矩陣初等變換以及線性方程組習題

1、關于矩陣的初等變換及線性方程組習題第一張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月第三章 矩陣的初等變 換與線性方程組第二張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月（第 行的 倍加到第 行上，記作 ）.一、內(nèi)容提要（一）初等變換定義1 下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:（i）對調(diào)兩行（對調(diào)兩行 ，記作 ）； （ii）以數(shù) 乘某一行中的所有元素（第 行乘 ，記作 )（iii）把某一行所有元素的 倍加到另一行對應的元素上去； 第三張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月（記號：“ ”換為“ ” ）矩陣 與 列等價；記作 ； 若矩陣 經(jīng)過有限次初等列變換變成矩陣 ，則稱陣 與 等價；記作 ； 矩陣

2、與 行等價；記作 ； 若矩陣 經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣 ，則稱矩 定義2 若矩陣 經(jīng)過有限次初等行變換變成矩陣 ，則稱 注 （1）將定義中“行”改為“列”，稱為矩陣的初等列變換；（2）初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換第四張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月（二）初等矩陣1定義 由單位矩陣 經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為 2三種初等矩陣 ， ， . 行列式： ， ， . 逆矩陣： , , .作 用：“左乘變行，右乘變列”初等矩陣 第五張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月（三）矩陣的秩 1定義 設矩陣 中有一個不等于 的 階子式 ，且所有 階子式（如果存在的話）全為 ,則稱 為

3、的最高階非零子式數(shù) 稱為矩陣 的秩，記為 . 規(guī)定：零矩陣的秩為 2性質(zhì) （1） .（2） .（3）若 ，則 .（4）若 可逆，則 .第六張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月3求法 （1）定義法；（四）線性方程組的解1 有非零解 ；2 有解 ， ；即（1）當 時， 有唯一解；（2）當 時， 有無窮多解；（3）當 時， 無解3通解的求法: 初等行變換法（2）利用初等行變換化 為與之等價的行階梯形 矩陣 非零行的行數(shù)就是 的秩 第七張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 存在可逆陣 、 ，使 （五）一些重要結論1 可逆 （ 為初等矩陣， ） 2逆矩陣的求法 第八張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作

4、于2022年6月二、典型例題舉例 （一）填空題【例1】 給 矩陣 左乘一個初等方陣，相當于對 施行一次相應的 ；給 矩陣 右乘一個初等方陣，相當于 對 施行一次相應的 .分析 本題是考查初等方陣的性質(zhì)解 初等行變換；初等列變換第九張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月【例2】 ， ， .分析 本題是考查初等方陣的定義及性質(zhì)解 ； ； 【例3】設矩陣 ， ,則逆矩陣 .分析 本題可利用初等行變換法求逆矩陣 解 第十張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月可知， 的任何 階子式均為 ，故此時 ，所以分析 本題是考查矩陣和伴隨矩陣秩之間的關系由 解 【例4】設 4 階方陣A 的秩為2，則其伴隨

5、矩陣 的秩為 . 注 與 的秩的一般關系是 .【例5】設 是 矩陣， 的秩 ，而 ，分析 本題是考查矩陣秩的性質(zhì)因 ，所以 可逆，解 . 從而第十一張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月【例6】已知 矩陣 的秩為 ， 矩陣 的秩為 ，則的秩為 . 分析 本題是考查列乘行形式的矩陣秩的性質(zhì)因 ， ，故 與 均至少有一個非零元，所以 也至少有一個非零元，從而 ；又 的各行元素對應成比例， 所以 的任何階 子式均為 ，故 .可見 .解 注 一般結論：設 ， 均為非零列矩陣，則 .第十二張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月分析 本題是考查初等方陣的性質(zhì)及逆由于 與 互為逆矩陣，所以 ， 故應

6、選 . . . 【 】. . 解 選 .【例2】設 ， 是3 階初等方陣，則 等于 . . . . 【 】 【例1】設A是n 階方陣，則下列各式中正確的是（二）選擇題第十三張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月知應選 .矩陣 的第三行，故應選 .分析 本題是考查初等方陣的性質(zhì)由于 為用 乘解 選 .【例3】設線性方程組 有唯一解，則必有. . . . 【 】 分析 本題是考查線性方程組有唯一解的條件由解 選 .【例4】設 為 矩陣, 為 矩陣，若方程組 . . . . 【 】 有無窮多解，則必有第十四張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 知應選 .分析 本題是考查線性方程組有無窮多解

7、的條件由： 解 選 .第十五張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月（三）計算題【例1】求矩陣 的逆矩陣分析 本題A為具體的矩陣，故可采用初等行變換法求逆陣. 解 第十六張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 所以第十七張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月首元所在列的原矩陣中尋找A的最高階非零子式將A 化為行階梯形矩陣，則與之等價的行階梯形矩陣的非零 行的行數(shù)就是A 的秩另外，可在階梯形矩陣中非零行非零 【例2】求矩陣 的秩，并求一最高階的非子式分析 本題中A 為具體的矩陣，故可采用初等行變換法求秩 解 因 所以 因 ，所以 即為一個最高階的非零子式.第十八張，PPT共三十二頁，創(chuàng)

8、作于2022年6月【例3】設矩陣 與 滿足 ，其中 （1）求 ；（2）求 . 分析 本題為常規(guī)的解矩陣方程題型一般方法是先將矩陣 解（1）由 ，得 ；因 所以方程化為基本型，再用初等行變換法求未知矩陣（2）因 ，所以 .第十九張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月【例4】求解齊次線性方程組 分析 本題為解齊次線性方程組題一般方法 將系數(shù)矩陣作初等行變換化為行最簡形； 由 判斷解的情況； 由最簡形得同解方程組； 選擇非自由未知數(shù)，寫出通解 解 因 同解方程組為 第二十張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月通解為 ， 【例5】設非齊次線性方程組 . 問 取何值 時，方程組有解；在方程組有解

9、時，求出其通解 第二十一張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月分析 本題為解含參數(shù)的非齊次線性方程組題，是個很重要的典型題一般方法 將增廣矩陣 作初等行變換化為行最簡形； 由 與 的關系判斷解的情況，由此得相應的取值； 由最簡形得同解方程組； 選擇非自由未知數(shù)，寫出通解 解 因 所以，當 ，即 時，方程組才有解，此時 第二十二張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月同解方程組為 ， 通解為 第二十三張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月【例6】設 ， ，求 . （教材P78, 習題6） 解 由 可得 ，因 由上述結果可知 可逆，且 第二十四張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月【

10、例7】求解非齊次線性方程組 . (教材P.79, 習題14(3) 解所以 ，故原方程組有無窮多解 .第二十五張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月且同解方程組為 , 令 ， ，則得通解 第二十六張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月【例8】問 取何值時，非齊次線性方程組（1）有唯一解；（2）無解；（3）有無窮多個解？ （教材P.80, 習題16）第二十七張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月解法1 對增廣矩陣 作初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣 可見（1）當 且 時， . 此時方程組有唯一解 （2）當 時， ， ， ；此時方程 （3）當 時， ，此時方程組有無窮多解. 組無解.第二十八張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月通解為【 由于此時 ，同解方程組為 ;解法2 因系數(shù)矩陣為方陣，故可用行列式法討論 系數(shù)矩陣 行列式為. 第二十九張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月