全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽試題

1、2002年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目A題 車燈線光源的優(yōu)化設(shè)計(jì)安裝在汽車頭部的車燈的形狀為一旋轉(zhuǎn)拋物面，車燈的對稱軸水平地指向正前方, 其開口半徑36毫米，深度21.6毫米。經(jīng)過車燈的焦點(diǎn)，在與對稱軸相垂直的水平方向，對稱地放置一定長度的均勻分布的線光源。要求在某一設(shè)計(jì)規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)下確定線光源的長度。 該設(shè)計(jì)規(guī)范在簡化后可描述如下。在焦點(diǎn)F正前方25米處的A點(diǎn)放置一測試屏，屏與FA垂直，用以測試車燈的反射光。在屏上過A點(diǎn)引出一條與地面相平行的直線，在該直線A點(diǎn)的同側(cè)取B點(diǎn)和C點(diǎn)，使AC=2AB=2.6米。要求C點(diǎn)的光強(qiáng)度不小于某一額定值（可取為1個單位），B點(diǎn)的光強(qiáng)度不小于該額定值的兩倍（只須考慮

2、一次反射）。 請解決下列問題：（1）在滿足該設(shè)計(jì)規(guī)范的條件下，計(jì)算線光源長度，使線光源的功率最小。（2）對得到的線光源長度，在有標(biāo)尺的坐標(biāo)系中畫出測試屏上反射光的亮區(qū)。（3）討論該設(shè)計(jì)規(guī)范的合理性。B題 彩票中的數(shù)學(xué)近年來“彩票颶風(fēng)”席卷中華大地，巨額誘惑使越來越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“傳統(tǒng)型”和“樂透型”兩種類型。“傳統(tǒng)型”采用“10選6+1”方案：先從6組 SKIPIF 1 0 號球中搖出6個基本號碼，每組搖出一個，然后從 SKIPIF 1 0 號球中搖出一個特別號碼，構(gòu)成中獎號碼。投注者從 SKIPIF 1 0 十個號碼中任選6個基本號碼（可重復(fù)），從 SKIP

3、IF 1 0 中選一個特別號碼，構(gòu)成一注，根據(jù)單注號碼與中獎號碼相符的個數(shù)多少及順序確定中獎等級。以中獎號碼“abcdef+g”為例說明中獎等級，如表一（X表示未選中的號碼）。 表一中 獎等 級10 選 6+1（6+1/10） 基 本 號 碼 特別號碼說 明一等獎abcdef g選7中（6+1）二等獎abcdef 選7中（6）三等獎abcdeX Xbcdef 選7中（5）四等獎abcdXX XbcdeX Xxcdef選7中（4）五等獎abcXXX XbcdXX XXcdeX XXXdef 選7中（3）六等獎abXXXX XbcXXX XXcdXX XXXdeX XXXXef 選7中（2）“樂透

4、型”有多種不同的形式，比如“33選7”的方案：先從 SKIPIF 1 0 個號碼球中一個一個地?fù)u出7個基本號，再從剩余的26個號碼球中搖出一個特別號碼。投注者從 SKIPIF 1 0 個號碼中任選7個組成一注（不可重復(fù)），根據(jù)單注號碼與中獎號碼相符的個數(shù)多少確定相應(yīng)的中獎等級，不考慮號碼順序。又如“36選6+1”的方案，先從 SKIPIF 1 0 個號碼球中一個一個地?fù)u出6個基本號，再從剩下的30個號碼球中搖出一個特別號碼。從 SKIPIF 1 0 個號碼中任選7個組成一注（不可重復(fù)），根據(jù)單注號碼與中獎號碼相符的個數(shù)多少確定相應(yīng)的中獎等級，不考慮號碼順序。這兩種方案的中獎等級如表二。 表二中

5、 獎等 級33 選 7（7/33）36 選 6+1（6+1/36）基 本 號 碼 特別號碼說 明基 本 號 碼 特別號碼說 明一等獎 選7中（7） 選7中（6+1）二等獎 選7中（6+1） 選7中（6）三等獎選7中（6） 選7中（5+1）四等獎 選7中（5+1） 選7中（5）五等獎選7中（5） 選7中（4+1）六等獎 選7中（4+1） 選7中（4）七等獎選7中（4） 選7中（3+1）注：為選中的基本號碼； 為選中的特別號碼； 為未選中的號碼。 以上兩種類型的總獎金比例一般為銷售總額的50%，投注者單注金額為2元，單注若已得到高級別的獎就不再兼得低級別的獎?，F(xiàn)在常見的銷售規(guī)則及相應(yīng)的獎金設(shè)置方案

6、如表三，其中一、二、三等獎為高項(xiàng)獎，后面的為低項(xiàng)獎。低項(xiàng)獎數(shù)額固定，高項(xiàng)獎按比例分配，但一等獎單注保底金額60萬元，封頂金額500萬元，各高項(xiàng)獎額的計(jì)算方法為：(當(dāng)期銷售總額 總獎金比例) -低項(xiàng)獎總額 單項(xiàng)獎比例 （1）根據(jù)這些方案的具體情況，綜合分析各種獎項(xiàng)出現(xiàn)的可能性、獎項(xiàng)和獎金額的設(shè)置以及對彩民的吸引力等因素評價(jià)各方案的合理性。（2）設(shè)計(jì)一種“更好”的方案及相應(yīng)的算法，并據(jù)此給彩票管理部門提出建議。（3）給報(bào)紙寫一篇短文，供彩民參考。表三序號獎項(xiàng)方案一等獎比 例二等獎比 例三等獎比 例四等獎金 額五等獎金 額六等獎金 額七等獎金 額備 注16+1/1050%20%30%50按序26+1

7、/1060%20%20%300205按序36+1/1065%15%20%300205按序46+1/1070%15%15%300205按序57/2960%20%20%30030566+1/2960%25%15%20020577/3065%15%20%5005015587/3070%10%20%2005010597/3075%10%15%20030105107/3160%15%25%500502010117/3175%10%15%320305127/3265%15%20%5005010137/3270%10%20%5005010147/3275%10%15%5005010157/3370%10%2

8、0%600606167/3375%10%15%50050105177/3465%15%20%500306187/3468%12%20%50050102197/3570%15%15%300505207/3570%10%20%500100305217/3575%10%15%1000100505227/3580%10%10%20050205237/35100%20002042無特別號246+1/3675%10%15%500100105256+1/3680%10%10%50010010267/3670%10%20%50050105277/3770%15%15%150010050286/4082%10%

9、8%200101295/6060%20%20%300302003高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目 A題 SARS的傳播 SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，嚴(yán)重急性呼吸道綜合癥, 俗稱：非典型肺炎）是21世紀(jì)第一個在世界范圍內(nèi)傳播的傳染病。SARS的爆發(fā)和蔓延給我國的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和人民生活帶來了很大影響，我們從中得到了許多重要的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，認(rèn)識到定量地研究傳染病的傳播規(guī)律、為預(yù)測和控制傳染病蔓延創(chuàng)造條件的重要性。請你們對SARS 的傳播建立數(shù)學(xué)模型，具體要求如下： （1）對附件1所提供的一個早期的模型，評價(jià)其合理性和實(shí)用性。 （2）建立你們自己的模型，說

10、明為什么優(yōu)于附件1中的模型；特別要說明怎樣才能建立一個真正能夠預(yù)測以及能為預(yù)防和控制提供可靠、足夠的信息的模型，這樣做的困難在哪里？對于衛(wèi)生部門所采取的措施做出評論，如：提前或延后5天采取嚴(yán)格的隔離措施，對疫情傳播所造成的影響做出估計(jì)。附件2提供的數(shù)據(jù)供參考。 （3）收集SARS對經(jīng)濟(jì)某個方面影響的數(shù)據(jù)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行預(yù)測。附件3提供的數(shù)據(jù)供參考。 （4）給當(dāng)?shù)貓?bào)刊寫一篇通俗短文，說明建立傳染病數(shù)學(xué)模型的重要性。 附件1： SARS疫情分析及對北京疫情走勢的預(yù)測 2003年5月8日 在病例數(shù)比較多的地區(qū)，用數(shù)理模型作分析有一定意義。前幾天，XXX老師用解析公式分析了北京SARS疫情前

11、期的走勢。在此基礎(chǔ)上，我們加入了每個病人可以傳染他人的期限（由于被嚴(yán)格隔離、治愈、死亡等），并考慮在不同階段社會條件下傳染概率的變化，然后先分析香港和廣東的情況以獲得比較合理的參數(shù)，最后初步預(yù)測北京的疫情走勢。希望這種分析能對認(rèn)識疫情，安排后續(xù)的工作生活有幫助。 1 模型與參數(shù) 假定初始時(shí)刻的病例數(shù)為N0，平均每病人每天可傳染K個人（K一般為小數(shù)），平均每個病人可以直接感染他人的時(shí)間為L天。則在L天之內(nèi)，病例數(shù)目的增長隨時(shí)間t(單位天)的關(guān)系是： N（t）= N0 (1+K)t 如果不考慮對傳染期的限制，則病例數(shù)將按照指數(shù)規(guī)律增長。考慮傳染期限L的作用后，變化將顯著偏離指數(shù)律，增長速度會放慢。

12、我們采用半模擬循環(huán)計(jì)算的辦法，把到達(dá)L天的病例從可以引發(fā)直接傳染的基數(shù)中去掉。 參數(shù)K和L具有比較明顯的實(shí)際意義。L可理解為平均每個病人在被發(fā)現(xiàn)前后可以造成直接傳染的期限，在此期限后他失去傳染作用，可能的原因是被嚴(yán)格隔離、病愈不再傳染或死去等等。從原理上講，這個參數(shù)主要與醫(yī)療機(jī)構(gòu)隔離病人的時(shí)機(jī)和隔離的嚴(yán)格程度有關(guān)，只有醫(yī)療機(jī)構(gòu)能有效縮短這個參數(shù)。但我們分析廣東、香港、北京現(xiàn)有的數(shù)據(jù)后發(fā)現(xiàn)，不論對于疫情的爆發(fā)階段，還是疫情的控制階段，這個參數(shù)都不能用得太小，否則無法描寫好各階段的數(shù)據(jù)。該參數(shù)放在15-25之間比較好，為了簡單我們把它固定在20（天）上這個值有一定統(tǒng)計(jì)上的意義，至于有沒有醫(yī)學(xué)上的解

13、釋，需要其他專家分析。 參數(shù)K顯然代表某種社會環(huán)境下一個病人傳染他人的平均概率，與全社會的警覺程度、政府和公眾采取的各種措施有關(guān)。在疾病初發(fā)期，社會來不及防備，此時(shí)K值比較大。為了簡單起見，我們從開始至到高峰期間均采用同樣的K值（從擬合這一階段的數(shù)據(jù)定出），即假定這階段社會的防范程度都比較低，感染率比較高。到達(dá)高峰期后，我們在10天的范圍內(nèi)逐步調(diào)整K值到比較小，然后保持不變，擬合其后在控制階段的全部數(shù)據(jù)，即認(rèn)為社會在經(jīng)過短期的劇烈調(diào)整之后，進(jìn)入一個對疫情控制較好的常態(tài)。顯然，如果疫情出現(xiàn)失控或反復(fù)的狀態(tài)，則K值需要做更多的調(diào)整。 2 計(jì)算結(jié)果 2.1 對香港疫情的計(jì)算和分析。香港的數(shù)據(jù)相對比較

14、完整準(zhǔn)確。但在初期，由于診斷標(biāo)準(zhǔn)等不確切，在3月17日之前，沒有找到嚴(yán)格公布的數(shù)據(jù)。我們以報(bào)道的2月15日作為發(fā)現(xiàn)第一例病人的起點(diǎn)，2月27日從報(bào)道推斷為7例。3月17日后則都是正式公布的數(shù)據(jù)。累積病例數(shù)在圖1中用三角形表示。我們?nèi)缓笥蒙鲜龇椒ㄓ?jì)算。4月1日前后（從起點(diǎn)起45天左右）是疫情高峰時(shí)期，在此之前我們?nèi)=0.16204。此后的10天，根據(jù)數(shù)據(jù)的變化將K逐步調(diào)到0.0273，然后保持0.0273算出后面控制期的結(jié)果。短期內(nèi)K調(diào)整的幅度很大，反映社會的變化比較大。圖中實(shí)心方黑點(diǎn)是計(jì)算的累積病例數(shù)。從計(jì)算累積病例數(shù)，很容易算出每天新增病例數(shù)（當(dāng)然只反映走向，實(shí)際狀況有很大漲落）?？梢钥闯?/p>

15、，香港疫情從起始到高峰大約45天，從高峰回落到1/10以下（每天幾個病例）大約40天（5月上中旬），到基本沒有病例還要再經(jīng)過近一個月（到6月上中旬）。 2.2 對廣東疫情的計(jì)算和分析。廣東的起點(diǎn)是02年11月16日，到今年2月下旬達(dá)到高峰，經(jīng)過了約100天。在今年2月10日以前的數(shù)據(jù)查不到，分析比較困難?？傮w上看，廣東持續(xù)的時(shí)間比香港長得多，但累積的總病例數(shù)卻少一些，這反映出廣東的爆發(fā)和高峰都不強(qiáng)烈。但廣東的回落也比較慢。從2月下旬高峰期到現(xiàn)在經(jīng)過了約70天，還維持著每天10來個新增病例，而同樣過程香港只用了約40天。這種緩慢上升和下降的過程也反映到K值上。比較好的擬合結(jié)果是，在高峰期之前（t

16、 101天），K=0.0892；在隨后的10天逐步調(diào)整到0.031。用這組參數(shù)算出的后期日增病例數(shù)比實(shí)際公布的偏小，說明實(shí)際上降低得更慢。這種情況與疫情的社會控制狀況有沒有什么關(guān)系，需要更仔細(xì)的分析。 2.3 對北京疫情的分析與預(yù)測。北京的病例起點(diǎn)定在3月1日，經(jīng)過大約59天在4月29日左右達(dá)到高峰。我們通過擬合起點(diǎn)和4月20日以后的數(shù)據(jù)定出高峰期以前的K=0.13913。這個值比香港的0.16204來得低，說明北京初期的爆發(fā)程度不如香港，但遺憾的是上升時(shí)間持續(xù)了近60天，而香港是45天，這就造成了累積病例數(shù)大大超過香港。從圖2中還看出4月20日以前公布的數(shù)據(jù)大大低于計(jì)算值。而我們從對香港、廣

17、東情況的計(jì)算中，知道疫情前期我們的計(jì)算還是比較可行的。從而可以大致判斷出北京前期實(shí)際的病例數(shù)。圖中的公布數(shù)據(jù)截止到5月7日（從起點(diǎn)起67天），其后的計(jì)算采用的是香港情況下獲得的參數(shù)。按這種估算，北京最終累積病例數(shù)將達(dá)到3100多。 圖1 對香港疫情的擬合 圖2 對北京疫情的分析 圖3是計(jì)算的日增病例數(shù)。后期下降得較快的實(shí)心方黑點(diǎn)是采用香港參數(shù)獲得的。這就是說，如果北京的疫情控制與香港相當(dāng)或更好的話，就可以在高峰期后的40天（從起點(diǎn)起100天）左右，即6月上中旬下降到日增幾例。然后再經(jīng)過約一個月，即7月上中旬達(dá)到日增0病例。但如果北京的新病例下降速度與廣東類似的話，則要再多花至少一個月，才能達(dá)到

18、上述的效果，且累積總病例數(shù)會到3800左右。至于什么原因造成香港下降速度快而廣東下降速度慢，需要有關(guān)方面作具體分析。 3 結(jié)論 每個病人可以造成直接感染他人的期限平均在20天左右，這個值在不同地區(qū)和不同疫情階段似乎變化不大。病人的平均每天感染率與社會狀況有關(guān)，在疫情爆發(fā)期較大，在疫情控制期要小很多。香港的初期爆發(fā)情況比廣東和北京都劇烈，但控制效果明顯比較好。北京后期如果控制在香港后期的感染率水平上，則有望在6月上中旬下降到日增幾例。然后再經(jīng)過約一個月，即7月上中旬達(dá)到日增0病例。而累積總病例數(shù)將達(dá)到3100多。但如果北京的新病例下降速度與廣東類似的話，則要再多花至少一個月，才能達(dá)到上述的效果，

19、且累積總病例數(shù)會到3800左右。 附件：北京市疫情的數(shù)據(jù)下載 B題 露天礦生產(chǎn)的車輛安排 鋼鐵工業(yè)是國家工業(yè)的基礎(chǔ)之一，鐵礦是鋼鐵工業(yè)的主要原料基地。許多現(xiàn)代化鐵礦是露天開采的，它的生產(chǎn)主要是由電動鏟車（以下簡稱電鏟）裝車、電動輪自卸卡車（以下簡稱卡車）運(yùn)輸來完成。提高這些大型設(shè)備的利用率是增加露天礦經(jīng)濟(jì)效益的首要任務(wù)。 露天礦里有若干個爆破生成的石料堆，每堆稱為一個鏟位，每個鏟位已預(yù)先根據(jù)鐵含量將石料分成礦石和巖石。一般來說，平均鐵含量不低于25%的為礦石，否則為巖石。每個鏟位的礦石、巖石數(shù)量，以及礦石的平均鐵含量（稱為品位）都是已知的。每個鏟位至多能安置一臺電鏟，電鏟的平均裝車時(shí)間為5分鐘

20、。 卸貨地點(diǎn)（以下簡稱卸點(diǎn)）有卸礦石的礦石漏、2個鐵路倒裝場（以下簡稱倒裝場）和卸巖石的巖石漏、巖場等，每個卸點(diǎn)都有各自的產(chǎn)量要求。從保護(hù)國家資源的角度及礦山的經(jīng)濟(jì)效益考慮，應(yīng)該盡量把礦石按礦石卸點(diǎn)需要的鐵含量（假設(shè)要求都為29.5% 1%，稱為品位限制）搭配起來送到卸點(diǎn)，搭配的量在一個班次（8小時(shí)）內(nèi)滿足品位限制即可。從長遠(yuǎn)看，卸點(diǎn)可以移動，但一個班次內(nèi)不變?？ㄜ嚨钠骄盾嚂r(shí)間為3分鐘。所用卡車載重量為154噸，平均時(shí)速28 。卡車的耗油量很大，每個班次每臺車消耗近1噸柴油。發(fā)動機(jī)點(diǎn)火時(shí)需要消耗相當(dāng)多的電瓶能量，故一個班次中只在開始工作時(shí)點(diǎn)火一次?？ㄜ囋诘却龝r(shí)所耗費(fèi)的能量也是相當(dāng)可觀的，原則

21、上在安排時(shí)不應(yīng)發(fā)生卡車等待的情況。電鏟和卸點(diǎn)都不能同時(shí)為兩輛及兩輛以上卡車服務(wù)。卡車每次都是滿載運(yùn)輸。每個鏟位到每個卸點(diǎn)的道路都是專用的寬60 的雙向車道，不會出現(xiàn)堵車現(xiàn)象，每段道路的里程都是已知的。 一個班次的生產(chǎn)計(jì)劃應(yīng)該包含以下內(nèi)容：出動幾臺電鏟，分別在哪些鏟位上；出動幾輛卡車，分別在哪些路線上各運(yùn)輸多少次（因?yàn)殡S機(jī)因素影響，裝卸時(shí)間與運(yùn)輸時(shí)間都不精確，所以排時(shí)計(jì)劃無效，只求出各條路線上的卡車數(shù)及安排即可）。一個合格的計(jì)劃要在卡車不等待條件下滿足產(chǎn)量和質(zhì)量（品位）要求，而一個好的計(jì)劃還應(yīng)該考慮下面兩條原則之一： 1.總運(yùn)量（噸公里）最小，同時(shí)出動最少的卡車，從而運(yùn)輸成本最小； 2.利用現(xiàn)有

22、車輛運(yùn)輸，獲得最大的產(chǎn)量（巖石產(chǎn)量優(yōu)先；在產(chǎn)量相同的情況下，取總運(yùn)量最小的解）。 請你就兩條原則分別建立數(shù)學(xué)模型，并給出一個班次生產(chǎn)計(jì)劃的快速算法。針對下面的實(shí)例，給出具體的生產(chǎn)計(jì)劃、相應(yīng)的總運(yùn)量及巖石和礦石產(chǎn)量。 某露天礦有鏟位10個，卸點(diǎn)5個，現(xiàn)有鏟車7臺，卡車20輛。各卸點(diǎn)一個班次的產(chǎn)量要求：礦石漏1.2萬噸、倒裝場1.3萬噸、倒裝場1.3萬噸、巖石漏1.9萬噸、巖場1.3萬噸。 鏟位和卸點(diǎn)位置的二維示意圖如下，各鏟位和各卸點(diǎn)之間的距離（公里）如下表：2004高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目（請先閱讀“對論文格式的統(tǒng)一要求”）A題 奧運(yùn)會臨時(shí)超市網(wǎng)點(diǎn)設(shè)計(jì)2008年北京奧運(yùn)會的建設(shè)工作已

23、經(jīng)進(jìn)入全面設(shè)計(jì)和實(shí)施階段。奧運(yùn)會期間，在比賽主場館的周邊地區(qū)需要建設(shè)由小型商亭構(gòu)建的臨時(shí)商業(yè)網(wǎng)點(diǎn)，稱為迷你超市（Mini Supermarket, 以下記做MS）網(wǎng)，以滿足觀眾、游客、工作人員等在奧運(yùn)會期間的購物需求，主要經(jīng)營食品、奧運(yùn)紀(jì)念品、旅游用品、文體用品和小日用品等。在比賽主場館周邊地區(qū)設(shè)置的這種MS，在地點(diǎn)、大小類型和總量方面有三個基本要求：滿足奧運(yùn)會期間的購物需求、分布基本均衡和商業(yè)上贏利。圖1給出了比賽主場館的規(guī)劃圖。作為真實(shí)地圖的簡化，在圖2中僅保留了與本問題有關(guān)的地區(qū)及相關(guān)部分：道路（白色為人行道）、公交車站、地鐵站、出租車站、私車停車場、餐飲部門等,其中標(biāo)有A1-A10、B

24、1-B6、C1-C4的黃色區(qū)域是規(guī)定的設(shè)計(jì)MS網(wǎng)點(diǎn)的20個商區(qū)。為了得到人流量的規(guī)律，一個可供選擇的方法，是在已經(jīng)建設(shè)好的某運(yùn)動場（圖3）通過對預(yù)演的運(yùn)動會的問卷調(diào)查，了解觀眾（購物主體）的出行和用餐的需求方式和購物欲望。假設(shè)我們在某運(yùn)動場舉辦了三次運(yùn)動會，并通過對觀眾的問卷調(diào)查采集了相關(guān)數(shù)據(jù)，在附錄中給出。請你按以下步驟對圖2的20個商區(qū)設(shè)計(jì)MS網(wǎng)點(diǎn)：根據(jù)附錄中給出的問卷調(diào)查數(shù)據(jù)，找出觀眾在出行、用餐和購物等方面所反映的規(guī)律。 假定奧運(yùn)會期間（指某一天）每位觀眾平均出行兩次，一次為進(jìn)出場館，一次為餐飲，并且出行均采取最短路徑。依據(jù)1的結(jié)果，測算圖2中20個商區(qū)的人流量分布（用百分比表示）。如

25、果有兩種大小不同規(guī)模的MS類型供選擇，給出圖2中20個商區(qū)內(nèi)MS網(wǎng)點(diǎn)的設(shè)計(jì)方案（即每個商區(qū)內(nèi)不同類型MS的個數(shù)），以滿足上述三個基本要求。闡明你的方法的科學(xué)性，并說明你的結(jié)果是貼近實(shí)際的。說明1商業(yè)上用“商圈”來描述商店的覆蓋范圍。影響商店選址的主要因素是商圈內(nèi)的人流量及購物欲望。2為簡化起見，假定國家體育場（鳥巢）容量為10萬人，國家體育館容量為6萬人，國家游泳中心（水立方）容量為4萬人。三個場館的每個看臺容量均為1萬人，出口對準(zhǔn)一個商區(qū)，各商區(qū)面積相同。 附錄 對觀眾發(fā)放的問卷調(diào)查，收回率為33%，三次共收回10000多份。具體數(shù)據(jù)請?jiān)赼ccess數(shù)據(jù)庫中索取，其中年齡分4檔：1）20歲以

26、下，2）2030歲，3）3050歲，4）50歲以上；出行方式分4種：出租、公交、地鐵、私車；餐飲方式分3種：中餐、西餐、商場(餐飲)；消費(fèi)額（非餐飲）分6檔：1）0100，2）100200，3）200300，4）300400，5）400500，6）500以上（元）。ACB圖1 （A：國家體育場（鳥巢）， B:國家體育館，C: 國家游泳中心（水立方） SKIPIF 1 0 圖2 SKIPIF 1 0 圖3B題 電力市場的輸電阻塞管理我國電力系統(tǒng)的市場化改革正在積極、穩(wěn)步地進(jìn)行。2003年3月國家電力監(jiān)管委員會成立，2003年6月該委員會發(fā)文列出了組建東北區(qū)域電力市場和進(jìn)行華東區(qū)域電力市場試點(diǎn)的時(shí)

27、間表，標(biāo)志著電力市場化改革已經(jīng)進(jìn)入實(shí)質(zhì)性階段。可以預(yù)計(jì)，隨著我國用電緊張的緩解，電力市場化將進(jìn)入新一輪的發(fā)展，這給有關(guān)產(chǎn)業(yè)和研究部門帶來了可預(yù)期的機(jī)遇和挑戰(zhàn)。電力從生產(chǎn)到使用的四大環(huán)節(jié)發(fā)電、輸電、配電和用電是瞬間完成的。我國電力市場初期是發(fā)電側(cè)電力市場，采取交易與調(diào)度一體化的模式。電網(wǎng)公司在組織交易、調(diào)度和配送時(shí)，必須遵循電網(wǎng)“安全第一”的原則，同時(shí)要制訂一個電力市場交易規(guī)則，按照購電費(fèi)用最小的經(jīng)濟(jì)目標(biāo)來運(yùn)作。市場交易-調(diào)度中心根據(jù)負(fù)荷預(yù)報(bào)和交易規(guī)則制訂滿足電網(wǎng)安全運(yùn)行的調(diào)度計(jì)劃各發(fā)電機(jī)組的出力（發(fā)電功率）分配方案；在執(zhí)行調(diào)度計(jì)劃的過程中，還需實(shí)時(shí)調(diào)度承擔(dān)AGC（自動發(fā)電控制）輔助服務(wù)的機(jī)組出

28、力，以跟蹤電網(wǎng)中實(shí)時(shí)變化的負(fù)荷。設(shè)某電網(wǎng)有若干臺發(fā)電機(jī)組和若干條主要線路，每條線路上的有功潮流（輸電功率和方向）取決于電網(wǎng)結(jié)構(gòu)和各發(fā)電機(jī)組的出力。電網(wǎng)每條線路上的有功潮流的絕對值有一安全限值，限值還具有一定的相對安全裕度（即在應(yīng)急情況下潮流絕對值可以超過限值的百分比的上限）。如果各機(jī)組出力分配方案使某條線路上的有功潮流的絕對值超出限值，稱為輸電阻塞。當(dāng)發(fā)生輸電阻塞時(shí)，需要研究如何制訂既安全又經(jīng)濟(jì)的調(diào)度計(jì)劃。l 電力市場交易規(guī)則：1. 以15分鐘為一個時(shí)段組織交易，每臺機(jī)組在當(dāng)前時(shí)段開始時(shí)刻前給出下一個時(shí)段的報(bào)價(jià)。各機(jī)組將可用出力由低到高分成至多10段報(bào)價(jià)，每個段的長度稱為段容量，每個段容量報(bào)一

29、個價(jià)（稱為段價(jià)），段價(jià)按段序數(shù)單調(diào)不減。在最低技術(shù)出力以下的報(bào)價(jià)一般為負(fù)值，表示愿意付費(fèi)維持發(fā)電以避免停機(jī)帶來更大的損失。2. 在當(dāng)前時(shí)段內(nèi)，市場交易-調(diào)度中心根據(jù)下一個時(shí)段的負(fù)荷預(yù)報(bào),每臺機(jī)組的報(bào)價(jià)、當(dāng)前出力和出力改變速率，按段價(jià)從低到高選取各機(jī)組的段容量或其部分（見下面注釋），直到它們之和等于預(yù)報(bào)的負(fù)荷，這時(shí)每個機(jī)組被選入的段容量或其部分之和形成該時(shí)段該機(jī)組的出力分配預(yù)案（初始交易結(jié)果）。最后一個被選入的段價(jià)（最高段價(jià)）稱為該時(shí)段的清算價(jià)，該時(shí)段全部機(jī)組的所有出力均按清算價(jià)結(jié)算。注釋：（a） 每個時(shí)段的負(fù)荷預(yù)報(bào)和機(jī)組出力分配計(jì)劃的參照時(shí)刻均為該時(shí)段結(jié)束時(shí)刻。（b） 機(jī)組當(dāng)前出力是對機(jī)組在當(dāng)

30、前時(shí)段結(jié)束時(shí)刻實(shí)際出力的預(yù)測值。（c） 假設(shè)每臺機(jī)組單位時(shí)間內(nèi)能增加或減少的出力相同，該出力值稱為該機(jī)組的爬坡速率。由于機(jī)組爬坡速率的約束，可能導(dǎo)致選取它的某個段容量的部分。（d） 為了使得各機(jī)組計(jì)劃出力之和等于預(yù)報(bào)的負(fù)荷需求，清算價(jià)對應(yīng)的段容量可能只選取部分。市場交易-調(diào)度中心在當(dāng)前時(shí)段內(nèi)要完成的具體操作過程如下：1、 監(jiān)控當(dāng)前時(shí)段各機(jī)組出力分配方案的執(zhí)行，調(diào)度AGC輔助服務(wù)，在此基礎(chǔ)上給出各機(jī)組的當(dāng)前出力值。2、 作出下一個時(shí)段的負(fù)荷需求預(yù)報(bào)。3、 根據(jù)電力市場交易規(guī)則得到下一個時(shí)段各機(jī)組出力分配預(yù)案。4、 計(jì)算當(dāng)執(zhí)行各機(jī)組出力分配預(yù)案時(shí)電網(wǎng)各主要線路上的有功潮流，判斷是否會出現(xiàn)輸電阻塞。

31、如果不出現(xiàn)，接受各機(jī)組出力分配預(yù)案；否則，按照如下原則實(shí)施阻塞管理：l 輸電阻塞管理原則：（1） 調(diào)整各機(jī)組出力分配方案使得輸電阻塞消除。（2） 如果（1）做不到，還可以使用線路的安全裕度輸電，以避免拉閘限電（強(qiáng)制減少負(fù)荷需求），但要使每條線路上潮流的絕對值超過限值的百分比盡量小。（3） 如果無論怎樣分配機(jī)組出力都無法使每條線路上的潮流絕對值超過限值的百分比小于相對安全裕度，則必須在用電側(cè)拉閘限電。（4） 當(dāng)改變根據(jù)電力市場交易規(guī)則得到的各機(jī)組出力分配預(yù)案時(shí)，一些通過競價(jià)取得發(fā)電權(quán)的發(fā)電容量（稱序內(nèi)容量）不能出力；而一些在競價(jià)中未取得發(fā)電權(quán)的發(fā)電容量（稱序外容量）要在低于對應(yīng)報(bào)價(jià)的清算價(jià)上出力

32、。因此，發(fā)電商和網(wǎng)方將產(chǎn)生經(jīng)濟(jì)利益沖突。網(wǎng)方應(yīng)該為因輸電阻塞而不能執(zhí)行初始交易結(jié)果付出代價(jià)，網(wǎng)方在結(jié)算時(shí)應(yīng)該適當(dāng)?shù)亟o發(fā)電商以經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償，由此引起的費(fèi)用稱之為阻塞費(fèi)用。網(wǎng)方在電網(wǎng)安全運(yùn)行的保證下應(yīng)當(dāng)同時(shí)考慮盡量減少阻塞費(fèi)用。你需要做的工作如下：1. 某電網(wǎng)有8臺發(fā)電機(jī)組，6條主要線路，表1和表2中的方案0給出了各機(jī)組的當(dāng)前出力和各線路上對應(yīng)的有功潮流值，方案132給出了圍繞方案0的一些實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，試用這些數(shù)據(jù)確定各線路上有功潮流關(guān)于各發(fā)電機(jī)組出力的近似表達(dá)式。2. 設(shè)計(jì)一種簡明、合理的阻塞費(fèi)用計(jì)算規(guī)則，除考慮上述電力市場規(guī)則外，還需注意：在輸電阻塞發(fā)生時(shí)公平地對待序內(nèi)容量不能出力的部分和報(bào)價(jià)高于清算

33、價(jià)的序外容量出力的部分。 3. 假設(shè)下一個時(shí)段預(yù)報(bào)的負(fù)荷需求是982.4MW，表3、表4和表5分別給出了各機(jī)組的段容量、段價(jià)和爬坡速率的數(shù)據(jù)，試按照電力市場規(guī)則給出下一個時(shí)段各機(jī)組的出力分配預(yù)案。4. 按照表6給出的潮流限值，檢查得到的出力分配預(yù)案是否會引起輸電阻塞，并在發(fā)生輸電阻塞時(shí)，根據(jù)安全且經(jīng)濟(jì)的原則，調(diào)整各機(jī)組出力分配方案，并給出與該方案相應(yīng)的阻塞費(fèi)用。5. 假設(shè)下一個時(shí)段預(yù)報(bào)的負(fù)荷需求是1052.8MW，重復(fù)34的工作。表1 各機(jī)組出力方案 （單位：兆瓦，記作MW）方案機(jī)組123 4 5 6780120731808012512581.1901133.02731808012512581

34、.1902129.63731808012512581.1903158.77731808012512581.1904145.32731808012512581.190512078.5961808012512581.190612075.451808012512581.190712090.4871808012512581.190812083.8481808012512581.190912073231.398012512581.1901012073198.488012512581.1901112073212.648012512581.1901212073190.558012512581.1901312

35、07318075.85712512581.190141207318065.95812512581.190151207318087.25812512581.190161207318097.82412512581.190171207318080150.7112581.190181207318080141.5812581.190191207318080132.3712581.190201207318080156.9312581.190211207318080125138.8881.190221207318080125131.2181.190231207318080125141.7181.190241

36、207318080125149.2981.19025120731808012512560.5829026120731808012512570.9629027120731808012512564.8549028120731808012512575.5299029120731808012512581.1104.8430120731808012512581.1111.2231120731808012512581.198.09232120731808012512581.1120.44表2 各線路的潮流值（各方案與表1相對應(yīng)，單位：MW）方案線路1234560164.78140.87-144.25119

37、.09135.44157.691165.81140.13-145.14118.63135.37160.762165.51140.25-144.92118.7135.33159.983167.93138.71-146.91117.72135.41166.814166.79139.45-145.92118.13135.41163.645164.94141.5-143.84118.43136.72157.226164.8141.13-144.07118.82136.02157.57165.59143.03-143.16117.24139.66156.598165.21142.28-143.49117

38、.96137.98156.969167.43140.82-152.26129.58132.04153.610165.71140.82-147.08122.85134.21156.2311166.45140.82-149.33125.75133.28155.0912165.23140.85-145.82121.16134.75156.7713164.23140.73-144.18119.12135.57157.214163.04140.34-144.03119.31135.97156.3115165.54141.1-144.32118.84135.06158.2616166.88141.4-14

39、4.34118.67134.67159.2817164.07143.03-140.97118.75133.75158.8318164.27142.29-142.15118.85134.27158.3719164.57141.44-143.3119134.88158.0120163.89143.61-140.25118.64133.28159.1221166.35139.29-144.2119.1136.33157.5922165.54140.14-144.19119.09135.81157.6723166.75138.95-144.17119.15136.55157.5924167.69138

40、.07-144.14119.19137.11157.6525162.21141.21-144.13116.03135.5154.2626163.54141-144.16117.56135.44155.9327162.7141.14-144.21116.74135.4154.8828164.06140.94-144.18118.24135.4156.6829164.66142.27-147.2120.21135.28157.6530164.7142.94-148.45120.68135.16157.6331164.67141.56-145.88119.68135.29157.6132164.69

41、143.84-150.34121.34135.12157.64表3 各機(jī)組的段容量 （單位：MW）機(jī)組段1234567891017005000300004023002081562008311004003002040040455510101010150015755150151501010106950102001510200107501551510105103287002002002010155表4 各機(jī)組的段價(jià)（單位：元/兆瓦小時(shí)，記作元/MWh）機(jī)組段123456789101-50501241682102523123303634892-56001822032453003203604104953

42、-61001521892332583083564155004-5001501702002553023253804358005-59001161461882152503103965106-60701591732052523053804055207-5001201802512603063153353485488-800153183233253283303318400800表5 各機(jī)組的爬坡速率 （單位：MW/分鐘）機(jī)組12345678速率2.213.21.31.821.41.8表6 各線路的潮流限值（單位：MW）和相對安全裕度 線路123456限值165150160155132162安全裕度13%

43、18%9%11%15%14%2005高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目（請先閱讀“對論文格式的統(tǒng)一要求”）A題: 長江水質(zhì)的評價(jià)和預(yù)測水是人類賴以生存的資源，保護(hù)水資源就是保護(hù)我們自己，對于我國大江大河水資源的保護(hù)和治理應(yīng)是重中之重。專家們呼吁：“以人為本，建設(shè)文明和諧社會，改善人與自然的環(huán)境，減少污染。” 長江是我國第一、世界第三大河流，長江水質(zhì)的污染程度日趨嚴(yán)重，已引起了相關(guān)政府部門和專家們的高度重視。2004年10月，由全國政協(xié)與中國發(fā)展研究院聯(lián)合組成“保護(hù)長江萬里行”考察團(tuán)，從長江上游宜賓到下游上海，對沿線21個重點(diǎn)城市做了實(shí)地考察，揭示了一幅長江污染的真實(shí)畫面，其污染程度讓人觸目驚心

44、。為此，專家們提出“若不及時(shí)拯救，長江生態(tài)10年內(nèi)將瀕臨崩潰”（附件），并發(fā)出了“拿什么拯救癌變長江”的呼喚（附件2）。附件3給出了長江沿線17個觀測站（地區(qū)）近兩年多主要水質(zhì)指標(biāo)的檢測數(shù)據(jù)，以及干流上個觀測站近一年多的基本數(shù)據(jù)（站點(diǎn)距離、水流量和水流速）。通常認(rèn)為一個觀測站（地區(qū)）的水質(zhì)污染主要來自于本地區(qū)的排污和上游的污水。一般說來，江河自身對污染物都有一定的自然凈化能力，即污染物在水環(huán)境中通過物理降解、化學(xué)降解和生物降解等使水中污染物的濃度降低。反映江河自然凈化能力的指標(biāo)稱為降解系數(shù)。事實(shí)上，長江干流的自然凈化能力可以認(rèn)為是近似均勻的，根據(jù)檢測可知，主要污染物高錳酸鹽指數(shù)和氨氮的降解系數(shù)

45、通常介于0.10.5之間，比如可以考慮取0.2(單位：1/天)。附件4是“19952004年長江流域水質(zhì)報(bào)告”給出的主要統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。下面的附表是國標(biāo)(GB3838-2002) 給出的地表水環(huán)境質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)中4個主要項(xiàng)目標(biāo)準(zhǔn)限值，其中、類為可飲用水。請你們研究下列問題：（1）對長江近兩年多的水質(zhì)情況做出定量的綜合評價(jià)，并分析各地區(qū)水質(zhì)的污染狀況。（2）研究、分析長江干流近一年多主要污染物高錳酸鹽指數(shù)和氨氮的污染源主要在哪些地區(qū)?（3）假如不采取更有效的治理措施，依照過去10年的主要統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，對長江未來水質(zhì)污染的發(fā)展趨勢做出預(yù)測分析，比如研究未來10年的情況。（4）根據(jù)你的預(yù)測分析，如果未來10年內(nèi)每年

46、都要求長江干流的類和類水的比例控制在20%以內(nèi)，且沒有劣類水,那么每年需要處理多少污水？ （5）你對解決長江水質(zhì)污染問題有什么切實(shí)可行的建議和意見。附表: 地表水環(huán)境質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)（GB38382002）中4個主要項(xiàng)目標(biāo)準(zhǔn)限值 單位：mg/L序號 分 類標(biāo)準(zhǔn)值 項(xiàng) 目類類類類類劣類1溶解氧(DO)7.5（或飽和率90%）6532 02高錳酸鹽指數(shù)(CODMn) 24610153氨氮（NH3-N） 0.150.51.01.52.04PH值（無量綱）6-9（注：附件4位于壓縮文件A2005Data.rar中, 可從asp下載）2005高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目（請先閱讀“對論文格式的統(tǒng)一要求”）

47、B題： DVD在線租賃隨著信息時(shí)代的到來，網(wǎng)絡(luò)成為人們生活中越來越不可或缺的元素之一。許多網(wǎng)站利用其強(qiáng)大的資源和知名度，面向其會員群提供日益專業(yè)化和便捷化的服務(wù)。例如，音像制品的在線租賃就是一種可行的服務(wù)。這項(xiàng)服務(wù)充分發(fā)揮了網(wǎng)絡(luò)的諸多優(yōu)勢，包括傳播范圍廣泛、直達(dá)核心消費(fèi)群、強(qiáng)烈的互動性、感官性強(qiáng)、成本相對低廉等，為顧客提供更為周到的服務(wù)?？紤]如下的在線DVD租賃問題。顧客繳納一定數(shù)量的月費(fèi)成為會員，訂購DVD租賃服務(wù)。會員對哪些DVD有興趣，只要在線提交訂單，網(wǎng)站就會通過快遞的方式盡可能滿足要求。會員提交的訂單包括多張DVD，這些DVD是基于其偏愛程度排序的。網(wǎng)站會根據(jù)手頭現(xiàn)有的DVD數(shù)量和會

48、員的訂單進(jìn)行分發(fā)。每個會員每個月租賃次數(shù)不得超過2次，每次獲得3張DVD。會員看完3張DVD之后，只需要將DVD放進(jìn)網(wǎng)站提供的信封里寄回（郵費(fèi)由網(wǎng)站承擔(dān)），就可以繼續(xù)下次租賃。請考慮以下問題：網(wǎng)站正準(zhǔn)備購買一些新的DVD，通過問卷調(diào)查1000個會員，得到了愿意觀看這些DVD的人數(shù)（表1給出了其中5種DVD的數(shù)據(jù)）。此外，歷史數(shù)據(jù)顯示，60%的會員每月租賃DVD兩次，而另外的40%只租一次。假設(shè)網(wǎng)站現(xiàn)有10萬個會員，對表1中的每種DVD來說，應(yīng)該至少準(zhǔn)備多少張，才能保證希望看到該DVD的會員中至少50%在一個月內(nèi)能夠看到該DVD？如果要求保證在三個月內(nèi)至少95%的會員能夠看到該DVD呢？表2中列

49、出了網(wǎng)站手上100種DVD的現(xiàn)有張數(shù)和當(dāng)前需要處理的1000位會員的在線訂單（表2的數(shù)據(jù)格式示例如下表2，具體數(shù)據(jù)請從asp下載），如何對這些DVD進(jìn)行分配，才能使會員獲得最大的滿意度？請具體列出前30位會員（即C0001C0030）分別獲得哪些DVD。繼續(xù)考慮表2，并假設(shè)表2中DVD的現(xiàn)有數(shù)量全部為0。如果你是網(wǎng)站經(jīng)營管理人員，你如何決定每種DVD的購買量，以及如何對這些DVD進(jìn)行分配，才能使一個月內(nèi)95%的會員得到他想看的DVD，并且滿意度最大？如果你是網(wǎng)站經(jīng)營管理人員，你覺得在DVD的需求預(yù)測、購買和分配中還有哪些重要問題值得研究？請明確提出你的問題，并嘗試建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。表1 對1

50、000個會員調(diào)查的部分結(jié)果DVD名稱DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5愿意觀看的人數(shù)200100502510表2 現(xiàn)有DVD張數(shù)和當(dāng)前需要處理的會員的在線訂單（表格格式示例）DVD編號D001D002D003D004DVD現(xiàn)有數(shù)量10401520會員在線訂單C00016000C00020000C00030003C00040000注：D001D100表示100種DVD, C0001C1000表示1000個會員, 會員的在線訂單用數(shù)字1,2,表示，數(shù)字越小表示會員的偏愛程度越高，數(shù)字0表示對應(yīng)的DVD當(dāng)前不在會員的在線訂單中。（注：表2數(shù)據(jù)位于文件B2005Table2.xls中, 可從as

51、p下載）2006高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目（請先閱讀“對論文格式的統(tǒng)一要求”）A題:出版社的資源配置出版社的資源主要包括人力資源、生產(chǎn)資源、資金和管理資源等，它們都捆綁在書號上，經(jīng)過各個部門的運(yùn)作，形成成本（策劃成本、編輯成本、生產(chǎn)成本、庫存成本、銷售成本、財(cái)務(wù)與管理成本等）和利潤。某個以教材類出版物為主的出版社，總社領(lǐng)導(dǎo)每年需要針對分社提交的生產(chǎn)計(jì)劃申請書、人力資源情況以及市場信息分析，將總量一定的書號數(shù)合理地分配給各個分社，使出版的教材產(chǎn)生最好的經(jīng)濟(jì)效益。事實(shí)上，由于各個分社提交的需求書號總量遠(yuǎn)大于總社的書號總量，因此總社一般以增加強(qiáng)勢產(chǎn)品支持力度的原則優(yōu)化資源配置。資源配置完成后

52、，各個分社（分社以學(xué)科劃分）根據(jù)分配到的書號數(shù)量，再重新對學(xué)科所屬每個課程作出出版計(jì)劃，付諸實(shí)施。資源配置是總社每年進(jìn)行的重要決策，直接關(guān)系到出版社的當(dāng)年經(jīng)濟(jì)效益和長遠(yuǎn)發(fā)展戰(zhàn)略。由于市場信息（主要是需求與競爭力）通常是不完全的，企業(yè)自身的數(shù)據(jù)收集和積累也不足，這種情況下的決策問題在我國企業(yè)中是普遍存在的。本題附錄中給出了該出版社所掌握的一些數(shù)據(jù)資料，請你們根據(jù)這些數(shù)據(jù)資料，利用數(shù)學(xué)建模的方法，在信息不足的條件下，提出以量化分析為基礎(chǔ)的資源（書號）配置方法，給出一個明確的分配方案，向出版社提供有益的建議。附錄附件1：問卷調(diào)查表；附件2：問卷調(diào)查數(shù)據(jù)（五年）；附件3：各課程計(jì)劃及實(shí)際銷售數(shù)據(jù)表（5

53、年）；附件4：各課程計(jì)劃申請或?qū)嶋H獲得的書號數(shù)列表（6年）；附件5：9個分社人力資源細(xì)目。2006高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目（請先閱讀“對論文格式的統(tǒng)一要求”）B題: 艾滋病療法的評價(jià)及療效的預(yù)測艾滋病是當(dāng)前人類社會最嚴(yán)重的瘟疫之一，從1981年發(fā)現(xiàn)以來的20多年間，它已經(jīng)吞噬了近3000萬人的生命。艾滋病的醫(yī)學(xué)全名為“獲得性免疫缺損綜合癥”，英文簡稱AIDS，它是由艾滋病毒（醫(yī)學(xué)全名為“人體免疫缺損病毒”, 英文簡稱HIV）引起的。這種病毒破壞人的免疫系統(tǒng)，使人體喪失抵抗各種疾病的能力，從而嚴(yán)重危害人的生命。人類免疫系統(tǒng)的CD4細(xì)胞在抵御HIV的入侵中起著重要作用，當(dāng)CD4被HIV感

54、染而裂解時(shí)，其數(shù)量會急劇減少，HIV將迅速增加，導(dǎo)致AIDS發(fā)作。 艾滋病治療的目的，是盡量減少人體內(nèi)HIV的數(shù)量，同時(shí)產(chǎn)生更多的CD4，至少要有效地降低CD4減少的速度，以提高人體免疫能力。迄今為止人類還沒有找到能根治AIDS的療法，目前的一些AIDS療法不僅對人體有副作用，而且成本也很高。許多國家和醫(yī)療組織都在積極試驗(yàn)、尋找更好的AIDS療法。現(xiàn)在得到了美國艾滋病醫(yī)療試驗(yàn)機(jī)構(gòu)ACTG公布的兩組數(shù)據(jù)。 ACTG320（見附件1）是同時(shí)服用zidovudine（齊多夫定），lamivudine（拉美夫定）和indinavir（茚地那韋）3種藥物的300多名病人每隔幾周測試的CD4和HIV的濃度

55、（每毫升血液里的數(shù)量）。193A（見附件2）是將1300多名病人隨機(jī)地分為4組，每組按下述4種療法中的一種服藥，大約每隔8周測試的CD4濃度（這組數(shù)據(jù)缺HIV濃度，它的測試成本很高）。4種療法的日用藥分別為：600mg zidovudine或400mg didanosine（去羥基苷），這兩種藥按月輪換使用；600 mg zidovudine加2.25 mg zalcitabine（扎西他濱）；600 mg zidovudine加400 mg didanosine；600 mg zidovudine加400 mg didanosine，再加400 mg nevirapine（奈韋拉平）。請你完

56、成以下問題：（1）利用附件1的數(shù)據(jù)，預(yù)測繼續(xù)治療的效果，或者確定最佳治療終止時(shí)間（繼續(xù)治療指在測試終止后繼續(xù)服藥，如果認(rèn)為繼續(xù)服藥效果不好，則可選擇提前終止治療）。（2）利用附件2的數(shù)據(jù)，評價(jià)4種療法的優(yōu)劣（僅以CD4為標(biāo)準(zhǔn)），并對較優(yōu)的療法預(yù)測繼續(xù)治療的效果，或者確定最佳治療終止時(shí)間。(3) 艾滋病藥品的主要供給商對不發(fā)達(dá)國家提供的藥品價(jià)格如下：600mg zidovudine 1.60美元，400mg didanosine 0.85美元，2.25 mg zalcitabine 1.85美元，400 mg nevirapine 1.20美元。如果病人需要考慮4種療法的費(fèi)用，對（2）中的評價(jià)和

57、預(yù)測（或者提前終止）有什么改變。2007高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目（請先閱讀“對論文格式的統(tǒng)一要求”）A題：中國人口增長預(yù)測中國是一個人口大國，人口問題始終是制約我國發(fā)展的關(guān)鍵因素之一。根據(jù)已有數(shù)據(jù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的方法，對中國人口做出分析和預(yù)測是一個重要問題。近年來中國的人口發(fā)展出現(xiàn)了一些新的特點(diǎn)，例如，老齡化進(jìn)程加速、出生人口性別比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素，這些都影響著中國人口的增長。2007年初發(fā)布的國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報(bào)告(附錄1) 還做出了進(jìn)一步的分析。關(guān)于中國人口問題已有多方面的研究，并積累了大量數(shù)據(jù)資料。附錄2就是從中國人口統(tǒng)計(jì)年鑒上收集到的部分?jǐn)?shù)據(jù)。試從中國的實(shí)

58、際情況和人口增長的上述特點(diǎn)出發(fā)，參考附錄2中的相關(guān)數(shù)據(jù)（也可以搜索相關(guān)文獻(xiàn)和補(bǔ)充新的數(shù)據(jù)），建立中國人口增長的數(shù)學(xué)模型，并由此對中國人口增長的中短期和長期趨勢做出預(yù)測；特別要指出你們模型中的優(yōu)點(diǎn)與不足之處。附錄1 國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報(bào)告附錄2 人口數(shù)據(jù)（中國人口統(tǒng)計(jì)年鑒中的部分?jǐn)?shù)據(jù)）及其說明2007高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目（請先閱讀“對論文格式的統(tǒng)一要求”）B題：乘公交，看奧運(yùn) 我國人民翹首企盼的第29屆奧運(yùn)會明年8月將在北京舉行，屆時(shí)有大量觀眾到現(xiàn)場觀看奧運(yùn)比賽，其中大部分人將會乘坐公共交通工具（簡稱公交，包括公汽、地鐵等）出行。這些年來，城市的公交系統(tǒng)有了很大發(fā)展，北京市的公交

59、線路已達(dá)800條以上，使得公眾的出行更加通暢、便利，但同時(shí)也面臨多條線路的選擇問題。針對市場需求，某公司準(zhǔn)備研制開發(fā)一個解決公交線路選擇問題的自主查詢計(jì)算機(jī)系統(tǒng)。為了設(shè)計(jì)這樣一個系統(tǒng)，其核心是線路選擇的模型與算法，應(yīng)該從實(shí)際情況出發(fā)考慮，滿足查詢者的各種不同需求。請你們解決如下問題：1、僅考慮公汽線路，給出任意兩公汽站點(diǎn)之間線路選擇問題的一般數(shù)學(xué)模型與算法。并根據(jù)附錄數(shù)據(jù)，利用你們的模型與算法，求出以下6對起始站終到站之間的最佳路線（要有清晰的評價(jià)說明）。 (1)、S3359S1828 (2)、S1557S0481 (3)、S0971S0485(4)、S0008S0073 (5)、S0148S

60、0485 (6)、S0087S36762、同時(shí)考慮公汽與地鐵線路，解決以上問題。3、假設(shè)又知道所有站點(diǎn)之間的步行時(shí)間，請你給出任意兩站點(diǎn)之間線路選擇問題的數(shù)學(xué)模型?！靖戒?】基本參數(shù)設(shè)定相鄰公汽站平均行駛時(shí)間(包括停站時(shí)間)： 3分鐘相鄰地鐵站平均行駛時(shí)間(包括停站時(shí)間)： 2.5分鐘公汽換乘公汽平均耗時(shí)： 5分鐘(其中步行時(shí)間2分鐘)地鐵換乘地鐵平均耗時(shí)： 4分鐘(其中步行時(shí)間2分鐘)地鐵換乘公汽平均耗時(shí)： 7分鐘(其中步行時(shí)間4分鐘)公汽換乘地鐵平均耗時(shí)： 6分鐘(其中步行時(shí)間4分鐘)公汽票價(jià)：分為單一票價(jià)與分段計(jì)價(jià)兩種，標(biāo)記于線路后；其中分段計(jì)價(jià)的票價(jià)為：020站：1元；2140站：2元