高考總復(fù)習(xí)文科數(shù)學(xué)配北師版(老高考舊教材)-課后習(xí)題及答案-第3章　導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用高考解答題專項一　第3課時　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)

1、第3課時利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)1.已知函數(shù)f(x)=ex-ax-2(a1),(1)證明:函數(shù)y=f(x)在(-,0)上存在唯一零點(diǎn);(2)若函數(shù)y=f(x)有兩個不同零點(diǎn)x1,x2,且x1x2,當(dāng)x1-x2最小時,求此時a的值.(1)證明f(x)=ex-a,x0,ex1,f(x)0,f(x)在(-,0)上是遞減的.f(0)=-10,存在唯一x0-2a,0使得f(x0)=0,函數(shù)y=f(x)在(-,0)內(nèi)存在唯一零點(diǎn).(2)解由條件知ex1-ax1-2=0,ex2-ax2-2=0,a=ex1-2x1=ex2-2x2=ex1-ex2x1-x2,令t=x1-x20,a=ex2(et-1)t=ex2-

2、2x2,則有et-1t=ex2-2x2ex2,令g(t)=et-1t(t0),g(t)=(t-1)et+1t2,令h(t)=(t-1)et+1,h(t)=tet0,h(t)在(0,+)上是遞增的,h(t)h(0)=0,g(t)在(0,+)上是遞增的,要求t的最小值即求g(t)最小值,令v(x2)=ex2-2x2ex2,v(x2)=x2ex2-(x2+1)(ex2-2)x22ex2=2x2+2-ex2x22ex2,x20,m(x2)在(-,0)上是遞增的,又m(0)=10,m(-1)=-e-10時,討論函數(shù)g(x)=ex+(x2+2a)f(x)-m-3(mR)的零點(diǎn)個數(shù).解:(1)當(dāng)a=0時,f

3、(x)=1-2xx2,f(x)=2x-2x3,k=f12=-8,f12=0,故所求切線方程為y-0=-8x-12,即8x+y-4=0.(2)因?yàn)閒(x)=1-2xx2+2a,所以f(x)=2x2-2x-4a(x2+2a)2.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x=-1處取得極值,所以f(-1)=0,即4-4a(1+2a)2=0,解得a=1,經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)a=1時,x=-1為函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn),符合題意,此時f(x)=1-2xx2+2,函數(shù)的定義域?yàn)镽,f(x)=2(x+1)(x-2)(x2+2)2,由f(x)0,解得x2;由f(x)0,解得-1x0,解得xln 2,由h(x)0,解得xln 2,所以h(x)在(

4、-,ln 2)上是遞減的,在(ln 2,+)上是遞增的,所以h(x)min=h(ln 2)=-2ln 2,作出函數(shù)h(x)的圖像,如圖所示:由g(x)=0,即h(x)-m=0,所以m=h(x),由圖像知:當(dāng)m-2ln 2時,有兩個零點(diǎn).3.已知函數(shù)f(x)=aex-x,a0.(1)若a=1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若f(x)有兩個不同的零點(diǎn)x1,x2,證明:x1x2ae.(1)解當(dāng)a=1時,f(x)=ex-x,定義域?yàn)?-,+),則f(x)=ex-1.當(dāng)x(-,0)時,f(x)0,f(x)是遞增的,所以f(x)的遞減區(qū)間為(-,0),遞增區(qū)間為(0,+).(2)證明x1,x2是f(x)的兩

5、個不同的零點(diǎn),等價于x1,x2是方程ex=xa的兩個不同的根,也是方程xex=a的兩個不同的根,a0,則x10,x20.要證x1x2ae,只需證x1ax2ae2,只需證ex1+x2e2,即證x1+x22.令h(x)=xex,則h(x)=1-xex,所以當(dāng)x(0,1)時,h(x)0,h(x)是遞增的,當(dāng)x(1,+)時,h(x)0,h(x)是遞減的.不妨設(shè)x1x2,則0 x111,令(x)=h(x)-h(2-x)=xex2-xe2-x,x0,則(x)=(1-x)e2-e2xex+2,所以當(dāng)0 x0,(x)是遞增的,又因?yàn)?1)=0,所以當(dāng)0 x1時,(x)0,即h(x1)=h(x2)2-x1,即x

6、1+x22.故原結(jié)論正確,即x1x2ae.4.(2021四川成都二診)已知函數(shù)f(x)=x+ax-(a-1)ln x-2,其中aR.(1)若f(x)存在唯一極值點(diǎn),且極值為0,求a的值;(2)討論f(x)在區(qū)間1,e2上的零點(diǎn)個數(shù).解:(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+),由已知,可得f(x)=1-ax2a-1x=(x+1)(x-a)x2(x0).若a0,則當(dāng)x(0,+)時,f(x)0恒成立,f(x)在(0,+)上是遞增的,與f(x)存在極值點(diǎn)矛盾,若a0,則由f(x)=0得x=a,當(dāng)x(0,a)時,f(x)0,f(x)在(0,a)內(nèi)是遞減的,在(a,+)上是遞增的,f(a)=a+1-(a-1)

7、ln a-2=(a-1)(1-ln a)=0,a=1或a=e.(2)當(dāng)a1時,f(x)0在1,e2上恒成立,f(x)在1,e2上是遞增的.f(1)=a-10,f(e2)=e2+ae2-2a,當(dāng)a0時,f(e2)=e2+ae2-2a=e2+a1e2-20;當(dāng)02a-2a=2a(1-a)0.f(e2)0.f(x)在1,e2上有1個零點(diǎn);當(dāng)1ae2時,當(dāng)x1,a)時,f(x)0,f(x)在1,a)上是遞減的,在(a,e2上是遞增的,f(x)min=f(a)=(a-1)(1-ln a).當(dāng)a=e時,f(x)min=0,此時f(x)在1,e2上有1個零點(diǎn);當(dāng)1a0,此時f(x)在1,e2上無零點(diǎn);當(dāng)eae2時,f(x)min0.則當(dāng)f(e2)=e2+ae2-2a0,即e42e2-1ae2時,f(x)在1,e2上有1個零點(diǎn);當(dāng)f(e2)=e2+ae2-2a