概率論2.2離散型隨機(jī)變量

1、2.1 隨機(jī)變量的概念第二章 隨機(jī)變量2.2 離散型隨機(jī)變量2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量2.4 隨機(jī)變量函數(shù)的分布1. 離散型隨機(jī)變量的定義：若隨機(jī)變量X 只取有限個(gè)或可列個(gè)可能值，而且取這些可能值的概率確定，則稱X為離散型隨機(jī)變量。研究離散型隨機(jī)變量的概率分布也就是研究隨機(jī)變量的可能取值及與所取值對應(yīng)的概率的關(guān)系.2. 離散型隨機(jī)變量的概率分布2.2 離散型隨機(jī)變量 這樣，我們就掌握了X 這個(gè)取值的概率分布。例1：從盒中任取3 球， 記 X 為取到白球數(shù)，則 X 是一隨機(jī)變量。求X 這個(gè)取值的概率分布X 可能取的值為: 0, 1, 2。取各值的概率為且解：三紅二紅一白一紅兩白 定義1 ：設(shè)離散型隨

2、機(jī)變量 X 所有可能取的值為 且有則稱p1 , p2, 為離散型隨機(jī)變量 X 的概率分布或概率分布律，也稱概率函數(shù)。其中 p1 , p2, 滿足概率分布也可用下面表格的形式給出：2.2.1 離散型隨機(jī)變量概率分布的定義X的概率分布表 一般常用花括號(hào)，不過，有時(shí)也用園括號(hào)。用這兩條性質(zhì)判斷一個(gè)數(shù)列是否是概率分布。解：依據(jù)概率分布的性質(zhì)欲使上述數(shù)列為概率分布，應(yīng)有 例2：設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率分布為確定常數(shù) a 。又因二段學(xué)過冪級(jí)數(shù)的展開式,從中解得例3：某籃球運(yùn)動(dòng)員投中籃圈概率是0.9，求其兩次獨(dú)立投籃后，投中次數(shù) X 的概率分布。X 可取的值為 ： P(X=0) = P(X=1) = P(X=

3、2) =0.10.1 = 0.01，20.90.1 = 0.18 ,0.90.9 = 0.81 .二不中一中一不中二中解：0, 1, 2，設(shè)Ai=第i次中籃i=1,2.易見： P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1 .X的概率分布表P27例2.2.1 如圖所示，電子線路中裝有兩個(gè)并聯(lián)繼電器，假設(shè)這兩個(gè)繼電器是否接通具有隨機(jī)性,且彼此獨(dú)立。已知各繼電器接通的概率為0.8,記X為線路中接通的繼電器的個(gè)數(shù)。求 (1). X 的概率分布；(2). 線路接通的概率。解：(1). 記 Ai=第 i 個(gè)繼電器接通, i =1, 2.因兩個(gè)繼電器是否接通是相互獨(dú)立的,所以A1和A2相互獨(dú)立，

4、且 P(A1)=P(A2)= 0.8 .下面求 X 的概率分布:P兩個(gè)繼電器都沒接通首先，X 可能取的值為: 0, 1, 2 .PX=0 =PX=1=P恰有一個(gè)繼電器接通=PX=2 =P兩個(gè)繼電器都接通X的分布律為P27例2.2.1 續(xù)：如圖所示,電子線路中裝有兩個(gè)并聯(lián)繼電器。設(shè)這兩個(gè)繼電器是否接通具有隨機(jī)性,且彼此獨(dú)立。已知各電器接通的概率為0.8,記X為線路中接通的繼電器的個(gè)數(shù)。求 (2). 線路接通的概率。(2). 因線路是并聯(lián)電路，所以 P線路接通 = = PX1= PX=1+PX=2= 0.32+0.64= 0.96.X的概率分布律P只要一個(gè)繼電器接通2.2.2 常見離散型隨機(jī)變量的

5、概率分布1. 兩點(diǎn)分布設(shè) E 是一個(gè)只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn), 用= 1, 2 表示其樣本空間，此試驗(yàn)稱為貝努里試驗(yàn)( Bernoulli)。 P1 = p , P2 = 1-p ， 0 p 1.則稱X服從參數(shù)p的兩點(diǎn)分布, 記成 XB(1, p)。p1-pP10“”讀成“服從” 。貝努里試驗(yàn)XB(1, p)解：P28例 2.2.2: 200 件產(chǎn)品中,有196件正品,4件次品,今從中隨機(jī)地取一件,若規(guī)定 試給出X的概率分布。XB(1, 0.98)。p1-pP10則稱X服從參數(shù)p的兩點(diǎn)分布, 記成 XB(1, p)。“”讀成“服從” 。2. 貝努里概型與二項(xiàng)分布類P29例2.2.3：某射手每

6、次命中10環(huán)的概率為p,現(xiàn)獨(dú)立射擊了n次,(1)求在n次射擊中,前k次命中10環(huán),后n-k次未命中10環(huán)的概率,(2)這n次射擊中恰好有k次命中10環(huán)的概率.類P29例2.2.3續(xù)：某射手每次命中10環(huán)的概率為p,現(xiàn)獨(dú)立射擊了n次,(1)求在n次射擊中,前k次命中10環(huán),后n-k次未命中10環(huán)的概率,(2)這n次射擊中恰好有k次命中10環(huán)的概率.這n次試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率為:以上例題這類的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重Bernoulli 試驗(yàn)的特點(diǎn):1n個(gè)獨(dú)立的重復(fù)子試驗(yàn)構(gòu)成。2每個(gè)子試驗(yàn)都只有兩個(gè)可能結(jié)果3在每個(gè)子試驗(yàn)中都是 n重貝努里試驗(yàn)n重貝努里試驗(yàn)所研究的基本問題: 在這n次試驗(yàn)中A恰好發(fā)

7、生k次的概率是多少?回答： 貝努里定理 設(shè)一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p (0p1), 則n重貝努里試驗(yàn)中，（貝努里公式）.類P29例2.2.3：某射手每次命中10環(huán)的概率為p,現(xiàn)獨(dú)立射擊了n次,求這n次射擊中恰好有k次命中10環(huán)的概率.n重貝努里試驗(yàn)的例子： 2.向目標(biāo)獨(dú)立地射擊9次，每次擊中目標(biāo)的概率為0.75，3.將一骰子擲10次,求10次中有1次出現(xiàn)6點(diǎn)的概率4.設(shè)生男孩的概率為0.51,生女孩的概率為0.49，現(xiàn)隨機(jī)抽查出生的6個(gè)嬰兒,求其中恰有3個(gè)男孩的概率求9次全沒擊中目標(biāo)的概率(A為出現(xiàn)6點(diǎn)).(A為男孩).1. 已知一堆產(chǎn)品的廢品率為0.05,現(xiàn)在從中重復(fù)抽取20個(gè),求其中有

8、4個(gè)廢品的概率(A為抽到廢品)(A為擊中目標(biāo)).這n次試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率為:（貝努里公式）.例7:電燈泡使用壽命在1000小時(shí)以上的概率為0.2,求3個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)后,最多只有1個(gè)壞了的概率。解1：解2：例：某射手每次射擊時(shí)命中10環(huán)的概率為 p, 現(xiàn)進(jìn)行 4 次獨(dú)立射擊，用X 表示 4 次射擊后, 命中10環(huán)的次數(shù), 求X 的概率分布。用“”表示未中，“”表示命中。則X 的概率分布為中0次中1次中2次中3次中4次解：X的可能取值為0，1，2，3，4（貝努里公式）貝努里定理： 設(shè)一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p (0p0 是常數(shù)， 則稱 X 服從參數(shù)為的泊松分布, 記作 X

9、 P() 。易見解:P32例2.2.6: 某城市每天發(fā)生火災(zāi)的次數(shù) X 服從參數(shù)為0.8的泊松分布。求該城市一天內(nèi)發(fā)生 3 次以上火災(zāi)的概率。= 1- (0.80/0!)+(0.81/1!)+(0.82/2!) e-0.8(e=2.71828)1-PX0 是常數(shù)， 則稱 X 服從參數(shù)為的泊松分布, 記作 X P() 。解: (1). PX=3 = (2). P2X5 = PX=2 + PX=3 + PX=4 + PX=5 = (32/2!) + (33/3!) + (34/4!) + (35/5!) e-3 0.7169.p(3; 3) =(33/3!)e-3 0.2240；可計(jì)算出e-3 0

10、.049787 泊松分布的圖形 設(shè)隨機(jī)變量 X 所有可能取的值為: 0, 1, 2, 概率分布為：其中0 是常數(shù)， 則稱 X 服從參數(shù)為的泊松分布, 記作 X P() 。 歷史上，泊松分布是作為二項(xiàng)分布的近似，于1837年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入的 。二項(xiàng)分布與泊松分布的關(guān)系 定理1(泊松定理): 對二項(xiàng)分布 B(n,p), 當(dāng) n充分大, p又很小時(shí),對任意固定的非負(fù)整數(shù) k，有近似公式 由泊松定理，n重貝努里試驗(yàn)中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布。 我們把在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)概率很小的事件稱作稀有事件。如：地震、火山爆發(fā)、特大洪水、意外事故等。P31例2.2.5:某出租汽車公司共有出租車400

11、輛，設(shè)每天每輛出租車出現(xiàn)故障的概率為0.02,求:一天內(nèi)沒有出租車出現(xiàn)故障的概率。解: 將觀察一輛車一天內(nèi)是否出現(xiàn)故障看成一次試驗(yàn) E。因?yàn)槊枯v車是否出現(xiàn)故障與其它車無關(guān), 于是, 觀察400輛出租車是否出現(xiàn)故障就是做 400 次貝努利試驗(yàn)。設(shè) X 表示一天內(nèi)出現(xiàn)故障的出租車數(shù), 則 X B(400, 0.02)。由泊松定理，有泊松分布是作為二項(xiàng)分布的近似令 = np = P一天內(nèi)沒有出租車出現(xiàn)故障= PX=0 = b(0;400,0.02)= 4000.02 = 8 ，于是, e-8 =0.000335464顯然有 n=400很大, p=0.02很小=0.0003093360.0003355

12、.解 由 XP(1.5) 及概率的可加性，得 P32例2.2.7 某床單廠生產(chǎn)的床單，每條床單上含有疵點(diǎn)的個(gè)數(shù) X 服從參數(shù)=1.5的泊松分布。質(zhì)檢部門規(guī)定：床單上無疵點(diǎn)或只有一個(gè)疵點(diǎn)的為一等品，有 24 個(gè)疵點(diǎn)的為二等品, 5 個(gè)或 5 個(gè)以上疵點(diǎn)的為次品。試求床單廠生產(chǎn)的床單為一、二等品和次品的概率。 P床單為一等品= P X 1 =PX= 0 + PX=1=e-1.5 (1.50/0!) + (1.51/1!)=0.559 ,P床單為二等品= P2 X 4 =PX= 2 + PX=3 + P X = 4 = e-1.5 (1.52/2!) + (1.53/3!) + (1.54/4!)

13、= 0.424 , P床單為次品= 1- 0.558 - 0.424= 0.018.1 - P 床單為一等品 - P 床單為二等品 它有兩個(gè)可能的結(jié)果: A = 正品 和 = 次品 。P33例2.2.8 某公司生產(chǎn)的一種產(chǎn)品，根據(jù)歷史生產(chǎn)紀(jì)錄知，產(chǎn)品的次品率為 0.01，問該種產(chǎn)品 300 件中次品數(shù)大于 5 的概率是多少?解對 n = 300，p = 0.01，有 = np = 3 。應(yīng)用泊松定理, 有查附表1(P211)，知 P X 5 把檢驗(yàn)每件產(chǎn)品看作一次試驗(yàn)，檢驗(yàn) 300 件產(chǎn)品相當(dāng)于做 300 次伯努利試驗(yàn)。用 X 表示檢驗(yàn)出的次品數(shù)，則 XB(300, 0.01)，0.08391

14、8P X 5 0.083917942.若X是一個(gè)隨機(jī)變量(可以是離散型的，也可以是連續(xù)型的),對任何實(shí)數(shù)x, 令1. 定義：則稱F(x)為隨機(jī)變量X的分布函數(shù).2. X的區(qū)間概率與X的分布函數(shù)的關(guān)系對任意的 證明:對任意的x1x2 2.2.3 、隨機(jī)變量的分布函數(shù) 3.分布函數(shù)的性質(zhì)至多具有可列個(gè)間斷點(diǎn)，且在這些間斷點(diǎn)上右連續(xù)。 是x的單調(diào)不減函數(shù)。 單調(diào)不減。 F(x)是x的單調(diào)不減函數(shù)。證：證：這里只作一些解釋，嚴(yán)格的證明對我們來說是超范圍的。說明： 對我們只能來理解：F(x0)x0F(x)在間斷點(diǎn)x0上右連續(xù)的意思是:當(dāng)x從比x0大的方向向x0無限逼近時(shí),通俗的說,在比x0大的一邊,F(x)到F(x0)這一段曲線是一條連續(xù)的“繩子”!F(x)以F(x0)為極限,當(dāng)x從比x0小的方向向x0無限逼近時(shí),通俗的說,在比x0小的一邊,F(x)到F(x0)這一段”路”可能有F(x)可能沒有極限間斷(壕溝).例1 一批產(chǎn)品的廢品率為5%,從中任意抽取一個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn),用隨機(jī)變量來描述廢品出現(xiàn)情況,并求其分布函數(shù).解：設(shè)隨機(jī)變量 表示廢品出現(xiàn)的個(gè)數(shù)。xxx01類似地可以得到:B(1,p)分布的分布函數(shù)：p1-pP10X例1 一批產(chǎn)品的廢品率為5%,從中任意抽取一個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn),用隨機(jī)變量來描述廢品出現(xiàn)情況,并求其分布函數(shù).