勾股定理的證明(比較全的證明方法)80488課件

1、325242美妙的勾股定理數(shù)形結合之美在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為勾，下半部分稱為股。我國古代學者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.勾股勾股弦的定義勾股定理的由來這個定理在中國又稱為“商高定理”，在外國稱為“畢達哥拉斯定理”。為什么一個定理有這么多名稱呢？商高是公元前十一世紀的中國人。當時中國的朝代是西周，是奴隸社會時期。 在中國古代大約是戰(zhàn)國時期西漢的數(shù)學著作周髀算經中記錄著商高同周公的一段對話。商高說：“故折矩，勾廣三，股修四，經隅五?！笆裁词恰惫础⒐伞澳?？在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股

2、”。商高那段話的意思就是說：當直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長邊）時，徑隅（就是弦）則為5。以后人們就簡單地把這個事實說成“勾三股四弦五”。由于勾股定理的內容最早見于商高的話中，所以人們就把這個定理叫作商高定理。畢達哥拉斯（Pythagoras）是古希臘數(shù)學家，他是公元前五世紀的人，比商高晚出生五百多年。希臘另一位數(shù)學家歐幾里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在編著幾何原本時，認為這個定理是畢達哥達斯最早發(fā)現(xiàn)的，所以他就把這個定理稱為“畢達哥拉斯定理”，以后就流傳開了。（為了慶祝這一定理的發(fā)現(xiàn)，畢達哥拉斯學派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個定理又有人叫做“百牛定理”）走

3、進數(shù)學史走進數(shù)學史 兩千多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣，因為這個定理太貼近人們的生活實際，以至于古往今來，下至平民百姓，上至帝王總統(tǒng)都愿意探討和研究它的證明因此不斷出現(xiàn)關于勾股定理的新證法1傳說中畢達哥拉斯的證法2趙爽弦圖的證法4美國第20任總統(tǒng)茄菲爾德的證法3劉徽的證法勾股定理的證明5其他證法勾股定理是幾何學中的明珠，所以它充滿魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若騖，其中有著名的數(shù)學家，也有業(yè)余數(shù)學愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權貴，甚至有國家總統(tǒng)。也許是因為勾股定理既重要又簡單，更容易吸引人，才使它成百次地反復被人炒作，反復被人論證。有資料表明，關于勾股定理的證明方法已有50

4、0余種，僅我國清末數(shù)學家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。 在這數(shù)百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡潔，有的因為證明者身份的特殊而非常著名。 現(xiàn)在在網絡上看到較多的是16種,包括前面的6種,還有:返回 這棵樹漂亮嗎？如果在樹上掛上幾串彩色燈泡，再掛上些小鈴鐺、小彩球、小禮盒、小的圣誕老人，是不是更像一棵圣誕樹 也許有人會問：“它與勾股定理有什么關系嗎？”仔細看看，你會發(fā)現(xiàn)，奧妙在樹干和樹枝上，整棵樹都是由下方的這個基本圖形組成的：一個直角三角形以及分別以它的每邊為一邊向外所作的正方形 這個圖形有什么作用呢？不要小看它哦！古希臘的數(shù)學家畢達哥拉斯就是利用這個圖形驗證了勾股定理 關于勾股定理

5、的證明，現(xiàn)在人類保存下來的最早的文字資料是歐幾里得（公元前300年左右）所著的幾何原本第一卷中的命題47：“直角三角形斜邊上的正方形等于兩直角邊上的兩個正方形之和”其證明是用面積來進行的傳說中畢達哥拉斯的證法已知：如圖，以在RtABC中，ACB=90，分別以a、b、c為邊向外作正方形 求證：a2 +b2=c2數(shù)學故事鏈接 相傳兩千五百年前，一次畢達哥拉斯去朋友家作客，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面反映直角三角形三邊的某種數(shù)量關系，同學們，我們也來觀察下面的圖案，看看你能發(fā)現(xiàn)什么？探索勾股定理數(shù)學家畢達哥拉斯的發(fā)現(xiàn)：A、B、C的面積有什么關系？SA+SB=SCABC探索勾股定理ABCSA=a2SB=b

6、2SC=c2abca2+b2=c2設：直角三角形的三邊長分別是a、b、c猜想:兩直角邊a、b與斜邊c 之間的關系？SA+SB=SC探索勾股定理返回 S矩形ADNM2SADC又正方形ACHK和ABK同底（AK）、等高（即平行線AK和BH間的距離）， S正方形ACHK2SABK ADAB，ACAK，CADKAB， ADCABK 由此可得S矩形ADNMS正方形ACHK 同理可證S矩形MNEBS正方形CBFG S矩形ADNMS矩形MNEBS正方形ACHKS正方形CBFG 即S正方形ADEBS正方形ACHKS正方形CBFG ， 也就是 a2+b2=c2傳說中畢達哥拉斯的證法證明：從RtABC的三邊向外各

7、作一個正方形（如圖），作CNDE交AB于M，那么正方形ABED被分成兩個矩形連結CD和KB返回由于矩形ADNM和ADC同底（AD），等高(即平行線AD和CN間的距離)， 劉徽在九章算術中對勾股定理的證明：勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其余不移動也合成弦方之冪，開方除之，即弦也令正方形ABCD為朱方，正方形BEFG為青方在BG間取一點H，使AH=BG，裁下ADH，移至CDI，裁下HGF，移至IEF，是為“出入相補，各從其類”，其余不動，則形成弦方正方形DHFI勾股定理由此得證 劉徽的證法返回 我國對勾股定理的證明采取的是割補法，最早的形式見于公元三、四世紀趙爽的勾股圓方圖

8、注在這篇短文中，趙爽畫了一張他所謂的“弦圖”，其中每一個直角三角形稱為“朱實”，中間的一個正方形稱為“中黃實”，以弦為邊的大正方形叫“弦實”，所以，如果以a、b、c分別表示勾、股、弦之長，那么： 趙爽弦圖的證法得： c2 =a2+ b2返回學過幾何的人都知道勾股定理它是幾何中一個比較重要的定理，應用十分廣泛迄今為止，關于勾股定理的證明方法已有500余種其中，美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法在數(shù)學史上被傳為佳話總統(tǒng)為什么會想到去證明勾股定理呢？難道他是數(shù)學家或數(shù)學愛好者？答案是否定的事情的經過是這樣的：1876年一個周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當

9、時美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談論著什么，時而大聲爭論，時而小聲探討由于好奇心驅使伽菲爾德循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在干什么只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形于是伽菲爾德便問他們在干什么？只見那個小男孩頭也不抬地說：“請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那么斜邊長為多少呢？”伽菲爾德答到：“是5呀”小男孩又問道：“如果兩條直角邊分別為5和7，那么這個直角三角形的斜邊長又是多少？”伽菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方”小男孩又說道：“先生，你能說出其中

10、的道理嗎？”伽菲爾德一時語塞，無法解釋了，心理很不是滋味 于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題他經過反復的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法總統(tǒng)巧證勾股定理美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德總統(tǒng)巧證勾股定理aabbccADCBE返回向常春的證明方法 注:這一方法是向常春于1994年3月20日構想發(fā)現(xiàn)的新法abcba-bADCBEc 我們用拼圖的方法來說明勾股定理是正確的試 一 試證明:上面的大正方形的面積為： 下面大的正方形的面積為： 從右圖中我們可以看出，這兩個正方形的邊長都是ab，所以面積相等，即以a、b 為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則

11、每個直角三角形的面積等于 . 把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上，B、F、C三點在一條直線上，C、G、D三點在一條直線上. RtHAE RtEBF, AHE = BEF. AEH + AHE = 90, AEH + BEF = 90. HEF = 18090= 90. 四邊形EFGH是一個邊長為c的正方形. 它的面積等于c2. RtGDH RtHAE, HGD = EHA. HGD + GHD = 90, EHA + GHD = 90. 又 GHE = 90, DHA = 90+ 90= 180. ABCD是一個邊長為a + b的正方形，它的面積等于（a+b），（

12、a+b）=4ab+c，a+b=c鄒元治證明作四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b ，斜邊長為c. 把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使D、E、F在一條直線上. 過C作AC的延長線交DF于點P. D、E、F在一條直線上, 且RtGEF RtEBD, EGF = BED， EGF + GEF = 90， BED + GEF = 90， BEG =18090= 90又 AB = BE = EG = GA = c， ABEG是一個邊長為c的正方形. ABC + CBE = 90 RtABC RtEBD, ABC = EBD. EBD + CBE = 90即 CBD= 90又 BDE =

13、 90，BCP = 90，BC = BD = a. BDPC是一個邊長為a的正方形.同理，HPFG是一個邊長為b的正方形.設多邊形GHCBE的面積為S，則, BDPC的面積也為S，HPFG的面積也為S由此可推出：a2+b2=c2梅文鼎證明再見愛是什么？一個精靈坐在碧綠的枝葉間沉思。風兒若有若無。一只鳥兒飛過來，停在枝上，望著遠處將要成熟的稻田。精靈取出一束黃澄澄的稻谷問道：“你愛這稻谷嗎？”“愛。”“為什么？”“它驅趕我的饑餓。”鳥兒啄完稻谷，輕輕梳理著光潤的羽毛?！艾F(xiàn)在你愛這稻谷嗎？”精靈又取出一束黃澄澄的稻谷。鳥兒抬頭望著遠處的一灣泉水回答：“現(xiàn)在我愛那一灣泉水，我有點渴了。”精靈摘下一片

14、樹葉，里面盛了一汪泉水。鳥兒喝完泉水，準備振翅飛去?！罢堅倩卮鹞乙粋€問題，”精靈伸出指尖，鳥兒停在上面。“你要去做什么更重要的事嗎？我這里又稻谷也有泉水。”“我要去那片開著風信子的山谷，去看那朵風信子?！薄盀槭裁矗克茯屭s你的饑餓？”“不能?！薄八茏虧櫮愕母煽剩俊薄安荒??！睈凼鞘裁?？一個精靈坐在碧綠的枝葉間沉思。風兒若有若無。一只鳥兒飛過來，停在枝上，望著遠處將要成熟的稻田。精靈取出一束黃澄澄的稻谷問道：“你愛這稻谷嗎？”“愛。”“為什么？”“它驅趕我的饑餓。”鳥兒啄完稻谷，輕輕梳理著光潤的羽毛?！艾F(xiàn)在你愛這稻谷嗎？”精靈又取出一束黃澄澄的稻谷。鳥兒抬頭望著遠處的一灣泉水回答：“現(xiàn)在我愛那一

15、灣泉水，我有點渴了?！本`摘下一片樹葉，里面盛了一汪泉水。鳥兒喝完泉水，準備振翅飛去。“請再回答我一個問題，”精靈伸出指尖，鳥兒停在上面?！澳阋プ鍪裁锤匾氖聠?？我這里又稻谷也有泉水。”“我要去那片開著風信子的山谷，去看那朵風信子。”“為什么？它能驅趕你的饑餓？”“不能?！薄八茏虧櫮愕母煽?？”“不能。”其實，世上最溫暖的語言，“ 不是我愛你，而是在一起?！?所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以誠相待，彼此尊重，相互包容，相互懂得，才能走的更遠。相遇是緣，相守是愛。緣是多么的妙不可言，而懂得又是多么的難能可貴。否則就會錯過一時，錯過一世！擇一人深愛，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牽，一

16、路笑對風雨。在平凡的世界，不求愛的轟轟烈烈；不求誓言多么美麗；唯愿簡單的相處，真心地付出，平淡地相守，才不負最美的人生；不負善良的自己。人海茫茫，不求人人都能刻骨銘心，但求對人對己問心無愧，無怨無悔足矣。大千世界，與萬千人中遇見，只是相識的開始，只有彼此真心付出，以心交心，以情換情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。然而，生活不僅是詩和遠方，更要面對現(xiàn)實。如果曾經的擁有，不能天長地久，那么就要學會華麗地轉身，學會忘記。忘記該忘記的人，忘記該忘記的事兒，忘記苦樂年華的悲喜交集。人有悲歡離合，月有陰晴圓缺。對于離開的人，不必折磨自己脆弱的生命，虛度了美好的朝夕；不必讓心靈痛苦不堪，弄丟了快樂的自己。擦汗眼淚，告訴自己，日子還得繼續(xù)，誰都不是誰的唯一，相信最美的風景一直在路上。人生，就是一場修行。你路過我，我忘記你；你有情，他無意。誰都希望在正確的時間遇見對的人，然而事與愿違時，你越渴望的東西，也許越是無情無義地棄你而去。所以美好的愿望，就會像肥皂泡一樣破滅，只能在錯誤的時間遇到錯的人。歲月匆匆像一陣風，有多少故事留下感動。愿曾經的相遇，無論是錦上添花