2021-2022學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

1、2021-2022學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1若，則（）A1BC2DB【分析】先由復(fù)數(shù)的乘、除法公式化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式即可求出答案.【詳解】由題得，所以.故選：B.2已知向量，.若，則（）A5B3C0D-3A【分析】利用向量線性運(yùn)算法則和垂直關(guān)系得到方程，求出【詳解】因?yàn)橄蛄?，所以，因?yàn)?，所以，解?，故選：A.3若，則（）ABCDD【分析】利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡(jiǎn)已知條件，求得，進(jìn)而求得.【詳解】依題意：即，解得，所以故選：D4已知，則（）ABCDD【分析】依次判斷出的范圍，再比較大小即可.【詳解】由題意知，故.故選：D.5在中，三內(nèi)角A，B，C

2、對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且b2，B45若利用正弦定理解僅有唯一解，則（）A0a2B2a2C0a2或a2D0a2或a2D【分析】由正弦定理判斷.【詳解】解：由正弦定理得：，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)閮H有唯一解，所以A，C的值確定，當(dāng)時(shí)，僅有唯一解，此時(shí)，則0a2，當(dāng)時(shí)，僅有唯一解，此時(shí)，當(dāng)，且時(shí)，有兩解，不符合題意，綜上：0a2或故選：D6如圖，一個(gè)底面半徑為的圓錐，其內(nèi)部有一個(gè)底面半徑為a的內(nèi)接圓柱，且此內(nèi)接圓柱的體積為，則該圓錐的體積為（）.ABCDB【分析】作出該幾何體的軸截面，求出內(nèi)接圓柱的高，利用三角形相似求出圓錐的高，即可求的其體積.【詳解】作出該幾何體的軸截面如圖示：AB為圓錐的高，

3、設(shè)內(nèi)接圓柱的高為h，而 ,因?yàn)閮?nèi)接圓柱的體積為，即，則，由于,故，則,即 ，故，所以圓錐體積為 ，故選：B7圭表（如圖甲）是我國(guó)古代一種通過(guò)測(cè)量正午日影長(zhǎng)度來(lái)推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標(biāo)竿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)竿垂直的長(zhǎng)尺（稱為“圭”）當(dāng)太陽(yáng)在正午時(shí)刻照射在表上時(shí)，日影便會(huì)投影在圭面上，圭面上日影長(zhǎng)度最長(zhǎng)的那一天定為冬至，日影長(zhǎng)度最短的那一天定為夏至圖乙是一個(gè)根據(jù)某地的地理位置設(shè)計(jì)的圭表的示意圖，已知某地冬至正午時(shí)太陽(yáng)高度角（即）大約為15，夏至正午時(shí)太陽(yáng)高度角（即）大約為60，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即DB的長(zhǎng)）為a，則表高（即AC的長(zhǎng)）為（）AB

4、CDD【分析】根據(jù)圖形，找到角度與邊長(zhǎng)之間的關(guān)系求解.【詳解】在中，在中，由，得，故選：D8已知正三棱錐P-ABC，底面邊長(zhǎng)為3，高為1，四邊形EFGH為正三棱錐P-ABC的一個(gè)截面，若截面為平行四邊形，則四邊形EFGH面積的最大值為（）ABCDC【分析】又正三棱錐的性質(zhì)求得三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)，結(jié)合平行四邊形的面積公式及基本不等式求最值即可得解.【詳解】設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為，則由底面邊長(zhǎng)為3，高為1，由可求得，如圖，設(shè)，則，且，于是，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)故四邊形的面積最大值為，故選：C.二、多選題9已知的內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，下列四個(gè)命題中正確的命題是（）A若，則B若是銳角三角形，則恒成立C若，則一定是

5、直角三角形D若，則一定是銳角三角形ABC【分析】利用正弦定理邊角互化可以判斷出A正確；由三角形內(nèi)角和為，結(jié)合誘導(dǎo)公式可推得B正確；利用正弦定理及余弦定理即可判斷出C正確；利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及正弦定理及余弦定理結(jié)合三角形知識(shí)判斷出D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以由正弦定理得，所以，所以A正確；對(duì)于B，若為銳角三角形，可得且，可得，且，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得，所以，所以B正確；對(duì)于C，由正弦定理及，知，所以，因?yàn)?，則或，又，則，三角形為直角三角形，故C正確；對(duì)于D，若，則,由正弦定理得，則角B為銳角，但不一定是銳角三角形，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.10已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說(shuō)法

6、正確的是（）A函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C函數(shù)在單調(diào)遞減D該圖象向右平移個(gè)單位可得的圖象ABD根據(jù)函數(shù)的圖象，可求出的解析式，進(jìn)而對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)分析，可得出答案.【詳解】由函數(shù)的圖象可得，周期，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，即，所以，則，又，得，故函數(shù).對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，即直線是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，故B正確；對(duì)于C，令，解得，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，將的圖象向右平移個(gè)單位后，得到的圖象，即D正確.故選：ABD.本題考查根據(jù)圖象求三角函數(shù)解析式以及三角函數(shù)性質(zhì)，考查推理能力與計(jì)算求解能力，屬中檔題.11已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)

7、單位，）則下列說(shuō)法正確的有（）A若，B若，則C若，則D若，則AC【分析】利用共軛復(fù)數(shù)的定義與復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則計(jì)算判斷.【詳解】當(dāng)，即，得，A正確；，當(dāng)，則，當(dāng)時(shí)，B錯(cuò)誤；，即，得，C正確；，即，得，當(dāng)時(shí)，D錯(cuò)誤；故選：AC12三棱錐中，平面平面ABC，則（）AB三棱錐的外接球的表面積為C點(diǎn)A到平面SBC的距離為D二面角的正切值為AD【分析】根據(jù)平面ABC可判斷A正誤；求出直徑SC，再根據(jù)球的表面積公式課判斷B的正誤；根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知點(diǎn)A到平面SBC的距離為AG，求出AG可判斷C正誤；根據(jù)題意可知SBA為二面角的平面角，進(jìn)而求出正切值可判斷D正誤.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC，

8、即，平面平面，平面SAB，所以平面ABC，又因?yàn)槠矫鍭BC，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋云矫鍿AB，因?yàn)槠矫鍿AB，所以.又平面ABC，平面ABC，所以，即，所以三棱錐外接球的直徑為SC.因?yàn)椋?，所以三棱錐的外接球的表面積，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)槠矫鍿AB，平面SBC，所以平面平面SBC，過(guò)點(diǎn)A作，交SB于點(diǎn)G，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可得平面SBC，故點(diǎn)A到平面SBC的距離為AG，由，得，則，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，所以SBA為二面角的平面角，在中，故D正確；故選：AD.三、填空題13若，則_.【分析】由題設(shè)條件可解得，而，故由平方關(guān)系解得，代入即得所求【詳解】又所以故14已知函數(shù)在

9、區(qū)間上是增函數(shù)，將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后得到的圖像與將其向右平移個(gè)單位后所得到的圖像重合則的值為_(kāi).2【分析】根據(jù)增函數(shù)確定的范圍，結(jié)合平移圖像間的關(guān)系可得的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，即；函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后得到的函數(shù)為，函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位后所得到的函數(shù)為；因?yàn)槎叩膱D像重合，所以，即.所以.故2.15在三棱錐中，平面ABC，以A為球心，表面積為的球面與側(cè)面PBC的交線長(zhǎng)為_(kāi)【分析】利用線面垂直的性質(zhì)定理及判定定理證得平面PBC，進(jìn)而知球面與側(cè)面PBC的交線為以為圓心，半徑為1的半圓弧，利用弧長(zhǎng)公式求解.【詳解】設(shè)以A為球心的球的半徑為，則，解得如圖，取中點(diǎn)，

10、由，又平面ABC，平面ABC，又，所以平面PAC，又平面PAC，又，平面PBC，又，又，作，則，所以球面與側(cè)面PBC的交線為以為圓心，半徑為1的半圓弧，故所求長(zhǎng)為故四、雙空題16已知平面單位向量，且，則在方向上的投影向量為_(kāi)；（）的最小值是_ 【分析】分別根據(jù)投影向量的定義和單位向量的?；?jiǎn)即可求解.【詳解】由，兩邊平方得，而在方向上的投影向量為，（當(dāng)時(shí)取得最小值）所以其最小值為.故，五、解答題17已知向量，(1)若點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)x，y滿足的關(guān)系；(2)若x=1且為鈍角，求實(shí)數(shù)y的取值范圍(1)；(2)且.【分析】（1）根據(jù)三點(diǎn)共線可得，結(jié)合共線向量的坐標(biāo)表示可得答案；（2）根據(jù)

11、為鈍角，可得且，不共線，利用坐標(biāo)表示可得結(jié)果.【詳解】(1)因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，即，所以，即；(2)因?yàn)闉殁g角，所以且，不共線，由（1）得：當(dāng)，且時(shí)，因?yàn)?，不共線，所以，解得：，所以且.18如圖，已知等腰梯形ABCD的外接圓半徑為2，點(diǎn)P是上半圓上的動(dòng)點(diǎn)（不包含A，B兩點(diǎn)），點(diǎn)Q是線段PA上的動(dòng)點(diǎn)，將半圓APB所在的平面沿直徑AB折起使得平面平面ABCD(1)求三棱錐PACD體積的最大值；(2)當(dāng)平面QBD時(shí)，求的值(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平面平面ABCD，可知平面時(shí)，三棱錐PACD體積最大，利用錐體的體積公式可求答案；（2）根據(jù)平面QBD，確定的位置，結(jié)合比例關(guān)系可得答案.【詳解】

12、(1)當(dāng)時(shí)，平面，由平面平面，平面平面，知平面，此時(shí)，到平面的距離最大，為，所以，的最大值為.(2)連接交于點(diǎn)，連接，則平面平面，依題意，平面，平面，所以，所以，等腰梯形中，所以.19已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為.(1)求的解析式與單調(diào)遞減區(qū)間；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，求方程的所有根的和.(1)，遞減區(qū)間為，(2)【分析】（1）利用恒等變換化簡(jiǎn)后，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解；（2）利用圖象變換法則求得g(x)的函數(shù)表達(dá)式，解方程求得g(x)的值，利用換元思想，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)分析求得.【詳解】(1

13、)由題意，圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為，的最小正周期為，即可得，又為奇函數(shù)，則，又，故，令，得函數(shù)的遞減區(qū)間為，(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得的圖象，再把橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，得到函數(shù)的圖象，又，則或，即或.令，當(dāng)時(shí)，畫(huà)出的圖象如圖所示：有兩個(gè)根,關(guān)于對(duì)稱，即,有,在上有兩個(gè)不同的根，,；又的根為，所以方程在內(nèi)所有根的和為.20九章算術(shù)中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑如圖，已知PA平面ABC，平面PAB平面PBC(1)判斷四面體PABC是否為鱉臑，并給出證明；(2)若二面角BAPC與二面角ABCP的大小都是，求AC與平面BCP所成角的大小(1)四面體PABC為鱉臑，證明見(jiàn)解

14、析(2)【分析】（1）作交于，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)與判定證明平面，從而證明四面體PABC四個(gè)面都為直角三角形即可；（2）由（1）連接，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得AC與平面BCP所成角為，再求解，從而得到即可【詳解】(1)作交于，因?yàn)镻A平面ABC，平面ABC，故.又平面PAB平面PBC，且平面PAB平面PBC，故平面，又平面，故，又，平面，故平面，故.又PA平面ABC，故，故四面體PABC所有面都為直角三角形，故四面體PABC為鱉臑(2)由（1），連接，二面角BAPC的平面角為，二面角ABCP的平面角為，故，故均為等腰直角三角形.設(shè)，則，.又平面，故AC與平面BCP所成

15、角為，又，且為銳角，故，即AC與平面BCP所成角的大小為21請(qǐng)?jiān)谙蛄?，且；這兩個(gè)條件中任選一個(gè)填入橫線上并解答在銳角三角形ABC中，已知角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足條件_(1)求角C；(2)若的面積為，求的取值范圍注如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分(1)(2)【分析】（1）選擇時(shí)，由向量垂直轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為零，從而得到 之間的關(guān)系，用余弦定理求解即可.選擇時(shí)，由正弦定理及三角形內(nèi)角和定理化簡(jiǎn)得到結(jié)果.（2）由三角形面積公式得到，再由余弦定理得到，利用銳角三角形列出不等式組，解出，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求出范圍即可.【詳解】(1)選擇：因?yàn)樗?，由正弦定理得，即?/p>

16、即，即，即因?yàn)椋譃殇J角，所以選擇：因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，即又，所以因?yàn)?，所以，又為銳角，所以，(2)因?yàn)椋?，則由余弦定理得，因?yàn)闉殇J角三角形，所以即將代入上式可得即解得令，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即的取值范圍為22如圖，某公園改建一個(gè)三角形池塘，百米，百米，現(xiàn)準(zhǔn)備養(yǎng)一批觀賞魚(yú)供游客觀賞.(1)若在ABC內(nèi)部取一點(diǎn)P，建造連廊供游客觀賞，方案一如圖，使得點(diǎn)P是等腰三角形PBC的頂點(diǎn)，且，求連廊的長(zhǎng)（單位為百米）；(2)若分別在AB，BC，CA上取點(diǎn)D，E，F(xiàn)，并建造連廊，使得DEF變成池中池，放養(yǎng)更名貴的魚(yú)類供游客觀賞：方案二如圖，使得DEF為正三角形，設(shè)為圖中DEF的面積，求的最小值；方案三如圖，使得DE平行于AB，且EF垂直于DE，設(shè)為圖中DEF的面積，求的取值范圍