蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修一第1章1.5.2第3課時《對稱問題》課件

1、蘇教版高中數(shù)學(xué)課件對稱問題一、幾類常見的對稱問題例1已知直線l：y3x3，求：(1)點P(4,5)關(guān)于l的對稱點的坐標(biāo)；解設(shè)點P關(guān)于直線l的對稱點為P(x，y)，則線段PP的中點在直線l上，且直線PP垂直于直線l，點P的坐標(biāo)為(2,7).(2)直線yx2關(guān)于l的對稱直線的方程；在直線yx2上任取一點M(2,0)，設(shè)點M關(guān)于直線l的對稱點為M(x0，y0)，化簡得7xy220，即為所求直線方程.(3)直線l關(guān)于點A(3,2)的對稱直線的方程.解在直線l上取兩點E(0,3)，F(xiàn)(1,0)，則E，F(xiàn)關(guān)于點A(3,2)的對稱點分別為E(6,1)，F(xiàn)(7,4).因為點E，F(xiàn)在所求直線上，即3xy170.

2、反思感悟?qū)ΨQ問題的解決方法(1)點關(guān)于點的對稱問題通常利用中點坐標(biāo)公式.點P(x，y)關(guān)于Q(a，b)的對稱點為P(2ax,2by).(2)直線關(guān)于點的對稱直線通常用轉(zhuǎn)移法或取特殊點來求.設(shè)l的方程為AxByC0(A2B20)，點P(x0，y0)，則l關(guān)于P點的對稱直線方程為A(2x0 x)B(2y0y)C0.(3)點關(guān)于直線的對稱點，要抓住“垂直”和“平分”.設(shè)P(x0，y0)，l：AxByC0(A2B20)，P關(guān)于l的對稱點Q可以通過條件：PQl；PQ的中點在l上來求得.(4)求直線關(guān)于直線的對稱直線的問題可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱問題.跟蹤訓(xùn)練1已知P(1,2)，M(1,3)，直線l：y2

3、x1.(1)求點P關(guān)于直線l的對稱點R的坐標(biāo)；解設(shè)點P關(guān)于直線l的對稱點R的坐標(biāo)為(x，y)，(2)求直線PM關(guān)于直線l的對稱直線方程.解因為M(1,3)的坐標(biāo)滿足直線l的方程，則直線MR為所求的直線，方程為11x2y170.二、光的反射問題例2一束光線從原點O(0,0)出發(fā)，經(jīng)過直線l：8x6y25反射后通過點P(4,3)，求反射光線的方程及光線從O點到達P點所走過的路程.解設(shè)原點關(guān)于l的對稱點A的坐標(biāo)為(a，b)，由直線OA與l垂直和線段AO的中點在l上得點A的坐標(biāo)為(4,3).反射光線的反向延長線過A(4,3)，又由反射光線過P(4,3)，A，P兩點縱坐標(biāo)相等，故反射光線所在直線的方程為

4、y3.由于反射光線為射線，由光的性質(zhì)可知，光線從O到P的路程即為AP的長度AP，由A(4,3)，P(4,3)知，AP4(4)8，即光線從O經(jīng)直線l反射后到達P點所走過的路程為8.反思感悟根據(jù)平面幾何知識和光學(xué)知識，入射光線、反射光線上對應(yīng)的點是關(guān)于法線對稱的.利用點的對稱關(guān)系可以求解.跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，已知點A(4，0)，B(0,4)，從點P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到點P，則光線所經(jīng)過的路程是解析由題意知，AB所在直線的方程為xy40.如圖，點P關(guān)于直線AB的對稱點為D(4,2)，關(guān)于y軸的對稱點為C(2,0)，三、利用對稱解決有關(guān)最值問

5、題例3在直線l：xy10上求兩點P，Q.使得：(1)P到A(4,1)與B(0,4)的距離之差最大；解如圖，設(shè)點B關(guān)于l的對稱點B的坐標(biāo)為(a，b)，連接BB，ab40， 點B的坐標(biāo)為(5，1).即2xy90.易知|PBPA|PBPA|，當(dāng)且僅當(dāng)P，B，A三點共線時，|PBPA|最大.(2)Q到A(4,1)與C(3,0)的距離之和最小.解如圖，設(shè)點C關(guān)于l的對稱點為C，可求得C的坐標(biāo)為(1,2)，AC所在直線的方程為x3y70.易知QAQCQAQC，當(dāng)且僅當(dāng)Q，A，C三點共線時，QAQC最小.反思感悟利用對稱性求距離的最值問題由平面幾何知識(三角形任兩邊之和大于第三邊，任兩邊之差的絕對值小于第三

6、邊)可知，要解決在直線l上求一點，使這點到兩定點A，B的距離之差最大的問題，若這兩點A，B位于直線l的同側(cè)，則只需求出直線AB的方程，再求它與已知直線的交點，即得所求的點的坐標(biāo)；若A，B兩點位于直線l的異側(cè)，則先求A，B兩點中某一點，如A關(guān)于直線l的對稱點A，得直線AB的方程，再求其與直線l的交點即可.對于在直線l上求一點P，使P到平面上兩點A，B的距離之和最小的問題可用類似方法求解.跟蹤訓(xùn)練3在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B分別是x軸、y軸上兩個動點，又有一定點M(3,4)，則MAABBM的最小值是A.10 B.11 C.12 D.13解析如圖，設(shè)點M(3,4)關(guān)于y軸的對稱點為P(3,4)，關(guān)

7、于x軸的對稱點為Q(3，4)，則MBPB，MAAQ.當(dāng)A與B重合于坐標(biāo)原點O時，MAABBMPOOQPQ當(dāng)A與B不重合時，MAABBMAQABPBPQ10.綜上可知，當(dāng)A與B重合于坐標(biāo)原點O時，MAABBM取得最小值，最小值為10.1.知識清單：(1)關(guān)于點點、點線、線線的對稱問題.(2)反射問題.(3)利用對稱解決有關(guān)最值問題.2.方法歸納：轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū)：兩條直線關(guān)于直線外一點對稱，則這兩條直線一定平行，千萬不要與兩條相交直線關(guān)于角平分線所在直線對稱混淆.課堂小結(jié)隨堂演練1.點(3,9)關(guān)于直線x3y100對稱的點的坐標(biāo)是A.(1，3) B.(17，9)C.(1,3) D

8、.(17,9)解析設(shè)點(3,9)關(guān)于直線x3y100對稱的點的坐標(biāo)為(a，b)，1234所以該點的坐標(biāo)為(1，3).2.若點P(3,4)和點Q(a，b)關(guān)于直線xy10對稱，則A.a1，b2 B.a2，b1C.a4，b3 D.a5，b212343.直線x2y10 關(guān)于直線x1對稱的直線方程是A.x2y10 B.2xy10C.2xy30 D.x2y30123412344.已知A(3,0)，B(0,3)，從點P(0,2)射出的光線經(jīng)x軸反射到直線AB上，又經(jīng)過直線AB反射回到P點，則光線所經(jīng)過的路程為解析由題易知直線AB的方程為xy3，點P(0,2)關(guān)于x軸的對稱點為P1(0，2)，設(shè)點P(0,2

9、)關(guān)于直線AB的對稱點為P2(a，b)，如圖，1234課時對點練基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415161.已知點A(x,5)關(guān)于點(1，y)的對稱點為(2，3)，則點P(x，y)到原點的距離是所以點P的坐標(biāo)為(4,1)，123456789101112131415162.點P(2,5)關(guān)于直線xy10的對稱點的坐標(biāo)為A.(6，3) B.(3，6)C.(6，3) D.(6,3)解析設(shè)點P(2,5)關(guān)于直線l的對稱點的坐標(biāo)為(x，y)，故點P(2,5)關(guān)于直線l的對稱點的坐標(biāo)為(6，3).123456789101112131415163.直線2x3y60關(guān)于點(1，1)對稱的直線方程

10、是A.2x3y70 B.3x2y20C.2x3y80 D.3x2y12012345678910111213141516解析直線2x3y60關(guān)于點(1，1)對稱的直線斜率不變，設(shè)對稱后的直線方程l為2x3yc0，又點(1，1)到兩直線的距離相等，化簡得|c1|7，解得c6 或c8，l的方程為2x3y60(舍)或 2x3y80，即直線2x3y60關(guān)于點(1，1)對稱的直線方程是2x3y80.123456789101112131415164.已知直線l：axbyc0與直線l關(guān)于直線xy0對稱，則l的方程為A.bxayc0 B.bxayc0C.bxayc0 D.bxayc05.過點(2,1)且與點(1

11、,3)距離最大的直線方程是A.2xy30 B.2xy50C.x2y0 D.x2y40故過點(2,1)且與點(1,3)距離最大的直線和這兩點所在直線垂直，123456789101112131415166.光線從點A(3,5)射到x軸上，經(jīng)x軸反射后經(jīng)過點B(2,10)，則光線從A到B的路程為解析點A(3,5)關(guān)于x軸的對稱點A(3，5)，則光線從A到B的路程即AB的長，12345678910111213141516123456789101112131415167.已知A(3,8)，B(2,2)，在x軸上有一點M，使得MAMB取最小值，則點M的坐標(biāo)為_.解析如圖，作點A關(guān)于x軸的對稱點A(3，8)

12、，連接AB，則AB與x軸的交點即為M，連接AM.因為B(2，2)，(1,0)即2xy20.令y0，得x1，所以點M的坐標(biāo)為(1,0).123456789101112131415168.已知入射光線經(jīng)過點M(3,4)，被直線l：xy30反射，反射光線經(jīng)過點N(2,6)，則反射光線所在直線的方程為_.6xy60解析設(shè)點M(3,4)關(guān)于直線l：xy30的對稱點為M(a，b)，則反射光線所在直線過點M，又反射光線經(jīng)過點N(2,6)，12345678910111213141516123456789101112131415169.已知點M(3,5)，在直線l：x2y20和y軸上各找一點P和Q，使MPQ周長

13、最小.解由點M(3,5)及直線l，可求得點M關(guān)于l的對稱點為M1(5,1).同樣可求得點M關(guān)于y軸的對稱點為M2(3,5).由M1及M2兩點可得到直線M1M2的方程為x2y70.123456789101112131415161234567891011121314151610.已知直線l：xy30，一束光線從點A(1,2)處射向x軸上一點B，又從點B反射到l上的一點C，最后從點C反射回點A.(1)試判斷由此得到的ABC的個數(shù)；解如圖，設(shè)B(m,0)，點A關(guān)于x軸的對稱點為A(1，2)，點B關(guān)于直線xy30的對稱點為B(3，m3).根據(jù)光學(xué)知識，知點C在直線AB上，點C又在直線BA上，123456

14、7891011121314151612345678910111213141516當(dāng)m3時，點B在直線xy30上，不能構(gòu)成三角形.綜上，符合題意的ABC只有1個.12345678910111213141516(2)求直線BC的方程.則直線AB的方程為3xy10，即直線BC的方程為3xy10.12345678910111213141516綜合運用11.已知點(1，1)關(guān)于直線l1：yx的對稱點為A，設(shè)直線l2經(jīng)過點A，則當(dāng)點B(2，1)到直線l2的距離最大時，直線l2的方程為A.2x3y50 B.3x2y50C.3x2y50 D.2x3y50設(shè)點B(2，1)到直線l2的距離為d，當(dāng)dAB時取得最大

15、值，此時直線l2垂直于直線AB，12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516f(x)的幾何意義為點M(x,0)到兩定點A(2,4)與B(1,3)的距離之和，設(shè)點A(2,4)關(guān)于x軸的對稱點為A，則A(2，4).要求f(x)的最小值，可轉(zhuǎn)化為求MAMB的最小值，123456789101112131415161234567891011121314151614.唐代詩人李頎的詩古從軍行開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題“

16、將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在位置為B(1，4)，若將軍從點A(1,2)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為xy3.則“將軍飲馬“的最短總路程為12345678910111213141516解析如圖所示，設(shè)點B關(guān)于直線xy3的對稱點為C(a，b)，在直線xy3上取點P，由對稱性可得PBPC，12345678910111213141516所以PAPBPAPCAC當(dāng)且僅當(dāng)A，P，C三點共線時，等號成立，拓廣探究1234567891011121314151615.若函數(shù)y 的圖象上存在兩點P，Q關(guān)于點(1,0)對稱，則直線PQ的方程是_.x4y10又線段PQ的中點是(1,0)，所以p，q為方程x22x10的根，12345678910111213141516由兩點式得直線PQ的方程為x4y10.123456789101112131415161234567891011121314151616.已知直線l：x2y80和兩點A(2,0)，B(2，4).(1)在直線l上求一點P，使PAPB最??；12345678910111213141516解設(shè)A關(guān)于直線l的對稱點為A(m，n)，故A(2,8)