橢圓的簡單幾何性質(zhì)（三）

1、PAGE 第八章圓錐曲線方程一橢圓8.2.3橢圓的簡單幾何性質(zhì)（三）教學(xué)目標(biāo)（一）教學(xué)知識點1橢圓的參數(shù)方程.2橢圓的參數(shù)方程與普通方程的關(guān)系.（二）能力訓(xùn)練要求1使學(xué)生了解橢圓參數(shù)方程的來源，并能在研究橢圓的性質(zhì)、建立橢圓的方程的過程中，正確地應(yīng)用參數(shù)方程.2使學(xué)生掌握參數(shù)方程與普通方程的關(guān)系，正確互化，以便靈活應(yīng)用.（三）德育滲透目標(biāo)使學(xué)生認(rèn)識到事物的表現(xiàn)形式可能不止一種，認(rèn)識事物要透過現(xiàn)象看本質(zhì).教學(xué)重點1建立橢圓的參數(shù)方程及橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用.2橢圓的參數(shù)方程與普通方程的互化.教學(xué)方法師生共同討論法.通過師生共同討論，使學(xué)生了解橢圓參數(shù)方程的來源，理解橢圓參數(shù)方程的建立方法，明確常數(shù)a

2、、b的幾何意義并掌握橢圓參數(shù)方程與普通方程的互化.教具準(zhǔn)備幻燈片兩張：第一張：P101例5（記作8. 2. 3 A）第二張：本課時教案的例6、例7（記作8. 2. 3 B）多媒體課件一個：在同一坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點為圓心作兩個半徑不等的同心圓（用同一種顏色），作大圓的半徑OA交小圓于B，作AN垂直于x軸，垂足為N，過B作BMAN，垂足為M（點M標(biāo)為另一種顏色），讓OA繞點O旋轉(zhuǎn)，看點M的軌跡，給學(xué)生一個直觀印象.教學(xué)過程課題導(dǎo)入師上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了橢圓的比值定義，哪位同學(xué)來敘述一下？生動點到一個定點與一條直線的距離的比是一個常數(shù)e(0e1)時，動點的軌跡是橢圓，定點是橢圓的焦點，定直線是橢圓的準(zhǔn)

3、線.師橢圓25x29y2225的準(zhǔn)線方程是什么？生將橢圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為可知：a5，b3，c橢圓的準(zhǔn)線方程是y師同學(xué)們對準(zhǔn)線方程的形式要予以掌握，另外，請注意知道a、c的值能寫出準(zhǔn)線方程，但知道準(zhǔn)線方程要確定a、c的值，還需要其他條件，僅知道準(zhǔn)線方程，只能確定a、c的關(guān)系，下面我們再來看這樣一個題目.（打出幻燈片8. 2. 3 A）講授新課師（讀題，并用多媒體課件演示，對點M的軌跡給學(xué)生一個直觀形象）分析指導(dǎo)：題目讓求當(dāng)OA繞點O旋轉(zhuǎn)時點M的軌跡的參數(shù)方程，我們知道在解析幾何中求哪個點的軌跡，就把哪個點的坐標(biāo)設(shè)為（x，y），然后再去尋求關(guān)系，那么我們來考慮一下，點M的坐標(biāo)（x，y）隨著哪個量

4、的變化而變化呢？或者說選哪個量為參數(shù)呢？（給同學(xué)們留出思考的時間）生甲點M的橫坐標(biāo)x就是點A的橫坐標(biāo)，點M的縱坐標(biāo)就是點B的縱坐標(biāo)，所以設(shè)一個量既能表示A點的橫坐標(biāo)又能表示B點縱坐標(biāo)作為參數(shù)即可.由于OA在繞點O旋轉(zhuǎn)，而且它的半徑已知，BOR、AON勻為Rt，故選轉(zhuǎn)角AOx為參數(shù)，就既能表示B點的縱坐標(biāo)，又能表示A點的橫坐標(biāo).師很好，生甲分析得透徹，大家聽清楚了嗎？生明白啦！師好，下面我們來寫出解答過程.（請一名同學(xué)在黑板上板書）生乙設(shè)點M的坐標(biāo)是（x，y），是以O(shè)x為始邊，OA為終邊的正確，取為參數(shù)，那么xON|OA|，yNM|OB|，即這就是所求點M的軌跡的參數(shù)方程.師做完的同學(xué)請舉手.好

5、，請放下，我們來看生乙的解答（師生共同審閱），有沒有不完善或不嚴(yán)密的地方？生丙我認(rèn)為在取為參數(shù)的地方，標(biāo)明參數(shù)的取值范圍要嚴(yán)密一些，即標(biāo)出02.師生丙所說的有道理嗎？有必要嗎？（學(xué)生考慮）師生丙所說的是非常有道理的，標(biāo)明參數(shù)的取值范圍是非常有必要的，不要以為課本上未談及咱來談就是多余的，就是多此一舉的.事實上，求曲線的參數(shù)方程，對參數(shù)的范圍是應(yīng)予以足夠重視的.這點在我們以后的做題中要引起注意.至此，按題目要求，這道題我們做完了，假如這道題條件不變，所求改為求點M的軌跡，我們該如何做呢？生求出點M的軌跡方程，再指出軌跡是怎樣的曲線嗎？師正確，怎樣求其軌跡方程呢？求普通方程還是求參數(shù)方程呢？生都可

6、以.師求出參數(shù)方程后，你能根據(jù)方程指出曲線類型嗎？就是說上面所求出的方程，你知道它表示的曲線是什么嗎？（生無言以對，也有可能根據(jù)我們前面直觀的演示，或根據(jù)課前的預(yù)習(xí)會說是橢圓，但為什么呢？這時教師要抓住時機(jī)，指出應(yīng)當(dāng)怎樣確定曲線的類型）師求出曲線的參數(shù)方程后，要想進(jìn)一步確定曲線的類型，采用的方法仍然是化生疏為熟悉，將參數(shù)方程中的參數(shù)消去，得到曲線的普通方程，從而指出曲線類型，比如上面的參數(shù)方程，我們將兩個方程分別變形，得利用三角函數(shù)中同一角的三角函數(shù)關(guān)系，即可消去參數(shù)，也就是將方程兩邊平方后相加，得即消去方程中的參數(shù)后，得到的方程是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程由此可知，點M的軌跡是長軸為2a，短軸為2b的橢

7、圓.我們把方程稱為橢圓的參數(shù)方程，在橢圓的參數(shù)方程中，常數(shù)a、b分別是橢圓的長半軸和短半軸長.師上面我們討論了橢圓的參數(shù)方程，并且討論了參數(shù)方程化為普通方程的方法，那么給出橢圓的普通方程，怎樣把它化為參數(shù)方程呢？我們來看這樣一個例子.（打出幻燈片8. 2. 3 B）例6將橢圓方程化為參數(shù)方程.分析指導(dǎo)：將普通方程化為參數(shù)方程，重要的是利用三角函數(shù)中同一角的正弦值平方與它余弦值的平方和等于1這個關(guān)系.解：令橢圓的參數(shù)方程為師此時，我們可以說點是橢圓上的任意一點嗎？生（略加考慮，作答）可以.因為（x，y）是橢圓上的任意點，而x4，y3，所以（4，3）是橢圓上的任意點.注意：（1）橢圓的普通方程化為

8、參數(shù)方程結(jié)果不是唯一的.（2）能夠熟練把橢圓的普通方程化為參數(shù)方程后，在求橢圓上的點到定點或定直線的最大、最小距離時，將是很方便的.例7在橢圓上，到直線l：3x2y160距離最短的點的坐標(biāo)是，最短距離是.分析：設(shè)橢圓上的任意一點為M（2，），則M點到直線l的距離d此時，M點坐標(biāo)是注意：求最值問題，三角代換是一種常用的方法，而圓、橢圓的參數(shù)方程，實質(zhì)就是三角代換，它使二元x，y轉(zhuǎn)化為一元，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題，使問題化繁為簡.課堂練習(xí)（1）已知橢圓的參數(shù)方程是參數(shù)），則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是.答案：（2）已知橢圓的方程為參數(shù)，則橢圓的參數(shù)方程是.答案：為參數(shù)）（3）已知橢圓的參數(shù)方程為參數(shù)），則此橢

9、圓的長軸長是，短軸長是，焦點坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是，離心率是.答案：（4）曲線.答案：（5）曲線的參數(shù)方程為參數(shù)），則此曲線是.A橢圓B橢圓的一部分C線段D直線答案：C課時小結(jié)本節(jié)課我們討論了橢圓的參數(shù)方程，以及參數(shù)方程與普通方程的互化，特別是用參數(shù)表示出橢圓上的點后（三角代換），給求最值問題帶來了很大的方便.同學(xué)們要很好地掌握這種方法，需要注意的是：求曲線的參數(shù)方程時，由于所選的參數(shù)不同，求出的參數(shù)方程形式也不一定相同，其次，參數(shù)方程化為普通方程結(jié)果是唯一的，而普通方程化為參數(shù)方程形式是多樣的.課后作業(yè)課本P103習(xí)題8.210，11.板書設(shè)計8. 2. 3橢圓的簡單幾何性質(zhì)（三）例6的解答例7

10、的解答課堂練習(xí)小結(jié)備課資料一、橢圓參數(shù)方程的深入探究1講解橢圓的參數(shù)方程時，要注意些什么？答：使學(xué)生弄清橢圓參數(shù)方程的來源，明確橢圓的參數(shù)方程，是表示橢圓的又一種方程，它是相對于直接給出曲線上動點的坐標(biāo)x，y的關(guān)系的普通方程而言的，是一種通過第三個量間接表示x，y之間關(guān)系的形式.熟練掌握橢圓參數(shù)方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)系，做到互化并靈活應(yīng)用.2橢圓的參數(shù)方程在證明問題中的應(yīng)用.例1設(shè)A（x1，y1）為橢圓的直線l，又設(shè)d為原點到直線l的距離，r1、r2分別是A點到橢圓兩焦點的距離，求證：為常數(shù).分析：可利用橢圓參數(shù)方程.證明：設(shè)橢圓參數(shù)方程為A（x1，y1）在橢圓上，直線l的方程為又r1（常數(shù)）.得

11、證.注意：由于本題涉及到橢圓上一點到焦點的距離問題，所以可使用“焦半徑”公式進(jìn)行推理和運(yùn)算，請讀者自行完成.例2AB是橢圓的任意一條弦，P為AB的中點，O為橢圓的中心.求證：kABkOP為定值.證明：設(shè)A、B兩點坐標(biāo)分別為P（x，y）是AB的中點，3橢圓的參數(shù)方程在與橢圓有關(guān)的最值問題中的應(yīng)用.例3若實數(shù)x，y滿足，試求：vy3x的最大值.解：設(shè)橢圓上一點的坐標(biāo)為當(dāng)評述：（1）本題是利用橢圓的參數(shù)方程設(shè)出動點坐標(biāo)，再運(yùn)用三角函數(shù)式的變換，通過討論三角函數(shù)式的最值而得解的.（2）以上方法讓我們體會到了巧用橢圓參數(shù)方程所帶給我們的簡單和明快.例4已知x，y滿足，求：f(x，y)x22xy4y2x2

12、y的最大值.解：將轉(zhuǎn)化成參數(shù)方程，即f(x，y)(x24y2)(2xyx2y)4(2.f(x，y)2(t21)2t42(t2t1).f(x，y)的最大值為評述：運(yùn)用橢圓的參數(shù)方程于求最值問題中，其解法的巧妙簡單令人陶醉，數(shù)學(xué)中一定要注重培養(yǎng)學(xué)生的技巧能力.二、橢圓中最大值、最小值問題的常用方法解決與橢圓有關(guān)的最值問題除可利用橢圓的參數(shù)方程外，以下幾種方法也是常用的.例5已知x、yR，且x、y滿足方程x24y21，試求f(x，y)3x4y的最大值、最小值.分析：將所求f(x，y)3x4y經(jīng)過令zf(x，y)變形為是直線在y軸上的截距，再根據(jù)A（x，y）是x24y21上的點，故可采用判別式法去解決.解：代入中，得13x26zxz240.36z2413(z24)0.3x4y的最大值為，最小值為.注意：直線3x4y是橢圓的斜率為的兩條切線.例6已知橢圓x22y298及點P（0，5），求點P到橢圓距