用樣本頻率估計總體頻率教學設計精品

1、2.2.1用樣本頻率估計總體頻率（教案）陳巴爾引入：我們本章學習的內(nèi)容是統(tǒng)計學，我們運用統(tǒng)計學解決一個具體問題，要分幾個步驟？首先是數(shù)據(jù)的收集，然后是數(shù)據(jù)的分析。我們之前的課程已經(jīng)學習了怎么收集數(shù)據(jù)，今天我們要開始學習怎么分析我們得 到的數(shù)據(jù)，來解決一個實際問題。（看問題，圖片）面對這樣一個現(xiàn)狀，我們該如何節(jié)約用水？政府部門提了這么一個設想：（看問題）問題的提出：該如何確定a呢？能不能太高？一一失去節(jié)約用水的意義。（由學生回答）能不能太低？一一影響居民的正常生活。（由學生回答）所以，我們希望大部分的居民用水量應該低于 a,而小部分的居民用水量高于a,這樣 即不影響居民正常生活，又能達到節(jié)水的效

2、果。既然要求大部分居民的用水量在 a以下，小部分在a以上，我們就需要了解本市居民 的用水量情況，更準確地說，我們要知道用水量在哪些范圍內(nèi)較多，哪些范圍內(nèi)較少， 或者說大部分集中在哪些范圍內(nèi)。即了解居民用水的整體“分布”。這類似于我們考完 試，分析班級的成績分布。那我們可以通過什么方法來了解用水情況？一一抽樣（若學生提出普查則加以說明）數(shù)據(jù)的處理：我們通過合理的抽樣方法，獲得了 100位居民某年的月平均用水量。（得到用水量 表格）剛才我們說過要了解用水的整體分布吧，就是在哪些范圍內(nèi)較多，哪些范圍內(nèi)較少？ 如果就給你一個表格，這么多數(shù)據(jù)一放，你能看清嗎？（由學生回答，發(fā)現(xiàn)只能大致看出最大值，最小值

3、，以及1點幾和2點幾的用水量都“比較多”，但具體就不清楚了。） 看不清，就要對表格的數(shù)據(jù)進行整理與分析，你們初中有沒有學過拿到這么一大堆數(shù)據(jù)可以怎么處理，分析？（學生回答頻數(shù)分布表）回顧初中熟悉的一一頻數(shù)分布表。初中的頻數(shù)分布表是如何制作的？數(shù)據(jù)的處理過程：（由學生回答，讓一名學生起來回答，如果忘記了，可以讓他參考書本中的過程在一一說出。）過程：（將6個處理數(shù)據(jù)的步驟完整得留在黑板上。）步驟1、找出最大最小值（過大或過小的區(qū)間都沒有意義）步驟2、確定組距與組數(shù)起始區(qū)間是不是一定要從0.2開始？（留給學生一定的思考時間，可以提問學生回答?。┮灰豢梢詮?開始，一是為了方便，二是實際意義。當然最后一

4、組 的右端點也不一定是4.3。所以如果我們設組數(shù)為n,組距為r,則n*r大于等 于4.1 ,而且是略大于等于。由上面的式子我們就可以知道組數(shù)和組距是有聯(lián)系的， 確定其中一個就可以近似確定另外一個，那我們應該先確定組距還是先確定組數(shù)？（為了制圖方便，通常希望組距“取整”，所以可以先確定組距再求組數(shù)，并可以和經(jīng)驗公式做比 較）現(xiàn)在我們?nèi)?.5為組距，則可以得到組數(shù)應該為8.2,即可以取組數(shù)為9組。（若學生此時提出組距和組數(shù)大小如何選擇，則舉較極端的例子，如分 1組、2組，與組距0.1 , 0.05等例子說明分組太少則信息表達過少，數(shù)據(jù)分析 不夠細致，而分組過多，則由于樣本容量的限制與數(shù)據(jù)采集方法等

5、影響，使得 原始數(shù)據(jù)本身不夠精細，從而會導致失真的后果。如圖片放大率與像素值的關 系。若學生沒有提出，則此問題在畫完直方圖后講解。）步驟3、將數(shù)據(jù)分組統(tǒng)計（通過劃正統(tǒng)計）步驟4、得到初中我們熟悉的是頻數(shù)分布表。頻數(shù)分布表的討論：我們通過處理數(shù)據(jù)得到頻數(shù)分布表，與原始數(shù)據(jù)相比，能獲得哪些有關數(shù)據(jù)分布的進2步信息?學生：大部分集中在區(qū)間上，（或最多，次多集中在區(qū)間上），越往中間數(shù)據(jù)越多，越往兩邊數(shù)據(jù)越少。頻數(shù)的好處在于知道落在每個區(qū)間內(nèi)數(shù)據(jù)的多少。如果我想知道落在每個區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)占全部的比例是多少的時候，該怎么辦？一一用頻數(shù)除以樣本容量， 就得到了比例， 我們稱這個比例為頻率。我們把頻率這一列加在

6、我們剛才的表格中，就得到了頻率分 布表。步驟5、得到頻率分布表頻率分布表的討論：那我們?yōu)槭裁匆腩l率，用頻數(shù)不是已經(jīng)能很好得看出各個區(qū)間里面的數(shù)據(jù)多少嗎？（若學生不能回答就直接說出?。╊l率與頻數(shù)相比，更容易看清這個區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)個數(shù) 占全部樣本的比例是多少，我們研究樣本的目的是什么？（學生一一估計總體?。┧砸腩l率的話，在我們估計總體的時候特別有效，比如我們知道總體是一萬戶，那么 根據(jù)我們的頻率分布表，我們?nèi)绾喂烙嬁傮w中落在區(qū)間.中的個數(shù)？（學生：用樣 本的頻率來估計總體的頻率，將總體乘以樣本的頻率即可）（這里可以舉一個具體的例子計算一遍）從頻率分布表中，與原始數(shù)據(jù)表相比較， 我們能得到些什

7、么新的信息？數(shù)據(jù)落在各個小組的比例大?。ㄔ酵虚g越多，最多是. 其次是 .大部分集中在. .） 數(shù)據(jù)的表示有表格的形式，那除了表格還有別的形式嗎？該形。一一圖能給我們更加直觀的感覺。如何作圖？（學生可能提出以下不同做法）1、取分組區(qū)間的中點為橫坐標，頻率為縱坐標畫三點圖；（學生沒提出則略過）2、以頻率為高度畫柱狀圖，有間隔或沒有間隔；（學生沒提出則略過）書上是和我們做法一樣嗎？步驟6、以區(qū)間跨度為矩形的寬，以頻率除以組距作為矩形的高畫出相應的柱狀圖就 是頻率分布直方圖。為什么用直方圖而不用我們覺得更加自然的條形圖？直方圖與頻率條形圖比較：31、總體分布的直觀感受：由表格中得到的信息，現(xiàn)在仍然能

8、得到（各個分組數(shù)據(jù)的比例大小，單峰對稱的分布 形狀），并且更加直觀。（此時直方圖沒有優(yōu)勢）2、如何讀取頻率？那直方圖中的頻率到底怎么讀？如何讀取區(qū)間1,1.5）的頻率？條形圖為矩形高度，直方圖用面積表示！我們可以用讀 取的樣本頻率估計總體的頻率。如何讀取區(qū)間1,2）的頻率？條形圖為矩形高度和，直方圖為面積和！（直方圖感覺更加直觀）我們可以用讀取的樣本頻率估計總體的頻率。如何讀取區(qū)間1,2.1）的頻率？可以利用直方圖為1至2.1處的所有面積和作為總體的 頻率的估計，條形圖可以按照比例計算頻率估計值，但遠不如直方圖直觀簡便。直方圖與表格之間的對應關系：面積是頻率，總面積是1。即頻率分布直方圖以 面

9、積的形式來反映數(shù)據(jù)落在各個小組的頻率大小（而頻率柱狀圖 以高度來反映頻率大小。）缺點：頻率分布表和頻率分布直方圖除了得到新的信息以外，也會丟失一些原有的信息，如 原始數(shù)據(jù)。表和圖的應用：回到原問題的解決，如果要求 85犯上的居民用水量不超出標準，則如何尋找標準？3t （通過計算頻率的累加獲得，由學生做到。讓個別學生起來回答自己是如何選 擇的）3t的選擇一定能保證85犯上的居民用水量不超標嗎？學生一一不一定！為什么？（一下兩個原因先由學生回答，不全面的再加以補充）原因1、樣本只是總體的代表，與總體仍有區(qū)別，且代表性與抽樣方法，樣本容量均 有關。并且如果多做幾次抽樣得到的樣本幾乎不可能完全一樣，自

10、然畫出的直方圖也 很可能不同，但只要抽樣方法設計合理，樣本的代表性強，不同樣本得到的結論應該 比較接近。4那么如果通過普查得到的標準 a能夠保證嗎？原因2、今年的月平均用水與明年乃至以后的月平均用水量情況不可能完全一樣，有 較多的不確定因素會影響用水量的變化，所以現(xiàn)在得到的標準只能作為明年的一個相 對合理的猜測。結果的統(tǒng)計意義：對于總體或者將來的一個較為合理與準確的估計，其誤差在額可以 容許的范圍之內(nèi)，也正因為這樣，統(tǒng)計結果的好壞，往往需要進一步的評價，或通過 理論方法的評價，或通過實際應用的檢驗。（統(tǒng)計方法也不唯一，可以在直方圖上找到面積正好為 0.85的分界點作為a的取值。） 總結：為了解

11、總體的分布，我們通常通過分析樣本的頻率分布來估計總體的分布，（分布表和直方圖體現(xiàn)的都是樣本的頻率分布，而我們則是利用它們來估計總體的分布。）估計的結果是一個具有統(tǒng)計意義的結果，這個結果會根據(jù)樣本的不同而有所改變，但 對于有較好代表性的不同樣本，得到的估計結果應該是近似的。不僅用相同的方法由 于樣本不同可能得到不同的結果， 對于同一問題，我們也經(jīng)常會有不同的方法來處理， 得到的結果也不同，那么對于不同的結果的好壞，通常需要進一步評價。其中估計的方法有頻率分布表，頻率分布直方圖，其中我們較為感興趣的應該是頻率 分布直方圖。用面積來反映頻率，為估計總體的分布提供了一個直觀、簡便的方法。需要注意的是 矩形的高度不是頻率，而是頻率除以組距。事實上利用樣