數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、僅供個(gè)人參考數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1.等差數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：an1ad(d為常數(shù))，aan1dnn1等差中項(xiàng)：x，A，y成等差數(shù)列2Axy2前n項(xiàng)和Sa1nann2nann11dForpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse性質(zhì)：a是等差數(shù)列n(1)若mnpq，則aaaa；mnpqa(2)數(shù)列2n1,a,a2n2n1仍為等差數(shù)列，S，SS，SS仍為等差數(shù)n2nn3n2nb列，公差為n2d；(3)若三個(gè)成等差數(shù)列，可設(shè)為ad，a，ad(4)若a，b是等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和分別為S，T，則amnnnnmS2m1T2m1(5)a為等差數(shù)列S

2、an2bn(a，b為常數(shù)，是關(guān)于n的常數(shù)項(xiàng)為0的二次函nnS(數(shù))。的最值可求二次函數(shù)San2bn的最值；或者求出a中的正、負(fù)分界項(xiàng)，即：nnn當(dāng)a0，d0，解不等式組na0n11a0可得S達(dá)到最大值時(shí)的n值;當(dāng)a0，d0，由n1an10a0n可得S達(dá)到最小值時(shí)的n值.)n，有(6)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列anS2nn(aa)n(aa12n22n1)n(aann1)(a,a為中間兩項(xiàng))nn1SS偶奇nd，SS奇偶anan1.，有(7)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n1的等差數(shù)列an不得用于商業(yè)用途僅供個(gè)人參考S2n1(2n1)a(a為中間項(xiàng))，SSnn奇偶a，nSS奇偶n.n1a2.等比數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：a

3、n1q(q為常數(shù)，q0)，anna1qn1.(q1)11q由S求a。(an)S1,n1例1：數(shù)列a，aa2n5，求aa212222nn解n1時(shí)，a215，a1421等比中項(xiàng)：x、G、y成等比數(shù)列G2xy，或Gxy.na(q1)1前n項(xiàng)和：Sa1qnn性質(zhì)：a是等比數(shù)列n(1)若mnpq，則aaaamnpq(2)S，SS，SS仍為等比數(shù)列,公比為qn.n2nn3n2n3求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法SS,n2n1nnn111nn11an2時(shí)，a222111122na2n5na111aa212222n1n12n15a2，a2n1，a2n1(n2)2nn得：nn114(n1)a，a4，求a3n1練習(xí)數(shù)列a

4、滿足SSnnn151nS注意到an1Sn1S，代入上式整理得Sn14，又S4，S是等比數(shù)列，n1nn34n1故a4,n1故S4n。n2時(shí)，aSSnnn不得用于商業(yè)用途n1n34n1,n2僅供個(gè)人參考由遞推公式求an(1)累加法(an1af(n)形式)n例2：數(shù)列a中，a1，a3n1an1nn1n2，求an解：n2時(shí)，n1累加得ana133aa3n1nn1aa3n2n2aa32123n13(3n11)2an12(3n1)(2)累乘法(an1f(n)形式)an例3：數(shù)列a中，a3，n1，求aan1ann1nnaa，n又a3，a23nan解：23aa12anan1a12n1111n3n.(3)構(gòu)造新

5、數(shù)列(構(gòu)造的新數(shù)列必為等比數(shù)列或等差數(shù)列)取倒構(gòu)造(an1等于關(guān)于an的分式表達(dá))n12aa2例4：a1，an1n，求ann，解：由已知得：a2a2aaa2n1nnn1na2111111為等差數(shù)列，1，公差為，1n1n1，ann1111111a2a221na2n同除構(gòu)造例5：a1,a1n13a3n,求a。nn不得用于商業(yè)用途解：對(duì)上式兩邊同除以3n1，得a，則n為等差數(shù)列，1僅供個(gè)人參考n1n3n1n333n33a1aa1，公差為，n(n1)，a3333331a11nn3nnnn3n1。)n1，令bn，則有2n例6：a1,a2a3n1，求a。nn1n1解：對(duì)上式兩邊同除以2n1，得an12n1

6、an(2n32nab2()21()n13(1)n9，累加法可得bb，又b1242822bn1n3n1n11331322a1,則()n，即n()n,a2n。4282n42884bna31531553n例7：a1,aa1nn12aann10,求a。n20，即2，則an解：對(duì)上式兩邊同除以aann1，得1an1aaannn111111，公差為2，12(n1)2n1，aaa為等差數(shù)列，111nn12n1。取對(duì)構(gòu)造(涉及a的平方)n3a2,求a.例8：a3,a1n1nn解：對(duì)上式兩邊取對(duì)數(shù)，得lgan1lg3a2，由對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)得lgann12lgalg3n兩邊同時(shí)加lg3，整理得lgan1lg32(l

7、galg3),即lg3ann12lga,則lg3a為nn公比為2的等比數(shù)列，由此推知a通項(xiàng)公式。n等比型(常用待定系數(shù))例9：a1,a1n13a2,求a。nn解：待定系數(shù)法設(shè)上式可化為如下形式：an1k3(ak)，整理可知2k2，n則k1，原式可化為a不得用于商業(yè)用途n1a13(a1)，則1為公比=3的等比數(shù)列，由此nn僅供個(gè)人參考推知a通項(xiàng)公式。n例10：a2,a1n14a3n1，求a。nn解：待定系數(shù)法設(shè)上式可化為如下形式：an1k(n1)b4(aknb)，整理n3k3可知，得k1,b0，原式可化為a3bk1為公比=4的等比數(shù)列，由此推知a通項(xiàng)公式。n提公因式a12a,求a。例11：a1,

8、a1n1nnnn1a(n1)4(an)，則nnn解：上式變形為aaaa1，等號(hào)左邊提公因式得aan1nnnnn11a1，n1,兩邊取倒數(shù)得,1，為公差1a1a1nan1aa11111nnaa1a1ann1nn1n為1的等差數(shù)列，由此推知a通項(xiàng)公式。n例12：a2,a3,2a12n13aann1(當(dāng)n2)，求a。n解：上式變形為2an12aaannn1,2an1ananan1，令bann1a，則n2n12221bbnb，為首項(xiàng)b1,公比為1的等比數(shù)列，b1n1，aa1n1；n1nn1n例13：求和123n由累加法可求得a通項(xiàng)公式。n4.求數(shù)列前n項(xiàng)和的常用方法(1)分組求和(分組后用公式)111

9、12482n。解：原式=123n11111111(123n)(248n24822n)n(n1)=211(12n2112)112nn(n1)2(2)裂項(xiàng)相消(把數(shù)列各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)之和，使之出現(xiàn)成對(duì)互為相反數(shù)的項(xiàng).)不得用于商業(yè)用途常用：1()；n1n。；僅供個(gè)人參考1111111n(n1)nn1n(n2)2nn2nn1(3)錯(cuò)位相減(通項(xiàng)可表示為等差乘等比的形式)例14：S12x3x24x3nxn1求Snn。解：S12x3x24x3nxn1nxSx2x23x34x4n1xn1nxnn1xS1xx2xn1nxnn1x21x，x1時(shí)，S123nnn1x1時(shí)，Sn1xnnxnn2練習(xí)求數(shù)列的前n項(xiàng)

10、和S。(答案：S22nnnnn22n)相加2Sna1ana2an1a1an(4)倒序相加(前后項(xiàng)之和為定值。把數(shù)列的各項(xiàng)順序倒寫(xiě)，再與原來(lái)順序的數(shù)列相加.)Saaaan12n1nSnanan1a2a15.求數(shù)列絕對(duì)值的前n項(xiàng)和(根據(jù)項(xiàng)的正負(fù)，分類討論)ab例15：已知數(shù)列的通項(xiàng)a112n，ba，求的前n項(xiàng)和T。nnnnnnaa解：設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為S，9,公差d2,S9nn(n1)(2)10nn2nn1n2n5時(shí)，TaaaaaaS10nn2n12n12nnn5時(shí)，a5S2Taaaaan1256naaaaa1567SSn5n2SS50(10nn2)n210n505nTn210n50,n5n10nn2,n5。不得用于商業(yè)用途僅供個(gè)人參考僅供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.Nurf