控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

1、第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述1.1 狀態(tài)向量與狀態(tài)空間一、狀態(tài)的定義 1、定義所謂系統(tǒng)狀態(tài)，是指在描述對(duì)象運(yùn)動(dòng)的所有變量中，必定可以找到數(shù)目最小的一組變量，它們足以描述對(duì)象的全部運(yùn)動(dòng)。狀態(tài)變量: 該變量組中的每個(gè)變量稱為狀態(tài)變量。 2、有關(guān)定義的兩點(diǎn)說(shuō)明1）足以描述系統(tǒng)全部運(yùn)動(dòng)的含義：只要確定了這組變量在某一初始時(shí)刻 的值，并且確定了從這一初始時(shí)刻起（ ）的輸入量函數(shù)，則對(duì)象的全部變量在此刻和 （ ）的運(yùn)動(dòng)都唯一確定了。 2）數(shù)目最小的含義：是指這個(gè)變量組中的每個(gè)變量都是相互獨(dú)立的。 二、狀態(tài)向量 若一個(gè)系統(tǒng)有n個(gè)狀態(tài)變量： ，用這n個(gè)狀態(tài)變量作為分量所構(gòu)成的向量 ，就稱為該系統(tǒng)的狀態(tài)向量，

2、用 表示。三、狀態(tài)空間 狀態(tài)空間：所有n維狀態(tài)向量的全體便構(gòu)成了實(shí)數(shù)域上的n維狀態(tài)空間。 狀態(tài)軌跡：在狀態(tài)空間中，時(shí)間t是一個(gè)參變量，某一時(shí)間t的狀態(tài)是狀態(tài)空間中的一個(gè)點(diǎn)，而一段時(shí)間下?tīng)顟B(tài)的集合稱為系統(tǒng)在這一時(shí)間段的狀態(tài)軌跡，有時(shí)也稱作相軌跡。四、輸入向量和輸出向量 輸入向量：將系統(tǒng)的各個(gè)輸入量看成一個(gè)列向量 。 ：輸入量的個(gè)數(shù) 輸出向量：將系統(tǒng)的各個(gè)輸出量看成一個(gè)列向量 。 ：輸出量的個(gè)數(shù)1、系統(tǒng)狀態(tài)變量的選取不是唯一的，但狀態(tài)的數(shù)目是一定的；2、系統(tǒng)的狀態(tài)和系統(tǒng)的輸出是兩個(gè)不同的概念。 系統(tǒng)的輸出通常有明確的物理含義，是可以測(cè)量的； 系統(tǒng)的狀態(tài)不一定有物理含義，不一定可以測(cè)量； 在線性系統(tǒng)

3、中，輸出是系統(tǒng)狀態(tài)變量中某一個(gè)或某幾個(gè)的線性組合。1.2 狀態(tài)空間表達(dá)式一、狀態(tài)方程 1、狀態(tài)方程的定義所謂狀態(tài)方程，就是描述系統(tǒng)的狀態(tài)之間以及輸入和狀態(tài)之間動(dòng)態(tài)關(guān)系的一階微分方程組。 2、狀態(tài)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 向量矩陣形式為狀態(tài)向量輸入向量 維的函數(shù)向量 3、線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程 向量矩陣形式為 維的系數(shù)矩陣 維的系數(shù)矩陣二、輸出方程 1、輸出方程的定義所謂輸出方程，就是描述系統(tǒng)輸出量與狀態(tài)和輸入量之間相互關(guān)系的代數(shù)方程組。 2、輸出方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 向量矩陣形式為輸出向量 維的函數(shù)向量 3、線性定常系統(tǒng)的輸出方程 向量矩陣形式為 維的系數(shù)矩陣 維的系數(shù)矩陣三、狀態(tài)空間表達(dá)式（狀態(tài)空間模型）

4、線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型：將狀態(tài)方程和輸出方程合在一起，即或四、狀態(tài)空間模型與傳遞函數(shù)的比較 G(s)U(s)Y(s) 狀 態(tài) 方 程 輸 出 方 程 傳遞函數(shù)只能描述系統(tǒng)外部的輸入輸出關(guān)系，并不能反映系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的變化，我們稱之為外部描述。狀態(tài)空間表達(dá)式將輸入輸出間的信息傳遞分為兩段來(lái)描述。第一段是輸入引起系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)發(fā)生變化，用狀態(tài)方程描述；第二段是系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)變化引起系統(tǒng)輸出的變化，用輸出方程描述。由此可見(jiàn)，狀態(tài)空間表達(dá)式在一定程度上描述了系統(tǒng)內(nèi)部變量的變化，所以我們稱之為內(nèi)部描述。較之傳遞函數(shù)，狀態(tài)空間描述的優(yōu)點(diǎn)有：3、狀態(tài)空間分析是一種時(shí)域分析方法，可用計(jì)算機(jī)直接在時(shí)域中進(jìn)行數(shù)值

5、計(jì)算。2、由前面的分析可以看出，對(duì)于不同維數(shù)的系統(tǒng)，可以采用同一表達(dá)方式來(lái)進(jìn)行描述，由此可見(jiàn)從低維系統(tǒng)得到的結(jié)論可以方便地推廣到高維系統(tǒng)，只是計(jì)算復(fù)雜一些而已。1、可以方便地描述多輸入多輸出系統(tǒng)；五、狀態(tài)空間模型的結(jié)構(gòu)圖 六、狀態(tài)空間表達(dá)式的非唯一性 假設(shè) 和 是我們?yōu)槟骋幌到y(tǒng)選定的兩組不同狀態(tài)變量， 和 之間有一一對(duì)應(yīng)的變換關(guān)系即可逆變換關(guān)系，對(duì)于線性系統(tǒng)而言，這種關(guān)系就是線性非奇異變換，既 與 之間必有關(guān)系其中 為非奇異常數(shù)矩陣設(shè)以 為狀態(tài)向量時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為而以 為狀態(tài)向量時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為下面我們來(lái)推導(dǎo)兩者之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。設(shè)以 為狀態(tài)向量時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為 表明，在

6、同一系統(tǒng)中，不同的狀態(tài)向量所對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣之間有相似變換關(guān)系。例 試建立下圖所示電路網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程和輸出方程。解： （1）描述系統(tǒng)的微分方程為選擇系統(tǒng)的狀態(tài)變量為 ， ，輸入 寫成向量矩陣形式為輸出 ，寫成向量矩陣形式為 （2）描述系統(tǒng)的微分方程為選擇系統(tǒng)的狀態(tài)變量為 ， ，輸入 寫成向量矩陣形式為輸出 ，寫成向量矩陣形式為例 試建立下圖所示電路網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程和輸出方程。1.3 傳遞函數(shù)矩陣?yán)合到y(tǒng)如下圖所示，輸入為 和 ，輸出為 。 解：列寫回路的電壓方程和節(jié)點(diǎn)的電流方程選取 為狀態(tài)變量，輸出 ，得系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為設(shè)初始條件為零，對(duì)上式兩端進(jìn)行拉普拉斯變換，得消去 并整理得寫成向量矩陣

7、形式為其中 輸入變量的Laplace變換象函數(shù) 輸出變量的Laplace變換象函數(shù) 傳遞函數(shù)矩陣一、傳遞函數(shù)矩陣 維輸入向量 維輸出向量則對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為多輸入量多輸出量的對(duì)象常用復(fù)線框來(lái)表示二、傳遞函數(shù)矩陣與狀態(tài)空間表達(dá)式之間的關(guān)系 三、傳遞函數(shù)矩陣的不變性 對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)而言，其狀態(tài)空間表達(dá)式不是唯一的，但其傳遞函數(shù)矩陣是不變的。例：求下列系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。其中解：例：求下列系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。其中解：四、組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式和傳遞函數(shù)矩陣 1、并聯(lián)連接 2、串聯(lián)連接 3、反饋連接 在反饋連接中，若 則稱為單位矩陣反饋（單位反饋）或直接反饋。控制器被控對(duì)象1.4 根據(jù)系統(tǒng)的微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式一、微分方程右邊輸入函數(shù)中不含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的情況 二、微分方程右邊輸入函數(shù)中含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的情況 1.5 根據(jù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式一、直接分解（虛擬輸出法）實(shí)現(xiàn)：由輸入輸出模型建立狀態(tài)空間模型的過(guò)程稱為實(shí)現(xiàn)。最小實(shí)現(xiàn)：維數(shù)最小的實(shí)現(xiàn)。本節(jié)討論單輸入單輸出系統(tǒng)的幾種實(shí)現(xiàn)方法，即采用分解的方法，將一個(gè)n 階系統(tǒng)分解成 n 個(gè)一階系統(tǒng)。傳遞函數(shù)的分解有三種方法：直接分解(虛擬輸出法）、串聯(lián)分解和并聯(lián)分解。 這種方法適用于傳遞函數(shù)的分母和分子多項(xiàng)式?jīng)]有分解成因式的形式。 引入虛擬輸出量 ，按這種方法得到的狀態(tài)空間模型，通常稱為能控標(biāo)準(zhǔn)型。二、串聯(lián)分解 這種方法適用于傳遞