2023屆高三數(shù)學單元卷二《函數(shù)與基本初等函數(shù)》能力提升卷（及答案）

1、單元卷二函數(shù)與基本初等函數(shù)(能力提升卷)題號123456789101112答案一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.2021江西紅色七校聯(lián)考已知集合Ax|log4x1，Bx|ex21，則AB()A.(，2) B.(，2C.(0，2) D.(0，22.2022江西九校聯(lián)考已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x1)f(x2)，且當xeq blcrc(avs4alco1(0，f(3,2)時，f(x)2x21，則f(2 021)()A.7 B.1 C.0 D.13.2021山西太原期末函數(shù)f(x)x3lneq f(ecos x,e

2、cos x)的圖象大致為()4.2021洛陽一模若函數(shù)f(x)同時滿足下列兩個條件，則稱該函數(shù)為“優(yōu)美函數(shù)”：(1)xR，都有f(x)f(x)0；(2)x1，x2R，且x1x2，都有eq f(f（x1）f（x2）,x1x2)0.f(x)sin x；f(x)2x3；f(x)1x；f(x)ln(eq r(x21)x).以上四個函數(shù)中，“優(yōu)美函數(shù)”的個數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.35.2021重慶南開中學模擬國家速滑館又稱“冰絲帶”，是北京2022年冬奧會的標志性場館，擁有亞洲最大的全冰面設計，但整個系統(tǒng)的碳排放接近于零，做到真正的智慧場館、綠色場館.并且為了倡導綠色可循環(huán)的理念，場館還配備

3、了先進的污水、雨水過濾系統(tǒng).已知過濾過程中廢水的污染物數(shù)量N(mg/L)與時間t的關系為NN0ekt(N0為最初污染物數(shù)量).如果前4小時消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%還需要_小時()A.3.6 B.3.8 C.4 D.4.26.2021北大附中模擬已知函數(shù)f(x)eq blc(avs4alco1(ax1，x1，,2x2axa，x1.)若x1，x2R(x1x2)，都有f(x1)f(x2)，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(1，3 B.(0，1) C.3，4 D.(1，47.2021大同模擬已知函數(shù)f(x)滿足f(x)1eq f(1,f（x1）)，當x0，1時，f(x)x，若在區(qū)

4、間(1，1上方程f(x)mxm0有兩個不同的實根，則實數(shù)m的取值范圍是()A.eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2) B.eq blc(rc(avs4alco1(0，f(1,2) C.eq blc(rc(avs4alco1(0，f(1,3) D.eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,3)8.2022河南名校聯(lián)考已知實數(shù)a，b滿足log2alog3b，給出五個關系式：abba；aabb；abba；abaa；bbba.其中不可能成立的關系式的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多

5、項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.2021湖北武漢質(zhì)量檢測已知函數(shù)f(x)eq blc(avs4alco1(x，x0，,x2，x0，)則有()A.存在x00，使得f(x0)x0B.存在x00，使得f(x0)xeq oal(2,0)C.函數(shù)f(x)與f(x)的單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性相同D.若f(x1)f(x2)，且x1x2，則x1x2010.2022山東泰安聯(lián)考已知函數(shù)f(x)對任意xR，滿足f(x)f(6x)，f(x1)f(x1).若f(a)f(2 020)，a5，9，且f(x)在5，9上單調(diào)，則下列結(jié)論正確的是()A.f(3)0B.a8C.f(x)是周期為4的

6、周期函數(shù)D.yf(x)的圖象關于點(1，0)對稱11.2021江蘇南京六校聯(lián)考已知函數(shù)f(x)loga(x2ax1)(a0且a1)，則下列選項正確的是()A.當a2時，f(x)的值域為RB.存在a，使得f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)C.當a2時，f(x)的定義域不可能為RD.存在a，使得f(x)在區(qū)間(，2)上單調(diào)遞減12.2021廣東汕頭一模已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足f(2x)f(x)0，當x(0，1時，f(x)log2x，若函數(shù)F(x)f(x)tan x，在區(qū)間1，m上有10個零點，則m的取值可以是()A.3.8 B.3.9 C.4 D.4.1三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.1

7、3.2021安徽馬鞍山三模設函數(shù)f(x)eq blc(avs4alco1(12x，x1，,log2x1，0 x1.)則feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(log23)_.14.2021山東泰安市模擬已知函數(shù)f(x)滿足定義域為(，0)(0，)；值域為R；f(x)f(x).寫出一個滿足上述條件的函數(shù)f(x)_.15.2022江西南昌二模若函數(shù)f(x)eq f(x2a,x1)在(1，)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為_.16.2021浙江模擬定義：mina，beq blc(avs4alco1(a，ab，,b，ab.)已知函數(shù)f(x)min3|2x1|，ax2b，其中a0，b

8、R.若f(0)b，則實數(shù)b的取值范圍為_；若f(x)的最大值為2，則ab_.四、解答題：本題共2小題，每題10分，共20分.17.(10分)2022上海浦東新區(qū)一模疫情后，為了支持企業(yè)復工復產(chǎn)，某地政府決定向當?shù)仄髽I(yè)發(fā)放補助款，其中對納稅額在3萬元至6萬元(包括3萬元和6萬元)的小微企業(yè)做統(tǒng)一方案.方案要求同時具備下列兩個條件：補助款f(x)(萬元)隨企業(yè)原納稅額x(萬元)的增加而增加；補助款不低于原納稅額x(萬元)的50%.經(jīng)測算政府決定采用函數(shù)模型f(x)eq f(x,4)eq f(b,x)4(其中b為參數(shù))作為補助款發(fā)放方案.(1)判斷使用參數(shù)b12是否滿足條件，并說明理由；(2)求同時

9、滿足條件，的參數(shù)b的取值范圍.18.(10分)2021湖北武漢期末定義在D上的函數(shù)f(x)，若滿足：對任意xD，存在常數(shù)M0，都有|f(x)|M成立，則稱f(x)是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.(1)設f(x)eq f(x,x1)，判斷f(x)在eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)上是否是有界函數(shù)，若是，說明理由，并寫出f(x)所有上界的值的集合；若不是，也請說明理由.(2)若函數(shù)g(x)12xa4x在x0，2上是以3為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.單元卷二函數(shù)與基本初等函數(shù)(能力提升卷)1.DAx|log4x1x|log4xlog44x|0

10、x4，Bx|ex21x|ex2e0 x|x2，ABx|0 x2，故選D.2.D由f(x1)f(x2)，得f(x3)f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期為3，得f(2 021)f(1).又f(x)為偶函數(shù)，所以f(1)f(1)，而當xeq blcrc(avs4alco1(0，f(3,2)時，f(x)2x21，所以f(2 021)f(1)f(1)1.故選D.3.C由題意可知，函數(shù)f(x)的定義域為R，f(x)(x)3lneq f(ecos（x）,ecos（x）)x3lneq f(ecos x,ecos x)f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，排除選項A，B；當xeq blc(rc)(avs4alco1(0

11、，f(,2)時，0cos x1，所以eq f(ecos x,ecos x)1，所以f(x)x3lneq f(ecos x,ecos x)0，排除D.故選C.4.B由條件(1)，得f(x)是奇函數(shù)，由條件(2)，得f(x)是R上的單調(diào)減函數(shù).對于，f(x)sin x在R上不單調(diào)，故不是“優(yōu)美函數(shù)”；對于，f(x)2x3既是奇函數(shù)，又在R上單調(diào)遞減，故是“優(yōu)美函數(shù)”；對于，f(x)1x不是奇函數(shù)，故不是“優(yōu)美函數(shù)”；對于，易知f(x)在R上單調(diào)遞增，故不是“優(yōu)美函數(shù)”.故選B.5.C由題意可得N0e4keq f(4,5)N0，可得e4keq f(4,5)，設N0ekt0.64N0eq blc(rc

12、)(avs4alco1(f(4,5)eq sup12(2)N0，可得ekt(e4k)2e8k，解得t8.因此，污染物消除至最初的64%還需要4小時.故選C.6.A依題意可知，函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，則eq blc(avs4alco1(a1，,f(a,4)1，,a12，)解得1a3.故選A.7.B令1x0，則0 x11，因為當x0，1時，f(x)x，所以f(x)eq f(1,f（x1）)1eq f(1,x1)1eq f(x,x1)，所以f(x)eq blc(avs4alco1(f(x,x1)，1x0，,x，0 x1.)方程f(x)mxm0轉(zhuǎn)化為f(x)m(x1)，在區(qū)間(1，1上方程f(x)

13、mxm0有兩個不同的實數(shù)根，即在區(qū)間(1，1上函數(shù)f(x)的圖象與直線ym(x1)恒有兩個交點，作出在區(qū)間(1，1上函數(shù)f(x)的圖象與直線ym(x1)，如圖所示，直線ym(x1)恒過定點B(1，0)，由圖可知直線過點A(1，1)時m取最大值eq f(1,2)，所以直線ym(x1)與函數(shù)f(x)的圖象有兩個交點時0meq f(1,2)，故選B.8.B如圖，由log2alog3b，根據(jù)圖象可知1ab或ab1或0ba1.取a2，b3，則abba，成立.取ab1，則aabb，成立.取aeq f(1,2)，beq f(1,3)，則abba，成立.，當0a1時，可得0ab；當a1時，不成立；當a1時，可

14、得ab.均與已知矛盾，故不成立.，當0b1時，可得ab；當b1時，不成立；當b1時，可得ab1.均與已知矛盾，故不成立.綜上，不可能成立.故選B.9.BCA選項，當x00時，f(x0)xeq oal(2,0)，由f(x0)x0可得xeq oal(2,0)x0，解得x00或x01，顯然都不滿足x00，故A錯誤；B選項，當x00時，f(x0)x0，由f(x0)xeq oal(2,0)可得x0 xeq oal(2,0)，解得x00或1，顯然x01滿足x00，故B正確；C選項，當x0時，f(x)x，顯然單調(diào)遞減，即f(x)的減區(qū)間為(，0)；當x0時，f(x)x2，顯然單調(diào)遞增，即f(x)的增區(qū)間為(

15、0，)；又f(x)eq blc(avs4alco1(x，x0，,x2，x0)eq blc(avs4alco1(x，x0，,x2，x0，)因此f(x)在(，0)上單調(diào)遞減，在(0，)上單調(diào)遞增，即函數(shù)f(x)與f(x)的單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性相同，故C正確；D選項，不妨令x1x2，且f(x1)f(x2)eq f(1,4)，則x1eq f(1,4)，x2eq f(1,2)，此時x1x2eq f(1,4)0，故D錯誤.故選BC.10.AB令x3，由f(x)f(6x)得f(3)f(3)，故f(3)0，A正確；f(x1)f(x1)，f(x1)f(1x)，即yf(x)的圖象關于直線x1對稱，f(x1)f(x1)

16、f(6(x1)f(5x)，即f(x4)f(x)，f(x8)f(x4)f(x)，f(x)是周期為8的周期函數(shù)，f(2 020)f(25284)f(4)f(8)，f(a)f(2 020)，f(a)f(8)，a5，9，且f(x)在5，9上單調(diào)，a8，故B正確；假設f(x)是周期為4的周期函數(shù)，則f(x4)f(x)，又f(x4)f(x)，f(x)f(x)，即f(x)0，與“f(x)在5，9上單調(diào)”矛盾，故假設不成立，C錯誤；f(3)0，f(7)f(3)0，假設yf(x)的圖象關于點(1，0)對稱，則f(x)f(2x)0，令x1，得f(1)f(1)0，即f(1)0，則f(5)f(1)0，即f(5)f(7

17、)，與“f(x)在5，9上單調(diào)”矛盾，故假設不成立，D錯誤.故選AB.11.AC當a2時，x2ax1x22x1(x1)2，當x1時，(x1)2可以取遍(0，)上的一切實數(shù)值，所以f(x)的值域為R，故A正確；f(x)loga(x2ax1)的定義域是不等式x2ax10的解集，當a240，即2a2時，f(x)的定義域為R.要使f(x)loga(x2ax1)為偶函數(shù)，則f(x)f(x)，于是x2ax1x2a(x)1，即2ax0對定義域內(nèi)的實數(shù)x恒成立，所以a0，但此時對數(shù)的底數(shù)為零，無意義；要使f(x)loga(x2ax1)為奇函數(shù)，則f(x)f(x)，即f(x)f(x)0，于是(x2ax1)x2a

18、(x)11，即(x21)2(ax)21對定義域內(nèi)的任意實數(shù)x恒成立，但此方程為四次方程，至多有四個不同的實數(shù)根，矛盾，綜上，不存在a使得f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)，B錯誤；由B可得當a2時，f(x)的定義域不可能為R，故C正確；要使f(x)loga(x2ax1)在區(qū)間(，2)上單調(diào)遞減，必須滿足eq blc(avs4alco1(a1，,f(a,2)2，,222a10，)故eq blc(avs4alco1(a4，,af(5,2)，)無解，故D錯誤.故選AC.12.AB因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(x)f(x)，又f(2x)f(x)0，所以f(2x)f(x)f(x).令tx，得f(t)f(t2)，即

19、f(x)f(x2)，所以f(x)是周期函數(shù)，周期為2.又f(x)是R上的奇函數(shù)，可得f(0)f(2)f(4)0，又f(1)0，所以f(1)f(3)f(5)0，則有f(n)0，nZ.在同一平面直角坐標系內(nèi)作出yf(x)和ytan x的圖象，其中ytan x的周期Teq f(,)1，如圖，由圖可知x1時，從點A(1，0)開始，10個交點依次為A，B，O，C，D，E，F(xiàn)，G，H，I，點J是第11個交點，J(4，0).設C點橫坐標為x0，顯然x0eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)，feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)log2eq f(1,4)2，tan eq

20、 f(1,4)1，因此x0eq f(1,4)，所以eq f(1,4)x0eq f(1,2)，于是eq f(1,2)xBeq f(1,4)，4eq f(1,2)xI4eq f(1,4)，即3.5xI3.75，所以m可取3.8，3.9，當m4時至少有11個零點，故m4，故選AB.13.2feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)log2eq f(1,2)1110，f(log23)12log23132，feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(log23)2.14.ln|x|(答案不唯一)f(x)ln|x|的定義域為(，0)(0，)，值域為R，且f(x)ln|x|ln

21、|x|f(x)，因此f(x)ln|x|符合題意.15.(，1令x1t，則xt1且t(0，)，則f(t)eq f(（t1）2a,t)eq f(t22ta1,t)teq f(a1,t)2在(0，)上為增函數(shù)，所以a10，即a1.16.(，22由題意得f(0)min2，bb，所以b2，即實數(shù)b的取值范圍為(，2.在同一坐標系中作出函數(shù)h(x)3|2x1|及函數(shù)g(x)ax2b的大致圖象，如圖所示，令3|2x1|2，解得x1或x0.結(jié)合圖象可知，若f(x)的最大值為2，則g(1)ab2.17.解(1)因為當b12時，f(3)eq f(3,4)eq f(3,2)，所以當b12時不滿足條件.(2)由條件可

22、知，f(x)eq f(x,4)eq f(b,x)4在3，6上單調(diào)遞增，當b0時，f(x)eq f(x,4)eq f(b,x)4在3，6上單調(diào)遞增滿足條件；當b0時，f(x)eq f(x,4)eq f(b,x)4eq f(x,4)eq f(b,x)4在2eq r(b)，)上為增函數(shù)，2eq r(b)3，解得eq f(9,4)b0，所以beq f(9,4).由條件可知，f(x)eq f(x,2)，即不等式eq f(x,4)eq f(b,x)4在3，6上恒成立，等價于beq f(1,4)x24xeq f(1,4)(x8)216，當x3時，yeq f(1,4)(x8)216取最小值eq f(39,4)，beq f(39,4)，綜上，參數(shù)b的取值范圍是eq blcrc(avs4alco1(f(9,4)，f(39,4).18.解(1)f(x)eq f(x,x1)1eq f(1,x1)，則f(x)在eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)上單調(diào)遞增.所以f(x)對任意xeq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)滿足feq blc(rc)(avs4a