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1、2 11 427高等代數(shù)專題研究輔導(dǎo)第9篇三次次方程求根公式中央電大教育學(xué)院馮泰2004年12月1. 一元三次方程求根公式一個一元三次方程，顯然三次項的系數(shù)不為0,用三次項的系數(shù)除方程的兩邊，總可以將一般三次方程化為以下形式32y ay by c 0稱為標(biāo)準(zhǔn)形式，就式（1）進行討論.令y x a ,代入式(I),得到33-x px q 0(2)其中p3b a23,q32a 9ab 27c27利用恒等式將其與式（2）比較.得到xp333q即得3P27q由此可以解出233 q q P4273p27(4)(或33p27qq2243p27只需取一組求解)且滿足(3)式的有三個根，它們的模相同,它們的幅

2、角相差2 r ,即三個根均勻地分布在以3它們的模為半徑，原點為圓心的圓周上.1是(3)式的一個解(根)，則的另外兩個解為1 ,(即根逆時針轉(zhuǎn)動,正是下一個根2 一 .1(即根34逆時針轉(zhuǎn)動，正是下下一個根3其中-i 是1的三次單位立方根.22注釋:在復(fù)數(shù)域內(nèi)，方程求根公式為a ib |zei , z . a2 b2,arctanb,aa|z cos ,b zsin , ( z稱為復(fù)數(shù)z的模， 稱為復(fù)數(shù)z的幅角)，則2kn z njze-k0,1,2,n 1)這n個根均勻地分布在原點為圓心，半徑為z 的圓周上.設(shè) 是其中一個根,n zeiL 則 e ni 2kn2k0 n.2i 一n2(kon1

3、),正是下一個根.由(5)式得到23以三，滿足142723q p于是，得到4274274 TOC o 1-5 h z 2323xi 1 1匕廣*杵AX222X333q qL23_2 3： q _q2巨22V 427 i 2 42723-2323q-qp_3 q qpi21 427 2 427這就是實系數(shù)一元三次方程的求根公式.23這里，D S- 上一被稱為實系數(shù)一元三次方程 4273x px q 0的判別式，可由它的符號看出根的某些性質(zhì):2判別式D 43P 0,則27都是實數(shù),30 ,此時方程（2）有一個實根和兩個共軻復(fù)根;2(2)判別式D 43P = =0,則273都是實數(shù),330 ,此時方程（2）有三個實根，其中兩個相等(根為21,1，1)3是共軻復(fù)數(shù),判別式D3 0Xi9 7227=22yiXiy2 X2 i1 25 3- i22 TOC o 1-5 h z .23., 233，q q p _ 3.qq p,2.427.24279：92633?9632

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