用數形結合的方法解題

1、-. z.1 引言 數與形是數學中最古老最根本的研究對象。華羅庚教授說過：數缺形時少直觀，形缺數時難入微。數與形各有特定的含義、但他們之間相輔相成、相互滲透、相互轉化。數形結合思想是重要的解題方法，是每年高考必考的重要容，數形結合應用解題能力與學生成績呈顯著的正相關。解題時將問題轉化為與之等價的圖形問題，可以直觀的使問題簡捷獲解。實現數形結合常與以下容有關： = 1 * GB3 實數與數軸上的點的對應關系； = 2 * GB3 所給的等式或代數式的構造含有明顯的幾何意義； = 3 * GB3 以幾何元素和幾何條件為背景建立起的概念； = 4 * GB3 函數與圖像的對應關系； = 5 * GB

2、3 曲線與方程的對應關系。應用數形結合思想不僅直觀易發(fā)現解題途徑，而且能防止復雜的計算推理，大大簡化解題過程，這在解選擇、填空題中更為顯著，培養(yǎng)這種思想意識能開拓自己的思維視野。2 文獻綜述2.1國外研究現狀數形結合作為高中數學中非常重要的思想方法，很早就引起了許多專家學者的關注。自笛卡爾創(chuàng)造了平面直角坐標系，數形結合的思想得到了突飛猛進的開展。文獻1中葉立軍談到：數缺形時少直觀，形少數時難入微。數形結合百般好，隔離分家萬事休。近些年來，國外仍有許多學者發(fā)表了對數形結合思想的應用研究，文獻2-3中介紹了數形結合在概率統(tǒng)計和數列中的應用。文獻4-6通過總結圖形構造與數式構造提出了數形結合的兩個主

3、要途徑。文獻7-10認為數形結合可以直觀快速解決很多問題，但轉化時要遵循轉化等價原則。不過由于數形結合思想應用圍極其廣泛，所以我認為目前對數形結合思想的研究仍有很大的空間。2.2國外研究現狀評價 文獻11-13中介紹了許多數形結合的途徑和方法，其中研究解決函數各類文章最多，集中于判斷兩函數圖像交點個數及其他函數性質。對于數形結合在高中數學各種問題的研究并不夠全面。2.3提出問題 如今數形結合有著廣泛的應用，即把數學與幾何圖形相結合，化繁為簡，化抽象為具體，直觀快速地抓住問題的本質與要害，可使解題起到事半功倍的效果。然而一個不爭的事實是學生利用數形結合在高中數學解決問題的現狀并不樂觀。因此對數形

4、結合在高中數學各知識點進展全面研究是有必要的。3 數形結合思想概述1、數形結合思想的概念 數和形是高中數學研究的兩大局部，他們之間相互轉化，把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過以形助數和以數助形使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而提高解題效率。 以形助數通常是借助數軸、單位圓、函數圖象數式的構造特征等。 以數助形通常是借助向量知識、幾何圖形表示的數量關系、幾何定理等。2、數形結合思想應遵守的原則1等價性原則。數與形的相互轉化要求所討論的問題與數與形所反映的對應關系必需一致，即代數性質和幾何性質的轉換必須是等價的，否則會由于幾何的局限性導致表示的數不完整。2雙向性

5、質原則。利用數形結合思想，一方面要對直觀幾何進展分析，另一方面要對代數抽象作探索，兩方面相輔相成。如只對幾何問題進展代數分析或對代數問題進展幾何分析，在很多時候是很難行得通的。3簡單性原則。簡單性原則就是用什么方法解題簡單就用什么方法，不要刻意去追求*一種模式代數問題用幾何方法，幾何問題用代數方法。3、數形結合思想的的解題方法 1圖示法 如集合運算中的韋恩圖，它常常用來顯示數學對象間的關系。 2區(qū)域法 如用不等式的幾何意義表示平面區(qū)間。 3坐標法 如方程式圖形和函數圖象它常來表示二元變量坐標間的關系。 4特征法 如借用連續(xù)函數圖象顯示數列，既求和公式的量化特征。4 數形結合思想在解題中的應用4

6、.1在集合中的應用集合是高中數學的第一個概念，也是很多數學概念建立的根底，對集合含義、交并補運算的考察是檢驗掌握知識的關鍵。通過數軸平面直角坐標系以及韋恩圖表示集合，利用數形結合能快速解決集合問題。 例1 假設集合，集合且，則b的取值圍為_. 解析：集合可以變?yōu)?，顯然，表示以0，0為圓心，以5為半徑的圓在軸的上方的局部，表示斜率為，縱截距為的直線，要使，即使直線與圓軸上半局部有公共點。y*o圖1 由圖1知.4.2在函數中的應用 函數問題是高中數學的一大重難點,然而假設注重函數的幾何特征，把函數求值的代數問題通過數形結合的運用轉化為兩點距離問題、斜率問題、直線的縱截距問題等，則可使問題迎刃而解。

7、 例2 函數，求函數的單調區(qū)間，并指出單調性。 解析：當即或時， 當即時， 所以y0123* 如圖2所示 圖2 所以函數的單調區(qū)間有：(-，1，1,2，2，3，3，+.其中增區(qū)間是1,2與3，減區(qū)間是，1與2,3.4.3在數列中的應用 假設加強數列中有關數形結合思想方法的應用，可加深對問題的認識，從而抓住問題的本質構造幾何圖形突破數列問題。例3 假設數列為等差數列，求.n解析：設等差數列關于n的圖象是一條直線上均勻排開的一群孤立的點，故三點、共線，設，由得三點，共線。圖3如圖3，則，即. 由圖3知，即.4.4在不等式中的應用 數形結合不僅是一種重要的解題方法，而且也是一種重要的數學思想。應用數

8、形結合思想解決不等式就是根據問題的在聯系或數式的構造特征，通過喚起表象和再造想象，賦予適當的幾何意義，構造出與之相適應的幾何圖形，并利用圖形的性質和圖形之間的關系來解決問題。 例4 解不等式. 解析：常規(guī)方法：原不等式化為 1 或 2解1得；解2得.由12可得或=. 用數形結合方法可以很直觀的從圖4中得到答案，解法如下：AB0*y圖4令，則不等式的解就是使的圖像在的上方的那段對應的坐標軸，如圖4所示，不等式的解集為，由可解得，所以有.故不等式的解集為.4.5在線性規(guī)劃中的應用 應用線性規(guī)劃知識判斷平面區(qū)域,求目標函數的最值、取值圍在高考中常以選擇或填空的形式出現,都是以中檔題為主,解決這類問題

9、的關鍵是靈活運用數形結合的數學思想,將代數問題轉化為幾何問題,借助圖像的生動直觀來說明枯燥的數的關系。 例5 設關于,的不等式組表示的平面區(qū)域存在點滿足，求的取值圍。圖5 解析：如圖5要使可行域存在，必有，要求可行域包含直線上的點，只要邊界點在直線上方，且在直線下方，解不等式組得4.6在向量中的應用 向量是溝通代數、幾何與三角函數的一種工具，它有著極其豐富的實際背景，在數學學科中具有廣泛的應用。平面向量是高考中新增加的最重要容，由于它的參加，代數和幾何的研究全面改觀。數形結合是高考的重要思想之一，而平面向量則為數形結合鋪就了道路。*yAPO 例6 在平面上，.則的取值圍是 .圖6解析：根據條件

10、，構成一個矩形，所在直線為坐標軸建立直角坐標系，如圖6所示，設，點的坐標為,則點P的坐標為，由得，則，又由，得則，即 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 又由，得，則；同理有，得，即有 = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 由 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 知，所以.而，所以.4.7在概率統(tǒng)計中的應用 概率統(tǒng)計由于其思維方式與以往的數學課程不同，并且它又蘊含了較廣泛的數學知識，因此概率統(tǒng)計成為很多學生的學習障礙。利用數形結合把線段、平面、空間圖形能明確直觀地分析、判斷事件發(fā)生的概率大小。而概率事件的計算正是

11、依據圖形的長度、面積和體積來完成的。 例7 有一容量為100的樣本，數據的分組及各組的頻率如下： 12.5，15.5，6；15.5，18.5，16；18.5，21.5，18；21.5 ，24.5，22；24.5 ,27.5，20；27.5 ，30.5，10；30.5，33.5，8.求數據小于30.5的概率是多少？解析：分組頻數頻率6161822201080.060.160.180.220.200.100.08合計1001.00 圖7 頻率組距數據12.518.524.530.5 圖8 數據大于等于30.5的頻率是0.08所以小于30.5的頻率為：1.00-0.08=0.92. 例8 在長度為的

12、線段上任意作兩點，求的概率。 解析：將線段放在數軸的正上方，以為原點，點的坐標為，設的坐標分別為、.而所有可能的結果都在如圖9所示的正方形，即，故.則所求概率為*yABLL圖94.8在導數中的應用導數是高中數學中重要局部，也是較難的一局部。利用導數研究函數的極值、單調區(qū)間、實際應用或證明不等式，尤其是題目中含有參數需要分類討論時，使得本已抽象的問題更加復雜化，學生在學習和解答時，大多十分茫然，不知從何下手。然而將抽象的數學語言與直觀的圖象結合起來，也就是對題目中的條件和結論既分析其代數含義又挖掘其幾何背景，在代數與幾何的結合上尋找解題思路，使要解決的數的問題轉化為形的討論，實現由一種代數形式轉

13、化為一種幾何形式的數學化歸。 例 9 函數.求的單調區(qū)間；假設對于任意的，都有，求的取值圍。解析：函數的定義域為，由求得函數的單調遞增區(qū)間，由求得函數的單調遞減區(qū)間，而導函數由兩個根本函數和的乘積構成，函數的圖像，無論還是，都位于軸的上方，所以恒成立，故影響導函數符號正負的只有函數，而函數的實質是一個二次函數。當時，函數圖像是一個開口方向向上的拋物線(如圖10)此時，只需看圖10說話了：當時，；當時，；當時，.所以，當時的單調遞增區(qū)間是和；單調遞減區(qū)間是. 圖10當時，函數圖像是一個開口方向向下的拋物線(如圖11)仍然是看圖11說話：當時，；當時，；當時，所以，當時，的單調遞減區(qū)間是和；單調遞

14、增區(qū)間是.圖11由知：當時，的單調遞增區(qū)間是和；單調遞減區(qū)間是.因此，在區(qū)間的單調情況是：在區(qū)間上遞減；在區(qū)間上遞增，且，因此，在區(qū)間上的圖如圖12 圖12所以不會有.當時，的單調遞減區(qū)間是和；單調遞增區(qū)間是.因此，在區(qū)間的單調情況是：在區(qū)間上遞增；在區(qū)間上遞減.因此，在區(qū)間上的草圖如圖13.圖13因此，在上的最大值是所以等價于解得故當時，的取值圍是.4.9在復數中的應用復數有四種表示形式：代數形式，幾何形式，三角形式及指數形式。由這四種形式所建立起來的復數運算法則，各具特點，通過它們之間的相互轉化，我們能靈活地分析和解決問題，尤其是代數形式與幾何形式的相互轉換，其思想方法是屬于數形結合，這為

15、我們解決復數問題拓寬了思路。例10 復數滿足條件的在復平面的對應的點集合是 .A圓 B.雙曲線 C.橢圓 D.線段解析：.復數與對應的點分別為，如圖14，圖14 故的幾何意義是：在復平面，復數對應的點到的距離為.滿足條件的對應的點集合為線段.故答案選D.5 應用數形結合解題時的缺點及注意點圖形在幾何學習與解題活動中有著重要的地位，但幾何圖形也有可能產生負面的影響。14哈拉達等人Harada, Callon-Dumiel & Nondad,2000 指出，這些負面的影響至少有三個：1圖形容易使人產生錯誤的視覺判斷；2對圖形缺乏動態(tài)的觀點dynamic viewpionts;(3)過分依賴典型例p

16、rototype e*ample.數形結合思想是一種根本的數學思想，運用其可優(yōu)化解題過程，然而數形結合思想并不是萬能的，只有在解題過程中注意細節(jié)的處理，才能真正做到游刃有余。1、圖形未必能作數形結合思想在數學解題中運用廣泛，它為解決數學問題提供了更多更好的途徑與方法。但并不是每個問題都可以通過數形轉換的方法解決，因為有些圖形是不可以作的。如果沒有分析圖形能不能作就用數形結合思想解題，不但不能正確解決問題，而且浪費大量的時間。例11 設函數則以下結論錯誤的選項是 .的值域為 B、是偶函數 C、不是周期函數 D、不是單調函數 解析：此題以狄利克雷函數為背景，答案為C.該函數圖像無法做出，因此不能用

17、數形結合思想方法來解決問題。2、圖形未必快數形結合思想方法是近些年來高考重點考察的思想方法之一，每年的高考試題特別是客觀題能夠用此方法解決者均占相當大的比例。其主要特點是直觀、快捷，因此是高考備考中的重要數學解題方法。但這并不意味著所有題目用數形結合解題都快速，相反的有的題目應用圖形解題更慢，使解題過程更復雜，運算量更大。這就要求我們針對不同問題，恰當采用數形結合思想方法。例12 設定義在R上的函數是最小正周期為的偶函數，是的導函數。當時，01；當且時，.則函數在上的零點個數為 . A、2 B、4 C、5 D、8解析：此題假設利用圖像特征，運用數形結合思想判斷零點個數，更費時間。依據題意可直接

18、將函數轉變成.解出答案為B.3、圖形未必精準 在數學解題中，形象、直觀的數形結合方法為我們分析、簡化問題提供了重要途徑。但在具體問題的解決中圖形的精準性直接影響著解題的正誤，有的學生在利用數形結合解題時由于缺乏對圖形準確性的認識導致解題錯誤。因此圖形的精準性是數形結合思想的前提條件，即使是草圖也應該畫準確，必要時要對圖形的直觀分析給出推理論證。例 函數在 .A、沒有零點 B、有且僅有一個零點 C、有且僅有兩個零點 D、有無窮多個零點 解析：此題判斷函數在是否有零點，可轉化為判斷與的交點個數，進而借助圖像進展分析，得出答案為B.在分析過程中要做到以數控形，否則容易因圖形不準而誤解。6 結論6.1

19、主要發(fā)現 數形結合思想方法在高中數學中應用廣泛，其運用主要是數學問題的條件與結論之間的在聯系，分析其代數意義，提醒其幾何直觀，使數量關系的準確度與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起.如在解集合、函數、數列、不等式、線性規(guī)劃、向量、概率統(tǒng)計、導數、復數問題中，運用數形結合，直觀易發(fā)現解題途徑，進而能防止復雜的計算和推理，大大簡化了解題過程。這在解高考選擇題、填空題中更顯重要，既省時又省力，能夠得到事半功倍的效果。6.2啟示和意義 數學問題的編擬與構造，常常遵循由簡到繁的規(guī)律，有的將一個簡單代數問題和一個幾何問題結合后變成一個復雜新問題.在新問題中常常已隱去其本真面目，有時變得面目全非，但或多或少總會留下一些刀劈斧鑿、精雕細刻的痕跡。解決這些問題要真正掌握數形結合的精華，必須有雄厚的知識根底和熟練的根本技能，就要注意培養(yǎng)數形結合思想意識，要爭取胸中有圖，見數想圖，以開闊自己的思維視野。6.3局限性 數形結合思想方法運用非常廣泛，本文只介紹了一些簡單的方法，沒有做更深度的研究。所選例題是一些具有代表性的數形結合的題目，對于陌生的題目該用哪種方法未