《拓?fù)鋵W(xué)》教學(xué)大綱

1、 拓?fù)鋵W(xué)教學(xué)大綱前言拓?fù)鋵W(xué)課程是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的必修課程它是研究幾何圖形在連續(xù)變動保持不變的性質(zhì)（下稱“連續(xù)不變性”）本課程主要介紹一般拓?fù)鋵W(xué)的基本概念和基礎(chǔ)理論一般拓?fù)鋵W(xué)又稱點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)，即在一般集合上引入拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，它是拓?fù)鋵W(xué)的基礎(chǔ)，主要研究一般拓?fù)淇臻g的自身結(jié)構(gòu)與拓?fù)淇臻g上連續(xù)映射的學(xué)科，目前，拓?fù)鋵W(xué)的概念、方法和理論已經(jīng)廣泛地滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)以及鄰近學(xué)科的許多領(lǐng)域，并且有著日益重要的應(yīng)用設(shè)置本課程的目的是：通過本課程的學(xué)習(xí)，一方面使學(xué)生掌握一般拓?fù)鋵W(xué)的基本概念、基本思想與基本方法，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)提供必要的理論基礎(chǔ)另一方面使學(xué)生可以從較高觀點(diǎn)觀察、分析已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)分析和幾何學(xué)的內(nèi)容

2、，加深對這些內(nèi)容的認(rèn)識和理解學(xué)習(xí)本課程的要求是：學(xué)習(xí)者應(yīng)掌握拓?fù)鋵W(xué)的一些基本概念，基本思想方法和基本性質(zhì)，熟練掌握一些常見的拓?fù)淇臻g，并能用所學(xué)的幾種連續(xù)不變性區(qū)分一些簡單的拓?fù)淇臻g在學(xué)習(xí)拓?fù)鋵W(xué)基本理論知識的基礎(chǔ)上，掌握拓?fù)鋵W(xué)研究問題的整體性，抽象性和高度概括性力求活躍數(shù)學(xué)思想，從而能運(yùn)用較高層次的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)與數(shù)學(xué)知識先修課程要求：數(shù)學(xué)分析，高等代數(shù)，空間解析幾何本課程計劃：72學(xué)時，4學(xué)分選用教材：熊金城，點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)講義（第三版），高等教育出版社，2003教學(xué)手段：課堂講授為主，習(xí)題課與討論課為輔考核方法：考試教學(xué)進(jìn)程安排表周次學(xué)時數(shù)教學(xué)主要內(nèi)容教學(xué)環(huán)節(jié)備注12拓?fù)鋵W(xué)簡介，集合的基本概念與基本

3、運(yùn)算及其基本性質(zhì)講課12集合上的關(guān)系與等價關(guān)系，商集，映射，集族及其運(yùn)算性質(zhì)，集合的勢講課22度量空間，球形鄰域，開集講課與習(xí)題課相結(jié)合22度量空間中的連續(xù)映射，拓?fù)淇臻g，幾種常見的拓?fù)淇臻g講課與習(xí)題課相結(jié)合32拓?fù)淇臻g中的連續(xù)映射，同胚映射講課32鄰域與鄰域系，映射的點(diǎn)態(tài)連續(xù)講課42導(dǎo)集，閉集，閉包講課42內(nèi)部，邊界，基講課52子基，鄰域基講課與習(xí)題課相結(jié)合52拓?fù)淇臻g中的序列及其斂散性講課62子空間及其誘導(dǎo)拓?fù)渲v課62積度量空間，積拓?fù)淇臻g，開（閉）映射講課72商空間與商拓?fù)渲v課72連通空間的概念，同胚不變性，可商性，有限可積性講課82連通性的基本性質(zhì)及其證明講課82連通性的簡單應(yīng)用講課9

4、2連通分支的概念及其性質(zhì)講課92道路，道路連通及其性質(zhì)，道路連通與連通之間的關(guān)系講課102第一與第二可數(shù)性公理及它們之間的關(guān)系講課與習(xí)題課相結(jié)合102可遺傳性，第一、二可數(shù)性公理的性質(zhì)講課112可分空間的概念及其性質(zhì)講課112Lindelff空間討論課122空間，空間，Hausdorff空間講課122正則空間，正規(guī)空間，空間，空間講課132Urysohn引理，Tietze擴(kuò)張引理講課132完全正則空間，Tychonoff空間講課142分離性公理與子空間、（有限）積空間與商空間講課142可度量化空間及其充要條件講課152緊致空間（上）講課152緊致空間（下）討論課162緊致性與分離性公理講課16

5、2中的緊致子集講課172幾種緊致性以及它們之間的關(guān)系（上）講課172幾種緊致性以及它們之間的關(guān)系（下）講課182度量空間中緊致性講課182復(fù)習(xí)習(xí)題課第一章集合論初步一、學(xué)習(xí)目的通過本章的學(xué)習(xí)，要求熟練掌握樸素集合論的一些基本概念，子集的各種運(yùn)算及其性質(zhì)，理解集合上的關(guān)系和等價關(guān)系的概念，掌握集合中集族的概念與運(yùn)算性質(zhì)為今后在一般集合上附以拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)打好基礎(chǔ)本章計劃4學(xué)時二、課程內(nèi)容11集合論的基本概念集合的一些基本概念：元素、空集、子集與真子集、集合相等、包含與包含于，屬于與不屬于，冪集等12集合的基本運(yùn)算集合的各種運(yùn)算（并，交、差、補(bǔ)）及其性質(zhì)（冪等律，交換律、結(jié)合律、分配律和De Morga

6、n律）13關(guān)系集合的卡氏積，有序偶的概念，關(guān)系，關(guān)系的逆與復(fù)合14等價關(guān)系集合上的恒同關(guān)系，關(guān)系的自反性、對稱性、反對稱性、傳遞性等概念等價關(guān)系、等價類、商集的概念與性質(zhì)15映射映射，映射的復(fù)合，單射，滿射，一一映射，恒同映射，可逆映射，映射的限制和擴(kuò)張，投影與自然投影16集族及其運(yùn)算有標(biāo)集族（集族）與指標(biāo)集的概念集族的并與交及其運(yùn)算性質(zhì)17可數(shù)集，不可數(shù)集，基數(shù)有限集與無限集；可數(shù)集與不可數(shù)集，集合勢的概念及其性質(zhì)，CantorBernstein定理及其應(yīng)用，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)18選擇公理集合的選擇函數(shù)，選擇公理及其等價命題三、教學(xué)基本要求復(fù)習(xí)：集合的一些基本概念與基本性質(zhì)，強(qiáng)調(diào)各符

7、號的規(guī)范性理解：有關(guān)關(guān)系，等價關(guān)系，集族的概念掌握：等價關(guān)系的證明，集族運(yùn)算及其性質(zhì)了解：連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)四、重點(diǎn)、難點(diǎn)提示和教學(xué)手段（一）重點(diǎn)、難點(diǎn)1關(guān)系與等價關(guān)系，商集的概念2集族的概念，集族的運(yùn)算及其性質(zhì)（二）教學(xué)手段課堂講授與習(xí)題課相結(jié)合五、思考與練習(xí)思考：1集合論中的“關(guān)系”與日常生活中“關(guān)系”有無關(guān)聯(lián)？2舉例說明哪些關(guān)系是等價關(guān)系，哪些關(guān)系不是等價關(guān)系3集族的運(yùn)算與有限個集合的運(yùn)算有何不同？注：思考與練習(xí)的形式有教師自行確定，下同第二章拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射一、學(xué)習(xí)目的通過本章的學(xué)習(xí)要求，熟練掌握度量空間、拓?fù)淇臻g及兩種空間上連續(xù)映射的定義以及它們的一致性熟記幾種常見的拓?fù)淇?/p>

8、間，為今后討論各種拓?fù)湫再|(zhì)提供具體的模型明確拓?fù)鋵W(xué)的中心任務(wù)通過度量空間和拓?fù)淇臻g中連續(xù)映射的學(xué)習(xí)加深對數(shù)學(xué)分析中連續(xù)函數(shù)的理解本章計劃16學(xué)時二、課程內(nèi)容21度量空間與連續(xù)映射度量與度量空間的概念，實(shí)數(shù)空間與n維歐氏空間中的通常度量，離散度量，球形鄰域，開集等一些基本概念映射在某點(diǎn)連續(xù)，連續(xù)映射的概念及其充分必要條件22拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射拓?fù)渑c拓?fù)淇臻g，開集的概念，由度量誘導(dǎo)的拓?fù)?，平庸拓?fù)洌x散拓?fù)?，有限補(bǔ)拓?fù)?，可?shù)補(bǔ)拓?fù)涞纫恍┏Ｒ姷耐負(fù)淇啥攘炕臻g的概念拓?fù)淇臻g的連續(xù)映射，同胚映射，同胚連續(xù)映射的各種簡單性質(zhì)23鄰域與鄰域系鄰域、鄰域系的概念及其性質(zhì)拓?fù)淇臻g中映射的點(diǎn)態(tài)連續(xù)兩種整體連續(xù)定

9、義的一致性24導(dǎo)集、閉集、閉包凝聚點(diǎn)、導(dǎo)集、孤立點(diǎn)的概念及其性質(zhì)閉集、閉包的概念及其性質(zhì)各種常見拓?fù)淇臻g中的凝聚點(diǎn)、閉集度量空間中通過點(diǎn)到非空子集的距離刻畫導(dǎo)集與閉包的性質(zhì)拓?fù)淇臻g中連續(xù)映射的等價定義25內(nèi)點(diǎn)、邊界內(nèi)點(diǎn)、內(nèi)部、邊界點(diǎn)、邊界的概念與性質(zhì)26基與子基拓?fù)浠母拍?，常見拓?fù)淇臻g中的基基的判別法子集族能生成拓?fù)涞某浞直匾獥l件，以及生成拓?fù)涞姆椒ㄗ踊母拍?，以及如何由“子基”生成一個“基”，再由“基”生成拓?fù)淙绾斡没c子基刻畫連續(xù)映射鄰域基與鄰域子基的概念，以及如何用鄰域基與鄰域子基刻畫映射在某點(diǎn)的連續(xù)性27拓?fù)淇臻g的序列拓?fù)淇臻g中的序列，子序列及其斂散性的概念序列收斂的性質(zhì)各種常見拓?fù)?/p>

10、空間中序列的斂散性拓?fù)淇臻g和度量空間中，序列收斂與凝聚點(diǎn)與連續(xù)映射三、教學(xué)基本要求理解：度量與度量空間，拓?fù)渑c拓?fù)淇臻g的概念度量空間與拓?fù)淇臻g上的映射連續(xù)性（點(diǎn)態(tài)連續(xù)和整體連續(xù)）的一致性度量空間與拓?fù)淇臻g中序列的收斂掌握：度量空間與拓?fù)淇臻g上的連續(xù)映射的概念及其各種充分必要條件凝聚點(diǎn)（導(dǎo)集）、孤立點(diǎn)、閉集、閉包、內(nèi)點(diǎn)（內(nèi)部）與邊界（點(diǎn)）的概念以及它們之間的關(guān)系基，子基與鄰域基的概念及其判別法，如何由“基”或“子基”生成相應(yīng)的拓?fù)溧徲蚧母拍顣没?、子基和鄰域基刻畫映射的連續(xù)性度量空間與拓?fù)淇臻g中序列收斂性的異同熟記：幾種常見的拓?fù)淇臻g中拓?fù)涞臉?gòu)造四、重點(diǎn)、難點(diǎn)提示和教學(xué)手段（一）重點(diǎn)、難點(diǎn)1拓

11、撲空間及拓?fù)淇臻g上的連續(xù)映射度量空間上連續(xù)映射兩種定義的一致性2同胚映射，拓?fù)淇臻g之間的同胚，拓?fù)鋵W(xué)的中心任務(wù)3拓?fù)浠⒆踊母拍?，如何由“拓?fù)浠焙汀白踊鄙赏負(fù)?拓?fù)淇臻g中序列的斂散性，與數(shù)學(xué)分析中序列斂散性的比較（二）教學(xué)手段課堂講授與討論課、習(xí)題課相結(jié)合討論：一般拓?fù)淇臻g中序列收斂與數(shù)學(xué)分析中序列收斂有哪些異同？五、思考與練習(xí)（注：思考與練習(xí)的形式有教師自行確定）第三章子空間，（有限）積空間，商空間一、學(xué)習(xí)目的通過本章的學(xué)習(xí)，要求熟練掌握拓?fù)淇臻g的子空間的相對拓?fù)?，積拓?fù)?，以及商拓?fù)涞臉?gòu)造與基本性質(zhì)熟練掌握幾種常見的積空間與商空間會用上述三種方法構(gòu)造簡單的拓?fù)淇臻g本章計劃6學(xué)時二、課

12、程內(nèi)容31子空間度量子空間，拓?fù)渥涌臻g集族的限制與相對拓?fù)涞母拍钆c性質(zhì)拓?fù)渥涌臻g中基的構(gòu)造拓?fù)淇臻g的嵌入32（有限）積空間積度量與度量積空間的概念度量積空間中拓?fù)涞臉?gòu)造拓?fù)淇臻g的積空間的概念及其拓?fù)涞臉?gòu)造開（閉）映射投影映射的性質(zhì)33商空間由滿射誘導(dǎo)的商拓?fù)?，商映射與商空間由等價關(guān)系誘導(dǎo)的商拓?fù)洌逃成渑c商拓?fù)鋷缀紊蠋追N常見的商拓?fù)淇臻g，如圓柱面環(huán)面，Mbius帶，Klein瓶等三、教學(xué)基本要求理解：度量子空間，拓?fù)渥涌臻g的概念，拓?fù)淇臻g嵌入的概念積度量與度量積空間，積拓?fù)渑c積拓?fù)淇臻g的概念開（閉）映射，投影映射的概念與性質(zhì)商拓?fù)淇臻g的方法掌握：相對拓?fù)涞臉?gòu)造與性質(zhì)，拓?fù)渥涌臻g基的構(gòu)造積拓?fù)涞?/p>

13、構(gòu)造兩種生成商拓?fù)涞姆椒◣缀紊蠋追N常見的商拓?fù)淇臻g四、重點(diǎn)、難點(diǎn)提示和教學(xué)手段（一）重點(diǎn)、難點(diǎn)1子空間上誘導(dǎo)拓?fù)涞臉?gòu)造及其性質(zhì)2積空間上誘導(dǎo)拓?fù)涞臉?gòu)造及其性質(zhì)3兩種商空間上誘導(dǎo)拓?fù)涞臉?gòu)造及其性質(zhì)4幾何上幾種常見的商拓?fù)淇臻g（二）教學(xué)手段課堂講授與習(xí)題課相結(jié)合五、思考與練習(xí)（注：思考與練習(xí)的形式有教師自行確定）第四章連通性一、學(xué)習(xí)目的通過本章的學(xué)習(xí)，要求熟練掌握一般拓?fù)淇臻g的連通性與道路連通性的概念和性質(zhì)，以及它們之間的關(guān)系會判斷簡單拓?fù)淇臻g及其簡單子集的連通性與道路連通性會利用連通性或道路連通性區(qū)分一些簡單的拓?fù)淇臻g本章計劃10學(xué)時二、課程內(nèi)容41連通空間拓?fù)淇臻g中兩個子集的隔離，連通空間與不

14、連通空間的概念，以及不連通空間的等價條件，連通子集與不連通子集的概念及其性質(zhì)連通性的性質(zhì)及其證明42連通空間的某些簡單應(yīng)用實(shí)數(shù)空間中連通子集的充要條件，以及連通子集上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)上的對徑點(diǎn)與對徑映射的概念以及BorsukUlam定理利用連通性說明與不同胚Brouwer不動點(diǎn)定理與高維BorsukUlam定理43連通分支拓?fù)淇臻g中兩點(diǎn)之間連通的概念，連通分支的概念及其性質(zhì)44道路連通空間拓?fù)淇臻g中道路，起點(diǎn)，終點(diǎn)和閉路的概念道路連通空間與道路連通子集的概念道路連通性的性質(zhì)黏結(jié)引理及其證明道路連通分支的概念，簡單的道路連通空間道路連通性與連通性之間的關(guān)系三、教學(xué)基本要求理解：連通性與連通空間，連

15、通分支的概念，道路與道路連通的概念掌握：連通性與道路連通性的性質(zhì)連通性與道路連通性之間的關(guān)系，會判斷簡單拓?fù)淇臻g的連通性和道路連通性會用連通性性道路連通性證明區(qū)分簡單的拓?fù)淇臻g了解：上的對徑點(diǎn)與對徑映射的概念以及BorsukUlam定理Brouwer不動點(diǎn)定理與高維BorsukUlam定理四、重點(diǎn)、難點(diǎn)提示和教學(xué)手段（一）重點(diǎn)、難點(diǎn)1連通性，道路連通性的概念2連通性與道路連通性的關(guān)系（證明與反例）3連通性的簡單應(yīng)用，Brouwer不動點(diǎn)定理與高維BorsukUlam定理（二）教學(xué)手段課堂講授與習(xí)題課相結(jié)合五、思考與練習(xí)（注：思考與練習(xí)的形式有教師自行確定）第五章有關(guān)可數(shù)性的公理一、學(xué)習(xí)目的通過

16、本章的學(xué)習(xí)，要求熟練掌握一般拓?fù)淇臻g中的第一、二可數(shù)公理的概念，性質(zhì)以及它們之間的關(guān)系會判斷簡單拓?fù)淇臻g是否滿足第一或第二可數(shù)公理會用兩個可數(shù)公理區(qū)分一些簡單的拓?fù)淇臻g本章計劃8學(xué)時二、課程內(nèi)容51第一與第二可數(shù)性公理可數(shù)基與可數(shù)鄰域基的概念空間與空間的定義度量空間是空間的證明空間與空間之間的關(guān)系（相對開或閉）子空間可遺傳性質(zhì)的概念空間與空間的性質(zhì)及其證明空間與空間中點(diǎn)態(tài)連續(xù)與連續(xù)映射的性質(zhì)52可分空間稠密子集與可分空間的概念及其性質(zhì)第二可數(shù)性公理的可遺傳性及其證明可分度量空間都是空間53Lindelff空間覆蓋，可數(shù)覆蓋，有限覆蓋，子覆蓋，開（閉）覆蓋的概念Lindelff空間及其性質(zhì)Lin

17、delffd定理一般拓?fù)淇臻g，度量空間或歐氏空間中，滿足第一、二可數(shù)性公理，可分性，Lindelff的之間的關(guān)系三、教學(xué)基本要求理解：第一、二可數(shù)性公理可遺傳性的概念，稠密子集與可分空間的概念覆蓋的一些基本概念，Lindelff空間的概念掌握：空間與空間之間的關(guān)系空間與空間的性質(zhì)及其證明空間與空間中點(diǎn)態(tài)連續(xù)與連續(xù)映射的性質(zhì)第二可數(shù)性公理的可遺傳性及其證明可分度量空間都是空間Lindelffd定理一般拓?fù)淇臻g，度量空間或歐氏空間中，滿足第一、二可數(shù)性公理，可分性，Lindelff的之間的關(guān)系四、重點(diǎn)、難點(diǎn)提示和教學(xué)手段（一）重點(diǎn)、難點(diǎn)1第一可數(shù)性與第二可數(shù)性的概念及它們之間的關(guān)系2可分空間的概念

18、及其性質(zhì)3兩種可數(shù)性是連續(xù)不變性，有限可積性的證明4Lindelff空間的概念及其性質(zhì)5一般拓?fù)淇臻g，度量空間或歐氏空間中，滿足第一、二可數(shù)性公理，可分性，Lindelff的之間的關(guān)系（二）教學(xué)手段課堂講授與習(xí)題課相結(jié)合五、思考與練習(xí)（注：思考與練習(xí)的形式有教師自行確定）第六章分離性公理一、學(xué)習(xí)目的通過本章的學(xué)習(xí)，要求熟練掌握一般拓?fù)淇臻g的各種分離性的概念，以及它們之間的關(guān)系會判斷簡單拓?fù)淇臻g的分離性會用可分離性區(qū)分一些簡單的拓?fù)淇臻g本章計劃12學(xué)時二、課程內(nèi)容61，Hausdorff空間空間空間，空間（Hausdorff空間）的概念，各自的充要條件空間，空間的性質(zhì)空間空間，空間三者之間的關(guān)系

19、62正則，正規(guī)，、空間正則空間與正規(guī)空間的概念，各自的充要條件正則空間（正規(guī)空間）與空間、空間、空間之間的關(guān)系正則空間與正規(guī)空間之間的關(guān)系空間，空間的概念，性質(zhì)空間，空間與正則（規(guī)）空間，空間、空間、空間之間的關(guān)系63Urysohn引理和Tietze擴(kuò)張定理Urysohn引理與Tietze定理及其簡單應(yīng)用64完全正則空間，Tychonoff空間完全正則空間，Tychonoff空間的概念與性質(zhì)Tychonoff定理65分離性公理與子空間，（有限）積空間和商空間證明所有的分離性都是拓?fù)洳蛔冃?，也是有限可積性，但都不是可商性66可度量化空間Urysohn定理證明Hilbert空間是可分空間可度量化空

20、間的充分必要條件三、教學(xué)基本要求理解：空間，正則空間與正規(guī)空間，完全正則空間，Tychonoff空間的概念掌握：空間，正則空間與正規(guī)空間，完全正則空間，Tychonoff空間的性質(zhì)及其證明，以及它們之間的關(guān)系會判別一些簡單拓?fù)淇臻g的可分離性會用可分離性區(qū)分一些簡單的拓?fù)淇臻gHilbert空間是可分空間的證明可度量化空間的充分必要條件了解：Urysohn引理與Tietze定理及其簡單應(yīng)用Tychonoff定理Urysohn定理四、重點(diǎn)、難點(diǎn)提示和教學(xué)手段（一）重點(diǎn)、難點(diǎn)1各種分離性的概念，以及它們之間的關(guān)系2各種分離性是連續(xù)不變性，有限可積性的證明3可度量化空間的充要條件及其證明（二）教學(xué)手段課

21、堂講授與習(xí)題課相結(jié)合五、思考與練習(xí)（注：思考與練習(xí)的形式有教師自行確定）第七章緊致性一、學(xué)習(xí)目的通過本章的學(xué)習(xí)，要求熟練掌握一般拓?fù)淇臻g的緊致性，可數(shù)緊性，列緊性，序列緊性的概念以及它們之間的關(guān)系，緊致集本身的性質(zhì)及緊致集上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)熟練掌握度量空間，歐氏空間中各種緊致集的充要條件與性質(zhì)會判斷簡單拓?fù)淇臻g及其子集的緊性會應(yīng)用緊性區(qū)分一些簡單的拓?fù)淇臻g本章計劃14學(xué)時二、課程內(nèi)容71緊致空間緊致空間，緊致子集的概念緊致空間與Lindelff空間之間的關(guān)系簡單的緊致空間與非緊致空間緊致子集的充要條件有限交性質(zhì)的概念及緊致性的另一種等價定義緊致性的基本性質(zhì)緊致空間中閉子集的性質(zhì)72緊致性與分離性公理Hausdorff空間和緊致空間中緊致子集的性質(zhì)緊致空間中各種分離性之間的關(guān)系73 n維歐氏空間中的緊致子集有限子集和有限度量空間的概念與性質(zhì)緊致度量空間的有界性歐氏空間中緊致子集的充要條件及其性質(zhì)74幾種緊致性以及其間的關(guān)系可數(shù)緊致空間，列緊空間，序列緊致空間的概念緊致性，可數(shù)緊性