2022年新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)規(guī)范答題增分專項(xiàng)3高考中的數(shù)列問題含解析新人教

1、PAGE PAGE 7規(guī)范答題增分專項(xiàng)三高考中的數(shù)列問題1.(2020全國,文17)設(shè)等比數(shù)列an滿足a1+a2=4,a3-a1=8.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)記Sn為數(shù)列l(wèi)og3an的前n項(xiàng)和.若Sm+Sm+1=Sm+3,求m.2.(2020山東,18)已知公比大于1的等比數(shù)列an滿足a2+a4=20,a3=8.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)記bm為an在區(qū)間(0,m(mN*)中的項(xiàng)的個數(shù),求數(shù)列bm的前100項(xiàng)和S100.3.在a1=-8,a2=-7,an+1=kan+1(nN*,kR);若an為等差數(shù)列,且a3=-6,a7=-2;設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=12n2-

2、172n(nN*)這三個條件中任選一個,補(bǔ)充在下面的問題中,并作答.在數(shù)列an中,.記Tn=|a1|+|a2|+|a3|+|an|,求T20.4.已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,公差d0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bnan是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.5.已知an為等差數(shù)列,a1,a2,a3分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù),且a1,a2,a3中的任何兩個數(shù)都不在下表的同一列.行數(shù)列數(shù)第一列第二列第三列第一行第二行469第三行1287請從a1=2,a1=1,a1=3這三個條件中選一個填入上表,使?jié)M足以上

3、條件的數(shù)列an存在,并在此存在的數(shù)列an中,試解答下列兩個問題:(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列bn滿足bn=(-1)n+1an2,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.6.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1,前n項(xiàng)和Sn滿足an=Sn+Sn-1(n2).(1)求證:Sn為等差數(shù)列,并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)記數(shù)列1anan+1的前n項(xiàng)和為Tn,若對任意的nN*,不等式4Tna2-a恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.7.(2020天津,19)已知an為等差數(shù)列,bn為等比數(shù)列,a1=b1=1,a5=5(a4-a3),b5=4(b4-b3).(1)求an和bn的通項(xiàng)公式;(2)記an的前n項(xiàng)和為

4、Sn,求證:SnSn+2Sn+12(nN*);(3)對任意的正整數(shù)n,設(shè)cn=(3an-2)bnanan+2,n為奇數(shù),an-1bn+1,n為偶數(shù).求數(shù)列cn的前2n項(xiàng)和.8.將數(shù)列an中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多兩項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)陣:a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13a14a15a16其中a2=4,a17=10,a14=12,且數(shù)陣中的第一列數(shù)a1,a2,a5,a10,構(gòu)成等差數(shù)列,從第二行起,每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列,公比為同一個正數(shù).表中每一行正中間的項(xiàng)a1,a3,a7,a13,構(gòu)成的數(shù)列記為bn.(1)求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn;(2)記集合

5、M=n|(n+1)bn,nN*,若M的元素個數(shù)為4,求實(shí)數(shù)的取值范圍.規(guī)范答題增分專項(xiàng)三高考中的數(shù)列問題1.解(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,則an=a1qn-1.由已知得a1+a1q=4,a1q2-a1=8,解得a1=1,q=3.所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=3n-1.(2)由(1)知log3an=n-1,故Sn=n(n-1)2.由Sm+Sm+1=Sm+3,得m(m-1)+(m+1)m=(m+3)(m+2),即m2-5m-6=0,解得m=-1(舍去),m=6.2.解(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q.由題設(shè)得a1q+a1q3=20,a1q2=8.解得q=12(舍去),q=2.因?yàn)閍1q2=8,所

6、以a1=2.所以an的通項(xiàng)公式為an=2n.(2)由題設(shè)及(1)知b1=0,且當(dāng)2nm2n+1時(shí),bm=n.所以S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+(b32+b33+b63)+(b64+b65+b100)=0+12+222+323+424+525+6(100-63)=480.3.解若選擇,因?yàn)閍n+1=kan+1,所以a2=ka1+1,即-8k+1=-7,解得k=1,則an+1-an=1,即數(shù)列an是首項(xiàng)為-8,公差為1的等差數(shù)列,故an=n-9;若選擇,設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,因?yàn)閍3=-6,a7=-2,所以a1+2d=-6,a1+6d=-2,解得a1=-8,d=1

7、,故an=a1+(n-1)d=n-9;若選擇,因?yàn)镾n=12n2-172n,所以a1=S1=12-172=-8,當(dāng)n2時(shí),Sn-1=12(n-1)2-172(n-1)=12n2-192n+9,則an=Sn-Sn-1=n-9(n2),因?yàn)閍1=-8也滿足上式,所以an=n-9.由an0,得n9,故T20=(-a1)+(-a2)+(-a3)+(-a8)+a9+a10+a11+a20=-(a1+a2+a3+a8)+(a9+a10+a11+a20)=-(-8-1)82+(0+11)122=102.4.解(1)依題意得3a1+322d+5a1+452d=50,(a1+3d)2=a1(a1+12d),解得

8、a1=3,d=2.故an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,即an=2n+1.(2)由題意可知bnan=3n-1,則bn=an3n-1=(2n+1)3n-1.故Tn=3+53+732+(2n+1)3n-1,3Tn=33+532+733+(2n-1)3n-1+(2n+1)3n,由-,得-2Tn=3+23+232+23n-1-(2n+1)3n=3+23(1-3n-1)1-3-(2n+1)3n=-2n3n,故Tn=n3n.5.解(1)若選擇條件,當(dāng)?shù)谝恍械谝涣袨閍1時(shí),由題意知,可能的組合有:a1=2,a2=6,a3=7,不是等差數(shù)列,a1=2,a2=9,a3=8,不是等差數(shù)列;當(dāng)?shù)谝?/p>

9、行第二列為a1時(shí),由題意知,可能的組合有:a1=2,a2=4,a3=7,不是等差數(shù)列,a1=2,a2=9,a3=12,不是等差數(shù)列;當(dāng)?shù)谝恍械谌袨閍1時(shí),由題意知,可能的組合有:a1=2,a2=4,a3=8,不是等差數(shù)列,a1=2,a2=6,a3=12,不是等差數(shù)列,則將a1=2放在第一行的任何一列,滿足條件的等差數(shù)列an都不存在.若選擇條件,則放在第一行第二列,結(jié)合條件可知a1=1,a2=4,a3=7,則公差d=a2-a1=3,所以an=a1+(n-1)d=3n-2.若選擇條件,當(dāng)?shù)谝恍械谝涣袨閍1時(shí),由題意知,可能的組合有:a1=3,a2=6,a3=7,不是等差數(shù)列,a1=3,a2=9,

10、a3=8,不是等差數(shù)列;當(dāng)?shù)谝恍械诙袨閍1時(shí),由題意知,可能的組合有:a1=3,a2=4,a3=7,不是等差數(shù)列,a1=3,a2=9,a3=12,不是等差數(shù)列;當(dāng)?shù)谝恍械谌袨閍1時(shí),由題意知,可能的組合有:a1=3,a2=4,a3=8,不是等差數(shù)列,a1=3,a2=6,a3=12,不是等差數(shù)列,則將a1=3放在第一行的任何一列,滿足條件的等差數(shù)列an都不存在.綜上可知,an=3n-2.(2)由(1)知,bn=(-1)n+1(3n-2)2.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),Tn=b1+b2+b3+bn=a12-a22+a32-a42+an-12-an2=(a1+a2)(a1-a2)+(a3-a4)(a3+a4)

11、+(an-1+an)(an-1-an)=-3(a1+a2+a3+an)=-3n(1+3n-2)2=-92n2+32n;當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Tn=Tn-1+bn=-92(n-1)2+32(n-1)+(3n-2)2=92n2-32n-2.故Tn=-92n2+32n,n=2k,kN*,92n2-32n-2,n=2k-1,kN*.6.(1)證明因?yàn)閍n=Sn+Sn-1(n2),所以Sn-Sn-1=Sn+Sn-1.由數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),得Sn-Sn-1=1,所以數(shù)列Sn是首項(xiàng)為S1=a1=1,公差為1的等差數(shù)列,得Sn=n.所以an=Sn+Sn-1=n+(n-1)=2n-1(n2),當(dāng)n=1時(shí),a1=1也

12、適合,所以an=2n-1.(2)解因?yàn)?anan+1=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1),所以Tn=121-13+13-15+12n-1-12n+1=121-12n+1.即Tn12.要使不等式4Tna2-a恒成立,只需2a2-a恒成立,解得a-1或a2,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-,-12,+).7.(1)解設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,等比數(shù)列bn的公比為q.由a1=1,a5=5(a4-a3),可得d=1,從而an的通項(xiàng)公式為an=n.由b1=1,b5=4(b4-b3),又q0,可得q2-4q+4=0,解得q=2,從而bn的通項(xiàng)公式為bn=2n-1.(2)證明由(1)可得Sn