矩陣秩以及其求法

1、關(guān)于矩陣的秩及其求法第一張，PPT共二十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月21. k 階子式定義1 設(shè)在A中任取k 行k 列交叉稱(chēng)為A的一個(gè)k 階子式。階行列式，處元素按原相對(duì)位置組成的一、矩陣的秩的概念設(shè)，例如矩陣A 的第一、三行，第二、四列相交處的元素所構(gòu)成的二階子式為第二張，PPT共二十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月3設(shè)，共有個(gè)二階子式，有個(gè)三階子式。例如而為 A 的一個(gè)三階子式。顯然，矩陣 A 共有個(gè) k 階子式。第三張，PPT共二十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2. 矩陣的秩設(shè)，有r 階子式不為0，任何r+1階記作R(A)或秩(A)。 子式(如果存在的話(huà))全為0 ,定義2稱(chēng)r為矩陣A的秩，二、矩陣秩

2、的求法1、子式判別法(定義)。 例1為階梯形矩陣，求R(B)。解，由于二階子式不為0，所以 R(B) = 2.第四張，PPT共二十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例2求R(A)。5解：存在一個(gè)三階子式不為0，所以 R(A) = 3.A沒(méi)有4階子式，第五張，PPT共二十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月6例如一般地，行階梯形矩陣的秩等于其“臺(tái)階數(shù)”非零行的行數(shù)。第六張，PPT共二十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月7如果求 a .解或例3 設(shè)分析：R（A)3,A所有的3階子式為零，即A的行列式為零。第七張，PPT共二十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月8則例3A有非零的1階子式，但A所有的2階子式都為0，所以R（A）=1舍去

3、K=1。得K=-3。分析：R（A)=34,A所有的4階子式為零，即A的行列式為零。第八張，PPT共二十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月92、用初等變換法求矩陣的秩定理1 矩陣初等變換不改變矩陣的秩。 即則注：只改變子行列式的符號(hào)。是 A 中對(duì)應(yīng)子式的 k 倍。是行列式運(yùn)算的性質(zhì)。第二種求矩陣A的秩方法：1）2）R（B）等于非零行行數(shù)，第九張，PPT共二十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月10例4解R(A) = 2 ， 求第十張，PPT共二十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月求矩陣的秩。解所以R（A）= 2 。例5第十一張，PPT共二十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月12例6第十二張，PPT共二十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月

4、Ex1. 求矩陣A 的秩，并求A 的一個(gè)最高階非零子式。解先求A 的秩，對(duì)A 作初等行變換化為行階梯形：故R（A）= 3 。第十三張，PPT共二十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月再求A 的一個(gè)最高階非零子式。因R（A）= 3 ，知A 的最高階非零子式為 3 階，返回易計(jì)算A 的前三行構(gòu)成的子式因此這個(gè)子式便是A 的一個(gè)最高階子式。第十四張，PPT共二十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月15三、滿(mǎn)秩矩陣稱(chēng) A 是滿(mǎn)秩陣，（非奇異矩陣）稱(chēng) A 是降秩陣，（奇異矩陣）可見(jiàn)：A 為 n 階方陣時(shí)，定義3對(duì)于滿(mǎn)秩方陣A施行初等行變換可以化為單位陣E,又根據(jù)初等陣的作用：每對(duì)A施行一次初等行變換，相當(dāng)于用一個(gè)對(duì)應(yīng)的初等

5、陣左乘A,由此得到下面的定理.定理2設(shè)A是滿(mǎn)秩方陣，則存在一系列初等方陣使得第十五張，PPT共二十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月16例7A為滿(mǎn)秩方陣。此過(guò)程相當(dāng)于第十六張，PPT共二十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月17關(guān)于秩的一些結(jié)論（熟記）：規(guī)定： 零矩陣的秩為 0 .(1) 根據(jù)行列式的性質(zhì)，(2) A為mn矩陣, 0 R(A) min m , n .定理3 R(AB)R(A),R(AB)R(B),即R(AB)minR(A)，R(B)。設(shè)A是矩陣，B是矩陣，定理4推論1 如果 A B = 0 則推論2 如果 R(A)= n, A B = 0 則 B = 0。推論3 若A,B均為 矩陣，則第十七張，PPT共二十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月18設(shè)A為n階矩陣，證明R（A+E）+R（A-E）n證： R（A+E）+ R（ E-A ） R(A+E)-(A-E) =R（2E）=n R（A+E）+R（A-E）n例8推論3 若A,B均為 矩陣，則第十八張，PPT共二十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月19作業(yè)P109 1 2 3第十九張，PPT共二十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月性質(zhì)1證明：