西安交通大學(xué)有限元分析word版第二章

1、第二章結(jié)構(gòu)矩陣分析由于有限元方法起源于力學(xué)中的結(jié)構(gòu)分析，本章的作用是通過三個典型問題說明有限元 方法應(yīng)用于結(jié)構(gòu)分析時的一般步驟，并借此了解有限元方法的一些基本概念。2-1平面桁架（直接法，結(jié)構(gòu)矩陣分析中常用的力法，處理靜定問題，位移法，可處理靜定&靜不定）本節(jié)討論的對象是圖2-1所示的平面桁架。組成桁架的各桿為等截面直桿，外載荷p直 接作用于桿的鉸接點（結(jié)點）上。為簡單起見不妨設(shè)各桿的截面積均為A，材料的彈性模量 均為E。我們可按下述步驟求得桁架的變形和內(nèi)力。圖2 1(X y1)=(0, 0 )、(x2 y2)=(a, a )、(x3 y3) =(a, 0 )U1，VJT、風(fēng)，V2T、u3,

2、V3T風(fēng)七U2V2U3V3T1、結(jié)構(gòu)的離散化對結(jié)點及單元編號取組成桁架的每根桿為一個單元（該問題本身為一離散結(jié)構(gòu)的力學(xué)問題），以， 加以編號；取桿的鉸接點為結(jié)點，以1、2、3加以編號（總體結(jié)點序號）。如圖2 2所 示，即：我們所討論的桁架包括三個單元、三個結(jié)點。各單元（桿）僅在結(jié)點處連接。2、建立總體坐標(biāo)系 并確定結(jié)點坐標(biāo)和自由度為了描述結(jié)構(gòu)的平衡需要建立一個坐標(biāo)系，稱為總體坐標(biāo)系，以區(qū)別于以后出現(xiàn)的“局 部坐標(biāo)系”?？傮w坐標(biāo)系的選擇原則上不受限制，但希望使用方便。本節(jié)所選的總體坐標(biāo)系 示于圖2 2，坐標(biāo)原點與結(jié)點1重合。以u, v分別表示沿x, j方向的位移分量，p, q分 別表示力沿x,

3、J軸的力分量（投影）。在總體坐標(biāo)系中各結(jié)點的坐標(biāo)為：它們將作為程序的輸入數(shù)據(jù)（幾何參數(shù)）。每個結(jié)點有兩個自由度，對結(jié)點1、2、3分別為若暫時不考慮支承約束條件，整個結(jié)構(gòu)的結(jié)點自由度 為3、單元分析（建立結(jié)點力與結(jié)點位移之間的關(guān)系） 取一個一般性的單元，設(shè)它的兩個結(jié)點在結(jié)構(gòu)中的編號為i, j （單元內(nèi)部的結(jié)點序號）。由材料力學(xué)可知，桿圖2 3的軸向剛度為EA/L。其中L為桿的長度：L = A _ x ) +y、 j i j i單元局部坐標(biāo)系現(xiàn)選取一典型單元對其進行單元分析，對所分析的單元按如下方式建立一個坐標(biāo)系：原點：與結(jié)點，重合，x軸：沿i ,j方向，y軸：與x軸垂直。如圖2-3所示。這個坐標(biāo)

4、系只屬于一個單元，故稱為單元局部坐標(biāo)系，不同單元的單元局部 坐標(biāo)系一般是不相同的。在單元局部坐標(biāo)系中可以規(guī)定： uj v，jT；v. u j v j T 。結(jié)點自由度 匕七T,單元結(jié)點自由度里 = u.局部坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣單元必受到來自結(jié)點的作用力。桁架中的桿只承受軸在外載荷作用下，結(jié)構(gòu)發(fā)生變形， 向力S,大小與桿的軸向伸長AL成正比在局部坐標(biāo)系中這種特性可以得到清楚的表述(這一點也是引入局部坐標(biāo)系的理由之一)。若以p, q, p., q分別表示結(jié)點i, j作用于單元的力在x , y軸上的投影，由 II號單元的靜力平衡有(圖2-3)有(2-1-1)p，=-s = L (，- u )卜q

5、= q 0h用矩陣的形式可以寫成p.q I EA/=p Lj10-100000-10100-05uJi c0u0v1jq1 j若引入單元廣義力矢量:qiq j”則上式可縮寫為(2-1-2)其中(2-1-3)00-10 1000稱為局部坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣，它只與桿的幾個參數(shù)E、A、L有關(guān)，與桿的方位無關(guān)。坐標(biāo)變換局部坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣公式簡捷。但不同單元的局部坐標(biāo)系一般不同，為了研究 結(jié)構(gòu)整體的平衡，必須將結(jié)點給單元的力以及相應(yīng)的單元剛度矩陣轉(zhuǎn)換到統(tǒng)一的坐標(biāo)系一- 總體坐標(biāo)系。在總體坐標(biāo)系中單元結(jié)點自由度業(yè)=氣.七勺 T結(jié)點給單元的力乙 = 介. P j qj T在圖2-3中，x軸與x軸

6、的夾角為asin a = LL結(jié)點的位移分量的坐標(biāo)變換為vcos asin a一 sin acos acos asin ar ?u =j =u4 j 一 sin acos a 1vv1Ijj J- i- i單元的位移分量的坐標(biāo)變換為cosasin a-sin acosacosasin aItvi一 sin acosa或縮寫為(2-1-4)類似，與町之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為r = Et 冊(2-1- 5 )由于=cos asin asin acos a(2-1-6)是正交矩陣，因此t=-1_00 t _(2-1-7)也是正交矩陣。所以有t L = t L將(2-1-4)、(2-1-5)代入(2-1-2)

7、有瑚=隊購從上式可得到其中頃L1TK碩1)(2-1-8)k )=Hr L，T(2-1-9)cos2 acos a sin a cos 2 acos a sin aL _ EAcos a sin asin 2 acos a sin a sin 2 aLcos2acos a sin acos 2 acos a sin a(2-1-10)cos a sin a sin 2 acos a sin asin 2 a（4）具體結(jié)果由（2-1-10 ）可求得各單元的剛度矩陣的具體形式如下：單元：單元自由度風(fēng) 七u2 v2 t , a= 45。單元剛度矩陣為稱為單元在總體坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣。以后將會看到，

8、（2-1-9）是一個具有普遍意義的公式。它表明，當(dāng)單元的自由度由一種 形式換成另一種形式時，單元剛度矩陣只需進行一次相似變換。對于平面桁架單元，將（2-1-3）、（2-1-6）、（2-1-7）代入（2-1-9）可得到更便于應(yīng)用的單元剛度矩陣公式v2空-克4444巨2X1 2-巨4_4_-克-巨4_4_f 2 -巨42一 4 =R1XR丫P一 q 200 ,q2(2)00p (2) q 3(2)1 3p (3)3q (3)30R1 37 JR - q(2) - q (3)= 03733圖2 5(2-1-14)的力在x, j軸上的投影應(yīng)為 p（m） 、一q.。對結(jié)點1：R - p -p =0R -

9、 q 一 q(3)= 0 1711P - p(1)- p(2) = 0-q2C1)- q2(2)= 0-p(2) - p (3) = 0式（2-1-14）的右邊為外載荷和支反力。左邊則為單元給結(jié)點的力，它們是未知的，但可以 借助單元剛度矩陣以結(jié)點位移來表示。（2）單元剛度矩陣的擴充為了表示（2-1-14）左邊的各個列向量，設(shè)想將每個單元的自由度擴充到與結(jié)構(gòu)總體自 由度相同（本例為6），并在單元剛度矩陣中補充零元素，由（2-1-11）、（2-1-12）、（2-1-13） 和（2-1-8）可以用結(jié)點位移表示（2-1-14）左邊的各列向量。由單元叩q1_ EAq22(1)I 00由單元由單元巨.巨-

10、克444巨巨-巨444f 2-巨v244T-.巨二44r000000o o o o o o o o o o o o -V24-V242一4典4。o00p (2) =0a000000p (3)-1000103q (3)3_ 000000u 1七u2V2u3Vt 3（3）組裝總體剛度矩陣將（2-1-15）、（2-1-16）、（2-1-17）代入（2-1-14）得到uIR11XVR11yuP2r = iV02u03VR3:=I U1V1u2V2u3V3(2-1-17)( 7uf R 11XVR11YuP2* = ?V02U03VI aRL a v (2-1-18)3 3Y其中k =k +k 1+k!

11、工(2-1-19)上式稱為沒有考慮位移約束條件情況下的總體剛度矩陣（求和對所有單元進行）。對本 節(jié)所分析的平面桁架有EA旦1-處-很104444匹至V2J2004444-J2很槌004444-J2笠笠+1014444-100010000101uR11XVR1YuPV02u03VRt 33Y(2-1-20)要形成總體平衡方程（2-1-18），只需組裝出它的右端項和總體剛度矩陣k就足夠了， 這只是同一件事的兩種不同的提法而已。（2-1-19）用來“書寫“組裝總剛度矩陣的過程是簡單而明了的。但事實上不能這樣做， 將所有km補充零元素擴充為km極大地浪費了寶貴的存貯空間，這些零元素僅起到使km 的元素

12、在總剛度矩陣中就位的作用。實際上采用的是另一種方法。如果已選定各結(jié)點位移在 結(jié)構(gòu)總體自由度中的排列次序為U v1 u2 v2 u3 v3 T，對每個單元在形成單元剛度矩 陣的同時還形成了個定位數(shù)組LM，它將指出單元自由度的各分量在總體自由度中的序號， 如下表：單元號單元自由度LM(1)LM(2)LM(3)LM(4)U1 V1 fVjT1234% V2U3V3 T3456U1 V1 U3V3T1256單元剛度矩陣中第s行第t列的元素kst加到總剛度矩陣的第LM（s）行LM（t）列即可。這 一組裝總體剛度矩陣的方法被形象的稱為“對號入座”。從（2-1-20）可以看出總剛陣k是奇異陣，它的六個行向量

13、（或列向量）中只有三個線 性獨立。這是尚未考慮位移約束條件，結(jié)構(gòu)的剛體位移未受到限制的必然結(jié)果。(4)引入位移約束條件由圖2-1,平面桁架的位移約束條件為(2-1-21)+11v0I 3）6、求單元內(nèi)力桁架單元的內(nèi)力只有一個軸力S。由Q-1-1） S的大小和正負與 烏相同。由（2-1-2） 和（2-1-4）取出它的第三行即得到S =竺 L cos 以 -sin 以 cos 以 Lu，vsin aJuvI J J（2-1-24）單元號單元結(jié)點位移內(nèi)力（以拉為正）乃閂q、PaPa 0 （人2 *1）EA EA T41 pc 污 q、Pa Pa （喝2*1）E -瓦 0 0T-p（0000 T0對單

14、元、 求得內(nèi)力S于下表由于本節(jié)所討論的桁架是一個十分簡單的靜定桁架，用理論力學(xué)的知識即可得到各桿的 內(nèi)力，結(jié)果相同。但是，若桁架為靜不定桁架且桿的數(shù)目有上千個，那么本節(jié)所討論的方法 原則上不會遇到任何困難，我們要解決的課題將轉(zhuǎn)為如何管理有關(guān)的大量數(shù)據(jù)和如何解一個 數(shù)千階的代數(shù)方程組這樣一些技術(shù)問題?？紤]1、4結(jié)點處的約束條件=V4=04(2-2-1)2-2平面框架本節(jié)將討論另一個典型問題一-面框架，示于圖26。構(gòu)成它的元件是梁。為討論 簡單，不妨設(shè)外載荷只作用于梁的剛結(jié)點上。我們用同上一節(jié)類似的步驟求得框架的變形和 內(nèi)力。1、結(jié)構(gòu)的離散化取每根梁為一個單元，編號為、。取梁之間的剛結(jié)點為結(jié)點，以

15、1、2、3、 4對結(jié)點進行編號。2、總體坐標(biāo)系 結(jié)點坐標(biāo)和自由度x、y軸在框架平面內(nèi)，原點與結(jié)點1重合，乙軸與框架平面垂直，如圖2 6所示。u, V 分別表示各結(jié)點沿x, y方向 的位移，e為繞z軸的轉(zhuǎn)角。p, q；分別表示力在x, y軸上 的投影，M為繞z軸之力偶 矩。不難定出框架四個結(jié)點的坐標(biāo)為（氣,y1）=（0,0）（x , y ） =（0, a）22、（x , y ） =（2a, a）（x , y ） =（2a,0）暫時不考慮支承約束，整個結(jié)構(gòu)的結(jié)點總自由度為U = Uv 0 ut(2-2-2)2x,t,pyvq332(圖 2 7)23結(jié)構(gòu)的非約束結(jié)點自由度為3、單元分析取一個一般性的

16、單元進行分析， 設(shè)它的兩個結(jié)點在結(jié)構(gòu)中的編號為i、 j。見圖2 7。（1）建立單元局部坐標(biāo)系原點：與結(jié)點i重合；x軸：沿i，j方向；y 軸：在x y平面內(nèi)，與x軸垂直; z軸：與z軸一致。單元局部坐標(biāo)系中，各結(jié)點自由 度為單元結(jié)點自由度可表示為p=L 寸 0， / vf W* i i i j j j局部坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣根據(jù)單元剛度矩陣的物理意義，它的元素相當(dāng)單元結(jié)點位移在六種位移模式10000 0% )0000 1情況下的結(jié)點力。如果我們約定：單元內(nèi)彎曲剛度EI為常數(shù)；單元只在端點受到外力；不計剪切變形。則u將是的線性函數(shù)，v是 X的三次函數(shù),0 =廠:。利用材料力學(xué)知識不難 dx求得梁

17、的變形曲線和結(jié)點力，如表2-2所示。設(shè)單元長度為L,截面積為A。圖中實線 為現(xiàn)實構(gòu)形，虛線為參照構(gòu)形。表2-2平面梁單元的位移場和結(jié)點力序號結(jié)點位移和單元位移場結(jié)點作用于單元的力島=$ 0 0 0 0。4Au = 1-X v , = 0 LEA了 學(xué)* =h 1 0 0 0 0)t6 El( 1L212 EIL6 EIOj)12 EI /LU = 0vv = L-(xX - L)2(L - 2Xr)立=h 0 1 0 0 0加J6 EI既i6 EIL2u = 0v = L X(XX 一 L)2L2坦(L立=h 0 0 1 0 0*EAj EA，X u v = 0由此求得平面梁單元在局部坐標(biāo)系中

18、的單元剛度矩陣們EA00L012 EI6 EIL3L206 EI4 EIL2LEA00L012 EI6 EIL3L206 EI2 EIL2LEA00L012 EI6 EIL3L06 EI2 EILLEA00L012 EI6 EIL3L206 EI4 EIL2L(2-2-3)它是一個對稱陣；也是一個奇陣。在單元分析中沒有考慮位移約束條件，允許單元作剛體運 動。我們還可以看到，局部坐標(biāo)系為單元分析提供了方便。坐標(biāo)變換為了討論結(jié)構(gòu)的平衡，需要把局部坐標(biāo)系中形成的單元剛度矩陣轉(zhuǎn)換到總體坐標(biāo)系。若圖2 7中x軸與的夾角為a,則兩個坐標(biāo)系中位移分量(以結(jié)點z為例)的轉(zhuǎn)換關(guān)系為ucos以sin以0-r 、u

19、r r 氣小 =-sin 以0cos以00v#1=1/ J!z每個單元有兩個結(jié)點，單元結(jié)點自由度的轉(zhuǎn)換關(guān)系為(2-2- 4)(2-2- 5 )利用與2-1節(jié)中類似的步驟，可推出單元剛度矩陣的變換公式為(2-2-6)隊T，形式上與(2-1-9)完全相同。但請注意，矩陣t 的定義不同，因而T的具體表達式也不同。利用（2-2-3）和（2-2-6）可求得單元、在總體坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣k k2、k3。4、總體剛度矩陣和載荷向量的組裝本節(jié)側(cè)重討論在組裝剛度矩陣的過程中實現(xiàn)劃行劃列，即由創(chuàng)直接組裝K的方法。對每個 單元，根據(jù)（2-2-1）和（2-2-2）可形成一個數(shù)組LM,如下表所示：單元號單元自由度L

20、M(1)LM(2)LM(3)LM(4)LM(5)LM(6)!uV 0 u V 0 JT000123uV u V 123456uV 0 u V 0 456000每個LM數(shù)組有六個元素，分別與單元自由度中的各位移分量對應(yīng)。當(dāng)這個位移分量根據(jù) （2-2-1）被約束時（例如u1, v1, Q 1, u4, v4, Q 4）對應(yīng)的LM元素取零；若這個位移屬 于非約束自由度，對應(yīng)的LM元素取該位移在（2-2-1）中的序號，利用LM數(shù)組即可實現(xiàn)由 k直接組裝K。對于k的第s行第t列的元素、若LM（s）和LM（t）中至少一個為零，則對 該元素不予組裝（相當(dāng)于劃行劃列）；否則將、迭加入總剛度矩陣K的第LM（s）

21、行LM（t）第 列。非約束自由度中只有u2的自由度上作用外載荷P，故總體載荷向量為F =p 0 0 0 0 0）T最后得到有限元方程此= f (2-2-7)圖2 85、有限元方程（2-2-7）得到非約束自由度結(jié)點位移，被約束自由度上的位移，據(jù)（2-2-1） 直接賦零。6、由結(jié)點位移求單元內(nèi)力。例如：軸力、剪力、彎矩，對空間梁單元還可求扭矩。2-3平面應(yīng)力問題 常應(yīng)變?nèi)切螆D2-8為一邊長為a、厚度為t的 正方形薄板。其中AB邊固定，BC、CD 邊自由，AD邊作用均布壓力g。對這一 問題，有限元分析的步驟是：1、將ABCD劃分（離散）為8個 三角形（單元），編號一。各單元僅 在頂點（結(jié)點）鉸接，

22、結(jié)點編號19。 建立坐標(biāo)系后，不難定出各結(jié)點的坐標(biāo)（勺p2、單元分析任取一個一般性的單元，如圖2一9所示。三個結(jié)點的編號為i, j, k。結(jié)點 位移為（%, vi 入（uf Vj）、（ uk，vk）單元 結(jié)點位移為(1)假定單元內(nèi)位移場,u是x, y的一次函數(shù)V = 014可解出:為待定常數(shù)，在結(jié)點處應(yīng)有0L4aJb./c = daJ以IraV =LmIliV1 =疽5j2AocaVI 6JI 6J、k J./ajbjcjakbkck vjVI k J其中b 二一1y j=y-yb =1yi=y -yb =-1yii1y kjikij1ykkiik1yjiijX yi jkj-yJi1 X1

23、Xj = XX廣 iilx k j j 1 Xkkx - Xi k2A = det DA = a+ Cl + Clj k當(dāng)i, j, k的位置為逆時針排列時, 入(2-3-1)有2 恒正,且等于三角形單元面積的兩倍。將這些結(jié)果代u - (a +b x + c2A i i+ Yz +b x + c y2A j j j+ +b x + cj 2A k k kx yCl jj=a =-/iiix y kkj kk jjx y kk=N (x, y)u + N (x, y)u + N (x, y)uii jj kk類似可得到V = N (x, j)v + N (x, j)v + N (x, j)vuv

24、kI kJ可以合并成r ，土00 8jt卜008jX I xj)88888j8x8j8x應(yīng)力利用(2-3-1)(2)單元的應(yīng)變、不難求得N0N0Nijk0N0N0ij0Nk -N0N0N0 一u-N0N0N0 一ijk5j=ijk0N0N0NV0N0N0N1ijkj1ijkuV(2-3-2)iVb0b0b0ijk0c0c0cijkcbcbcbiijjkki= B KJ12A其中r ?br 、XjjbI xyI xy=E B KJ(2-3-3)b0b0b0ijk0c0c0cijkcbcbcbiijjkkB =土(2-3-4)在假定單元內(nèi)位移場u、V是X, J的一次函數(shù)的前提下， 故這種單元又稱為常應(yīng)變?nèi)窃?。單元?nèi)的應(yīng)變和應(yīng)力將是常數(shù)，圖(210)(3)為了在單元內(nèi)構(gòu)成均勻應(yīng)力場，必須在單元的各邊施加均布載荷，它們的合力一定 作用在各邊的中點，如圖2-10(a)所示。再將各邊上的合力平分到這邊的兩點結(jié)點，由圖 2-10 (b)不難得出=2(F + F3 )= 2 k y. Zxy_ q _ y ._ Cx. _ x )T t2”,i xy類似可求得q、Pj、q、pk、qk并可合并寫成PiqiPjqjPkbi0bj0bk00ci0cj0ckcibicjbjcbx1： y l xy=tABr EBKJ根據(jù)單元剛度矩陣k的直觀意義，常應(yīng)變?nèi)窃膯卧獎偠染仃嚰礊閗 =