜化了；不“精”讓學(xué)生在知識(shí)的外圍重復(fù)訓(xùn)練，耗費(fèi)學(xué)生大量時(shí)間、精力卻達(dá)不到對(duì)知識(shí)的深入理解。例5 “整式”概念教學(xué)中使用的一組不適當(dāng)?shù)木毩?xí)題。在一次調(diào)

39、研中，教學(xué)內(nèi)容是“整式的概念”。教師在課后練習(xí)中布置了如下一組練習(xí)：1. 已知|5x+3|+(4x28xy+3y9)2=0，求5(4x28xy+3y1)的值；2.已知a2+a1=0,則a2000+a1999 a1998= ；3.已知，求的值；4.已知a：b=5：6，b：c=4：3，求的值。令我疑惑的是，老師為什么要布置這些題目？學(xué)生沒有學(xué)比例式、分式、指數(shù)式等概念，能理解題意嗎？因此就求教任課教師。她的回答是：解答這些題目的方法反映了常用的代數(shù)解題技巧，其中有“變量代換”、“整體思想”、“幾個(gè)非負(fù)式的和為0，那么它們都為0”、“齊次式”等重要方法和變形技巧，這些東西是考試的重點(diǎn)，要讓學(xué)生盡早接

40、觸，強(qiáng)化訓(xùn)練。在應(yīng)試教育的背景下，老師的做法似有道理。但退一步講，即使為了考試，也要講個(gè)訓(xùn)練效果。在代數(shù)式學(xué)習(xí)之初，要求學(xué)生用“變量代換”“整體思想”等解決問題，能收到好的效果嗎？課后訪談發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學(xué)生不能理解題意，獨(dú)立解題就更是無從談起了。有的老師說，我給學(xué)生講變形技巧時(shí)，他們都能懂，在此基礎(chǔ)上通過訓(xùn)練，熟練了就好了。似乎有道理，而且確實(shí)“教完了”，但學(xué)生理解多少呢？這樣“教完”，除了讓學(xué)生記住技巧，短時(shí)間內(nèi)能應(yīng)付考試，還有別的什么呢？當(dāng)然，這樣的老師還是負(fù)責(zé)任的，但這是“好心辦壞事”。在不適當(dāng)?shù)臅r(shí)候、用不適當(dāng)?shù)姆椒ㄖv技巧，增加了學(xué)生負(fù)擔(dān)，鼓勵(lì)了機(jī)械模仿、記憶式學(xué)習(xí)，并且還可能把學(xué)生“教糊

41、涂了”。不重視基本概念的理解，把主要精力放在技巧訓(xùn)練上的做法，不僅導(dǎo)致學(xué)生的基礎(chǔ)不扎實(shí)，缺乏可持續(xù)發(fā)展的后勁，而且還使學(xué)生陷于機(jī)械重復(fù)操練，養(yǎng)成死記硬背的不良學(xué)習(xí)習(xí)慣，導(dǎo)致厭惡學(xué)習(xí)。這是嚴(yán)重違背教育規(guī)律的，必須得到糾正?！敖掏炅恕睉?yīng)以學(xué)生是否理解為標(biāo)準(zhǔn)，特別是以學(xué)生達(dá)到的數(shù)學(xué)雙基的理解和熟練水平為標(biāo)準(zhǔn)（注意，雙基包括數(shù)學(xué)概念、定理、公式、法則等以及由內(nèi)容反映的數(shù)學(xué)思想方法），而不是教師在課堂上有沒有把內(nèi)容“講完”。六、探究式教學(xué)的天時(shí)地利人和 HYPERLINK /Html/Article/13808/ l _edn5 o 首先講“天時(shí)”。當(dāng)今世界，經(jīng)濟(jì)全球化和知識(shí)經(jīng)濟(jì)步伐不斷加快。為了掌握2

42、1世紀(jì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的戰(zhàn)略制高點(diǎn)，我國正竭力倡導(dǎo)從模仿創(chuàng)新轉(zhuǎn)向自主創(chuàng)新，培育自身的科技原創(chuàng)力。相應(yīng)地，要求教育“以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力為重點(diǎn)”。因此，強(qiáng)調(diào)探究式教學(xué)順應(yīng)了我國社會(huì)經(jīng)濟(jì)科技發(fā)展的要求，大力加強(qiáng)探究式教學(xué)“適逢其時(shí)”。當(dāng)然，也有我國社會(huì)轉(zhuǎn)型期出現(xiàn)的急功近利對(duì)教育的侵害，應(yīng)試教育實(shí)際上是教育領(lǐng)域的“GDP主義”政府主管部門、家長、社會(huì)輿論仍以升學(xué)率論英雄，并不問分?jǐn)?shù)是以什么方式得到的。人們的理由是：優(yōu)質(zhì)教育資源就那么多，我必須讓學(xué)生先拿到入場券，是否有利于學(xué)生的持續(xù)發(fā)展那是后話，顧不了這么多。因此“天時(shí)”并沒有轉(zhuǎn)化為探究式教學(xué)的有力條件。正如溫家寶總理指出的，我們?nèi)匀皇恰爸匾曊J(rèn)

43、知教育和應(yīng)試的教學(xué)方法，而相對(duì)忽視對(duì)學(xué)生獨(dú)立思考和創(chuàng)造能力的培養(yǎng)”，因此“中國培養(yǎng)的學(xué)生往往書本知識(shí)掌握得很好，但是實(shí)踐能力和創(chuàng)造精神還比較缺乏?！逼浯慰础暗乩薄＿@里只針對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容是否適宜于探究而言。一般地，解題教學(xué)都應(yīng)安排學(xué)生的自主探究活動(dòng)。下面主要討論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的探究式學(xué)習(xí)問題。應(yīng)當(dāng)說，大部分?jǐn)?shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則、公式、定理等，都適宜于用探究式學(xué)習(xí)方式。顯然，數(shù)學(xué)思想方法在自主探究中有關(guān)鍵作用，但常常需要教師的啟發(fā)引導(dǎo)。例6“等腰三角形的性質(zhì)”的探究式教學(xué)設(shè)計(jì)。在本課的多次教學(xué)觀摩中發(fā)現(xiàn)，老師們都把它設(shè)計(jì)成為一個(gè)“微型探究式學(xué)習(xí)課”。基本過程是：剪等腰三角形發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)證明應(yīng)用

44、。從形式上看，確實(shí)經(jīng)歷了“探究發(fā)現(xiàn)邏輯推理”的完整過程，但這一過程中學(xué)生的實(shí)質(zhì)性思考并不充分。問題主要出現(xiàn)在“剪法的理性思考”、“從實(shí)際操作中獲得證明方法的啟發(fā)”兩個(gè)環(huán)節(jié)上，其原因是教師自己對(duì)“等腰三角形的對(duì)稱性”的重要性感受不強(qiáng)烈，沒有圍繞“對(duì)稱性”這一核心展開探究。下面的教學(xué)設(shè)計(jì)體現(xiàn)了 “圍繞對(duì)稱性，從實(shí)際操作中獲得證明方法的啟發(fā)”的思路。先行組織者：對(duì)于三角形，我們研究過它的組成要素（內(nèi)角、邊）和相關(guān)要素（外角、角平分線、中線、高等）的一般特征，如三角形內(nèi)角和等于180埃謊芯抗熱切撾侍猓壞取芯恐畢呶侍饈保諳嘟幌咧形頤茄芯苛頌厥獾拇怪憊叵擔(dān)凇叭甙私恰敝形頤茄芯苛頌厥獾鈉叫形侍狻嗨頻兀芯刻厥

45、獾娜切我燦瀉苤匾囊庖澹餼褪侵苯僑切危誚塹奶厥猓妊切危叩奶厥猓旅嫜芯康妊切巍?/SPAN問題1 你認(rèn)為可以研究等腰三角形的哪些問題？設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生明確要研究的問題。學(xué)生回答出“性質(zhì)與判定”后，追問：“性質(zhì)”就是研究什么？“判定”就是研究什么？問題2 等腰三角形的性質(zhì)可以從哪些角度入手？設(shè)計(jì)意圖：研究問題具體化，明確要研究的問題是：內(nèi)角的關(guān)系，相關(guān)要素（高、中線、角平分線）的特性；特殊等腰三角形的特殊性；等。問題3 前面學(xué)習(xí)過軸對(duì)稱圖形，知道角是以角平分線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形。根據(jù)這些經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)動(dòng)手剪一個(gè)等腰三角形，并說明你得到的一定是等腰三角形。設(shè)計(jì)意圖：通過操作，使學(xué)生更深刻地感受等腰三角形的

46、對(duì)稱性；讓學(xué)生說明“一定是”，目的是強(qiáng)化操作過程中利用了“重合”。問題4“剪”的關(guān)鍵步驟是什么？數(shù)學(xué)含義是什么？設(shè)計(jì)意圖：分析操作步驟中每一步的數(shù)學(xué)意義，明確“折疊”是為了得到“對(duì)稱軸”，“剪一刀”就得到了兩條腰，由“重合”保證了“等腰”。這樣就建立了“操作”與“證明”的中間橋梁。問題5 從“剪”的過程看到，等腰三角形的哪些元素是重合的？由此可以得到哪些性質(zhì)的猜想？學(xué)生給出猜想后，再提出：如何證明？提醒：要注意操作過程的數(shù)學(xué)含義的啟發(fā)。設(shè)計(jì)意圖：先猜想，后證明?？赡苡行W(xué)生不善于把操作的經(jīng)驗(yàn)用于證明，所以提醒從操作中獲得證明思路的啟發(fā)。問題6 對(duì)特殊的等腰三角形等邊三角形，還可進(jìn)一步推出哪些特

47、殊結(jié)論？設(shè)計(jì)意圖：等邊三角形的性質(zhì)是等腰三角形性質(zhì)的推論，完全可以由學(xué)生自主獲得。C小結(jié)：等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，頂角的平分線就是對(duì)稱軸?！叭€”重合于對(duì)稱軸，這是等腰三角形所有性質(zhì)的根源。后續(xù)學(xué)習(xí)會(huì)發(fā)現(xiàn)，等腰三角形的這些性質(zhì)在平面幾何中是非常有用的。作業(yè)：如圖，等腰三角形的五條性質(zhì)（1）CA=CB（定義）；（2）A=B；CBA（3）C的平分線CM垂直于底邊AB；（4）中線CM垂直于底邊AB；（5）底邊上的高CM平分頂角中，以任何一條為前提都可以推出其余4條。請(qǐng)你嘗試推導(dǎo)。說明：針對(duì)基本圖形，通過“知一推四”的訓(xùn)練，目的是讓學(xué)生透徹把握等腰三角形的特征性質(zhì)。當(dāng)然，并不是所有學(xué)習(xí)內(nèi)容都適宜于探究

48、，有的甚至不需要探究。例如，數(shù)學(xué)中某些原始性的概念，如“有理數(shù)”、“無理數(shù)”、“補(bǔ)角”、“余角”等，沒有多少“開放性”，不必探究。這樣的內(nèi)容，重要的是讓學(xué)生了解來龍去脈，理解其引入的必要性、合理性，因此采用教師講授或讓學(xué)生看書的方式即可。某些定理的發(fā)現(xiàn)過程也不必探究。例如勾股定理，只要讓學(xué)生理解意義，學(xué)會(huì)證明（可以有多種方法），能應(yīng)用它解決其他問題就可以了。再次看“人和”。探究式學(xué)習(xí)的“人和”，就是師生所共同營造的“探究氛圍”。這種氛圍，一方面有賴于學(xué)生“探究式學(xué)習(xí)的心向”，另一方面也有賴于教師的“探究型教學(xué)的意識(shí)”。如果學(xué)生缺乏“遇事問個(gè)為什么”“打破沙鍋問到底”的習(xí)慣和勇氣，那么探究式學(xué)習(xí)

49、就失去了內(nèi)因；同樣的，如果教師只注重給學(xué)生灌輸現(xiàn)成數(shù)學(xué)結(jié)論，不給學(xué)生獨(dú)立思考、自主探究的機(jī)會(huì)，那么探究式學(xué)習(xí)也就失去了其生存的時(shí)間和空間。當(dāng)然，“人和”氣象的出現(xiàn)，還需要一個(gè)位于學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)內(nèi)的、蘊(yùn)涵當(dāng)前學(xué)習(xí)內(nèi)容本質(zhì)的問題情境，作為探究式學(xué)習(xí)的“引子”、“平臺(tái)”，使探究式學(xué)習(xí)得以展開、深入，開花結(jié)果。也就是說，課堂中的探究一般應(yīng)當(dāng)是一種“定向探究”。最后，學(xué)習(xí)是知與行相統(tǒng)一的主動(dòng)行為，接受式和探究式是學(xué)習(xí)的兩種基本形態(tài)以學(xué)生發(fā)展為本的教學(xué)，應(yīng)體現(xiàn)接受和探究的相輔相成，要協(xié)調(diào)與平衡認(rèn)知與情感、指導(dǎo)與自主、能動(dòng)與受動(dòng)、抽象思維與形象思維、動(dòng)手實(shí)踐與大腦意識(shí)活動(dòng)、獨(dú)立思考與合作交流等各種因素，

50、進(jìn)而使學(xué)習(xí)成為一個(gè)完整的認(rèn)識(shí)過程有的老師說，我校生源差，反復(fù)講還記不住，怎能讓學(xué)生自主探究？我的觀點(diǎn)是：學(xué)生的數(shù)學(xué)成績不好，是因?yàn)樗€沒有找到進(jìn)入數(shù)學(xué)的大門，數(shù)學(xué)上還沒有開竅。對(duì)于這部分學(xué)生，教師講授是必要的，但更要注意數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的引導(dǎo)，而且“師傅領(lǐng)進(jìn)門，修行在個(gè)人”，如果學(xué)生沒有真正的獨(dú)立思考、自主探索的機(jī)會(huì)，沒有自己對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的思維加工，總是停留在模仿、記憶的水平，那么他是不可能真正理解數(shù)學(xué)知識(shí)的。所以，越是基礎(chǔ)差的學(xué)生越要給他獨(dú)立學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，關(guān)鍵是要為他安排好學(xué)習(xí)的臺(tái)階，使他能循序漸進(jìn)地學(xué)習(xí)，達(dá)到“積跬步以至千里”的效果。例如，“等腰三角形性質(zhì)”的探究式教學(xué)設(shè)計(jì)，基于學(xué)生的動(dòng)手操作，強(qiáng)

51、調(diào)從操作中獲取思想方法的啟發(fā)，相信對(duì)于大多數(shù)學(xué)生都是適用的。如果學(xué)生的抽象思維能力比較強(qiáng)，則不必安排動(dòng)手操作環(huán)節(jié)，直接讓他們通過全等三角形（包括ACBBCA）來證明即可。只是這種方法中“對(duì)稱性”的作用不夠強(qiáng)烈，因此需要在獲得所有性質(zhì)后，再回過來找補(bǔ)。七、如何正確理解螺旋上升在本次課改中，因?yàn)閺?qiáng)調(diào)學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性和學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)等，所以在課程結(jié)構(gòu)上注重“螺旋上升”的組織方式，對(duì)已經(jīng)熟悉了“直線式”課程教材結(jié)構(gòu)體系的廣大教師確實(shí)形成挑戰(zhàn)。到底應(yīng)該如何看待螺旋上升問題呢？首先，螺旋上升地安排數(shù)學(xué)內(nèi)容，同一內(nèi)容在不同階段提出遞進(jìn)式學(xué)習(xí)要求，都是正確的做法，因?yàn)檫@樣做既考慮了教學(xué)與學(xué)生心理發(fā)展水平相適應(yīng)

52、的問題（因?yàn)椤皩W(xué)習(xí)從屬于發(fā)展”），同時(shí)也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念的發(fā)展性。特別是那些核心概念，因?yàn)樗鼈冊诶斫馄渌麛?shù)學(xué)概念、聯(lián)系不同領(lǐng)域的數(shù)學(xué)內(nèi)容方面具有“固著點(diǎn)”作用和紐帶作用，因此必須得到螺旋上升地再現(xiàn)。例如，函數(shù)概念，可以直觀地用描述性語言表征（初中階段），也可以用集合對(duì)應(yīng)的語言表征（高中階段），還可以用關(guān)系語言來表征（大學(xué)階段）。數(shù)學(xué)概念在不同層次上的表征方式體現(xiàn)了人類對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)認(rèn)識(shí)的深化過程，是螺旋上升地安排學(xué)習(xí)內(nèi)容的主要依據(jù)之一。其次，重要的數(shù)學(xué)思想方法必須得到“螺旋上升地重復(fù)”。我們知道，思想方法是由數(shù)學(xué)內(nèi)容所反映的，屬于“隱性知識(shí)”，有一定的“可以意會(huì)不可言傳”的成分，需要經(jīng)歷“滲透概

53、括應(yīng)用”的學(xué)習(xí)階段。這就需要教師有意識(shí)地安排在概念教學(xué)中滲透、概括，在知識(shí)的聯(lián)系中強(qiáng)化、應(yīng)用。特別是，在數(shù)學(xué)概念的“多元聯(lián)系表示”中可以很好地體現(xiàn)“螺旋上升地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想方法”的要義。第三，“螺旋上升”要體現(xiàn)“必要性”。如果學(xué)生的心理發(fā)展水平不夠，還沒有能力認(rèn)識(shí)更多的細(xì)節(jié)、更本質(zhì)的內(nèi)涵，這時(shí)就要采用螺旋上升式；如果學(xué)生的能力已經(jīng)達(dá)到了，就不應(yīng)人為割裂認(rèn)識(shí)的鏈條，更何況“學(xué)習(xí)能夠促進(jìn)發(fā)展”，教學(xué)既要與學(xué)生思維發(fā)展水平相適應(yīng)，又要盡最大努力將思維的“最近發(fā)展區(qū)”轉(zhuǎn)化為“現(xiàn)實(shí)發(fā)展水平”。例如，平面幾何中，把“實(shí)驗(yàn)幾何”與“論證幾何”截然分開是不可取的。第四，在構(gòu)建課程體系時(shí)，應(yīng)當(dāng)以知識(shí)的前后邏輯連貫

54、性、思想方法的一致性為前提?！罢n標(biāo)”構(gòu)建的課程體系受到教師廣泛批評(píng)的原因，一方面是其本身存在整體結(jié)構(gòu)邏輯性差、知識(shí)不連貫性、螺旋設(shè)置不合理等；另一方面也導(dǎo)致了初高中銜接不光滑，初中沒有為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)做好基礎(chǔ)準(zhǔn)備，特別是運(yùn)算和推理的基本技能不過關(guān)。一般地，整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)課程體系上要螺旋上升，而在小系統(tǒng)上還是以“直線式”為好。第五，“螺旋上升”可能帶來的問題是簡單重復(fù)學(xué)習(xí)，這是需要特別注意的。例如，當(dāng)前的統(tǒng)計(jì)、概率內(nèi)容安排，從小學(xué)低年級(jí)開始不斷低水平重復(fù)，既浪費(fèi)時(shí)間，同時(shí)也不符合隨機(jī)數(shù)學(xué)的特點(diǎn)和學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律。事實(shí)上，學(xué)習(xí)隨機(jī)數(shù)學(xué)需要有辯證邏輯思維的發(fā)展為基礎(chǔ)，而人的辯證邏輯思維在14周歲左右才有

55、萌芽，整個(gè)青少年時(shí)期都發(fā)展不完善（有人甚至終身得不到完善發(fā)展），因此，在初中三年級(jí)正式安排概率、統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容是合適的。小學(xué)階段可以在算術(shù)中安排一點(diǎn)“平均數(shù)”的內(nèi)容。例7 “比例關(guān)系”及其反映的數(shù)學(xué)思想方法的螺旋上升式理解舉例。小學(xué)：分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)，滲透分?jǐn)?shù)是兩個(gè)數(shù)的商；理解比、比例的意義和性質(zhì)，正比例、反比例的意義，用比例的知識(shí)解決簡單問題；比例尺；等。初中：熟練運(yùn)用比例列代數(shù)式，用比例進(jìn)行幾組數(shù)的比較列方程、不等式等；正比例函數(shù)、反比例函數(shù)；線性函數(shù)；等。在代數(shù)中，對(duì)“比例”完成“數(shù)字母變量”的螺旋上升的認(rèn)識(shí)。在長度、角度、面積等各種幾何量的大小比較中應(yīng)用比例思想，在度量單位的轉(zhuǎn)換中體會(huì)比

56、例的作用；以比例線段為載體，對(duì)比例性質(zhì)、比例式及其變形等進(jìn)行初步的理論研究；用比例進(jìn)行線段的比較；用比例的思想方法研究圖形的性質(zhì)，如平行截割定理，相似三角形，全等就是“相似比為1”；銳角三角函數(shù)；等。在幾何中，對(duì)比例的性質(zhì)進(jìn)行較系統(tǒng)的探索，并且用比例的思想方法認(rèn)識(shí)和解決幾何問題。比例作為數(shù)形聯(lián)系的工具，例如“坡度”概念（上升量與前進(jìn)量的比），一次函數(shù)y=ax+b中a的意義（作為函數(shù)值與自變量的增量比，變化率恒定的變化特征等）等。用比例的方法作統(tǒng)計(jì)圖表；頻率、概率就是一個(gè)“比例數(shù)”；等。高中：用比例思想方法解決更廣泛、更復(fù)雜的問題。例如，解析幾何中，直線方程的問題基本上可以歸結(jié)為斜率 ，圓錐曲線

57、中有大量與比例相關(guān)的問題；比例是研究等差數(shù)列性質(zhì)的有效工具，如把d=anan1寫成 ，由它對(duì)任何自然數(shù)n成立，立即可由比例性質(zhì)得到 ，于是當(dāng)nm=pq時(shí)，anam= apaq；與斜率概念相聯(lián)系，把 看成是由Pn(n，an)和P1(1，a1)決定的直線的斜率，也可以得出等差數(shù)列的許多有用的性質(zhì)?？傊?dāng)我們利用基本的幾何概念（如相似）和代數(shù)概念（如線性關(guān)系）來認(rèn)識(shí)比例概念、聯(lián)系相關(guān)知識(shí)時(shí)，學(xué)生對(duì)比例關(guān)系的理解就會(huì)更深刻。八、如何理解“不是教教材，而是用教材教”從大量的課堂觀察中發(fā)現(xiàn)，脫離課本進(jìn)行教學(xué)的現(xiàn)象很普遍，這是令人擔(dān)憂的。調(diào)研表明，出現(xiàn)脫離課本進(jìn)行教學(xué)的原因主要有：第一，許多教師認(rèn)為教材內(nèi)

58、容“簡單”，不足以應(yīng)付升學(xué)考試；第二，誤解本次課改提倡的“不是教教材，而是用教材教”、要“創(chuàng)造性地使用教材”的真正意圖；第三，許多教師不善于或不愿意花大力氣研究教材；第四，有的老師認(rèn)為，“只有講課本以外的東西才能顯示自己的水平”。對(duì)此，我的觀點(diǎn)如下：首先，“不是教教材，而是用教材教”是針對(duì)“照本宣科”而言的，絕對(duì)不是提倡大家“脫離教材”進(jìn)行教學(xué)（當(dāng)然，某些“課改專家”確實(shí)提出過“教材僅僅是課程資源的一種”“教師是課程資源的開發(fā)主體”等，但實(shí)踐證明，這些觀點(diǎn)過于理想化了）。其次，“教材太簡單，不足以應(yīng)付升學(xué)考試”的觀點(diǎn)是偏頗的。誠然，教材的“基礎(chǔ)性”與升學(xué)考試的“選拔性”確有一定的目標(biāo)差異，但學(xué)

59、好教材一定是升學(xué)考試取得好成績的前提，教師的主要精力應(yīng)放在幫助學(xué)生熟練掌握教材內(nèi)容上。第三，教材的結(jié)構(gòu)體系、內(nèi)容順序是反復(fù)考量的，語言是字斟句酌的，例題是反復(fù)打磨的，習(xí)題是精挑細(xì)選的。因此，在處理教材時(shí)，內(nèi)容順序的調(diào)整、例題習(xí)題的增減等都要十分小心，否則容易導(dǎo)致教學(xué)目標(biāo)的偏離。“教之道在于度，學(xué)之道在于悟”。在課改實(shí)驗(yàn)中，許多老師覺得這個(gè)“度”不好把握。我認(rèn)為這主要是對(duì)課標(biāo)教材的研讀還不夠深入所致，不領(lǐng)悟教材就不可能把握好“度”。課本、課本，一科之本。課堂教學(xué)應(yīng)“以課本為本”。理解好教材是當(dāng)好數(shù)學(xué)教師的基本前提。例8 銳角三角函數(shù)概念的教材編寫意圖。1本節(jié)內(nèi)容的定位“課標(biāo)”把銳角三角函數(shù)放在“

60、圖形與幾何”的“圖形的相似”中，規(guī)定的教學(xué)目標(biāo)是：（1）利用相似的直角三角形，探索并認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)（sinA，cosA，tanA），知道30?/SPAN，45?/SPAN，60?/SPAN角的三角函數(shù)值；（2）會(huì)使用計(jì)算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它的對(duì)應(yīng)銳角；（3）能用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關(guān)知識(shí)解決一些簡單的實(shí)際問題。因此，初中學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)，其主要目的是解直角三角形和相應(yīng)的實(shí)際問題。首先是“幾何性”，然后是“函數(shù)性”。2概念的概括過程根據(jù)上述定位，教材主要從“幾何的角度”展開銳角三角函數(shù)概念的概括過程：（1）課題的引入從實(shí)際需要（如比薩斜塔的傾斜問題，實(shí)