異面直線的夾角,線面角(含答案)

1、1.如圖，PA 矩形ABCD已知PA=AB=8 BC=1O,求AD與PC所成角的余切值為?？臻g角1、異面直線所成角的求法一是幾何法，二是向量法。異面直線所成的角的范圍:DE=2DM=35 ,COS/DBE-也170A、AfillA.圖(0，y-幾何法求異面直線所成角的思路是：通過平移把空間兩異面直線轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的相交直線，進而利用平面幾 何知識求解?；舅悸肥沁x擇合適的點，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線，這里的點通常選擇特殊位置的 點。常見三種平移方法：直接平移：中位線平移(尤其是圖中出現(xiàn)了中點)：補形平移法：“補形法”是立體幾何中 一種常見的方法，通過補形，可將問題轉(zhuǎn)化為易于研究

2、的幾何體來處理，利用“補形法”找兩異面直線所成的角也是 常用的方法之一。例1在正方體 ABCD A BCD中，E是AB的中點,(1)求bA與CC夾角的度數(shù).(2)求bA與CB夾角的度數(shù).(3)求A/E與CB夾角的余弦值.例2:長方體ABCD-ABCD中，若AB=BC=3 AA=4,求異面直線 B1D與BC所成角的余弦值。直接平移：常見的利用其中一個直線 a和另一個直線b上的一個已知點，構(gòu)成一個平面，在此平面內(nèi)做直線平行線。解法一：如圖，過 B點作BE/ BC交CB的延長線于E點。則/ DBE就是異面直線 DB與BC所成角，連結(jié) DE交AB于M,解法二：如圖，在平面 DDBB中過B點作BE/ D

3、B交DB的延長線于E,則/ GBE就是異面直線 DB與BC所成的角，連結(jié)GE,在 B1C1E中，/GBE=135 , GE=3a/5,COS Z GBE=7、. 34170課堂思考:2.在長方體 ABCD- ABCD中，若棱 B Bi=BC=1 AB=J3 ,求D B和AC所成角的余弦值例3 如圖所示，長方體 ABCD-ABCDK / ABA=45，/AAD=60 ,求異面直線 AB與AD所成的角的度數(shù).課堂練習如圖空間四邊形ABCD43,四條棱 AB, BC, CD求直線AB和CE所成的角的余弦值。求直線AF和CE所成的角的余弦值。二、線面角例3題圖DA及對角線 AC BD均相等，E為AD的

4、中點，F(xiàn)為BC中,一一 J 一 一一兀1、線面角的范圍：e e 0 , y.2、線面角的求法d,利用 sin a =-dpT求.B1）解決該類問題的關(guān)鍵是找出斜線在平面上的射影，然后將直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化為直線與直線所成的角.在某一 直角三角形內(nèi)求解.2）線面角的求法還可以不用做出平面角.可求出線上某點到平面的距離直接法：平面的斜線與斜線在平面內(nèi)的射影所成的角即為直線與平面所成的角。通常是解由斜線段，垂線段，斜線在平面內(nèi)的射影所組成的直角三角形，垂線段是其中最重要的元素，它可以起到聯(lián)系各線段的作用。例1 （如圖1 ）四面體 ABCS中,SA,SB,SC兩兩垂直，/ SBA=45 ,/ SBC

5、=60 , M 為AB的中點，求（1） BC與平面SAB所成的角。（2） SC與平面ABC所成的角。解：（1）. SCL SB,SC SA,CSC!平面SAB故SB是斜線BC在平面SAB上的射影，丁./SBC是直線BC與平面SAB所成的角為60。連結(jié) SM,CM 則 SML AB,又 ; SC AB,，ABL平面 SCM,面 ABCL面 SCM過S作SHL CMT H, 則SHL平面ABC.CH即為SC在面ABC內(nèi)的射影。/ SCH為SCI平面ABCf成的角。sin Z SCH=S SCSC與平面ABC所成的角的正弦值為，7/7（“垂線”是相對的，SC是面SAB的垂線，又是面 ABC的斜線.作

6、面的垂線常根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，其思路是: 先找出與已知平面垂直的平面，然后一面內(nèi)找出或作出交線的垂線，則得面的垂線。）2.利用公式sin 0 =h/ c其中。是斜線與平面所成的角,h是垂線段的長，i是斜線段的長，其中求出垂線段的長(即斜線上的點到面的距離)既是關(guān)鍵又是難點，為此可用三棱錐的體積自等來求垂線段的長。例 2 (如圖 2) 長方體 ABCD-ABiGDi , AB=3 ,BC=2, A iA= 4 ,求 AB與面 ABiGD 所成的角。解：設(shè)點B到ABCD的距離為h,VB-AB1CVA- BB1C1,. 1/3 S AB1C1 h=1/3 S A BB1C1 , AB,易得 h=

7、12/5設(shè)AB與面A B 1C1D所成的角為0,貝Usin 0 =h/AB=4/5AB與面ABCD所成的角為arcsin 4 /5例3、如圖甲，在平面四邊形 ABC珅/A= 45 , / C= 90 , / ADC= 105 , AB= BD再將四邊形 ABCD& B所起, 使平面ABDL平面BDC如圖乙)，設(shè)點E、F分別為棱 AC AD的中點.(1)求證：DCL平面ABC(2)求BF與平面ABC所成角的正弦值.證明：在圖甲中，= AB= BD且/A= 45 , ./ADB= 45 . ./ ABD= 90 ,即 ABI BD在圖乙中，平面 ABDL平面BDC且平面 ABCT平面BDG= BD

8、. ABL平面 BDC .ABL CD又/ DCB= 90 ,DCL BC 且 ABH BC= B.DCL平面 ABC2) E F分別為 AC AD的中點，EF/ CD又由知DCL平面 ABC EF，平面ABC垂足為點E.Z FBE BF與平面 ABO成的角.在圖甲中，.一/ ADC= 105 ,BDC= 60 , / DBC= 30 .設(shè) CD= a,則 BD= 2a, BC= 3a,BF= 2BD= V2a, EF= 2CD= 1a.1 2aEF. .在 RtZxFEB中，sin / FBE=卜1-= r 一 BF2a/ABC= 60 , PA= AB= BC E 是 PC的中點.即BF與

9、平面ABO成角的正弦值為練習3在三柱 ABC- A1B1C1中，各棱長相等，側(cè)棱垂直于底面，點D是側(cè)面BBIC1C的中心，則AD與平面BB1QC所成角的大小是（） 答案：CA. 30B. 45C. 60D. 90練習4（2011 全國卷）如圖，四棱錐 S ABCDKAB/ CD BCL CD 側(cè)面 SAB為等邊三角形，AB= BC= 2, C氏SD= 1.證明：SDL平面SAB（2）求AB與平面SBC成的角的正弦值解：（1）證明：取AB的中點E,連接DE則四邊形BCDE矩形，DE= CB= 2.連接 SE 則 SEL AB, SE= 3.又SD= 1,故ED= SU+SD,所以/ DS曰直角,

10、即 SDL SE由 ABL DE ABL SE, DEH SE= E,彳# ABL平面 SDE所以ABL SDSDW兩條相交直線AB SE都垂直，所以SDL平面SAB(2)由ABL平面SDEH,平面 ABCD平面 SDESDX SE 3作SF DE垂足為F,則SFL平面ABCD SF= DE =看.作FGL BC垂足為 G,則FG= DC= 1.連接SG則SGL BC又 BCL FG SR FG= G,故BCL平面SFG平面SBCL平面SFG作FHL SG H為垂足，則 FHL平面SBCSFX FG 3 r,一,FH= SG：方，即F到平面SBC勺距離為217 .由于ED/ BG 所以ED/平

11、面SBC E到平面SBC勺距離d也為手設(shè)A*平面SBCW成的角為a ,則sin ad .21EB 7ACL CD課后作業(yè)、如圖，在四棱錐 P-ABC珅，PAL底面ABCD ABL AD 求PB和平面PA所成的角的大?。?2)證明AEL平面PCD(3)求二面角A- PD- C的正弦值.思維啟迪：(1)先找出PB和平面PAD所成的角，線面角的定義要能靈活運用；(2)可以利用線面垂直根據(jù)二面角的解在四麴t P-ABCD因PAL底面 ABCD AB?平面ABCD故 PAL AB 又 ABI AD PAH AD= A,從而AB，平面PAD故PB在平面PADrt的射影為PA,從而/ AP明PB和平面PAM

12、成的角.在 RtPA珅，AB= PA 故/ APB= 45 .所以PB和平面PA所成的角的大小為 45(2)證明在四麴t P- ABCDK因PAL底面 ABCD CD?平面ABCD 故 CDL PA 由條件 CDL AC PAP AC= A, . CDL平面 PAC又 AE?平面 PAC AE! CD由 PA= AB= BC /ABC= 60 ,可得 AC= PA.E是 PC的中點,AEJ- PC又PS C氏C,綜上得 AE!平面PCD解 過點E作EML PD垂足為 M 連接AM如圖所示.由(2)知，AEL平面PCD AM&平面PCH的射影是 EM則 AML PD因此/ AME!二面角 A-

13、PD-C的平面角.由已知，可得/ CAD= 30 .設(shè)AC= a,可得PA= a，AD=乎a，PD=粵a AE=*&在 RtAADF, , AML PD，AM PD= PA AD 則 AM=PA- ADPD =213 a2 77 a.AE 14 一 . 14在RtA AEMfr, sin / AME= 肅上.所以二面角 A-PD-C的正弦值為 彳.探究提高(1)求直線與平面所成的角的一般步驟：找直線與平面所成的角，即通過找直線在平面上的射影來完成;計算，要把直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一個三角形中求解.(2)作二面角的平面角可以通過垂線法進行，在一個半平面內(nèi)找一點作另一個半平面的垂線，再過垂足作二面角