揚大高等代數(shù)(北大三版)-第一章 多項式

1、第一章 多項式學時：28學時教學方法和手段 由于多項式與整數(shù)在許多方面有相似之處，因此在建立多項式分解理論時要注意與整數(shù)理論作對比?；緝?nèi)容和教學目的本章主要討論一元多項式的概念和運算，建立多項式因式分解理論，并討論與之有密切關(guān)系的求根問題。這是中學有關(guān)知識的加深和擴充。本章的重點和難點重點:一元多項式的因式分解理論.難點:最大公因式的概念,多項式的整除,互素和不可約多項式等概念之間的聯(lián)系與區(qū)別. 8/10/2022高等代數(shù)1.1 數(shù)環(huán)和數(shù)域 研究數(shù)學問題常常需要明確規(guī)定所考慮的數(shù)的范圍，學習數(shù)學也是如此。 比如，先學習自然數(shù)，然后整數(shù)，再正有理數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)、復數(shù)。再比如討論多項式的因式分

2、解、方程的根的情況，都跟數(shù)的范圍有關(guān)。例如在有理數(shù)范圍內(nèi)不能分解，在實數(shù)范圍內(nèi)就可以分解。在實數(shù)范圍內(nèi)沒有根，在復數(shù)范圍內(nèi)就有根。等等。8/10/2022高等代數(shù) 我們目前學習的解析幾何，數(shù)學分析都是在實數(shù)范圍內(nèi)來討論問題的。但在高等代數(shù)中，通常不做這樣的限制。 在代數(shù)中，我們主要考慮一個集合中元素的加減乘除運算（即代數(shù)運算）是否還在這個集合之中代數(shù)運算：設(shè)A是一個非空集合，定義在A上的一個代數(shù)運算 是指存在一個法則，它使A中任意兩個元素 都有A中一個元素與之對應(yīng)。（即運算是否封閉）。運算封閉：如果集合中任兩個元素做某一運算后的結(jié)果仍在 這個集合中，則稱該集合對這個運算封閉。 例如兩個整數(shù)的和

3、、差、積仍是整數(shù)，但兩個整數(shù)的商就不一定是整數(shù)，這證明整數(shù)集對加、減、乘三種運算封閉，但對除法并不封閉；而有理數(shù)集對加、減、乘、除（除數(shù)不為0）四種運算都封閉。同樣，實數(shù)集、復數(shù)集對加、減、乘、除四種運算都封閉。8/10/2022高等代數(shù) 根據(jù)數(shù)對運算的封閉情況，我們把數(shù)集分為兩類：數(shù)環(huán)和數(shù)域。 一、數(shù)環(huán)設(shè)S是由一些復數(shù)組成的一個非空集合，如果對，總有則稱S是一個數(shù)環(huán)。整數(shù)集Z，有理數(shù)集Q，實數(shù)集R，復數(shù)集C都是數(shù)環(huán)。例如：1、除了Z 、Q、R、C外是否還有其他數(shù)環(huán)？問題： 2、有沒有最小的數(shù)環(huán)？例1：設(shè)a是一個確定的整數(shù)。令定義1：8/10/2022高等代數(shù)則S是一個數(shù)環(huán)。特別，當a=2時，

4、S是全體偶數(shù)組成的數(shù)環(huán)。當a=0時，即只包含一個零組成的數(shù)環(huán)，這是最小的數(shù)環(huán)，稱為零環(huán)。問題：3、一個數(shù)環(huán)是否一定包含0元？4、除了零環(huán)外，是否還有只含有限個元素的數(shù)環(huán)？例2：證明是一個數(shù)環(huán)。問題： 5、除了定義之外，判斷一個集合是數(shù)環(huán)有沒有其他簡單的方法？8/10/2022高等代數(shù)定理1.1.1：設(shè)S是一個非空數(shù)集，S是數(shù)環(huán)的充要條件是S中任兩個數(shù)的差和積仍在S中。二、數(shù)域定義2：設(shè)F是一個含有不等零的數(shù)的數(shù)集，如果F定義： 設(shè)F是一個數(shù)環(huán)，如果 F內(nèi)含有一個非零數(shù)； 對且 ，則則稱F是一個數(shù)域。有理數(shù)集Q，實數(shù)集R，復數(shù)集C都是數(shù)域，例如：則稱F是一個數(shù)域。 中任兩個數(shù)的和、差、積、商（除

5、數(shù)不為0）仍在F中，且是三個最重要的數(shù)域。8/10/2022高等代數(shù)問題：6、數(shù)域與數(shù)環(huán)之間有什么關(guān)系？例2中的數(shù)集是不是數(shù)域？ 7、除了Q、R、C外，是否還有其他的數(shù)域？例3：證明是一個數(shù)域。證明要點：設(shè) （否則當矛盾；當 ，也矛盾）。于是先證有一個非零元對加、減、乘封閉。再證除法封閉：， 8/10/2022高等代數(shù)8、一個數(shù)域必包含哪兩個元素？問題：9、最小的數(shù)域是什么？定理1.1.2：任何數(shù)域都包含有理數(shù)域Q。證明：設(shè)F是一個數(shù)域，則于是對 故 10、在判斷一個數(shù)集是不是數(shù)域時，實際上問題：8/10/2022高等代數(shù)要檢驗幾種運算？設(shè)F是一個含有非零數(shù)的數(shù)集，則F定理1.1.3：問題：1

6、1、在Q與R之間是否還有別的數(shù)域？在R與C之間是否有別的數(shù)域？例：對任意素數(shù)P， 是一個數(shù)域。在R與C之間不可能有別的數(shù)域。設(shè)有數(shù)域F，使，故設(shè)x=a+bi，且數(shù)不為零）仍屬于F。是一個數(shù)域的充要條件是F中任兩個數(shù)的差與商（除8/10/2022高等代數(shù)（若b=0，則，矛盾）?？梢奆=C。問題：12、設(shè)和 是數(shù)環(huán)，試問是不是數(shù)環(huán)？若是，給出證明，若不是舉出反例。若 和 是數(shù)域情況又如何？ 兩個數(shù)域的并，不一定是數(shù)域，能不能找出兩個數(shù)域的并是一個數(shù)域的充要條件并證明之。（ 是數(shù)域，則是數(shù)域的充要條件是或 ）。8/10/2022高等代數(shù)1.2 一元多項式的定義和運算8/10/2022高等代數(shù)一、多項

7、式的概念 中學多項式的定義：n個單項式（不含加法或減法運算的整式）的代數(shù)和叫多項式。例：4a+3b， 在多項式中，每個單項式叫做多項式的項。這是形式表達式。后來又把多項式定義為R上的函數(shù)：但對這兩種定義之間有什么聯(lián)系在中學代數(shù)中并沒有交代。8/10/2022高等代數(shù)問題：1、高等代數(shù)中采用什么觀點定義多項式？ 2、多項式的形式觀點與多項式的函數(shù)觀點是否矛盾？定義1：設(shè)x是一個文字（或符號），n是一個非負整數(shù)形式表達式（2.1）其中，稱為數(shù)域F上的一元多項式。常數(shù)項或零次項 首項首項系數(shù)稱為i次項系數(shù)。8/10/2022高等代數(shù) 高等代數(shù)中采用形式觀點定義多項式，它在兩方面推廣了中學的多項式定義

8、： 這里x不再局限為實數(shù)而是任意的文字或符號。 系數(shù)可以是任意數(shù)域。例1.2.1：是Q上多項式；是R上多項式；是C上多項式。都不是多項式。8/10/2022高等代數(shù)定義2：是兩個多項式，除系數(shù)為0的項之外，同次項的系數(shù)都相等。 多項式的表法唯一。方程是一個條件等式而不是兩個多項式相等。定義3：設(shè) 非負整數(shù)n稱為的次數(shù)，記為： 最高次項，亦稱為首項。8/10/2022高等代數(shù)例1.2.2：零次多項式：次數(shù)為0的多項式即非零常數(shù)。零多項式：系數(shù)全為0的多項式。對零多項式不個多項式不是零多項式。首一多項式：首項系數(shù)為1的多項式。二、多項式的運算定義4：設(shè) 是數(shù)域F上次數(shù)分別定義次數(shù)，因此，在談?wù)摱囗?/p>

9、式的次數(shù)時，意味著這8/10/2022高等代數(shù)為n和m的兩個多項式， 則 與 的和為：。當mn時，取 。定義5：設(shè)如上， 與 的積為8/10/2022高等代數(shù)例1.2.3：設(shè)其中相乘積的和作為的系數(shù)。得：把 中兩個系數(shù)下標之和為k的對應(yīng)項8/10/2022高等代數(shù)多項式的運算（加、減、乘）滿足以下運算規(guī)律：加法交換律：加法結(jié)合律：乘法交換律：乘法結(jié)合律：乘法對加法的分配律：8/10/2022高等代數(shù)下面證明多項式乘法滿足結(jié)合律。證：設(shè)現(xiàn)證這只要比較兩邊同次項（比如t次項系數(shù)）相等即可。左邊中S次項的系數(shù)是：左邊t次項的系數(shù)是：右邊中r次項的系數(shù)是：8/10/2022高等代數(shù)右邊的t次項的系數(shù)是

10、：左、右兩邊同次項的系數(shù)相等，乘法滿足結(jié)合律。三、多項式的次數(shù)定理定理2.1.1：設(shè) 當 時，則 8/10/2022高等代數(shù)證：設(shè)當 令 多項式乘法沒有零因子。8/10/2022高等代數(shù)推論1：若證：若f=0或g=0，則必有fg=0。反之，若，矛盾。乘法消去律成立。推論2：若且 則 證：由于故 8/10/2022高等代數(shù)定義5：對多項式的加、減、乘法是否封閉？上的多項式環(huán)。對多項式的加、減、乘法封閉，故稱為數(shù)域F8/10/2022高等代數(shù)1.3 整除性理論8/10/2022高等代數(shù)一、多項式整除的概念 多項式的整除性設(shè) ，若存在，使 ，則說整除，記為：，記為： 。當 時，稱作的因式，稱作的倍式

11、。 整除的基本性質(zhì)性質(zhì)1：否則就說不能整除若8/10/2022高等代數(shù)則 。（傳遞性）證：使 性質(zhì)2：若 ，則 。 證：8/10/2022高等代數(shù)性質(zhì)3：若，對 。 證：性質(zhì)4：若 則對有性質(zhì)5：若 則 8/10/2022高等代數(shù)證：為常數(shù)。性質(zhì)6：且 則 性質(zhì)7： 帶余除法定理定理1.3.1：設(shè) ，且則存在使得這里或 8/10/2022高等代數(shù)滿足條件的唯一確定。商式余式證：先證存在性。1、若則取即知結(jié)論成立。2、設(shè)對 的次數(shù)n，利用數(shù)學歸納法。當n1時，稱為的重因式。如果的標準分解式為：則 分別是的因式，且分別為重。8/10/2022高等代數(shù)要求的重因式，只要把式寫出即可。但我們還沒有一般

12、的方法把一個多項的標準分解式分解為不可約因式的乘積。 因此我們應(yīng)該找一種直接判斷多項式是否有重因式的方法。為此目的要引入多項式導數(shù)的概念。定義2：的一階導數(shù)指的是多項式：（形式定義）多項式一階導數(shù)的導數(shù)稱為的二階導數(shù)，記為8/10/2022高等代數(shù)的導數(shù)稱為的三階導數(shù)，記為 的k階導數(shù)記為多項式的求導法則：1、2、3、4、8/10/2022高等代數(shù)定理1.6.1：若不可約多項式是 的k重因式（k1），則 是 式，特別多項式的單因式不是式。證：的k-1重因的因8/10/2022高等代數(shù)從而于是是 的k-1重因式。推論1：若不可約多項式是 的k重因式不是的因式。證：是 的k-1重因式，是 的k-2

13、重因式， （k1），則是 的因式，但8/10/2022高等代數(shù)是 的（k-(k-1)=1）單因式，因而不是的因式。推論2：不可約多項式是 的重因式的充要條件是是 與 的公因式。證：必要性由推論1立得。充分性，若是 與 的公因式，則 不是 的單因式（否則，由推論1知的因式），故不是是 的重因式。推論3：無重因式的充要條件是多項式與 互素。8/10/2022高等代數(shù) 推論3表明，判別一個多項式有沒有重因式，可以利用輾轉(zhuǎn)相除法得到。 在討論與解方程有關(guān)的問題時，常常要求所討論多項式有沒有重因式。設(shè)多項式的標準分解式為：由定理1得：故8/10/2022高等代數(shù)于是：有沒有重因式，只要求1、判別的最大公

14、因式的重因式的重數(shù)恰好是中重因式的重數(shù)加1。此法不能求的單因式。例1.6.1 在中分解多項式2、分離重因式，即求的所有不可約的單因式：8/10/2022高等代數(shù)例1.6.2：求多項式有重因式的條件。8/10/2022高等代數(shù) 當 時，即這時f有重因式 當 時，即時，欲有重因式，只需即 重因式是例1.6.3：用分離因式法（單因式化法）求多項式在Q上的標準分解式。8/10/2022高等代數(shù)解：利用輾轉(zhuǎn)相除法求得：把 單因式化，得由于故 是 的3重因式，是 的單因式，故 在Q上的標準分解式為8/10/2022高等代數(shù)多項式在 中沒有重因式，問題：在 中是否也沒有重因式？由于多項式的導數(shù)以及兩個多項式

15、互素與否在由數(shù)域F過渡到含F(xiàn)的數(shù)域 時并無改變，故有沒有重因式不因數(shù)域的擴大而改變。8/10/2022高等代數(shù)1.7 多項式函數(shù)與多項式的根8/10/2022高等代數(shù)一、多項式函數(shù) 定義：設(shè)對 數(shù) 稱為當F中的根或零點。 定義（多項式函數(shù)）：設(shè)對 作映射f：為F上的多項式函數(shù)。時 的值，若則稱c為在映射f確定了數(shù)域F上的一個函數(shù)被稱8/10/2022高等代數(shù)當F=R時，就是數(shù)學分析中所討論的多項式函數(shù)。若 則 二、余式定理和綜合除法所得的余式是 。用一次多項式x-c去定理1.7.1（余式定理）：除多項式證：由帶余除法：設(shè)則 。 8/10/2022高等代數(shù)問題1、有沒有確定帶余除法：的簡單方法？

16、中 和 設(shè) 把 代入中展開后比較方程兩邊的系數(shù)得：8/10/2022高等代數(shù)因此，利用與 之間的系數(shù)關(guān)系可以方便和r，這就是下面的綜合除法：8/10/2022高等代數(shù)于是得去除例1.7.1：求用的商式和余式。解：由綜合除法因此 8/10/2022高等代數(shù)利用綜合除法求與r時應(yīng)注意：1、多項式系數(shù)按降冪排列，有缺項必須補上零；2、除式要變?yōu)槔?.7.2：把表成的方冪和。8/10/2022高等代數(shù)定理1.7.2（因式定理）：因式的充要條件是 。證明：設(shè)若 即 故 是 的一個因式。若 有一個因式即 故 此即 。由此定理可知，要判斷一個數(shù)c是不是的根，可以直接代入多項式函數(shù)，看 是否等于零；也可以利用

17、綜合除法來判斷其余數(shù)是否為零。多項式有一個8/10/2022高等代數(shù)三、多項式的根定義3：若是 的一個k重因式，即有但 則 是 的一個k重根。問題2、若多項式有重根，能否推出有重因式，反之，若有重因式，能否說有重根？由于多項式有無重因式與系數(shù)域無關(guān)，而 有無重根與系數(shù)域有關(guān)，故有重根有重因式，但反之不對。8/10/2022高等代數(shù)定理1.7.3（根的個數(shù)定理）：數(shù)域F上次多項式至多有n個根（重根按重數(shù)計算）。證明（用歸納法）：當時結(jié)論顯然成立，假設(shè)當是 次多項式時結(jié)論成立，則當是n次多項式時，設(shè) 是 的一個根，則有是n-1次多項式，由歸納知至多只有個根，故至多只有n個根。8/10/2022高等

18、代數(shù)證二：對零次多項式結(jié)論顯然成立，數(shù)等于分解式中一次因式的個數(shù)，這個數(shù)目當然不定理1.7.4：超過n，若在F中有n+1個不同的數(shù)使與 的值相等，則 。證明：令設(shè)它們的次數(shù)都不若 又 把 若是一次數(shù)0的多項式，分解成不可約多項式的乘積，這時在數(shù)域F中根的個超過n。8/10/2022高等代數(shù)由于F中有n+1個不同的數(shù)，使 與 的值相等，故有n+1個不同的根，這與定理1.7.3矛盾，故即 問題3、設(shè)是F中n個不同的數(shù)，是F中任意n個數(shù)，能否確定一個n-1次多項式，使利用定理1.7.4可求一個n-1次多項式使8/10/2022高等代數(shù)作函數(shù) 則 這個公式也稱為Lagrange插值公式。例1.7.3：

19、求一個次數(shù)小于3的多項式使 。 解一（待定系數(shù)法）：設(shè)所求的多項式8/10/2022高等代數(shù)由已知條件得線性方程組：解之得解二（利用Lagrange公式）：8/10/2022高等代數(shù)利用Lagrange插值公式可得： 問題4、用形式定義的多項式與用函數(shù)觀定義的多項式是否一致？8/10/2022高等代數(shù)四、多項式相等與多項式函數(shù)相等的關(guān)系 多項式相等：即對應(yīng)項的系數(shù)相同； 多項式函數(shù)相等：即對 有 定理1.7.5：中兩個多項式和 相等的充要條件是它們所確定的在F上的多項式函數(shù)相等。證明：若 它們對應(yīng)項的系數(shù)相同，于是對8/10/2022高等代數(shù)故這兩個多項式函數(shù)相等；若對有 令 此時有無窮多個根

20、，故此即 。8/10/2022高等代數(shù)1.8 復數(shù)域和實數(shù)域上的多項式8/10/2022高等代數(shù)一、C上多項式對于上的多項式，它在F上未必有根，那么它在C上是否有根？ 每一個次數(shù)大于零的多項式在復數(shù)域上至多有一個根。定理1.8.1（代數(shù)基本定理）： 任何n（n0）次多項式在C上有n個根（重根按重數(shù)計算）。定理1.8.2：當n=1時結(jié)論顯然成立。證：8/10/2022高等代數(shù)假設(shè)結(jié)論對n-1次多項式成立，則當是n次多項式時，由于在C上至少有一個根，設(shè)為則 ， 是C上n-1次多項式。由歸納假設(shè)知在C上有n-1個根， 推論1：復數(shù)域上任一個次數(shù)大于1的多項式都是可約的，即C上不可約多項式只能是一次多

21、項式。推論2：任一個n（n0）次多項式在 在C上的根，所以n個根。它們也是在C上有8/10/2022高等代數(shù)上都能分解成一次因式的乘積，即的標準分解式是：其中是不同的復數(shù)，是自然數(shù)且韋達定理：設(shè)是 的兩個根，則8/10/2022高等代數(shù)C上多項式的根與系數(shù)關(guān)系：設(shè) （1）是一個n（n0）次多項式，則它在C中有n個根，記（2）比較（1）與（2）的展開式中同次項的系數(shù)，則 為8/10/2022高等代數(shù)得根與系數(shù)的關(guān)系為：如果根與系數(shù)的關(guān)系又如何？8/10/2022高等代數(shù)8/10/2022高等代數(shù)利用根與系數(shù)的關(guān)系，可以構(gòu)造一個n次多項式，使其恰以為根。例1.8.1：它以1和4為單根，-2為2重根

22、。求一個首項系數(shù)為1的4次多項式，使解：設(shè)則 8/10/2022高等代數(shù)二、實數(shù)域上的多項式定理1.8.3：如果是實數(shù)系數(shù)多項式的與 有相同的重數(shù)。證：設(shè)由于是 的根，故有兩邊取共軛復數(shù)，注意到和0都是實數(shù)，則有可見也是的根。非實復根，則的共軛復數(shù)也是的根，且8/10/2022高等代數(shù)因此多項式：能整除，即存在多項式 ，使 是實系數(shù)多項式，故也是實系數(shù)多項式。若 是 的重根，由于 ，故 必是的根，是實系數(shù)，故也是的根，故 也是的重根。與重復應(yīng)用這個推理方法知的重數(shù)相同。8/10/2022高等代數(shù)唯一地分解為實系數(shù)一次和二次不可約多項式的定理1.8.4 每個次數(shù)的實系數(shù)多項式都可乘積。就是一次因

23、式子，結(jié)論成立。 若 ， 證明：的次數(shù)作數(shù)學歸納。對 假設(shè)對結(jié)論次數(shù)0）次實系數(shù)多項式具有標準分解式：不可約，即滿足在R上8/10/2022高等代數(shù)例1.8.2：設(shè)是多項式的非零根，求以為根的四次多項式。解：設(shè)為多求多項式。8/10/2022高等代數(shù)8/10/2022高等代數(shù)所求多項式是：或 8/10/2022高等代數(shù)1.8 有理系數(shù)多項式8/10/2022高等代數(shù) 本節(jié)討論有理數(shù)域上多項式的可約性，以及如何求Q上多項式的有理根，由于與 在 上的可約性相同。因此討論在Q上的可約性可轉(zhuǎn)化為求整系數(shù)多項式在Q上的可約性。一、整系數(shù)多項式的可約性定義1（本原多項式）：若整系數(shù)多項式的系數(shù)互素，則稱是

24、一個本原多項式。例如： 本原多項式的加、減運算所得的未必是本原多項式，但相乘之后必是本原多項式。是本原多項式。8/10/2022高等代數(shù)引理（高斯定理）：兩個本原多項式的乘積仍是本原多項式。證：設(shè)都是本原多項式若 不是本原多項式，則存在素數(shù)p，使由于都是本原多項式，故的系數(shù)不能都被p整除，的系數(shù)也不能被p整除，8/10/2022高等代數(shù)可設(shè)但 但 現(xiàn)考慮除了這一項外，p能整除其余各項，因此這是一個矛盾，故 是本原多項式。定理1.9.1：一個整系數(shù)n（n0）次多項式在有理數(shù)域上可約的充要條件是它在整數(shù)環(huán)上可約。8/10/2022高等代數(shù)證：充分性顯然。下證必要性。設(shè)可分解成中兩個次數(shù)都小于n的多

25、項式與 的乘積，即有設(shè) 的系數(shù)的公分母為m，則一個整系數(shù)多項式，把是系數(shù)的公因式n提出來，是本原多項式，即 同理，存在有理數(shù)S，使也是本原多項式，8/10/2022高等代數(shù)于是下證是一個整數(shù)，設(shè)（p,q互素且p0），由于是整系數(shù)多項式，故p能整除q與的每一系數(shù)的乘積，而p,q互素，故p能整除的每一系數(shù)，但由引理1知，是本原多項式，故p=1，從而rs是一個整數(shù)。8/10/2022高等代數(shù) C上不可約多項式只能是一次，R上不可約多項式只能是一次和含非實共軛復根的二次多項式，Q上不可約多項式的特征是什么？下面的Eisenstein的判別法回答了這個問題。問題：定理1.9.2（Eisenstein判別

26、法）：設(shè)是整系數(shù)多項式，若存在素數(shù)p，使 則 在Q上不可約。8/10/2022高等代數(shù)證（反證法）：若在Q上可約在Z上可約，即存在：使 其中故 或 但兩者不能同時成立。8/10/2022高等代數(shù)不妨設(shè)但 。 由于 ，由 知 的系數(shù)不能都被p即但 現(xiàn)考慮但p能整除其它項，故與已知矛盾。假設(shè)是第一個不能被p整除的系數(shù)，整除，在 中不可約在 中不可約。8/10/2022高等代數(shù) 由Eisenstein判別法知，Q上存在任意次不可約多項式。例1.9.1：是Q上不可約多項式，p是素數(shù)。例1.9.2：判斷在Q上是否可約？解：分別取p=2, p=3即知。解：取素數(shù)p即知。8/10/2022高等代數(shù)Eisen

27、stein是判別多項式在Q上不可約的充分條件，但不是必要條件。注意：例：不可約，但找不到素數(shù)p。系數(shù)多項式。特別地，若是本原的，則也是本原的。推論：設(shè)若 都是整系數(shù)多項式，且是本原的，則必是整的所有系數(shù)。）（若不是8/10/2022高等代數(shù)二、整系數(shù)多項式的有理根定理1.9.3：設(shè)是一個整系數(shù)多項式，若有理數(shù)是整系數(shù)多項式的一個根，這里u，v是互素的整數(shù)，則證：（1）是 的根，有一次因式8/10/2022高等代數(shù)即 因為是本原多項式是整系數(shù)多項式，故是整系數(shù)多項式。（2）設(shè)是整數(shù)。比較兩邊n次項與常數(shù)項系數(shù)得：8/10/2022高等代數(shù)由定理1.9.3，要求整系數(shù)多項式的有理根，只要求出最高次

28、項系數(shù)的因數(shù)以及常數(shù)項的因數(shù)。然后對形如有理數(shù)用綜合除法來檢驗，如果最高次系數(shù)為1，則整系數(shù)多項式f的有理根只能是整根。這樣的例1.9.3：求的有理根。解：2的因數(shù)是的因數(shù)是故 可能的有理根只能是對 用綜合除法逐一檢驗知：的有理根只能是 。8/10/2022高等代數(shù)定理1.9.4：設(shè)是互素的整數(shù)，且是整系數(shù)多項式的根，則證：由把 代入得：8/10/2022高等代數(shù)1.10 多元多項式8/10/2022高等代數(shù) 前面介紹了一元多項式的基本性質(zhì)，但是除了一元多項式外；還有含多個文字的多項式，即多元多項式，如下面簡單介紹有關(guān)多元多項式的一些概念。設(shè)F是一個數(shù)域，是n個文字，形如（1）的式子，其中是非

29、負整數(shù)，稱為一個單項式。 如果兩個單項式中相同文字的冪全一樣，那么它們就稱為同類項。一些單項式的和8/10/2022高等代數(shù)就稱為n元多項式，簡稱多項式，記為（2） 和一元多項式一樣，n元多項式也可以定義相等，相加、相減、相乘。 相等：如果F上兩個n元多項式有完全相同的項（或者只差一些系數(shù)為零的項），則稱這兩個多項式是相等的。 相加：F上兩個n元多項式與 的和指的是把分別出現(xiàn)在這兩個多項式中對應(yīng)的同類項的系數(shù)相加多得的n元多項式。8/10/2022高等代數(shù)例如：設(shè)則f與g的和是 相減：設(shè) 把g的系數(shù)都換成各自的相反數(shù)，所得多項式叫做g的負多項式，記為8/10/2022高等代數(shù) 相乘：F上兩個n

30、元多項式與 與g的每一項相乘，然后把這些乘積相加（合并同類項）所得的多項式稱為f與g的積，記為fg。的乘積指的是，先把f的每一項例如則 8/10/2022高等代數(shù) 這樣定義的多項式的加法和乘法與中學代數(shù)里多項式的運算一致，n元多項式的運算滿足以下運算律：設(shè)則 （加法結(jié)合律）（加法交換律）（乘法結(jié)合律）（乘法交換律）（乘法分配律）我們把F上一切n個文字的集合，連同以上定義的加法和乘法叫做F上n個文字的多項式所成8/10/2022高等代數(shù)的多項式環(huán)，記作同一元多項式一樣，也可以談?wù)搉元多項式的次數(shù)。設(shè) 稱為單項式的次數(shù)， 對f來說其中系數(shù)不為零的單項式的最高次數(shù)就稱為這個多項式f的次數(shù)，記為 設(shè)f

31、、g是F上兩個不等于零的n元多項式，則f與g的和與積的次數(shù)與f、g的次數(shù)有如下關(guān)系：1、2、8/10/2022高等代數(shù) 結(jié)論1是顯然的，但要證明結(jié)論2，還得先考慮多元多項式的排列順序，在一元多項式中，我們看到多項式的升冪（或降冪）排列對許多問題的討論是方便的。為此，對多元多項式也引入一種排列順序的方法，這種方法是模仿字典排列的原則得出的，因而稱為字典排列法。每一類單項式（1）都對應(yīng)一個n元數(shù)組 為了給單項式之間一個排列順序的方法，我們只要對n元數(shù)但定義一個先后順序就可以了。其中為非負整數(shù)，這個對應(yīng)是1-1的，設(shè)兩個單項式分別對應(yīng)n元數(shù)組和 8/10/2022高等代數(shù)考慮如果有使 而 則稱n元數(shù)

32、組先于數(shù)組記為于是對應(yīng)于的單項式就排在對應(yīng)于的單項式前面。例如，對多項式按字典排列法寫出來就是：8/10/2022高等代數(shù)應(yīng)該注意的是， 把一個多項式按字典排列法書寫后，次數(shù)較高的項并不一定排在次數(shù)較低的項的前面，例如上面的首項次數(shù)為4，第二項的次數(shù)為6，而 關(guān)于多項式的首項有以下定理，這個定理在下一節(jié)討論對稱多項式時將要用到定理1.10.1：數(shù)域F上兩個非零的n元多項式和 的乘積的首項等于這兩個多項式首項的乘積。8/10/2022高等代數(shù)證明：設(shè)的首項為的首項為為了證明它們的積為fg的首項，只要證明數(shù)組先于乘積中其他單項式所對應(yīng)的有序數(shù)組就行了。的有序數(shù)組有三類：中其他單項式所對應(yīng)8/10/

33、2022高等代數(shù) 其中 于是 這證明在乘積fg的首項。8/10/2022高等代數(shù)推論1.10.1：則 的首項等于每個的首項的乘積。如果推論1.10.2：如果則 現(xiàn)在回到兩個n元多項式的乘積的次數(shù)上來，設(shè)是一個n元多項式，則稱f是一個k次齊次多項式，簡稱k次齊次。如果中各項都有同一次數(shù)k，例如就是一個4次齊次多項式。8/10/2022高等代數(shù) 兩個齊次多項式的乘積仍是齊次多項式，它的次數(shù)就等于這兩個多項式的次數(shù)之和。任何一個m次多項式都可以唯一地表成幾組齊次多項式的和，即是i次齊次多項式，若就是f的一個i次齊次成分。數(shù)域F上兩個不等于零的n元多項式的乘積的次數(shù)等于這兩個多項式次數(shù)的和。定理1.1

34、0.2：8/10/2022高等代數(shù)證明：設(shè)且 它們的次數(shù)分別為m和s，把f與g分別寫成齊次多項式的和：這里或者等于零，或者分別是i次或j次齊式并且于是8/10/2022高等代數(shù)由推論1.10.2：且是一個m+s次齊式，其余各項或者等于零，或者是一個次數(shù)低于m+s的齊式。因此 同一元多項式一樣，F(xiàn)上n元多項式與多項式函數(shù)是相同的。對于數(shù)域F上一個n元多項式對F中任意n個數(shù)如果在中，用代替就得到數(shù)域F中一個確定的數(shù)，稱為8/10/2022高等代數(shù)時多項式的值，用來表示。如果由此一個n元多項式就確定一個n元多項式函數(shù)。則數(shù)組叫做的一個零點。對 作映射：這個映射就確定一個由到F的函數(shù)，稱為多項式在 的

35、值。8/10/2022高等代數(shù)設(shè) 如果則對都有這說明相等的多項式確定相同的多項式函數(shù)。下面證明其反面也成立。定理1.10.3：設(shè)如果對任意都有則 8/10/2022高等代數(shù)證明思路： 當n=1時結(jié)論顯然成立，假設(shè)對于F上n-1個文字的多項式來說結(jié)論成立，現(xiàn)考慮n個文字的多項式，把含有同一次冪的項歸在一起并把的冪提到括號外，則這里任意取定代入得8/10/2022高等代數(shù)已知對有 取 則有由于定理對一元多項式成立，故有又由于對中 有 由歸納假設(shè)，故從而8/10/2022高等代數(shù)1.11 對稱多項式8/10/2022高等代數(shù) 對稱多項式是多元多項式中常見的一種，也是一類比較重要的多元多項式，它的應(yīng)用

36、比較廣泛，對稱多項式的來源之一以及它應(yīng)用的一個重要方面，是一元多項式根的研究，下面我們從一元多項式的根與系數(shù)的關(guān)系談起。設(shè) 是 的一個多項式，如果在F中有n個根（重根按重數(shù)計算），則 可分解為把上式展開，比較兩邊系數(shù)，得根與系數(shù)關(guān)系如下：8/10/2022高等代數(shù)由此看出，多項式的系數(shù)是對稱地依賴于方程的根的，改寫上述方程組得8/10/2022高等代數(shù)（1）所得n個n元多項式是對稱地依賴于文字下面給出對稱多項式的概念。定義1.11.1：對于n元多項式如果對任意的都有則稱這個多項式為對稱多項式。8/10/2022高等代數(shù)例如：是一個三元對稱多項式，是一個n元對稱多項式。都是n元對稱多項式，（1）

37、中的稱為初等對稱多項式。并非每一個多項式都是對稱多項式，例如這時8/10/2022高等代數(shù)由定義可以推出：1、兩個n元對稱多項式的和、差、積仍是n元對稱多項式；2、如果一個對稱多項式含有一項則 也一定含有一切形如的項。這里是 的任意一個排列；3、如果是n元對稱多項式，而是任一多項式，那么是n元對稱多項式。8/10/2022高等代數(shù) 在對稱多項式的理論中，初等對稱多項式占有一個很重要的地位。下面將要證明，每一個n元對稱多項式都可以唯一地表示成初等對稱多項式的多項式。這是對稱多項式的基本定理。下面不加證明給出一個引理。引理1.11.1：設(shè)是數(shù)域F上一個n元多項式，以代替得關(guān)于的一個多項式如果則有8/10/2022高等代數(shù)定理1.11.1：數(shù)域F上每個n元對稱多項式都可以表成關(guān)于初等對稱多項式的多項式且這種表示方