八年級數(shù)學(xué)直角三角形教師講義帶答案資料

1、直角三角形一、直角三角形的性質(zhì) 重點：直角三角形的性質(zhì)定理及其推論：直角三角形的性質(zhì)，在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半;推論：1在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半;2在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角為30.難點：1.性質(zhì)定理的證明方法.2.性質(zhì)定理及其推論在解題中的應(yīng)用.二、直角三角形全等的判斷重點：掌握直角三角形全等的判定定理：斜邊、直角邊公理：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等難點：創(chuàng)立全等條件及三角形中各定理聯(lián)系解綜合問題。三、角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等. 定理的數(shù)

2、學(xué)表示：如圖4， 是的平分線，F(xiàn)是上一點，且于點C，于點D， . 定理的作用：證明兩條線段相等；用于幾何作圖問題；角是一個軸對稱圖形，它的對稱軸是角平分線所在的直線.2.關(guān)于三角形三條角平分線的定理：1關(guān)于三角形三條角平分線交點的定理：三角形三條角平分線相交于一點，并且這一點到三邊的距離相等.定理的數(shù)學(xué)表示：如圖6，如果、分別是的內(nèi)角、 、的平分線，那么： 、相交于一點I； 假設(shè)、分別垂直于、于點D、E、F，那么. 定理的作用：用于證明三角形內(nèi)的線段相等；用于實際中的幾何作圖問題.2三角形三條角平分線的交點位置及三角形形狀的關(guān)系：三角形三個內(nèi)角角平分線的交點一定在三角形的內(nèi)部.這個交點叫做三角

3、形的內(nèi)心即內(nèi)切圓的圓心.3.關(guān)于線段的垂直平分線和角平分線的作圖：1會作線段的垂直平分線； 2會作角的角平分線；3會作及線段垂直平分線和角平分線有關(guān)的簡單綜合問題的圖形.四、勾股定理的證明及應(yīng)用勾股定理內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為，斜邊為，那么勾股定理的由來：勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出了“勾三，股四，弦五形式的勾股定理，后來人們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形的三邊關(guān)系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方勾股定理的

4、證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見方法如下：方法一：，化簡可證方法二：四個直角三角形的面積及小正方形面積的和等于大正方形的面積四個直角三角形的面積及小正方形面積的和為大正方形面積為 所以方法三：，化簡得證勾股定理的適用范圍勾股定理提醒了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征，因而在應(yīng)用勾股定理時，必須明了所考察的對象是直角三角形勾股定理的應(yīng)用直角三角形的任意兩邊長，求第三邊在中

5、，那么，知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系可運用勾股定理解決一些實際問題如果三角形三邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形，其中為斜邊勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時，可用兩小邊的平方和及較長邊的平方作比擬，假設(shè)它們相等時，以，為三邊的三角形是直角三角形；假設(shè)，時，以，為三邊的三角形是鈍角三角形；假設(shè)，時，以，為三邊的三角形是銳角三角形；定理中，及只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如假設(shè)三角形三邊長，滿足，那么以，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成

6、：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時，這個三角形是直角三角形能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，為正整數(shù)時，稱，為一組勾股數(shù)記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如；等用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：為正整數(shù)；為正整數(shù)，為正整數(shù)勾股定理的應(yīng)用勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問題在使用勾股定理時，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運用勾股定理進(jìn)展計算，應(yīng)設(shè)法添加輔助線通常作垂線，構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進(jìn)展求解勾股定理逆定理的應(yīng)用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量

7、關(guān)系判斷一個三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和及最長邊的平方進(jìn)展比擬，切不可不加思考的用兩邊的平方和及第三邊的平方比擬而得到錯誤的結(jié)論勾股定理及其逆定理的應(yīng)用勾股定理及其逆定理在解決一些實際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的一個整體通常既要通過逆定理判定一個三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成，完成對問題的解決常見圖形：10、互逆命題的概念如果一個命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。勾股定理的作用： 1直角三角形的兩邊求第三邊。 2直角三角形的一邊，求另

8、兩邊的關(guān)系。3用于證明線段平方關(guān)系的問題。4利用勾股定理，作出長為的線段勾股定理經(jīng)典例題透析類型一：勾股定理的直接用法 1、在中，90 (1)6， 10，求b， (2)40，9，求c； (3)25，15，求a. 思路點撥: 寫解的過程中，一定要先寫上在哪個直角三角形中，注意勾股定理的變形使用。 解析：(1) 在中，90，6，10 (2) 在中，90，40，9 (3) 在中，90，25，15 舉一反三 【變式】:如圖90, 1312, 3,那么的長是多少 【答案】90 13, 12 2 22 =132122 =25 5 又90且3 由勾股定理可得 222 =5232 =16 4 的長是4.類型二

9、：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用 2、如圖，：在中，. 求：的長. 思路點撥：由條件，想到構(gòu)造含角的直角三角形，為此作于D，那么有，再由勾股定理計算出、的長，進(jìn)而求出的長. 解析：作于D，那么因， 的兩個銳角互余 在中，如果一個銳角等于， 那么它所對的直角邊等于斜邊的一半. 根據(jù)勾股定理，在中， . 根據(jù)勾股定理，在中， . . 舉一反三【變式1】如圖，：，于P. 求證：. 解析：連結(jié)，根據(jù)勾股定理，在中， . 而在中，那么根據(jù)勾股定理有 . 又 ， . 在中，根據(jù)勾股定理有 ， . 【變式2】：如圖，90，60，4，2。求：四邊形的面積。 分析：如何構(gòu)造直角三角形是解此題的關(guān)鍵，可以連結(jié)，或延長、交于F

10、，或延長、交于點E，根據(jù)此題給定的角應(yīng)選后兩種，進(jìn)一步根據(jù)此題給定的邊選第三種較為簡單。 解析：延長、交于E。 60，90，30。 28，24， 222=82-42=48，。 2= 22=42-22=12，。 S四邊形類型三：勾股定理的實際應(yīng)用 一用勾股定理求兩點之間的距離問題 3、如下圖，在一次夏令營活動中，小明從營地A點出發(fā)，沿北偏東60方向走了到達(dá)B點，然后再沿北偏西30方向走了500m到達(dá)目的地C點。 1求A、C兩點之間的距離。 2確定目的地C在營地A的什么方向。 解析：1過B點作 60 30+180 90 即為直角三角形 由可得：500m， 由勾股定理可得： 所以 2在中， 500m

11、，1000m 30 60 30 即點C在點A的北偏東30的方向 舉一反三 【變式】一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進(jìn)廠門形狀如圖的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門 【答案】由于廠門寬度是否足夠卡車通過，只要看當(dāng)卡車位于廠門正中間時其高度是否小于如下圖，點D在離廠門中線0.8米處，且， 及地面交于H 解：1米 (大門寬度一半)， 0.8米 卡車寬度一半 在中，由勾股定理得： .米， C.米.米 因此高度上有0.4米的余量，所以卡車能通過廠門 二用勾股定理求最短問題 4、國家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費過高的現(xiàn)狀，目前正在全國各地農(nóng)村進(jìn)展電網(wǎng)改造，某地有四個村莊A、B

12、、C、D，且正好位于一個正方形的四個頂點，現(xiàn)方案在四個村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們設(shè)計了四種架設(shè)方案，如圖實線局部請你幫助計算一下，哪種架設(shè)方案最省電線 思路點撥：解答此題的思路是：最省電線就是線路長最短，通過利用勾股定理計算線路長，然后進(jìn)展比擬，得出結(jié)論 解析：設(shè)正方形的邊長為1，那么圖1、圖2中的總線路長分別為 3，3 圖3中，在中 同理 圖3中的路線長為 圖4中，延長交于H，那么， 由 及勾股定理得： 121 此圖中總線路的長為4 32.8282.732 圖4的連接線路最短，即圖4的架設(shè)方案最省電線 舉一反三 【變式】如圖，一圓柱體的底面周長為20，高為4，是上底面的直徑一只螞蟻從點A出發(fā)

13、，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點C，試求出爬行的最短路程 解： 如圖，在中，底面周長的一半， 根據(jù)勾股定理得 提問：勾股定理 勾股定理 答：最短路程約為類型四：利用勾股定理作長為的線段 5、作長為、的線段。 思路點撥：由勾股定理得，直角邊為1的等腰直角三角形，斜邊長就等于，直角邊為和1的直角三角形斜邊長就是，類似地可作。 作法：如下圖 1作直角邊為1單位長的等腰直角，使為斜邊； 2以為一條直角邊，作另一直角邊為1的直角。斜邊為； 3順次這樣做下去，最后做到直角三角形，這樣斜邊、的長度就是 、。 舉一反三 【變式】在數(shù)軸上表示的點。 解析：可以把看作是直角三角形的斜邊， 為了有利于畫圖讓其他兩邊的長為整

14、數(shù)， 而10又是9和1這兩個完全平方數(shù)的和，得另外兩邊分別是3和1。 作法：如下圖在數(shù)軸上找到A點，使3，作且截取1，以為半徑， 以O(shè)為圓心做弧，弧及數(shù)軸的交點B即為。類型五：逆命題及勾股定理逆定理 6、寫出以下原命題的逆命題并判斷是否正確 1原命題：貓有四只腳正確 2原命題：對頂角相等正確 3原命題：線段垂直平分線上的點，到這條線段兩端距離相等正確 4原命題：角平分線上的點，到這個角的兩邊距離相等正確 思路點撥：掌握原命題及逆命題的關(guān)系。 解析：1. 逆命題：有四只腳的是貓不正確 2. 逆命題：相等的角是對頂角不正確 3. 逆命題：到線段兩端距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上正確 4.

15、逆命題：到角兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上正確 總結(jié)升華：此題是為了學(xué)習(xí)勾股定理的逆命題做準(zhǔn)備。 7、如果的三邊分別為a、b、c，且滿足a222+50=6810c，判斷的形狀。 思路點撥：要判斷的形狀，需要找到a、b、c的關(guān)系，而題目中只有條件a222+50=6810c，故只有從該條件入手，解決問題。 解析：由a222+50=6810c，得 ： a2-692-8162-1025=0, (3)2+(4)2+(5)2=0。 (3)20, (4)20, (5)20。 3，4，5。 32+42=52, a222。 由勾股定理的逆定理，得是直角三角形。 總結(jié)升華：勾股定理的逆定理是通過數(shù)量關(guān)系來研

16、究圖形的位置關(guān)系的,在證明中也常要用到。 舉一反三【變式1】四邊形中，90，3，4，12，13，求四邊形的面積。 【答案】：連結(jié) 90，3，4 222=25勾股定理 5 22=169，2=169 222 90勾股定理逆定理 【變式2】:的三邊分別為m2n2,222(為正整數(shù),且mn),判斷是否為直角三角形. 分析:此題是利用勾股定理的的逆定理， 只要證明222即可 證明： 所以是直角三角形. 【變式3】如圖正方形，E為中點，F(xiàn)為上一點，且。 請問及是否垂直請說明。 【答案】答：。 證明：設(shè)，那么2a, 3a，4a, 2222+4a2=5a2； 222=4a2+16a2=20a2。 連接如圖 2

17、22=9a2+16a2=25a2。 222, 。勾股定理經(jīng)典例題精析類型一：勾股定理及其逆定理的根本用法 1、假設(shè)直角三角形兩直角邊的比是3：4，斜邊長是20，求此直角三角形的面積。 思路點撥：在直角三角形中知道兩邊的比值和第三邊的長度，求面積，可以先通過比值設(shè)未知數(shù)，再根據(jù)勾股定理列出方程，求出未知數(shù)的值進(jìn)而求面積。 解析：設(shè)此直角三角形兩直角邊分別是3x，4x，根據(jù)題意得： 3x2+4x2202 化簡得x216； 直角三角形的面積3x4x6x296 總結(jié)升華：直角三角形邊的有關(guān)計算中，常常要設(shè)未知數(shù)，然后用勾股定理列方程組求解。 舉一反三 【變式1】等邊三角形的邊長為2，求它的面積。 【答

18、案】如圖，等邊，作于D 那么：等腰三角形底邊上的高及底邊上的中線互相重合 2等邊三角形各邊都相等 1 在直角三角形中，222，即：222413 S 注：等邊三角形面積公式：假設(shè)等邊三角形邊長為a，那么其面積為a?！咀兪?】直角三角形周長為12，斜邊長為5，求直角三角形的面積。 【答案】設(shè)此直角三角形兩直角邊長分別是x，y，根據(jù)題意得： 由1得：7， 249，x2+2249 (3) (3)(2)，得：12 直角三角形的面積是1262 【變式3】假設(shè)直角三角形的三邊長分別是1，2，3，求n。 思路點撥：首先要確定斜邊最長的邊長3，然后利用勾股定理列方程求解。 解：此直角三角形的斜邊長為3，由勾股定

19、理可得： 12+2232 化簡得：n24 n2，但當(dāng)n2時，1190，、分別為、上的高，F(xiàn)為的中點，求證：。分析：因為、分別為、上的高，所以90。在中為斜邊上中線，所以。同理在中，所以，所以。例7：2021 年上海市中考題：如圖6，在中，是高，是中線。，G為垂足。求證：1G是的中點；22。分析：1E是斜邊上中點，連，那么，所以。又因為，所以G為的中點。2因為，所以1=2。因為1+2，所以22。由性質(zhì)拓展知：，所以22，即2。例8：2021 年呼和浩特市中考如圖7，在中，2B，D是上的一點，且，點E是的中點，連。求證：1C；2求證：2。分析：1因為是斜邊上中線，由性質(zhì)拓展可知：2B。又因為2B，

20、所以C。2由1C，所以，是斜邊上中線。由性質(zhì)可得：，所以，故2。例9：第四屆“祖沖之杯初二競賽如圖8，在梯形中，90，E、F分別是、的中點。求證：。分析：延長、交于G，連、。由于90，所以90。E、F分別為、中點。由性質(zhì)可得：。由性質(zhì)拓展可得：，。因為，所以，所以，所以G、E、F三點在同一直線上，所以。例10：如圖9，在四邊形中，且，M、N分別是、邊上的中點。求證：。分析：M是及斜邊上中點，連、，由性質(zhì)可得：，所以為等腰三角形。又因為N為的中點，所以。經(jīng)典習(xí)題精講1、如下圖，垂足分別為E，F(xiàn)，O是及的交點且是的中點，求證。2、如下圖，是中的平分線，2C，求證：。CABDE3、如下圖，在中，90，和的平分線相交于D，求D的度數(shù)。ABCFD4、如下圖，在中，90，D為的中點，于E，求證A。6、如下圖，2，求證。7、在等腰三角形中，腰上的高等于腰長的一半，求等腰三角形的頂角的度數(shù)。8、如下圖，在中，120，求證。C9、如下圖，在四邊形中，90，求的度數(shù)。10、如下圖，D是的邊的中點，垂足分別為,且,求證平分。11、如下圖，是的平分線，分別是, 的高，求證垂直平分。12、如下圖，90,求證.13、如下圖，平分，且點E是的中點，那么及之間有何數(shù)量關(guān)