線性代數(shù)及其應用：第五章 特征值問題_第1頁
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文檔簡介

1、第一節(jié) 方陣的特征值與特征向量特征值問題說明:一、特征值與特征向量的概念二、特征值與特征向量的求法例1 例 解例 設求A的特征值與特征向量解得基礎解系為：例 證明：若 是矩陣A的特征值， 是A的屬于的特征向量，則證明再繼續(xù)施行上述步驟 次，就得三、特征值和特征向量的性質(zhì)3/42/3-2or1證:則即類推之，有把上列各式合寫成矩陣形式，得注意：.屬于不同特征值的特征向量是線性無關的.屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個特征值的特征向量.矩陣的特征向量總是相對于矩陣的特征值而言的，一個特征值對應的特征向量不唯一；但一個特征向量卻只能屬于一個確定的特征值求矩陣特征值與特征向量的步驟：四

2、、小結思考題1思考題1解答特征值問題與二次型第二節(jié) 相似矩陣一、相似矩陣1. 等價關系二、相似矩陣與相似變換的性質(zhì)證明推論2 若 階方陣 與對角陣證明三、利用相似變換將方陣對角化命題得證. 如果 階矩陣 的 個特征值互不相等，則 與對角陣相似推論1說明如果 的特征方程有重根，此時不一定有 個線性無關的特征向量，從而矩陣 不一定能對角化，但如果能找到 個線性無關的特征向量， 還是能對角化例1 判斷下列實矩陣能否化為對角陣？解解之得基礎解系求得基礎解系解之得基礎解系故 不能化為對角矩陣.A能否對角化？若能對角例2解解之得基礎解系所以 可對角化.注意即矩陣 的列向量和對角矩陣中特征值的位置要相互對應

3、推論2思考題思考題解答特征值問題與二次型第三節(jié) 實對稱矩陣的對角化性質(zhì)1實對稱矩陣的特征值為實數(shù).一、實對稱矩陣的性質(zhì)說明：本節(jié)所提到的對稱矩陣，除非特別說明，均指實對稱矩陣性質(zhì)2根據(jù)上述結論，利用正交矩陣將對稱矩陣化為對角矩陣，其具體步驟為：二、利用正交矩陣將對稱矩陣對角化的方法將特征向量正交化(如果有重根的話);3.將特征向量單位化.4.2.1.解例1 對下列各實對稱矩陣，分別求出正交矩陣 ，使 為對角陣.(1)第一步 求 的特征值解之得基礎解系 解之得基礎解系解之得基礎解系第三步 將特征向量正交化第四步 將特征向量單位化于是得正交陣1.對稱矩陣的性質(zhì)：三、小結 (1)特征值為實數(shù)； (2)屬于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重數(shù)和與之對應的線性無關的特征向量的個數(shù)相等； (4)必存在正交矩陣，將其化為對角矩陣，且對角矩陣對角元素即為特征值2.利用正交矩陣將對稱陣化為對

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