淺談高等數(shù)學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1、- .-. -可修編- . z. PAGE II淺談高等數(shù)學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用摘要本文探討了初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)在知識(shí)體系上的差異以及應(yīng)用上的聯(lián)系，同時(shí)也探討了他們地位上的差異和各自的重要性。通過(guò)討論可以得知，高等數(shù)學(xué)在很大程度上是初等數(shù)學(xué)的擴(kuò)展。本文第三局部重點(diǎn)介紹了微積分，不等式，行列式，以及高等幾何等在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，探討了應(yīng)用高等數(shù)學(xué)的思想方法解決初等數(shù)學(xué)的有關(guān)問(wèn)題。另外還探討了高等數(shù)學(xué)在高考試題上表達(dá)的情況和如何解決相應(yīng)的問(wèn)題。關(guān)鍵詞 高等數(shù)學(xué) 中學(xué)數(shù)學(xué) 微積分 行列式AbstractThis study of elementary mathematics and higher ma

2、thematics in knowledge on the difference between system and application links, also discussed their differences on the status and importance of each. Through discussion can see that higher mathematics is to a large e*tent is an e*tension of elementary mathematics. This article focuses on the second

3、part of calculus, inequality, determinants, as well as the application of higher geometry in elementary mathematics, e*plored the application of higher mathematics thought method to solve problems of elementary mathematics. Discussion also reflected on the collegeentrance e*amination in higher mathe

4、matics and how to solve the problemKey wordsadvanced mathematics Mathematics calculus-. z.目錄 TOC o 1-4 h u HYPERLINK l _Toc16363 摘要 PAGEREF _Toc16363 I HYPERLINK l _Toc21501 Abstract PAGEREF _Toc21501 II HYPERLINK l _Toc10418 第一章 前言 PAGEREF _Toc10418 1 HYPERLINK l _Toc24196 1.1 研究背景 PAGEREF _Toc2419

5、61 HYPERLINK l _Toc11560 1.2 課題研究意義 PAGEREF _Toc11560 1 HYPERLINK l _Toc3360 1.3 文獻(xiàn)綜述 PAGEREF _Toc3360 2 HYPERLINK l _Toc29948 1.4 研究方法 PAGEREF _Toc29948 2 HYPERLINK l _Toc9165 1.5 創(chuàng)新之處 PAGEREF _Toc9165 2 HYPERLINK l _Toc11035 第二章 高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的地位與聯(lián)系 PAGEREF _Toc11035 3 HYPERLINK l _Toc17694 2.1 初等數(shù)學(xué)與高等

6、數(shù)學(xué)的定位 PAGEREF _Toc17694 3 HYPERLINK l _Toc26047 2.2 高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系 PAGEREF _Toc26047 4 HYPERLINK l _Toc31888 2.2.1 中學(xué)數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性 PAGEREF _Toc31888 4 HYPERLINK l _Toc16369 2.2.2 中學(xué)數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的連貫性 PAGEREF _Toc16369 4 HYPERLINK l _Toc18561 2.3 高等數(shù)學(xué)對(duì)初等數(shù)學(xué)的拓展 PAGEREF _Toc18561 5 HYPERLINK l _Toc14379 2.3.1 代數(shù)方面

7、 PAGEREF _Toc14379 5 HYPERLINK l _Toc2252 2.3.2 幾何方面 PAGEREF _Toc2252 6 HYPERLINK l _Toc17663 第三章 高等數(shù)學(xué)在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 PAGEREF _Toc17663 8 HYPERLINK l _Toc8024 3.1 高等代數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 PAGEREF _Toc8024 8 HYPERLINK l _Toc22501 3.2.1 行列式的應(yīng)用 PAGEREF _Toc22501 8 HYPERLINK l _Toc14883 3.2.2 柯西施瓦茲不等式應(yīng)用 PAGEREF _Toc1488

8、3 9 HYPERLINK l _Toc1960 3.2 微積分方法在中學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用 PAGEREF _Toc1960 9 HYPERLINK l _Toc14986 3.2.1 微積分方法在求函數(shù)的極值、最值中的應(yīng)用 PAGEREF _Toc14986 9 HYPERLINK l _Toc9991 3.2.2 用微積分知識(shí)直接用來(lái)處理初等數(shù)學(xué)的問(wèn)題而到達(dá)簡(jiǎn)便的目的 PAGEREF _Toc9991 10 HYPERLINK l _Toc29057 3.2.3 積分在空間立體體積與外表積中的應(yīng)用 PAGEREF _Toc29057 12 HYPERLINK l _Toc2921 3.2.4 積

9、分在求曲線弧長(zhǎng)中的應(yīng)用 PAGEREF _Toc2921 13 HYPERLINK l _Toc1897 3.3 高等幾何在初等幾何的應(yīng)用 PAGEREF _Toc1897 14 HYPERLINK l _Toc30449 3.3.1 仿射變換的應(yīng)用 PAGEREF _Toc30449 14 HYPERLINK l _Toc31667 3.3.2 射影幾何觀點(diǎn)在初等幾何中的應(yīng)用 PAGEREF _Toc31667 14 HYPERLINK l _Toc14730 3.3.2.1 仿射變換的應(yīng)用 PAGEREF _Toc14730 15 HYPERLINK l _Toc2335 3.3.2.2

10、笛沙格定理的應(yīng)用 PAGEREF _Toc2335 16 HYPERLINK l _Toc30403 3.3.2.3 點(diǎn)列中四點(diǎn)的交比 PAGEREF _Toc30403 16 HYPERLINK l _Toc29089 3.3.2.4 線束中四條直線的交比的應(yīng)用 PAGEREF _Toc29089 18 HYPERLINK l _Toc27349 第四章 高考試題中的微積分在解題中的應(yīng)用 PAGEREF _Toc27349 20 HYPERLINK l _Toc25154 4.1 拉格朗日中值定理 PAGEREF _Toc25154 20 HYPERLINK l _Toc12689 4.2

11、有關(guān)級(jí)數(shù)的應(yīng)用 PAGEREF _Toc12689 23 HYPERLINK l _Toc18123 總結(jié) PAGEREF _Toc18123 26 HYPERLINK l _Toc20952 參考文獻(xiàn) PAGEREF _Toc20952 27 HYPERLINK l _Toc5108 致 PAGEREF _Toc5108 28- .-. -可修編- . z.前言1.1研究背景二十一世紀(jì)科學(xué)技術(shù)與社會(huì)經(jīng)濟(jì)正在快速開(kāi)展。這就需要初等教育為高等院校輸送大批具有綜合素質(zhì)的創(chuàng)新型人才，最終培養(yǎng)成為社會(huì)需要的各級(jí)各類人才。數(shù)學(xué)教育從教學(xué)思想、教學(xué)容、課程設(shè)置、教學(xué)方法和教學(xué)手段方面都需要進(jìn)展一系列的改革

12、試驗(yàn)隨著新課程改革的不斷進(jìn)展，高中數(shù)學(xué)把多科數(shù)學(xué)容綜合為一門數(shù)學(xué)教材，注意溝通各科知識(shí)之間的在聯(lián)系，注意數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用。教學(xué)中，要求表達(dá)數(shù)學(xué)的人文價(jià)值和科學(xué)價(jià)值，注重?cái)?shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)。新課程容的變化，無(wú)論是新增容，還是要求處理形式、側(cè)重點(diǎn)上有變化的容都需要教師認(rèn)真理解，仔細(xì)分析。數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化要求把中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)建立在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想根底上，這使得高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)互相促進(jìn)，共同開(kāi)展。有許多中學(xué)數(shù)學(xué)的概念都需要借助高等數(shù)學(xué)的知識(shí)才能解釋清楚。1.2 課題研究意義隨著高等數(shù)學(xué)的知識(shí)在高考所占的比重也越來(lái)越大，研究新的課程標(biāo)準(zhǔn)、新的考試大綱，認(rèn)真研究、分析高中數(shù)學(xué)中的新知識(shí)高等數(shù)學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的

13、應(yīng)用問(wèn)題變失勢(shì)在必行。高等數(shù)學(xué)是在初等數(shù)學(xué)的根底上開(kāi)展起來(lái)的。與初等數(shù)學(xué)有著嚴(yán)密的聯(lián)系。許多初等數(shù)學(xué)無(wú)法解答的問(wèn)題，高等數(shù)學(xué)都給出了解答。因此，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用高等數(shù)學(xué)的思想、方法為工具，從不同的角度去研究初等數(shù)學(xué)的問(wèn)題，而且運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)，從另一更高的角度重新認(rèn)識(shí)初等數(shù)學(xué)中重要的概念、理論實(shí)質(zhì)及其背景，還可以借助于高等數(shù)學(xué)的方法來(lái)統(tǒng)一處理和解決初等數(shù)學(xué)中一些或一類問(wèn)題等等?？傊畱?yīng)用高等數(shù)學(xué)的方法使學(xué)生對(duì)初等數(shù)學(xué)的本質(zhì)，以及與高等數(shù)學(xué)之間的在聯(lián)系，有了深刻的認(rèn)識(shí)。 本論文在借鑒前人所撰文章的精神的根底之上，與中學(xué)數(shù)學(xué)同行們互相交流，對(duì)指導(dǎo)教學(xué)，指明方向、深度有重大的參考和借鑒價(jià)值。本文運(yùn)用高

14、等數(shù)學(xué)的先進(jìn)觀點(diǎn)居高臨下地分析和處理中學(xué)數(shù)學(xué)容的問(wèn)題。主要表現(xiàn)為以下三個(gè)方面:一是將高等數(shù)學(xué)的思想和方法滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)中去；二是用具體材料來(lái)說(shuō)明高等數(shù)學(xué)對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)意義：三是指出中學(xué)數(shù)學(xué)*些難以處理的問(wèn)題的高等數(shù)學(xué)背景。1.3 文獻(xiàn)綜述 文獻(xiàn)5例談導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是鄢堯發(fā)所編寫(xiě), 這文章是備受廣闊師生青睞，主要用眾多例題介紹導(dǎo)數(shù)，通過(guò)把導(dǎo)數(shù)與實(shí)際應(yīng)用結(jié)合起來(lái)，以及用了很多方法，去介紹導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。充分展現(xiàn)導(dǎo)數(shù)思想在解決問(wèn)題的重要性，我在這本參考書(shū)上，主要是參考了導(dǎo)數(shù)在求極值的應(yīng)用這局部。不過(guò)這本書(shū)在介紹導(dǎo)數(shù)這方面的知識(shí)與我所討論的問(wèn)題有很大的區(qū)別，因此我在自己電腦的，找一些相關(guān)資料作為補(bǔ)充。 文獻(xiàn)

15、6導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用，本文章是偉的報(bào)告，本報(bào)告主要就討論一個(gè)任務(wù)，導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用。主要把不等式構(gòu)造成一個(gè)函數(shù)，再通過(guò)函數(shù)求導(dǎo)，找函數(shù)的單調(diào)性，這樣就可以證明不等式的成立。另外還利用導(dǎo)數(shù)證明幾個(gè)特殊的不等式?？紤]到微積分正是大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的根底也是中學(xué)數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的一個(gè)延生，借鑒此文章是勢(shì)在必行的。但由于此文章講述的比擬復(fù)雜，我只借鑒構(gòu)造函數(shù)這一局部。文獻(xiàn)7 - 數(shù)學(xué)分析第三版是華東師大學(xué)數(shù)學(xué)系所編也是高等教育出版的大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生必修的一本教科書(shū)，本書(shū)分為兩本主要詳細(xì)講了極限和連續(xù)函數(shù)，微積分，實(shí)數(shù)完備性等知識(shí)點(diǎn)。就是通過(guò)這本書(shū)，我才能清楚的認(rèn)識(shí)整個(gè)微積分與中學(xué)數(shù)學(xué)之間的嚴(yán)密聯(lián)系，也

16、是通過(guò)這道本書(shū)我才能認(rèn)識(shí)到高等數(shù)學(xué)的主要思想根底的所在。1.4 研究方法到書(shū)店、圖書(shū)館、上網(wǎng)搜集大量相關(guān)的資料，并參考其他研究人員就此問(wèn)題做過(guò)的相關(guān)研究資料，再結(jié)合自己的見(jiàn)解分析，總結(jié)最后撰寫(xiě)論文1.5 創(chuàng)新之處1、本論文在更具體的理論結(jié)合實(shí)際上探討了高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系 2、本論文更全面的表達(dá)了高等數(shù)學(xué)在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 3、這次課標(biāo)新改后，比擬深入的講述高考數(shù)學(xué)試題應(yīng)用高等數(shù)學(xué)思想方法的論文- .-. z.第二章 高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的地位與聯(lián)系大量的事實(shí)說(shuō)明,通過(guò)高初結(jié)合可以更好地把握數(shù)學(xué)知識(shí)的深度,了解數(shù)學(xué)問(wèn)題的背景和實(shí)質(zhì),能夠從更高的角度俯瞰初等數(shù)學(xué)及其教學(xué),可以提高數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)

17、素質(zhì)和數(shù)學(xué)解題能力,更好地把握初等數(shù)學(xué)教學(xué)。高等數(shù)學(xué)知識(shí)在開(kāi)闊中學(xué)教師的視野、指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)解題等方面都有很大的作用。欲窮千里目,更上一層樓。站在高等數(shù)學(xué)的角度來(lái)看初等數(shù)學(xué)中的*些問(wèn)題會(huì)更深刻、更全面。我們知道,初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)之間無(wú)論在觀點(diǎn)上還是在方法上都有著很大的區(qū)別。正是如此,有人認(rèn)為:學(xué)生不需要懂得什么高等數(shù)學(xué)知識(shí),教師只要照課本講下去就可以了。其實(shí)這是一種誤解。誠(chéng)然,在課堂上不能把高等數(shù)學(xué)知識(shí)傳授給學(xué)生,但我們僅僅停留在課本上是不夠的,有時(shí)甚至連自己對(duì)一些初等數(shù)學(xué)的問(wèn)題也可能感到費(fèi)解,這是因?yàn)?一方面,高等數(shù)學(xué)是初等數(shù)學(xué)的繼續(xù)和提高;另一方面,初等數(shù)學(xué)里很多理論遺留問(wèn)題必須在高等數(shù)學(xué)

18、中才能得澄清.因此,高等數(shù)學(xué)在初等數(shù)學(xué)中的作用不能掉以輕心,下面談?wù)勔恍┏鯗\的體會(huì)。2.1初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的定位一般來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)史學(xué)家把數(shù)學(xué)的開(kāi)展分為四個(gè)階段：萌芽時(shí)期、初等數(shù)學(xué)時(shí)期、古典高等數(shù)學(xué)時(shí)期、現(xiàn)代高等數(shù)學(xué)時(shí)期或五個(gè)時(shí)期，再加上當(dāng)代時(shí)期。無(wú)論何種分發(fā)，都把第二開(kāi)展時(shí)期叫做初等數(shù)學(xué)時(shí)期，這個(gè)時(shí)期的數(shù)學(xué)知識(shí)和經(jīng)歷就是初等數(shù)學(xué)，而把第三、第四或第三、四、五階段叫做高等數(shù)學(xué)時(shí)期，這些階段的數(shù)學(xué)知識(shí)和經(jīng)歷就是高等數(shù)學(xué)。理論意義下的初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)是按照恩格斯Engles的經(jīng)典分發(fā)：所謂初等數(shù)學(xué)是指常量數(shù)學(xué)，高等數(shù)學(xué)就是指變量數(shù)學(xué)，并把笛卡爾R.Descartes1637年發(fā)表的解析幾何看成為出

19、現(xiàn)高等數(shù)學(xué)或進(jìn)入高等數(shù)學(xué)時(shí)期的標(biāo)志。而教育意義下的初等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)是依據(jù)教育的開(kāi)展歷程和教育的等級(jí)加以區(qū)分的，即視普通初等、中等教育即中、小教育階段的數(shù)學(xué)主要容為初等數(shù)學(xué)，視初等教育階段的數(shù)學(xué)主要容為初等數(shù)學(xué)，視高等教育的數(shù)學(xué)主要容為高等數(shù)學(xué)。當(dāng)然，由于社會(huì)和教育的思想、方法、手段尤其是教育容都在不斷開(kāi)展，初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)也是一個(gè)變化的客體對(duì)象，兩者沒(méi)有嚴(yán)格的概念區(qū)別。事實(shí)上，數(shù)學(xué)科學(xué)是一個(gè)不可分割的整體，它的生命力在于各局部之間的在聯(lián)系，這就需要深入研究初等數(shù)學(xué)，理清其中最根本的思想和方法，努力尋求初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的結(jié)合點(diǎn)2.2 高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系中學(xué)數(shù)學(xué)主要是常量數(shù)學(xué),同時(shí)也包括

20、變量數(shù)學(xué)的一些初步知識(shí),而現(xiàn)代數(shù)學(xué)則以變項(xiàng)包括變量為研究對(duì)象來(lái)反映現(xiàn)實(shí)世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系。 數(shù)學(xué)的開(kāi)展是一個(gè)不斷發(fā)現(xiàn)、不斷統(tǒng)一、不斷深化的過(guò)程。作為一名即將成為教師的學(xué)生應(yīng)該盡可能地把握數(shù)學(xué)開(kāi)展的過(guò)程,清楚地認(rèn)識(shí)大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義，有意識(shí)地把它貫穿到今后的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，做到既知其然，又知其所以然。2.2.1 中學(xué)數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性伽利略曾說(shuō)過(guò)：大自然是一本書(shū),而這本書(shū)的語(yǔ)言是用數(shù)學(xué)來(lái)書(shū)寫(xiě)的。數(shù)學(xué)作為眾多自然學(xué)科的根底,博大精深,體系龐大,分支眾多擁有著豐富的穿插學(xué)科,而如此龐大的學(xué)科部卻有著高度的統(tǒng)一性,這種統(tǒng)一性決不是一種偶然的巧合，它反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，數(shù)學(xué)的統(tǒng)一

21、性在數(shù)學(xué)各個(gè)分支之間比比皆是，它始終貫穿于數(shù)學(xué)的整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程，表現(xiàn)在一些具體的實(shí)例上。中學(xué)階段最能表達(dá)數(shù)學(xué)統(tǒng)一性思想的就是解析幾何,笛卡爾坐標(biāo)系把代數(shù)方程與圓錐曲線完美地結(jié)合在一起。而高等數(shù)學(xué)則更是從各方面表達(dá)著數(shù)學(xué)統(tǒng)一性思想。正如M阿蒂亞所說(shuō):數(shù)學(xué)最使我著迷之處,是不同的分支之間有著許許多多的相互影響,預(yù)想不到的聯(lián)系,驚人的奇跡。2.2.2 中學(xué)數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的連貫性 初等數(shù)學(xué)是高等數(shù)學(xué)根底,二者有著本質(zhì)的聯(lián)系。中學(xué)數(shù)學(xué)中遺留下來(lái)相當(dāng)多的問(wèn)題并不是它本身可以解決的，必須進(jìn)一步學(xué)習(xí)了高等數(shù)學(xué)，掌握了更多的理論工具，對(duì)問(wèn)題的本質(zhì)有了更深的認(rèn)識(shí)后才能作出一定合理的解釋。 例如大家熟知的代數(shù)根本定理

22、：具有復(fù)系數(shù)的一個(gè)多項(xiàng)式方程在復(fù)數(shù)域中至少有一個(gè)解。在中學(xué)階段是當(dāng)作既成事實(shí),但它終究對(duì)不對(duì)，如何去證明，用中學(xué)階段的數(shù)學(xué)知識(shí)是無(wú)法解釋的。自從高斯給這一根本定理作出了證明以后，在高等數(shù)學(xué)中又給出了多種多樣的證法，可以用復(fù)變函數(shù)、代數(shù)拓?fù)?、?shù)理邏輯等不同的知識(shí)來(lái)加以證明。 但所有這些證明都需要用到函數(shù)的連續(xù)性,對(duì)函數(shù)連續(xù)性本質(zhì)的認(rèn)識(shí)屬于現(xiàn)代數(shù)學(xué)的疇。數(shù)學(xué)的研究方法與對(duì)象反復(fù)經(jīng)歷了由特殊到一般,由直觀到抽象的過(guò)程.著名數(shù)學(xué)家M阿蒂亞說(shuō):沒(méi)有這些抽象概念,數(shù)學(xué)恐怕早就被成堆的復(fù)雜問(wèn)題壓得喘不過(guò)氣來(lái),也早就分裂成數(shù)不清的,互不關(guān)連的個(gè)別情況的研究了。 。中學(xué)生對(duì)運(yùn)算的認(rèn)識(shí)是從數(shù)的運(yùn)算開(kāi)場(chǎng),隨著學(xué)習(xí)的

23、逐步深入,知道運(yùn)算不僅僅局限于數(shù),式也可以進(jìn)展運(yùn)算,這說(shuō)明運(yùn)算不僅可以在數(shù)之間進(jìn)展,而且可以在數(shù)以外的其他對(duì)象之間進(jìn)展。一般運(yùn)算的對(duì)象可以是抽象的集合。一般運(yùn)算的概念是指一個(gè)或幾個(gè)集合到一個(gè)集合的映射。代數(shù)是在幾個(gè)集合上賦予假設(shè)干運(yùn)算所形成的構(gòu)造。最初的代數(shù)就是抽象化的,用符號(hào)代表數(shù)或其他更復(fù)雜的量；而更高層次的抽象是符號(hào)之間的運(yùn)算法則和相互關(guān)系。 抽象概念正是對(duì)層出不窮的新事物的要求所做出的自然的答復(fù)。2.3 高等數(shù)學(xué)對(duì)初等數(shù)學(xué)的拓展2.3.1代數(shù)方面集合：眾所周知，集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的根底，集合概念是數(shù)學(xué)中的一個(gè)原始概念。中小學(xué)數(shù)學(xué)中都貫穿了集合的思想，高中開(kāi)場(chǎng)使用集合語(yǔ)言來(lái)研究問(wèn)題，通過(guò)高

24、中的學(xué)習(xí)，對(duì)集合的表示、集合之間的簡(jiǎn)單運(yùn)算應(yīng)該比擬熟悉，對(duì)集合與集合之間的映射等有所了解。高等數(shù)學(xué)將在此根底上進(jìn)一步考慮集合的運(yùn)算，引入集合的勢(shì)的概念，比擬兩個(gè)無(wú)窮集合的大小以及賦予集合*些數(shù)學(xué)構(gòu)造如代數(shù)構(gòu)造、測(cè)度構(gòu)造、拓?fù)?，研究具有不同?shù)學(xué)構(gòu)造集合之間的映射關(guān)系。如近世代數(shù)主要是研究具有代數(shù)構(gòu)造集合之間的映射，如同態(tài)、同構(gòu)、群、環(huán)、域等；而實(shí)變函數(shù)論主要是研究具有勒貝格測(cè)度的集合之間的映射，如可測(cè)函數(shù)。 函數(shù)及其性質(zhì)：函數(shù)是數(shù)學(xué)上的一個(gè)根本而又重要的概念，從中學(xué)數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)，函數(shù)概念逐步從直觀向抽象開(kāi)展、變量說(shuō)、對(duì)應(yīng)說(shuō)映射說(shuō)，關(guān)系說(shuō)是三種主要的定義方式。用關(guān)系來(lái)定義函數(shù)，比擬抽象，一般不容

25、易理解，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)如拓?fù)鋵W(xué)、泛函分析等中使用較多。對(duì)應(yīng)說(shuō)映射說(shuō)是中學(xué)數(shù)學(xué)及一般高等數(shù)學(xué)中普遍采用的方式。映射是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的一個(gè)根本概念，它貫穿于現(xiàn)代數(shù)學(xué)各個(gè)分支，函數(shù)，變換等都是映射的例子。 中學(xué)數(shù)學(xué)中所講的函數(shù)主要是六種根本初等函數(shù)：常值函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)，研究它們的構(gòu)造與形態(tài)。高等數(shù)學(xué)在此根底上定義了復(fù)合函數(shù)，初等函數(shù)等概念，使函數(shù)的量進(jìn)一步擴(kuò)展，進(jìn)一步研究一般函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性用導(dǎo)數(shù)方法判斷可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性、周期性給出周期函數(shù)的一般定義以求周期的方法、有界性、極值性用導(dǎo)數(shù)方法求極值、連續(xù)性、可導(dǎo)性、可積性、以及多項(xiàng)式函數(shù)的理論。由于現(xiàn)實(shí)中應(yīng)用的許多函

26、數(shù)都是初等函數(shù)，而初等函數(shù)又具有較好的分析性質(zhì)，因而常成為研究抽象函數(shù)的例子、模型。微積分中函數(shù)的主體是初等函數(shù)，由根本初等函數(shù)到初等函數(shù)，銜接是比擬嚴(yán)密的。 數(shù)列、極限與級(jí)數(shù)：中學(xué)數(shù)學(xué)中講到數(shù)列的定義，等差、等比數(shù)列以及它們的前n項(xiàng)的和與數(shù)列極限，這是數(shù)學(xué)分析中級(jí)數(shù)論的根底。極限法是數(shù)學(xué)分析的一個(gè)主要方法，貫穿于數(shù)學(xué)分析的始終。中學(xué)數(shù)學(xué)中再給極限準(zhǔn)確的定量定義。級(jí)數(shù)論中將研究無(wú)窮數(shù)列與函數(shù)列的和級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散，局部數(shù)列和的求法，以及函數(shù)級(jí)數(shù)的和函數(shù)的分析性質(zhì)，把函數(shù)展成級(jí)數(shù)等。 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)論:中學(xué)數(shù)學(xué)中講了復(fù)數(shù)的概念、表示法代數(shù)形式、向量形式、三角形式、運(yùn)算。復(fù)數(shù)的引進(jìn)，完滿的證明了高

27、等代數(shù)的根本定理及多元二次型的分解等。另外，復(fù)變函數(shù)論研究的一類重要函數(shù)解析函數(shù)包括初等函數(shù)，只有在復(fù)數(shù)域中來(lái)討論才能徹底弄清楚。因此，中學(xué)數(shù)學(xué)中的復(fù)數(shù)是復(fù)變函數(shù)論的一個(gè)重要根底，它們之間最好是按螺旋式上升方式來(lái)銜接。 排列、組合、二項(xiàng)式定理與概率論：中學(xué)數(shù)學(xué)中排列、組合、二項(xiàng)式定理及概率是高等數(shù)學(xué)中概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的根底。由于這局部容與其它容聯(lián)系較少，學(xué)生普遍感到難學(xué)，有的教師也可能降低要求。但大局部概率與統(tǒng)計(jì)的教材，都是在中學(xué)的根底上來(lái)編寫(xiě)的，它們是對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象演繹的研究與對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律歸納研究。因此，中學(xué)排列、組合、二項(xiàng)式定理的容一點(diǎn)都不能削弱。 方程與方程組：中學(xué)數(shù)學(xué)中重要講了一元一

28、次、二元、三次方程及簡(jiǎn)單高次方程的解的情況，并沒(méi)有對(duì)一般高次方程作深入討論，方程組也大多是二元線性或三元線性方程組.高等數(shù)學(xué)中將對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中的方程與方程組作推廣，高等代數(shù)對(duì)高次方程的解根的情況將作全面討論，明確五次含五次以上的方程無(wú)公式解，復(fù)系數(shù)一元二次方程必有2個(gè)根。用行列式和矩陣?yán)碚搧?lái)討論一元線性方程的解存在性、解法、構(gòu)造，用微積分研究微分方程與方程組的解等。2.3.2幾何方面立體幾何與空間解析幾何：中學(xué)平面幾何主要包括相交線、平行線、三角形、四邊形、面積、相似形和圓的一些概念及性質(zhì)、點(diǎn)的軌跡的概念等容。立體幾何主要包括直線和平面的位置關(guān)系及其性質(zhì)，多面體和旋轉(zhuǎn)體的一些概念、性質(zhì)、畫(huà)法及外

29、表積和體積的公式等容。主要使學(xué)生會(huì)綜合性處理幾何的方法。而空間解析幾何是在具有空間構(gòu)造觀念的根底上,用向量、變量與空間直線、柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面及其一般理論，使學(xué)生學(xué)會(huì)解析地處理幾何的方法。 平面解析幾何與空間解析幾何：中學(xué)平面解析幾何主要講平面上直線方程、圓錐曲線二次曲線的幾種簡(jiǎn)單形式方程及形態(tài)、參數(shù)方程與極坐標(biāo)等容?？臻g解析幾何將進(jìn)一步研究二次曲線的一般理論二次曲線與直線的相關(guān)位置、二次曲線的漸進(jìn)方向、中心、漸進(jìn)線、切線、直徑以及二次曲線的化簡(jiǎn)與分類等和二次曲面的一般理論二次曲面與直線的相關(guān)位置、二次曲面的漸進(jìn)方向與中心、切線與切平面、徑面與奇向、主徑面與主方向、特征方程與特征根

30、以及二次曲面的化簡(jiǎn)與分類等?？臻g解析幾何是平面解析幾何的自然延伸 高等幾何是對(duì)初等幾何的教學(xué)與研究有著重要的指導(dǎo)作用。高等幾何的主要容包括仿射幾何、射影幾何和幾何根底，近幾年來(lái)，關(guān)于高等幾何對(duì)初等幾何的指導(dǎo)作用的研究一直是幾何學(xué)教學(xué)研究方面的一個(gè)熱點(diǎn)，并且已經(jīng)取得了不少成果。本文后局部從仿射幾何和射影幾何的一些理論與方法出發(fā)，探討它們?cè)诔醯葞缀沃械膽?yīng)用。 仿射幾何是高等幾何的重要組成局部，是聯(lián)結(jié)射影幾何與歐氏幾何的紐帶，是應(yīng)用高等幾何知識(shí)解決初等幾何問(wèn)題的一條重要通道。在初等幾何里，有大量的命題是研究圖形的仿射性質(zhì)的，即并不涉及到距離、角度、面積的具體度量，而僅涉及到點(diǎn)線結(jié)合關(guān)系、直線的平行性

31、、共線與平行線段之比、封閉圖形面積之比以及線段中點(diǎn)等概念。對(duì)于這類命題，我們可以充分地運(yùn)用仿射幾何的有關(guān)理論，由特殊到一般、化繁為簡(jiǎn)地加以解決，從而到達(dá)事半功倍的效果。這方面問(wèn)題的解決，常?？梢越柚诜律渥儞Q與仿射坐標(biāo)系來(lái)實(shí)現(xiàn)。-. -可修編- . z.第三章 高等數(shù)學(xué)在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用3.1 高等代數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 高等代數(shù)不僅是中學(xué)數(shù)學(xué)的延拓,也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的根底。作為中學(xué)數(shù)學(xué)教師總感覺(jué)到大學(xué)中學(xué)的高等代數(shù)在中學(xué)教學(xué)中用不上,其理由是從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué),在研究問(wèn)題和處理問(wèn)題的方式上存在著較大的區(qū)別；其實(shí)這是一種誤解,正因?yàn)橛羞@樣的區(qū)別,它能使我們從中學(xué)的解題思維定勢(shì)中走出來(lái),用一種更深

32、遠(yuǎn)的眼光來(lái)看中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題。下面從幾個(gè)方面談?wù)勥@個(gè)問(wèn)題。3.2.1行列式的應(yīng)用 因式分解是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要容，雖然在中學(xué)數(shù)學(xué)中有很多方法可以解決因式分解問(wèn)題,但對(duì)于*些因式分解問(wèn)題如果構(gòu)造與之對(duì)應(yīng)的行列式，然后使用行列式的性質(zhì)去解決，會(huì)起到事半功倍的效果。例1：解：所以=例2：證明：又由可得：,所以所以,即.3.2.2柯西施瓦茲不等式應(yīng)用 柯西施瓦茲不等式是高等代數(shù)的一個(gè)重要不等式，它在中學(xué)數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用。例1：設(shè)歐式空間,令,則有當(dāng)且僅當(dāng),線性相關(guān)時(shí)等號(hào)成立,在標(biāo)準(zhǔn)積下,有：假設(shè),則得：例2：設(shè)a,b,c,都是正數(shù),且,求證：證明：在中使用標(biāo)準(zhǔn)積.設(shè),則有：由柯西不等式得：成立 從上例可

33、知,使用柯西施瓦茲不等式重要的是構(gòu)造一個(gè)適宜的歐氏空間,特別是構(gòu)造積運(yùn)算,并找到兩個(gè)適當(dāng)?shù)南蛄?。由上兩個(gè)例子我們不難看出高等代數(shù)的很多知識(shí)完全可以作為一種工具來(lái)解決中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題,而這中間構(gòu)造法起了很重要的作用。高等代數(shù)應(yīng)用于中學(xué)數(shù)學(xué)并不是簡(jiǎn)單的一題多解,而是一種知識(shí)的融會(huì)貫穿。高等代數(shù)方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用還有很多,方法也獨(dú)特且靈活多變。如果應(yīng)用恰當(dāng),可以化難為易,收到事半功倍之效。3.2 微積分方法在中學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用 如果將整個(gè)數(shù)學(xué)比作棵大樹(shù),則初等數(shù)學(xué)是樹(shù)的根,名目繁多的數(shù)學(xué)分支是樹(shù)枝,而樹(shù)干的主要局部就是微積分不管是高等數(shù)學(xué)還是初等數(shù)學(xué),其根本方法都是相通的,則,高等數(shù)學(xué)微積分方法在中學(xué)數(shù)

34、學(xué)中有著怎樣的應(yīng)用？下面我來(lái)舉例進(jìn)展說(shuō)明。3.2.1 微積分方法在求函數(shù)的極值、最值中的應(yīng)用 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大(小)值,求函數(shù)在連續(xù)區(qū)間a,b上的最大最小值,或利用求導(dǎo)法解決一些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題是函數(shù)容的繼續(xù)與延伸,這種解決問(wèn)題的方法使復(fù)雜問(wèn)題變得簡(jiǎn)單化,因而已逐漸成為新高考的又一熱點(diǎn)。例：,在時(shí)取得極值,且1)試求常數(shù)a、b、c 的值； (2)試判斷*=1 是函數(shù)的極小值還是極大值,并說(shuō)明理由。解： 1是函數(shù)的極值點(diǎn)是方程即的根即即又,將上面三式聯(lián)立得：2時(shí),當(dāng)時(shí), 函數(shù)f(*)在(,1)和(1,+)上是增函數(shù),在(1,1)上是減函數(shù)。 當(dāng)*=1 時(shí),函數(shù)取得極大值f(1)=1。當(dāng)*=1時(shí),

35、函數(shù)取得極小值f(1)=1。這樣,我們就很容易地解決了這個(gè)一元三次函數(shù)的極值問(wèn)題.總之,微積分它作為是一種數(shù)學(xué)思想,用它解決中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題有很多便捷之處。3.2.2 用微積分知識(shí)直接用來(lái)處理初等數(shù)學(xué)的問(wèn)題而到達(dá)簡(jiǎn)便的目的在初等數(shù)學(xué)中有些不能或不易解決的問(wèn)題，運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的理論方法可以得到圓滿的解決。例如：中學(xué)數(shù)學(xué)中證明*些恒等式時(shí)的恒等變形過(guò)程相當(dāng)繁雜，稍不小心就會(huì)出錯(cuò)。如果題目再?gòu)?fù)雜一些，就更困難。使用微積分的知識(shí)，可以防止繁雜的工作。例 方程根的討論求證有兩個(gè)相異實(shí)根，并且一個(gè)根大于，令一個(gè)根小于。證法一 采用初等方法證明 證明：將方程整理得 所以方程有兩個(gè)相異的實(shí)根 因?yàn)?所以 因此 證法

36、二 采用微積分方法證明 證明：設(shè)則 因?yàn)?，所以在區(qū)間和分別存在和，使 由連續(xù)函數(shù)的介值性定理，在區(qū)間和分別存在和，使 這說(shuō)明和是方程的兩個(gè)相異實(shí)根， 不僅如此，根據(jù)這一證法，我們還可以深化和拓廣對(duì)這一方程的研究，獲得新的結(jié)論。因?yàn)?所以同樣介于方程的兩根之間，我們還可以看到，方程的右端對(duì)于此題的結(jié)論來(lái)說(shuō)并非是至關(guān)重要的，關(guān)鍵是方程的右端必須是一個(gè)正數(shù)。于是綜合以上兩點(diǎn)可以得到更為一般的結(jié)論：設(shè)，則方程必有兩個(gè)相異實(shí)根，且均介于方程的兩根之間。注：此題用初等數(shù)學(xué)的方法證明必須分為兩步：先利用判別式證明方程有兩個(gè)相異實(shí)根，再利用求根公式求出方程的兩個(gè)根，并與比擬其大小，這樣做具有一定的計(jì)算量，顯得

37、麻煩。而采用微積分的方法，可將兩步并為一步，顯得簡(jiǎn)捷，而且還可以得到更為深層的結(jié)論。例不等式的證明 假設(shè)，求證：證明：設(shè)則在上滿足拉格朗日中值定理，故存在使即 即 注 不等式的證明方法多種多樣，沒(méi)有統(tǒng)一的模式，初等數(shù)學(xué)常用的方法是恒等變形、數(shù)學(xué)歸納法、利用二次型、使用重要不等式等，往往有較高的技巧。利用微積分的方法證明不等式，常利用函數(shù)的增減性、微分中值定理等有關(guān)知識(shí)，它可使不等式證明的過(guò)程大大簡(jiǎn)化，技巧性降低，但也沒(méi)有固定模式例 代數(shù)式的化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)解：把看作變量，與看作常量令對(duì)求導(dǎo)得上式兩端取不定積分得 令得 故原式注：對(duì)于代數(shù)式的化簡(jiǎn)，初等數(shù)學(xué)常采用的方法是把各項(xiàng)展開(kāi)然后合并同類項(xiàng)，計(jì)算量比

38、擬大，比擬繁瑣。利用微積分方法可使解題過(guò)程簡(jiǎn)化。3.2.3積分在空間立體體積與外表積中的應(yīng)用例：證明：底面半徑為r，高為h的圓錐體的體積為。證明 ：取圓錐體頂點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)頂點(diǎn)垂直于底面的直線為*軸，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)o且垂直于*軸的直線為y軸如圖，則圓錐體可以看作是由直線PO于*=h及*軸圍成的直角三角形繞*軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體直線OP的方程為則所求圓錐體的體積為。例：證明：半徑為R的圓面積為證明：一圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為R圓的方程是顯然，它關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，故圓的面積為圓的第一象限的面積的4倍。故所求圖形面積為(二)圓的面積也可以看作是由上半圓與下半圓所圍成圖形的面積，于是有(三)圓的參數(shù)方

39、程為，于是有，例：證明：橢圓的面積為。證明：一由于橢圓關(guān)于兩個(gè)坐標(biāo)軸對(duì)稱，故橢圓面積為橢圓在第一象限面積的4倍。由橢圓方程得，第一象限函數(shù)表達(dá)式為。于是有。二橢圓的面積也可以看作是由上半橢圓與下半橢圓所圍成圖形的面積，由預(yù)備知識(shí)中公式3得三橢圓參數(shù)方程為。于是有3.2.4積分在求曲線弧長(zhǎng)中的應(yīng)用例：證明：半徑為R的圓的周長(zhǎng)為。證明：一圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)半徑為R的方程為由于圓關(guān)于兩個(gè)坐標(biāo)軸對(duì)稱，所以只須求出第一象限的弧長(zhǎng)，然后4倍，即得出圓的周長(zhǎng)S。 圓在第一象限的方程是且于是，圓的周長(zhǎng)為(二)半徑為R的圓的參數(shù)方程為且于是，圓的周長(zhǎng)為三半徑為R的圓的極坐標(biāo)方程為所以圓的周長(zhǎng)為以上所寫(xiě)的是幾類初等數(shù)

40、學(xué)問(wèn)題用高等數(shù)學(xué)的處理，可以看出初等數(shù)學(xué)作為高等數(shù)學(xué)的根底，高等數(shù)學(xué)在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用是相當(dāng)廣泛的，同時(shí)，扎實(shí)的初等數(shù)學(xué)根底對(duì)學(xué)好高等數(shù)學(xué)也是非常重要的。通過(guò)這樣的應(yīng)用，既可以開(kāi)拓解題思路，又可以培養(yǎng)觀察問(wèn)題分析問(wèn)題的能力以及綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。3.3 高等幾何在初等幾何的應(yīng)用3.3.1仿射變換的應(yīng)用 在仿射幾何里，幾何圖形在任意仿射變換下都具有保持同素性、結(jié)合性和二直線的平行性及共線三點(diǎn)的單比、共線或平行二線段長(zhǎng)度之比、二封閉圖形面積之比不變的仿射不變性質(zhì)和仿射不變量。因而，當(dāng)我們要研究初等幾何中圖形的仿射性質(zhì)時(shí)，可以在條件下作出它的一個(gè)較易研究的仿射對(duì)應(yīng)圖形，由研究圖形的相關(guān)性質(zhì)轉(zhuǎn)而得出圖

41、形的性質(zhì)3.3.2射影幾何觀點(diǎn)在初等幾何中的應(yīng)用 射影幾何在初等幾何中的應(yīng)用是十分廣泛的。射影幾何是研究射影性質(zhì)和射影不變量的幾何。如同素性，結(jié)合性，交比等。本文就簡(jiǎn)單介紹了仿射變換、笛沙格定理、點(diǎn)列中四點(diǎn)的交比、線束中四條直線的交比在初等幾何中的應(yīng)用。 3.3.2.1 仿射變換的應(yīng)用在初等幾何中有大量的命題是離不開(kāi)圖形仿射性質(zhì)的，即只涉及圖形的仿射性質(zhì)，并不涉及距離、角度等概念。對(duì)于這類命題，我們可以充分運(yùn)用仿射變換的性質(zhì)化繁為簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)難為易，到達(dá)事半功倍的效果。如果我們把要研究*個(gè)圖形的仿射性質(zhì)，常根據(jù)條件或條件的一局部作出圖形的比擬特殊、性質(zhì)顯而易見(jiàn)的仿射等價(jià)圖形，轉(zhuǎn)而研究上的對(duì)應(yīng)性質(zhì)，然

42、后根據(jù)命題的條件變換為所要研究的圖形的性質(zhì)。也就是往往先在特殊的仿射等價(jià)圖形中進(jìn)展研究，然后再推廣到一般圖形。如圓和橢圓仿射等價(jià)，假設(shè)要研究橢圓的*個(gè)性質(zhì)，可先研究所具有的*個(gè)性質(zhì)仿射性質(zhì)，然后再推廣到橢圓上去在初等幾何中應(yīng)用仿射變換，是由特殊到一般的研究方法的一個(gè)例。例：平行于平行四邊形的對(duì)角線作一直線與相交于。求證：。證明：如圖1所示，設(shè)正方形經(jīng)過(guò)一個(gè)仿射變換得到,即 正方形 圖1由于保持平行性，結(jié)合性，所以且/而在正方形中所以有因?yàn)閮扇切蔚拿娣e之比是仿射不變量，則有所以 3.3.2.2 笛沙格定理的應(yīng)用笛沙格定理是射影幾何的理論根底，它的應(yīng)用很廣，許多定理以它為依據(jù)。定義1 平面不共線

43、的三點(diǎn)與每?jī)牲c(diǎn)的連線所組成的圖形叫做三點(diǎn)形。平面不共點(diǎn)的三直線與其每?jī)芍本€的交點(diǎn)所組成的圖形叫做三線性。笛沙格定理 如果兩個(gè)三點(diǎn)形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線交于一點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)在同一直線上。笛沙格定理的逆定理 如果兩個(gè)三點(diǎn)形對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)在同一直線上，則對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)。定義2 假設(shè)兩個(gè)三點(diǎn)形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線共點(diǎn)，且對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)共線，則兩三點(diǎn)形構(gòu)成透視關(guān)系。對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線的交點(diǎn)叫做透視中心，對(duì)應(yīng)邊交點(diǎn)所在的直線叫做透視軸。例：如圖2所示，過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，任作三條直線，分別與對(duì)邊交于且共點(diǎn).求證：假設(shè), , ,則三點(diǎn)共線。證明 ：在三點(diǎn)形和中，因?yàn)閷?duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線共點(diǎn)。有笛沙格定理知，其對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)共

44、線，即有共線。 圖23.3.2.3 點(diǎn)列中四點(diǎn)的交比定義1 共線四點(diǎn)的交比定義為兩個(gè)單比與的比，記為 其中A，B兩點(diǎn)稱為基點(diǎn)，C，D兩點(diǎn)稱為分點(diǎn)。 根據(jù)交比的定義有不一樣的共線四點(diǎn)的交比與點(diǎn)的排列順序有密切的關(guān)系。定理1 兩基點(diǎn)與分點(diǎn)交換，交比的值不變。即 定理2 只有兩基點(diǎn)交換或只有兩分點(diǎn)交換，交比的值與原來(lái)的交比值互為倒數(shù)。即定理3 交換中間兩字母順序或交換兩端字母順序所得的交比值與原來(lái)交比值和為常數(shù)1，即定理 4 一直線上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)分其上的任何亮點(diǎn)的單比等于1.定理 5 兩個(gè)不同的普通點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，且，則 推論 1 假設(shè)共線四點(diǎn)為，則其中 推論 2 假設(shè)共線四點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則其中互不

45、相等。在共線四點(diǎn)的交比中，交比值為-1的情況十分重要，假設(shè)，則稱調(diào)和別離，或稱與調(diào)和共軛。交比值-1叫做調(diào)和比。例：設(shè)為共線三點(diǎn)，且,求點(diǎn)C的坐標(biāo)。解：設(shè) 代入坐標(biāo)可得由得所以,即點(diǎn)坐標(biāo)為線束中四條直線的交比的應(yīng)用定義 1 假設(shè)為線束中的四條直線，則叫做的交比，其中叫基線，叫做分線。定理1 假設(shè)線束中的四條直線被任意一直線截于四點(diǎn)，則與點(diǎn)列交比像是，可以得到線束交比的性質(zhì)，共點(diǎn)四直線的交比也有24個(gè)交比值，分為六類，每類中四個(gè)交比值相等。定理2 假設(shè)為四條不同的普通共點(diǎn)直線的齊次坐標(biāo)，則定理3 交比經(jīng)中心射影后不變，即交比為射影性質(zhì)。例：中的、外角分線交于。求證：.。證明：如圖3，記直線，分別

46、為則由定理1得所以即 得證通過(guò)仿射變換、笛沙格定理、點(diǎn)列中四點(diǎn)的交比和線束中四條直線的交比在初等幾何中的應(yīng)用，可以看出，射影幾何觀點(diǎn)在初等幾何中的應(yīng)用是十分廣泛的。-. z.第四章 高考試題中的微積分在解題中的應(yīng)用近幾年，以高等數(shù)學(xué)為背景的高考命題成為熱點(diǎn).許多省市高考試卷有關(guān)導(dǎo)數(shù)的題目往往可以用拉格朗日中值定理解答.本文主要先歸類總結(jié)，再通過(guò)一些具體的高考試題，利用拉格朗日中值定理解答，并與參考答案的解法作比擬，表達(dá)高觀點(diǎn)解題的好處。4.1 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理：假設(shè)函數(shù)滿足如下條件：i在閉區(qū)間上連續(xù)；ii在開(kāi)區(qū)間可導(dǎo)；則在至少存在一點(diǎn)，使得 .1.形如：證明或成立其中例：200

47、7年高考全國(guó)卷I第20題設(shè)函數(shù).證明：假設(shè)對(duì)所有，都有 ，則的取值圍是.證明：i當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，都有(ii)當(dāng)時(shí)，問(wèn)題即轉(zhuǎn)化為對(duì)所有恒成立.令，由拉格朗日中值定理知至少存在一點(diǎn)從而，使得，即，由于，故在上是增函數(shù)，讓 得，所以的取值圍是.評(píng)注：第(2)小題提供的參考答案用的是初等數(shù)學(xué)的方法。即令，再分和 兩種情況討論。其中，又要去解方程。但這有兩個(gè)缺點(diǎn)：首先，為什么的取值圍要以為分界展開(kāi)。其次，方程求解較為麻煩。但用拉格朗日中值定理求解就可以避開(kāi)討論，省去麻煩。2.形如：證明成立例： (2OO6年卷理第22題)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。證明：不妨設(shè)，即證。由

48、拉格朗日中值定理知，存在，則且，又， .當(dāng)時(shí)，.所以是一個(gè)單調(diào)遞減函數(shù)，故從而成立，因此命題獲證。由得，令則由拉格朗日中值定理得：下面只要證明：當(dāng)時(shí)，任意,都有，則有，即證時(shí)，恒成立.這等價(jià)于證明的最小值大于。由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最小值，又，故時(shí)，恒成立。所以由拉格朗日定理得：.評(píng)注：這道題用初等數(shù)學(xué)的方法證明較為冗長(zhǎng)，而且技巧性較強(qiáng)。因而思路較為突兀，大多數(shù)考生往往難以想到。相比之下，用拉格朗日中值定理證明，思路較為自然、流暢。表達(dá)了高觀點(diǎn)解題的優(yōu)越性，說(shuō)明了學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的重要性。3.形如：證明或成立例：2008年全國(guó)卷22題設(shè)函數(shù)。如果對(duì)任何，都有，求的取值圍。證明：當(dāng)時(shí)，顯然對(duì)任何，都有

49、；當(dāng)時(shí)，由拉格朗日中值定理，知存在，使得。可知，從而.令得，；令得，.所以在上，的最大值在 上，的最大值.從而函數(shù)在上的最大值是.由知，當(dāng)時(shí)，的最大值為.所以，的最大值.為了使恒成立，應(yīng)有.所以的取值圍是。評(píng)注：這道題的參考答案的解法是令,再去證明函數(shù)的最小值.這與上述的思路是一樣的.但首先參考答案的解法中有個(gè)參數(shù),要對(duì)參數(shù)進(jìn)展分類討論;其次為了判斷的單調(diào)性,還要求和的解,這個(gè)求解涉及到反余弦,較為復(fù)雜.而用拉格朗日中值定理就可以避開(kāi)麻煩，省去討論，再次表達(dá)了高觀點(diǎn)解題的優(yōu)越性4.形如：證明成立，其中例：2007年卷18題 設(shè)求證：當(dāng)時(shí)，恒有.證明：即證，由于，則.由拉格朗日中值定理得，存在，使得.可知，所以.令得，.令得，.故在上最小值.所以.從而.又，則成立，從而當(dāng)時(shí)，成立. 評(píng)注：這道題的參考答案是用中在的極小值得到.又，所以。從而在上單調(diào)遞增,故的最小值，所以。但是如果沒(méi)有，很難想到利用來(lái)判斷的單調(diào)性。而用拉格朗日中值定理證明，就不存在這個(gè)問(wèn)題。 拉格朗日中值定理是數(shù)學(xué)