現(xiàn)實(shí)情境與數(shù)學(xué)化

1、第十五章現(xiàn)實(shí)情境與數(shù)學(xué)化由現(xiàn)實(shí)情境走向數(shù)學(xué)化”是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要路徑創(chuàng)設(shè)必要的現(xiàn)實(shí)情境發(fā)促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，無疑是新一課程改革最鮮明的主張之一。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中課程內(nèi)容的選擇要貼近學(xué)生的實(shí)際，有利于學(xué)生體驗(yàn)與理解、思考與 探索的表述，正是這一觀點(diǎn)的具體化呈現(xiàn)，當(dāng)然，有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能止步于現(xiàn)實(shí)情境的 創(chuàng)設(shè)，還必須引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)同現(xiàn)實(shí)情境，通過觀察、比較、分析、抽象、概括等數(shù)學(xué)活動(dòng)，實(shí) 現(xiàn)必要的數(shù)學(xué)化，并最終促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)內(nèi)容及其實(shí)質(zhì)和理解，發(fā)展相應(yīng)的數(shù)學(xué)思考。 一、實(shí)現(xiàn)情境是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)化的重要基石對于小學(xué)階段的學(xué)生而言， 理解并掌握抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容， 需要直觀和情境的支撐。 對此， 能否創(chuàng)設(shè)有效的、有意義

2、的現(xiàn)實(shí)情境，無疑是數(shù)學(xué)迫切需要解決的重要問題。首先，這是由數(shù)學(xué)內(nèi)容本身所決定的。正如數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)前方中開篇所描述的，數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。數(shù)學(xué)與人類發(fā)展和社會(huì)進(jìn)步息息相關(guān)，特別是隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)更加廣泛地應(yīng)用于社會(huì)生產(chǎn)和日常生活的各個(gè)方面。數(shù)學(xué)作為對于客觀現(xiàn)象概括而逐漸形成的科學(xué)語言工具，不僅是自然科學(xué)和技術(shù)科學(xué)的基礎(chǔ)，而具在人文科學(xué)與社會(huì)科學(xué)中發(fā)才i著越來越大的作用?！庇纱丝芍?，數(shù)學(xué)盡管抽象，但抽象的數(shù)學(xué)必有其現(xiàn)實(shí)世界的源頭。從而，還原數(shù)學(xué)這一源自現(xiàn)實(shí)背景的歷史真實(shí),無疑是對數(shù)學(xué)本身的一種尊重。其次，這是由學(xué)生的年齡特點(diǎn)與思維特征所決定的。小學(xué)階段的學(xué)生，思維還

3、處于由具體形象思維逐步向抽象邏輯思維發(fā)展的階段，特別是對于第一學(xué)段的學(xué)生，其數(shù)學(xué)思維對具體直觀背景的依賴尤為強(qiáng)烈。從而，如何讓抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容以學(xué)生可以理解、可以接受、可以親近的面目出現(xiàn)，也是數(shù)學(xué)課程需要考慮的重要問題。最后，這是由小學(xué)生學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和規(guī)律所決定的。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的研究表明，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的途徑無非有二，由具體到抽象、由抽象到抽象。對于小學(xué)階段的學(xué)生來說，呈現(xiàn)具有一 定現(xiàn)實(shí)背景的數(shù)學(xué)情境，進(jìn)而引導(dǎo)其經(jīng)由對現(xiàn)實(shí)情境的觀察、比較、分析、抽象、概括等數(shù) 學(xué)活動(dòng)過程，從而實(shí)現(xiàn)對抽象數(shù)學(xué)內(nèi)容的認(rèn)識(shí)和理解，是構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)的重要途徑。綜上所述，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中創(chuàng)設(shè)必要的現(xiàn)實(shí)情境，既有其理論意義，更有其實(shí)

4、踐價(jià)值。然而，在強(qiáng)調(diào)現(xiàn)實(shí)情境的意義與價(jià)值的同時(shí)，我們也應(yīng)意識(shí)到，現(xiàn)實(shí)情境的創(chuàng)設(shè)只是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要途徑和拐杖，而非唯一路徑，更非最終目的。如果數(shù)學(xué)課堂”為了情境而情境”，則情境的創(chuàng)設(shè)就喪失了其原本的意義。事實(shí)上，對于本身就具備鮮明現(xiàn)實(shí)背景的數(shù)學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)必要的的現(xiàn)實(shí)情境， 既可以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)，情境的呈現(xiàn)也可以喚醒學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，為新知學(xué)習(xí)奠定良好的認(rèn)知準(zhǔn)備，并且，并且實(shí)現(xiàn)情境的創(chuàng)設(shè)，還可以強(qiáng)化數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的必要關(guān)聯(lián)，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值的領(lǐng)悟，但是，對于那些并不具備鮮明現(xiàn)實(shí)背景的數(shù)學(xué)內(nèi)容， 或者即便具備一定的現(xiàn)實(shí)背景，但根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部間和邏輯關(guān)聯(lián)或承繼關(guān)系，同樣可以引導(dǎo)

5、學(xué)生通過必要的類比、推理或遷移等，實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建的，則未必要?jiǎng)?chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情境。比如，同樣是加法計(jì)算，對于9加幾這樣的數(shù)學(xué)內(nèi)容，由于學(xué)生需 要借助一定的觀察與實(shí)物操作活動(dòng)，在湊十”基礎(chǔ)上完成相對應(yīng)算法的建構(gòu)，從而，創(chuàng)設(shè)如圖15-1所示的現(xiàn)實(shí)情境就顯得十分必要，而得到了三位數(shù)加三位數(shù)時(shí)，相應(yīng)的現(xiàn)實(shí)情境就 顯得不那么必要了。 因?yàn)?，此時(shí)的實(shí)現(xiàn)情境對于學(xué)生理解三位數(shù)加法的算理，突破三位數(shù)加法中的進(jìn)位或連續(xù)進(jìn)位的認(rèn)知難點(diǎn)意義不大，此時(shí)，引入計(jì)數(shù)器這一工具，并引導(dǎo)學(xué)生 在操作過程中建構(gòu)相應(yīng)的算理與算法，反而顯得更為迫切，也更有實(shí)現(xiàn)價(jià)值。又如，同樣是認(rèn)數(shù)，認(rèn)識(shí) 1-10時(shí)，由于這是學(xué)生初次認(rèn)識(shí)自然數(shù)，對于數(shù)

6、的意義的建 構(gòu)與抽象，無疑需要依賴特定現(xiàn)實(shí)情境的支撐。事實(shí)上，蘇教版教材也的確作了類似的安排。及至認(rèn)識(shí)11-20時(shí)，考慮到此時(shí)數(shù)的組成已經(jīng)成為學(xué)生理解數(shù)的意義的重要構(gòu)成，因而， 如何依托小棒及計(jì)數(shù)器這些相對抽象的工具來獲得對數(shù)的組成位值制”等的理解，從而更好地把握為些數(shù)的含義， 無疑就顯得更為重要。因而，教材在編排這一內(nèi)容時(shí)，則放棄了對 現(xiàn)實(shí)情境的依賴，而直接選擇了由“數(shù)小棒以及計(jì)算器上撥珠”等教學(xué)活動(dòng)展開數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)（如圖 15-2）。由此可見，現(xiàn)實(shí)情境并非教學(xué)學(xué)習(xí)情境的全部，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部的邏輯關(guān)系而設(shè)置的教學(xué)情境，同樣是學(xué)生開展教學(xué)學(xué)習(xí)的好的背景。創(chuàng)設(shè)怎樣的情境，關(guān)鍵在于不同數(shù)學(xué)內(nèi)容以及數(shù)

7、學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)在規(guī)定性，不可簡單化、單一化，要視具體情形而定。 二、好的現(xiàn)實(shí)情境還需必要的 教學(xué)化情境只是教學(xué)學(xué)習(xí)得以展開背景和素材，現(xiàn)實(shí)情境更是如此。有現(xiàn)實(shí)情境必然包含著鮮明的、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，數(shù)學(xué)內(nèi)涵是數(shù)學(xué)情境內(nèi)在的靈魂。如果我們的數(shù)學(xué)教學(xué)始終停留于現(xiàn)實(shí)情境中，缺乏對現(xiàn)實(shí)情境中非數(shù)學(xué)內(nèi)容、非數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的剝離屯剔除，繼而缺乏對現(xiàn)實(shí)情境中所蘊(yùn)涵著的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)模型的分析和抽象， 那么，這種缺失了必要教學(xué)化過程的教學(xué)學(xué)習(xí)， 顯然無法真正幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)內(nèi)核的 把握與建構(gòu)。因而，基于現(xiàn)實(shí)情境的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)， 必然涉及教學(xué)化這一過程。根據(jù)弗賴登塔爾的觀點(diǎn)， 教學(xué)化包括水平

8、教學(xué)化和垂直教學(xué)化，前者指由與現(xiàn)實(shí)問題到教學(xué)問題的轉(zhuǎn)化，是把生活情境問題表述為數(shù)學(xué)問題的過程，通過這一過程，現(xiàn)實(shí)情境轉(zhuǎn)化為教學(xué)符號(hào)；后者是在前者之后的教學(xué)化，是從具體問題到抽象概念和方法之后的轉(zhuǎn)化，是數(shù)學(xué)范疇內(nèi)對已經(jīng)符號(hào)化了的問題作進(jìn)一步抽象化處理的數(shù)學(xué)過程。而基于現(xiàn)實(shí)情境后的教學(xué)化，則是指引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程。當(dāng)然，在實(shí) 際教學(xué)中，我們還需要注意數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性，重視引導(dǎo)學(xué)生建立良好的教學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)。比如，蘇教版五年級(jí)下冊公因數(shù)和最大公因數(shù)一課，為了引導(dǎo)學(xué)生了解公因數(shù)和最大公因數(shù)的含義，教材創(chuàng)設(shè)了小正方形鋪長方形的現(xiàn)實(shí)情境（如圖 15-

9、3）。但很顯然，用小 正方形鋪長方形只是教材引導(dǎo)學(xué)生理解公因數(shù)含義的一個(gè)載體而已。在學(xué)生通過操作或想象發(fā)現(xiàn)解決問題的答案之后，教材繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生對相知的現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行思考，為相應(yīng)的教學(xué)化做好準(zhǔn)備（如圖15-4）。在結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境對這一問題進(jìn)行深入思考的基礎(chǔ)上，教材呈現(xiàn)了學(xué)和一基于解決現(xiàn)實(shí)問題的過程可能作出的數(shù)學(xué)思考（如圖15-5）。至此，現(xiàn)實(shí)情境是什么已經(jīng)不重要，學(xué)生逐步實(shí)現(xiàn)了由具體情境中數(shù)量之間的關(guān)系上升到對抽象的數(shù)之間的關(guān)系的認(rèn)識(shí)。上述基于現(xiàn)實(shí)情境逐步教學(xué)化的過程，既有利于學(xué)生理解知識(shí)的現(xiàn)實(shí)背景，體會(huì)知識(shí)的形成過程，又有利于學(xué)生利用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)把握數(shù)學(xué)知識(shí) 的本質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。三、有效的教學(xué)

10、化，仍需回到現(xiàn)實(shí)情境接受檢驗(yàn)創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情境不是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的，同樣地，數(shù)學(xué)化也只是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié)之一。經(jīng)由現(xiàn)實(shí)情境的必要教學(xué)化后，學(xué)生可以透過現(xiàn)實(shí)情境紛繁復(fù)雜的表面現(xiàn)象，觸摸到情境背后所隱藏著的數(shù)學(xué)對象、關(guān)系、方法、思想等。但與此同時(shí)，學(xué)生所獲得的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù) 學(xué)方法有時(shí)還需要再次回到具有現(xiàn)實(shí)背景的問題情境中接受檢驗(yàn)。如果說，教學(xué)化”的過程是學(xué)生撇開現(xiàn)實(shí)情境中的非數(shù)學(xué)信息，進(jìn)而獲得對于純粹數(shù)學(xué)對象的把握與理解的話，那么,這一純粹的知識(shí)或方法是否真實(shí)、準(zhǔn)確、可靠，是否具有普遍的適用性，是否可以解決具體的實(shí)際問題，同樣是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不可或缺的重要環(huán)節(jié)。因而，數(shù)學(xué)教學(xué)在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了必要的數(shù)學(xué)化，并掌

11、握相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法后，還需要有一個(gè)運(yùn)用剛剛獲得的抽象數(shù)學(xué)知識(shí)解 釋客觀現(xiàn)象、解決現(xiàn)實(shí)問題的過程。如此，由現(xiàn)實(shí)情境到數(shù)學(xué)化，再回到現(xiàn)實(shí)情境的循環(huán)往復(fù)、螺旋上升，才是完整的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程。當(dāng)然，現(xiàn)實(shí)情境與數(shù)學(xué)化”的關(guān)系，在某種意義上反映的也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中直觀與抽 象的關(guān)系。所謂直觀，是通過對客觀事物的直接接觸而獲得的感性認(rèn)識(shí)。在辨證唯物主義著作中， 直觀一詞的含義通常與感性認(rèn)識(shí)同義，指人們在實(shí)踐中對客觀事物的直接的、生動(dòng)的反映?，F(xiàn)代漢語詞典中，直接則指 用感官直接接受的，或直接觀察的 。所謂抽象，是指從眾多事物中抽取出共同的、本質(zhì)性的特征，而舍棄其非本質(zhì)的特征。 例如蘋果、香蕉、生梨、葡萄、桃

12、子等，顏色、大小、形狀、口味都不是它們的共同特征， 將這些非本質(zhì)特征一一排除，抽取出其共同的、本質(zhì)的特征（水果），這一過程就叫抽象，顯然，抽象的過程是一個(gè)裁剪的過程，不同的、非本質(zhì)性的特征被全部裁剪掉了，因而留下的本質(zhì)特征部分通常不顯得不那么形象、不那么生動(dòng)，也不那么容易為學(xué)習(xí)者所直觀把握了。所以，在自然語言中，很多人把凡是不能被人們的感官所直接把握的東西，也就是通常所說的看不見，摸不著”東西，叫做抽象；有的則把抽象作為孤立、片面、思想內(nèi)容貧乏空洞 的同義詞。這些都是抽象的引申和轉(zhuǎn)義。毫無疑問，數(shù)學(xué)是抽象的。這是由數(shù)學(xué)本身所決定的。數(shù)學(xué)是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以 及空間模型等概念的一門學(xué)科。比較

13、普通的觀點(diǎn)是，數(shù)學(xué)有抽象性、精確性和應(yīng)用的廣泛性等特點(diǎn)，其中最本質(zhì)的特點(diǎn)是抽象性。亞歷山大洛夫說，甚至對數(shù)學(xué)只的很膚淺的知識(shí)就能容易地覺察到數(shù)學(xué)的這些特征：第一是它的抽象性， 第二是精確性，或者更好地說是邏輯的嚴(yán)格性以及它的結(jié)論的確定性，最后是它的應(yīng)用的極端廣泛。事實(shí)上，數(shù)學(xué)的后兩大特點(diǎn)也恰恰取決于其第一個(gè)特點(diǎn)。正因?yàn)閿?shù)學(xué)本身的絕對抽象性，所以才決定生理與心理發(fā)展的特點(diǎn)，加上其知識(shí)水平及所接觸事物的有限性，其思維發(fā)展的基本特點(diǎn)是從以具體形象思維為主要形式逐步過渡到以抽象邏輯思維為要主形式。并且，這種抽象邏輯思維在很大程度上仍然是直接與感性經(jīng)驗(yàn)相關(guān)聯(lián)系的，具有很大的具體形象性， 從而，數(shù)學(xué)本身的

14、抽象性與兒童思維的直觀形象性，便構(gòu)成了小學(xué)階段數(shù)學(xué)教學(xué)需要著力解決的一對重要矛盾。由此，我們不難發(fā)現(xiàn)，強(qiáng)調(diào)現(xiàn)實(shí)情境的價(jià)值，本身便是對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)直觀性的一種直 接呼應(yīng)，而現(xiàn)實(shí)情境后的必要 教學(xué)化，恰恰又昭示著教自身的抽象特性。因此，正確處理 好現(xiàn)實(shí)情境與教學(xué)化”的關(guān)系，實(shí)則上也就理順了直觀與抽象的關(guān)系，兩者可謂貌離神合，具有一種內(nèi)在的關(guān)聯(lián)。創(chuàng)設(shè)有效的現(xiàn)實(shí)情境，組織有序的數(shù)學(xué)化如前所述，一切的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都依賴于特定的學(xué)習(xí)情境的營造，而具有一定實(shí)際意義和生活背景的現(xiàn)實(shí)情境，對于小學(xué)生學(xué)習(xí)抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容，更是具有獨(dú)特而不可替代的價(jià)值。然而，是否所有的現(xiàn)實(shí)情境都是好的，都有其存在的價(jià)值？怎樣的現(xiàn)實(shí)情境才

15、能真正促進(jìn)并激 發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)？更進(jìn)一步地，我們的數(shù)學(xué)課堂又該如何實(shí)現(xiàn)由現(xiàn)實(shí)情境向數(shù)學(xué)自身的數(shù)學(xué)化過程，籍此幫助學(xué)生更好地透過現(xiàn)實(shí)情境，把握數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)質(zhì)， 理解并掌握數(shù)學(xué)的思想方法？所有這些問題，都需要在實(shí)踐層面作出思考和回應(yīng)。 一、善于創(chuàng)設(shè)生動(dòng)而有意義的現(xiàn)實(shí)情境現(xiàn)實(shí)情境的創(chuàng)設(shè)應(yīng)服務(wù)并促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。首先，現(xiàn)實(shí)情境應(yīng)體現(xiàn)現(xiàn)實(shí)性， 情境要的一定的生活背景，能夠有效調(diào)度學(xué)生的生活積累，建立起問題情境與學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)之間的 關(guān)聯(lián)，以便于學(xué)生能夠利用已有的生活儲(chǔ)備，獲得對數(shù)學(xué)內(nèi)容或結(jié)構(gòu)的理解和把握。其次， 情境的創(chuàng)設(shè)應(yīng)體現(xiàn)趣味性，數(shù)學(xué)本身是抽象的，抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容要能夠調(diào)動(dòng)起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主觀愿望，情

16、境本身的趣味性就顯得尤為重要。這種趣味性既表現(xiàn)在其外在的形式上， 比如，針對低年級(jí)學(xué)生的年齡特點(diǎn)和興趣指向，教師可以創(chuàng)設(shè)一些童話、故事情境，或是具 體的活動(dòng)情境，以便于吸引學(xué)生參與到故事或活動(dòng)背后的數(shù)學(xué)問題或思考中來。當(dāng)然，現(xiàn)實(shí)情境的趣味性有時(shí)還要表現(xiàn)在其內(nèi)部的特征上，尤其是，現(xiàn)實(shí)情境是否具有一定的問題張力，是否能夠有效地激發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考、積極探索的愿望，是否富有一定的挑戰(zhàn)性，這些同樣是創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情境時(shí)需要著重思考的問題，可以說，好的現(xiàn)實(shí)情境上內(nèi)外兼修的，既要滿足兒童好玩、好動(dòng)、好勝的需求，又要有效調(diào)動(dòng)學(xué)生的探索欲望，唯有如此，現(xiàn)實(shí)情境才能更好地 服務(wù)并促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)展?！景咐?】分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)

17、識(shí)（南京市北京東路小學(xué)張春華 執(zhí)教）師：喜歡野餐嗎？生：喜歡師：丁丁和當(dāng)當(dāng)?shù)匾安蜁r(shí)遇到了一些和數(shù)有關(guān)的問題。想不想一起去看看？生：想！師：瞧，他們帶來了不少東西。（出示圖15-6）可是，究竟該怎么分呢？他們遇到了一些麻煩。你能幫助他們把這些食物分一分嗎？生：能！ 4個(gè)蘋果，每人分2個(gè)。（課件演示均分的過程。）師：真好！那2瓶礦泉水呢？生：2瓶礦泉水，每人可以分 1瓶。（課件演示。）師：看來，咱們班同學(xué)不但聰明，而且還善解人意呢。像這樣，每人分得同樣多，數(shù)學(xué)上，我們把它叫做-生：平均分。師：可是，蛋糕只有 1個(gè)，還能平均分給 2人嗎？生：能！師：那么，把1個(gè)蛋糕平均分給2個(gè)人，每人又能分得多少呢

18、？生：每人可以分得蛋糕的一半。生：每人可以分得半個(gè)蛋糕。師：老師這兒就的一個(gè)這樣的蛋糕模型，你能上來給大家試著分一分嗎？（學(xué)生從中間獎(jiǎng)蛋糕模型分成兩半）指一指，蛋糕的一半在哪里？（學(xué)生有些指這一半，有些指另一半） 看來，只要把一個(gè)蛋糕平均分成 2份，每份都是它的一半。不過，數(shù)學(xué)是用來研究數(shù)的，那 一半”如果也要用一個(gè)數(shù)來表示，又該如何表達(dá)呢？這就是我們今天要研究的問題。案例中，教師所選擇的野餐的問題，就是一個(gè)典型的現(xiàn)實(shí)情境。一方面，在類似野餐這樣的現(xiàn)實(shí)活動(dòng)中，學(xué)生通常都會(huì)面臨如何時(shí)公平地分東西這樣的問題，并已經(jīng)積累了一定的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。因而，野餐情境人創(chuàng)設(shè)， 恰可以自然地喚醒學(xué)生的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生

19、迅速理解平 均分這一分?jǐn)?shù)的本質(zhì)屬性奠定良好的基礎(chǔ)，更重要的是，野餐這一情境并沒的僅僅滿足于現(xiàn)實(shí)性這一維度，在學(xué)生借助原有的經(jīng)驗(yàn)成功地分完蘋果、礦泉水，并用已經(jīng)認(rèn)識(shí)的整數(shù) 表示出均分后的結(jié)果之后，蛋糕只有1個(gè)，還能平土分給2人嗎？把1個(gè)蛋糕平均分給2 個(gè)人，每人又能分得多少呢？兩個(gè)新問題的適時(shí)引入，展現(xiàn)出了這一現(xiàn)實(shí)情境的真正意圖： 原有的整數(shù)顯然已紅無法表示出此時(shí)分得的結(jié)果，我們究竟又該引入怎樣的新數(shù)，以表示出最終的結(jié)果呢？教學(xué)至此，現(xiàn)實(shí)情境的價(jià)值和意義得到了充分的彰顯。由此也不難發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)實(shí)情境的創(chuàng)設(shè)除了可以為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的展開奠定基礎(chǔ)，在某種程度上也會(huì)成為吸引學(xué)生參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要籌碼，畢竟，情境

20、的現(xiàn)實(shí)性更容易接近數(shù)學(xué)與生活、 數(shù)學(xué)與學(xué)生經(jīng)驗(yàn)之間的關(guān)系，有利于喚起學(xué)生主動(dòng)參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性。然而，在具體實(shí)施過程中，不少教師過分夸大現(xiàn)實(shí)情境和趣味性、吸引力，在情境的現(xiàn)實(shí)性上大做文章，反而使情境缺失了必要的數(shù)學(xué)味與數(shù)學(xué)化”的可能。因而，創(chuàng)設(shè)有效的現(xiàn)實(shí)情境，除了其 基本的內(nèi)在要求之外，還需要注意以下幾點(diǎn)：其一，現(xiàn)實(shí)情境的主題要與即將展開的數(shù)學(xué)學(xué) 習(xí)高度相關(guān)，現(xiàn)實(shí)情境要服務(wù)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。其二，現(xiàn)實(shí)情境的創(chuàng)設(shè)要有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性，但不宜過度，要把握好分寸，切忌因情境的創(chuàng)設(shè)而使學(xué)生將注意力持續(xù)集中 在現(xiàn)實(shí)情境所描述的故事、畫面、情節(jié)之中，分散學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的注意力，影響學(xué)生對隨后數(shù)學(xué)學(xué)

21、習(xí)的一個(gè)載體而已。過于復(fù)雜的情境設(shè)計(jì)，不但不能夠有效表達(dá)相關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，情境中的非數(shù)因素反而會(huì)干擾學(xué)生的注意力，弱化他們對情境所內(nèi)含的數(shù)學(xué)內(nèi)容的關(guān)注。善于把握數(shù)學(xué)化”的恰當(dāng)時(shí)機(jī)現(xiàn)實(shí)情境是數(shù)學(xué)內(nèi)容的重要載體，但載體不等于內(nèi)容本身。 好的現(xiàn)實(shí)情境，還需要教師通過必要的引導(dǎo)，幫助學(xué)生剝離其中非數(shù)學(xué)的成分，而逐步接近數(shù)學(xué)的內(nèi)核，進(jìn)而在觀察、 比較、分析、抽象、概括等教學(xué)活動(dòng)中，理解數(shù)學(xué)知識(shí)，掌握數(shù)學(xué)方法，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想。然 而，如何實(shí)現(xiàn)這種剝離， 尤其是，在具體的教學(xué)情境中，我們該選擇怎樣的時(shí)機(jī)引導(dǎo)學(xué)生透過現(xiàn)實(shí)情境來把握情境背后所潛藏著的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，以實(shí)現(xiàn)對情境的必要超越呢？我們以為， 如果過早地進(jìn)行數(shù)學(xué)

22、化，由于學(xué)生對現(xiàn)實(shí)情境中所包含的數(shù)學(xué)內(nèi)容缺乏全面、充分、細(xì)致 地感知，他們不易在現(xiàn)實(shí)情境與數(shù)學(xué)化后的數(shù)學(xué)內(nèi)容或結(jié)構(gòu)之間找到內(nèi)在關(guān)聯(lián)，從而影響對數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解。 反之，如果學(xué)生對現(xiàn)實(shí)情境中的數(shù)學(xué)內(nèi)容、關(guān)系、 結(jié)構(gòu)等已經(jīng)有了充分 的感知，教師仍遲遲不組織學(xué)生對情境中的數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行由表及里的抽象與提取，則會(huì)使學(xué)生過多地沉浸在現(xiàn)實(shí)的情境與畫面中，缺少對其中更為核心、 更加本質(zhì)的數(shù)學(xué)內(nèi)容要素的把握。更有甚者，教師若至始至終不組織學(xué)生展開必要的數(shù)學(xué)化，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)永遠(yuǎn)停留于現(xiàn)實(shí)情境的維度，缺乏提升，更缺少對數(shù)學(xué)內(nèi)核的關(guān)照。 這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)顯然是不可取的。 因此，我們提出，數(shù)學(xué)化”應(yīng)該發(fā)生在學(xué)生對現(xiàn)實(shí)情境

23、有了一個(gè)充分但不過度的感知的基礎(chǔ) 之上，數(shù)學(xué)化應(yīng)遵循著不憤不啟，不俳不發(fā)”的基本原則，要做到順其自然，化”在不得不化時(shí)，化在不彳#不化處?？梢哉f，這里既有一個(gè)度的把握問題，更包含著豐富的實(shí) 踐智慧?！景咐?】用數(shù)對確定位置（南京市北京東路小學(xué)張齊華執(zhí)教）師：二年級(jí)我們已經(jīng)研究過用 第幾排，第幾個(gè)”等方式來確定人或物體的位置，還記得 嗎？生：記得！師：那行。下面的照片中，哪一個(gè)是張老師的兒子， 你能用二年級(jí)確定位置的方法大膽 猜猜看嗎？生：我猜是第3組第2個(gè)。師：嗯，你是豎著看的。第3組-第2個(gè)-呵，瞧這小伙子長得多帥氣，怎么看就像張老師的兒子，對吧？（學(xué)生笑）這是你的想法，有不一樣的嗎？生：我

24、覺得可能是第 5組第1個(gè)。師：你也是豎著看的，覺得是他，對吧。一看就是一副聰明相！生：我覺得是第3行的第2個(gè)。師：你是橫著看的，第 3行-第2個(gè)-覺得是他。還有不一樣嗎？ 生：我覺得還可能是第 4組第5個(gè)。師：這樣看來，光靠猜，要一下子確定張老師兒子的位置，感覺怎么樣？ 生：有點(diǎn)困難。師：那就給點(diǎn)提醒吧，看看會(huì)不會(huì)好一些。他呀，在第4組-生：我知道了，是第 4組第3個(gè)。生：不一定，還可能是第 4組第5個(gè)。生：第4組有兩個(gè)男生，光說第 4組還是無法確定，還得看看在第幾個(gè)。生：找到了，是他！師：看來，二年級(jí)掌握的方法，還真能幫我們很快確定一個(gè)人的位置。不過，換個(gè)角度 看看，除了第4組第三個(gè)以外，還

25、可以怎么確定他的位置？生：第3排第4個(gè)。（教師板書：第3排第4個(gè)。）師：無論是第3排第4個(gè)，還是第4組第3個(gè)，能確定張老師兒子的位置嗎？生：能！師：既然這樣的方式已經(jīng)能夠確定位置了，那我們今天還來研究什么呢？生：我覺得是不是有比像第3排第4個(gè)，第4組第3個(gè)更簡潔的方法，也可以用來確 定位置。師：是呀，真和數(shù)學(xué)家想到一塊去了！那你們覺得，會(huì)不會(huì)有比它更簡潔的確定位置的方法呢？生：應(yīng)該會(huì)有。師：如果有，那又會(huì)是什么樣的呢下面的時(shí)間，我把這一任務(wù)留給每一個(gè)小組，看看能 不能集中大家的智慧，在第3排第4個(gè)、第4組第3個(gè)這一方法的基礎(chǔ)上，創(chuàng)造出一種更 簡潔，同時(shí)也很準(zhǔn)確的方法。有沒有信心？生：有！師：別

26、忘了，把研究出的方法在自己的作業(yè)本上。如果能找到不同的方法，都可以記錄 下來。案例中，如何引導(dǎo)學(xué)生由原有的用 第幾排第幾個(gè)確定照片中的某一人的位置，向著更抽象的用數(shù)對確定位置邁進(jìn)，無疑是一種重要的數(shù)學(xué)化過程。教師在引導(dǎo)時(shí)很好地把握 了時(shí)機(jī)。首先，出示照片后，教師沒有急于告訴學(xué)生兒子在哪里進(jìn)而引導(dǎo)他們展開相應(yīng)數(shù)學(xué)化過程，而是先引導(dǎo)學(xué)生 猜一猜，并用已經(jīng)掌握的方法來確定兒子的位置。這一過程看似隨意，但猜的過程，恰是學(xué)生回顧并應(yīng)用已有確定位置的方法的過程，有利于強(qiáng)化在二維平面空間中確定一個(gè)點(diǎn)的位置的教學(xué)實(shí)質(zhì)，即無論這個(gè)人在哪里， 要確定他的位置， 至少需要行數(shù)和列數(shù)，從而為隨后由第幾排第幾個(gè)這樣現(xiàn)實(shí)

27、的方式向用數(shù)對確定位置這一 方面更加數(shù)學(xué)化”的方式的抽象奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。其次，在學(xué)生經(jīng)歷充分的猜一猜、說一說 等活動(dòng)后，教師提出既然這樣的思維推向深入，尋求更簡潔的確定位置的方法已然不完全 是教師的外在要求了。面對這一現(xiàn)實(shí)的情境，學(xué)生在教師的啟發(fā)下引發(fā)的新思考、新需要、 新沖突，為他們隨后主動(dòng)開展新的 數(shù)學(xué)化活動(dòng)蓄足了勢。此時(shí)，教師再順?biāo)浦垡龑?dǎo)學(xué)生 自己去創(chuàng)造更好的方法二就顯得水到渠成。二、善于組織數(shù)學(xué)化”的精致過程數(shù)學(xué)化通常都不是一蹴而成的，需要一個(gè)有序的、富有層次的過程。這取決于數(shù)學(xué)內(nèi) 容本身的抽象度，也取決于學(xué)生的思維水平與認(rèn)知特點(diǎn)。如何在現(xiàn)實(shí)情境與數(shù)學(xué)內(nèi)容之間架設(shè)一座適宜的橋梁，引導(dǎo)

28、學(xué)生從現(xiàn)實(shí)情境一步步向數(shù)學(xué)內(nèi)容挺進(jìn)，需要教師做出精心的規(guī)劃與設(shè)計(jì)。案例3認(rèn)知乘法師：仔細(xì)觀察畫面（如圖15-7）,你發(fā)現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)信息？生：我發(fā)現(xiàn)圖上有一些雞，每堆 3只，一共有4堆。生：我還發(fā)現(xiàn)了 6只兔，每2只一堆，一共有3堆。師：觀察得真仔細(xì)！那么，根據(jù)這些數(shù)學(xué)信息，你能提出怎樣的數(shù)學(xué)問題？生：雞一共的多少只？生：兔一共有多少只？師：能列算式解決這兩個(gè)問題嗎？生：3+3+3+3=12,雞有 12 只。生：2+2+2=6,兔子有6只。師：觀察這兩道加法算式，有什么共同的地方？生：它們都是同樣的幾個(gè)數(shù)在相加。師：能具體說一說嗎？生：比如第一道算式里，相加的數(shù)都是3;而第二道算式里，相加的數(shù)都

29、是2。師：那么，在第一道算式里，有幾個(gè)3在相加？生：4個(gè)。師：第二道算式呢？生：是3個(gè)2在相加。師：那么，像這樣加數(shù)相同的加法算式，你還能再舉出一些嗎？生：能！師：試一試，并說說你列舉的算式中，相同加數(shù)是幾，有幾個(gè)幾在相加。生：我舉的是5+5+5+5。相同力口數(shù)是5,有4個(gè)5相加。生：我列的算式是 6+6+6+6+6+6,相同加數(shù)是 6,的6個(gè)6相加。師：像這些加數(shù)相同的加法算式，在數(shù)學(xué)上還有更簡潔的寫法呢。案例中，教師在組織學(xué)生經(jīng)歷現(xiàn)實(shí)情境數(shù)學(xué)化的過程時(shí)，可謂步步為營。首先，引導(dǎo)學(xué)生由現(xiàn)實(shí)情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)信息，進(jìn)而提出數(shù)學(xué)問題，這是現(xiàn)實(shí)情境數(shù)學(xué)化”的重要過程，是水平數(shù)學(xué)化。教師在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷這

30、一過程時(shí)，并沒有放任自流，而是通過你發(fā)現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)信息根據(jù)這些數(shù)學(xué)信息，你能提出怎樣的數(shù)學(xué)問題呢這兩個(gè)問題的引導(dǎo)，將學(xué)生 的思維很快引向現(xiàn)實(shí)情境中所包含的數(shù)學(xué)內(nèi)容。事實(shí)上，也正因?yàn)榻處煹挠行б龑?dǎo)， 學(xué)生的思維才沒有被現(xiàn)實(shí)情境中其他的非數(shù)學(xué)信息所干擾，才沒有偏離現(xiàn)實(shí)情境數(shù)學(xué)化”的正確軌道。其次，當(dāng)學(xué)生由現(xiàn)實(shí)情境中得出兩道加法算式后，教師及時(shí)引導(dǎo)他們通過觀察、比較， 尋找這兩道算式之間的相似之處。當(dāng)學(xué)生經(jīng)由比較發(fā)現(xiàn)它們都是加數(shù)相同的加法算式后，教師沒有滿足于此，而是繼續(xù)推進(jìn)學(xué)生更深入地思維：像這樣加數(shù)的相同的加法算式，你還能再舉出一些嗎？由于在先前的觀察和比較中，學(xué)生已經(jīng)對兩道算式內(nèi)部結(jié)構(gòu)的相似性

31、有 了發(fā)現(xiàn)，此時(shí)，他們循著自己的發(fā)現(xiàn)，很自然地又舉出了若干符合相關(guān)特征的加法算式。在 這一過程中，既有對兩道算式鐵初步比較與歸納，又有根據(jù)歸納后的發(fā)現(xiàn)所作的演繹枚舉， 至此，學(xué)生已經(jīng)-加數(shù)相同。此時(shí)，再引導(dǎo)學(xué)生由 相同加數(shù)的加法向乘法做出第二次數(shù) 學(xué)化，也就是垂直數(shù)學(xué)化已是水到渠成的事情了。上述環(huán)節(jié)看似簡單，但細(xì)細(xì)梳理其 間的脈絡(luò)，我們不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生實(shí)則經(jīng)歷了 現(xiàn)實(shí)情境-強(qiáng)學(xué)信息-數(shù)學(xué)問題-加法算式-乘法 算式”這一完整的數(shù)學(xué)化”過程中理解了乘法這一新的數(shù)學(xué)內(nèi)容的意義，數(shù)學(xué)思維水平獲得 了有效的提升。資料鏈接臨近發(fā)稿，適逢項(xiàng)武義教授來訪。座談中提到數(shù)學(xué)教育中有去數(shù)學(xué)化的傾向。細(xì)細(xì)想來，覺得頗切中時(shí)弊。數(shù)學(xué)教育，自然是以數(shù)學(xué)內(nèi)容為核心。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的優(yōu)劣，自 然應(yīng)該以學(xué)生是否能學(xué)好數(shù)學(xué)為依歸。也就是說，教育手段必須為數(shù)學(xué)內(nèi)容服務(wù)?？上У?是，這樣的常識(shí)，近來似乎一再正確了。君不見，評論一堂課的優(yōu)劣，只問教師是否創(chuàng)設(shè)了 現(xiàn)實(shí)情境？學(xué)生是否自主探究， 氣氛是否活躍？是否分小組活動(dòng)？用了多媒體沒有？至于數(shù) 學(xué)內(nèi)容，反倒可有可無起來。再看近些年的一些數(shù)學(xué)教育研究文章，尤其是一些博士、碩士的學(xué)位論文，數(shù)學(xué)幾乎看不見了。通常是教育學(xué)、心理學(xué)的語匯，結(jié)果無非是為某教育理論的正確做一個(gè)數(shù)學(xué)注