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1、高中數(shù)學(xué)專(zhuān)題五 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第4講 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用已知函數(shù) fx=lnx+x+2,gx=exax+x+2 且 0fx已知函數(shù) fx=e2xexax,且 fx0(1) 求 a 的值;(2) 若 fx1=fx2,x1x2,求證:ex1+ex22已知函數(shù) fx=ex1+mlnx,其中 m0,fx 為 fx 的導(dǎo)函數(shù),設(shè) hx=fxex,且 hx52 恒成立,求 m 的取值范圍已知函數(shù) fx=ln1+xasinx,aR(1) 若 y=fx 在點(diǎn) 0,0 處的切線(xiàn)為 x3y=0,求 a 的值;(2) 若存在 x1,2,使得 fx2a,求實(shí)數(shù) a 的取值范圍已知函數(shù) fx=13x3ax2+x+1(1) 若
2、 a=3,求 fx 的單調(diào)區(qū)間;(2) 證明:fx 只有一個(gè)零點(diǎn)已知函數(shù) fx=2xlnax+alnx(1) 當(dāng) a=e 時(shí),求曲線(xiàn) y=fx 在 x=1 處的切線(xiàn)方程;(2) 討論函數(shù) fx 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)答案1. 【答案】要證 gxfx,即證 exaxlnx,當(dāng) 01,axlnx0,不等式顯然成立;當(dāng) x1 時(shí),xlnx0,結(jié)合已知 0a12e2 可得,012e2xlnx,即證 2ex2xlnx0,令 hx=2ex2xlnx,則 hx=2ex2x1xx2,令 x=2xx2x1x,則 x=2xex21,且在 0,+ 上單調(diào)遞增,因?yàn)?1=2e10,所以存在 x01,2 使得 x0=0,即 2x0
3、ex02=1,所以 x 在 1,x0 上單調(diào)遞減,在 x0,+ 上單調(diào)遞增,又 1=10,2=0,故當(dāng) x1,2 時(shí),hx0,hx 單調(diào)遞增,所以 hxh2=1ln20,故 hx0,gxfx 得證2. 【答案】(1) 因?yàn)?f0=0 且 fx0 恒成立,所以 f0 是 fx 的最小值,也是極小值,它的必要條件是 f0=0,得 a=1以下證充分性:當(dāng) a=1 時(shí),fx=e2xexx, fx=2e2xex1=2ex+1ex1,則在 ,0 上,fx0,fx 單調(diào)遞增,故 f0 是 fx 的最小值,也是極小值綜上得,a=1(2) 由(1)不妨設(shè) x102,只需證 ex1+ex2ex1+ex212,即證
4、 1ex1+ex2ex1+ex2112,即證 1x1x2ex1x21ex1x2+112設(shè) gt=et1et+1t2t0,則 gt=2etet+1212=et122et+120,即 et1et+1t2因?yàn)?x1x2x1x22,即 1x1x2ex1x21ex1x2+123. 【答案】由題意知,fx=ex1+mx+mlnxx0, hx=fxex=1+mx+mlnx, hx=mx1x2x0,由 hx0,得 x1,所以函數(shù) hx 在 1,+ 上是增函數(shù);由 hx0,得 0 x0,當(dāng) x1,2 時(shí),hx2+sinx1+xln1+x,令函數(shù) x=2+sinx1+xln1+x,x1,2,則 x=cosxln1
5、+x131+20,則當(dāng) x1,2 時(shí),hxx0,故函數(shù) gx 在 1,2 上單調(diào)遞增,gxmax=g2=ln32+sin2,則當(dāng) aln32+sin2 時(shí),存在 x1,2,使得 fx2a5. 【答案】(1) 當(dāng) a=3 時(shí),fx=13x33x23x3,fx=x26x3令 fx=0,解得 x=323 或 x=3+23當(dāng) x,3233+23,+ 時(shí),fx0;當(dāng) x323,3+23 時(shí),fx0 在 R 上恒成立,所以 fx=0 等價(jià)于 x3x2+x+13a=0設(shè) gx=x3x2+x+13a,則 gx=x2x2+2x+3x2+x+120 在 R 上恒成立,當(dāng)且僅當(dāng) x=0 時(shí),gx=0,所以 gx 在
6、 ,+ 上單調(diào)遞增故 gx 至多有一個(gè)零點(diǎn),從而 fx 至多有一個(gè)零點(diǎn)又 f3a1=6a2+2a13=6a162160,故 fx 有一個(gè)零點(diǎn)綜上所述,fx 只有一個(gè)零點(diǎn)6. 【答案】(1) 當(dāng) a=e 時(shí),fx=2xx+elnx,則 f1=2,fx=2lnxx+ex,f1=1e,所以曲線(xiàn) y=fx 在 x=1 處的切線(xiàn)方程是 y2=1ex1,即 1exy+1+e=0(2) 顯然 a0,函數(shù) fx 的定義域?yàn)?0,+, fx=2lnalnxx+ax,令 gx=fx=2lnalnxx+ax,則 gx=1x+ax2=axx2,當(dāng) 0 x0,當(dāng) xa 時(shí),gx0,所以 gx 在 0,a 上單調(diào)遞增,在
7、 a,+ 上單調(diào)遞減,則 gx 有最大值且 gxmax=ga=lna2,當(dāng) lna20,即 00,即 ae2 時(shí),ga0, g1=2lna1a,令 ha=2lna1aae2,則 ha=2a1=2aa0,所以 ha 在 e2,+ 上單調(diào)遞減,ha41e2=3e20,即 g10,gx 在 0,a 上單調(diào)遞增,所以存在 x11,a,使得 gx1=0,當(dāng) 0 xx1 時(shí),gx0,當(dāng) x1x0,即當(dāng) 0 xx1 時(shí),fx0,當(dāng) x1x0另一方面,ga2=2lnalna2a2+aa2=a2+aa20 且 gx 在 a,+ 上單調(diào)遞減,所以存在 x2a,a2,使得 gx2=0,當(dāng) ax0,當(dāng) xx2 時(shí),gx0,即當(dāng) ax0,當(dāng) xx2 時(shí),fx0,因此,當(dāng) 0 xx1 時(shí),fx0,當(dāng) x1x0,當(dāng) xx2 時(shí),fx0,即 fx 在 0,x1 上單調(diào)遞減,在 x1,x2 上單調(diào)遞增,在 x2,+ 上單調(diào)遞減,由于 fa=0,且 x1ax2,所以 fx 在 x1,x2 上有唯一零點(diǎn),且 f
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