同濟版高數(shù)教學設計完美版微分方程

1、高等數(shù)學教案12高等數(shù)學教案12微分方程第第 頁共42頁d2xdxdt2=_cx_卩dt移項，并記2n=,k2=,mm則上式化為學+2ndx+k2x二0,dt2dt這就是在有阻尼的情況下，物體自由振動的微分方程.如果振動物體還受到鉛直擾力F=Hsinpt的作用，則有dx+2ndx+k2x=hsinpt,dt2dt其中h二H.這就是強迫振動的微分方程.m例2設有一個由電阻R、自感L、電容C和電源E串聯(lián)組成的電路，其中R、L、及C為常數(shù)，電源電動勢是時間t的函數(shù):E=Esinot,這里E及也是常數(shù).mm設電路中的電流為i(t),電容器極板上的電量為q(t),兩極板間的電壓為u,自感電動勢為El.c

2、L由電學知道dqidqi二dt根據(jù)回路電壓定律,得E-L!-C-Ri二0，d2uduLCc+RCc+u=Esinot,dt2dtcm或寫成d2uduEc+20c+o2u=msinot,dt2dt0cLC2L,oo.L_.這就是串聯(lián)電路的振蕩方程.如果電容器經(jīng)充電后撤去外電源(E=0),則上述成為d2uduc+20c+o2U二0.dt2dt0c.二階線性微分方程：二階線性微分方程的一般形式為y+P(x)y，+Q(x)y=f(x),若方程右端f(x)=0時，方程稱為齊次的，否則稱為非齊次的.二、線性微分方程的解的結構先討論二階齊次線性方程y+P(x)y+Q(x)y=O,即器+P(x)獸+Q(x)y

3、=0.定理1如果函數(shù)yi(x)與y2(x)是方程y+P(x)y+Q(x)y=O.的兩個解，那么y=ciy1(x)+C2y2(x)也是方程的解，其中q、C2是任意常數(shù).齊次線性方程的這個性質表明它的解符合疊加原理.證明cmYiyi+C2y因為y1與y2是方程y+P(x)y+Q(x)y=O,所以有兒+P(x)y；+Q(x)y1=O及y2+P(x)y2/+Q(x)y2=0,從而C1y1+C2y2+P(x)C1y1+C2y2+Q(x)C1y1+C2y2-qy+P(x)y,+Q(x)y1+C2y2+P(x)yJ+Q(x)yJ=0+0=0.這就證明了y=C1y1(x)+C2y2(x)也是方程y“+P(x)

4、y+Q(x)y=0的解函數(shù)的線性相關與線性無關：設y1(x),y2(x),yn(x)為定義在區(qū)間I上的n個函數(shù).如果存在n個不全為零的常數(shù)勺,k,使得當xel時有恒等式2nk1y1(x)+k2y2(x)+譏三0成立，那么稱這n個函數(shù)在區(qū)間I上線性相關；否則稱為線性無關.判別兩個函數(shù)線性相關性的方法：對于兩個函數(shù)，它們線性相關與否，只要看它們的比是否為常數(shù)，如果比為常數(shù)，那么它們就線性相關，否則就線性無關.例如，1,cos2x,sin2x在整個數(shù)軸上是線性相關的.函數(shù)1,x,x2在任何區(qū)間(a,b)內是線性無關的.定理2如果如果函數(shù)yx)與y2(x)是方程y+P(x)y，+Q(x)y=O的兩個線

5、性無關的解，那么y=Ciyi(x)+C2y2(x)(C1、C2是任意常數(shù))是方程的通解.例3驗證y1=cosx與y2=sinx是方程y+y=O的線性無關解，并寫出其通解.解因為cosx+cosx=0,y2+y2=sinx+sinx=0,所以yi=cosx與y2=sinx都是方程的解.因為對于任意兩個常數(shù)勺、k2,要使k1COsx+k2sin心0只有k1=k2=0,所以cosx與sinx在(-a,+a)內是線性無關的.因此y1=cosx與y2=sinx是方程y+y=0的線性無關解.方程的通解為y=qcosx+C2sinx.例4驗證y1=x與y2=ex是方程(x-1)yn-xy+y=0的線性無關解

6、，并寫出其通解.解因為(x-1)y1,r-xy1r+y1=0-x+x=0,(x-1)y2-xy2，+y2=(x-1)ex-xex+ex=0,所以y1=x與y2=ex都是方程的解，因為比值ex/x不恒為常數(shù)，所以y1=x與y2=ex在(-a,+a)內是線性無關的.因此y1=x與y2=ex是方程(x-1)yn-xy+y=0的線性無關解.方程的通解為y=C1x+C2ex.推論如果y,x),兒(x),y(x)是方程12ny(n)+a(x)y(n-1)+a(x)y+a(x)y=01n-1n的n個線性無關的解,那么,此方程的通解為y=C1y1(x)+C2y2(x)+C“y“(x),其中q,C2,C為任意常

7、數(shù).12n二階非齊次線性方程解的結構：我們把方程y+P(x)y，+Q(x)y=O叫做與非齊次方程y+P(x)y，+Q(x)yfx)對應的齊次方程.定理3設y*(x)是二階非齊次線性方程y+P(x)y+Q(x)y=f(x)的一個特解,Y(x)是對應的齊次方程的通解，那么y=Y(x)+y*(x)是二階非齊次線性微分方程的通解.證明提示：Y(x)+y*(x)+P(x)Y(x)+y*(x)+Q(x)Y(x)+y*(x)=Y+P(x)Y+Q(x)Y+y*+P(x)y*+Q(x)y*=0+f(x)=f(x).例如，Y=qcosx+C2sinx是齊次方程y“+y=0的通解,y*=x2-2是y“+y=x2的一

8、個特解，因此y=C1C0SX+C2SinX+X22是方程y”+y=x2的通解.定理4設非齊次線性微分方程y+P(x)yr+Q(x)y=f(x)的右端fx)幾個函數(shù)之和，如y”+P(x)y+Q(x)y=f1(x)+f2(x),而y1*(x)與y2*(x)分別是方程y+P(x)y+Q(x)y=；(x)與y+P(x)y+Q(x)y=2(x)的特解，那么y1*(x)+y2*(x)就是原方程的特解.證明提示：y1+y2*+P(x)y1*+y2*+Q(x)y1*+y2*=y1*+P(x)y1*+Q(x)y1*+y2*+P(x)y2*+Q(x)y2*=f1(x)+f2(x).12.9二階常系數(shù)齊次線性微分方

9、程二階常系數(shù)齊次線性微分方程：方程yr,+pyr+qy=0稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程，其中p、q均為常數(shù).如果y1Vy2是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個線性無關解，那么y=C1y1+C2y2就是它的通解.我們看看，能否適當選取r,使y=erx滿足二階常系數(shù)齊次線性微分方程，為此將y=ex代入方程yrr+pyr+qy=0得(r2+pr+q)erx=0.由此可見，只要r滿足代數(shù)方程r2+pr+q=0,函數(shù)y=erx就是微分方程的解.特征方程：方程r2+pr+q=0叫做微分方程y+py+qy=0的特征方程.特征方程的兩個根G、r2可用公式”=-P+Jp2_4qr1,22求出.特征方程的根與通解

10、的關系：特征方程有兩個不相等的實根sr2時，函數(shù)y1=ex、y2=ey是方程的兩個線性無關的解.這是因為,函數(shù)y1函數(shù)y1=er1x、y2=er2x是方程的解,又兒=eI*=e(r2)x不是常數(shù).y2er2x因此方程的通解為y=C1er1x+C2er2x.特征方程有兩個相等的實根r1=r2時，函數(shù)y1=ex、y?=xex是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個線性無關的解.這是因為，yi=ex是方程的解，又(xerx)+p(xerx)，+q(xeqx)二(2+xr2)erx+p(1+xrerx+qxe二ex(2+p)+xex(2+p+q)二0,所以兒=xex也是方程的解，且巴=沁=x不是常數(shù).2yi

11、-yyi-y2=2zecxsin0 x,ecsin0 x二厲(yi-y2).故ecospx、y2=exsinpx也是方程解.可以驗證,yeoxcospx、y2=exsin0 x是方程的線性無關解.因此方程的通解為y=eax(Cicospx+C2sinpx).求二階常系數(shù)齊次線性微分方程y!+py!+qy=0的通解的步驟為:第一步寫出微分方程的特征方程11因此方程的通解為y二qex+C?xerx.特征方程有一對共軛復根r2=azp時，函數(shù)y=e(a+淚)x、y=e(aiP)x是微分方程的兩個線1,2性無關的復數(shù)形式的解.函數(shù)y=excospxy=e嘶inpx是微分方程的兩個線性無關的實數(shù)形式的解

12、.函數(shù)yi=e(a+iP)x和y2=e(a-淚)x都是方程的解，而由歐拉公式，得yi=e(a+iP)x=eox(cospx+zsinpx),y2=e(a-iP)x=eax(cospx-zsinpx),1y1+y2=2excosPx,ecucos0 x二(yi+y2),例1求微分方程y-2y，-3y=0的通解.解所給微分方程的特征方程為r2-2r-3=0,即(r+l)(r3)=0.其根ri=-1,r2=3是兩個不相等的實根，因此所求通解為y=Cie-x+C2e3x.例2求方程yrr+2yr+y=0滿足初始條件ylx=4、yi“廠-2的特解.解所給方程的特征方程為r2+2r+l=0,即(r+1)2

13、=0.其根ri=r2=-1是兩個相等的實根，因此所給微分方程的通解為y=(C1+C2x)e-x.將條件yl0=4代入通解，得q=4,從而x=01y=(4+C2x)e-x.將上式對x求導，得y=(C2-4-C2x)e-x.再把條件y，l0=-2代入上式，得C2=2.于是所求特解為x=02x=(4+2x)e-x.例3求微分方程y-2y，+5y=0的通解.解所給方程的特征方程為r2-2r+5=0.特征方程的根為r1=1+2z,r2=1-2i,是一對共軛復根，因此所求通解為y=ex(C1cos2x+C2sin2x).n階常系數(shù)齊次線性微分方程：方程y(“)+py(n-1)+p2y(n-2)+p諾+py

14、=0,稱為n階常系數(shù)齊次線性微分方程，其中p,巴，,p1?p都是常數(shù).12n-1n二階常系數(shù)齊次線性微分方程所用的方法以及方程的通解形式，可推廣到n階常系數(shù)齊次線性微分方程上去.引入微分算子D,及微分算子的n次多項式:L(D)=Dn+p1Dn-1+p2D-2+計+匕,則n階常系數(shù)齊次線性微分方程可記作(Dn+pDn1+pDn-2+pD+p)y=0或L(D)y=O.注:D叫做微分算子DOy=y,Dy=y：D2y=y,D3y=y：,Dny=y(n).分析：令y=erx,則rn-1+prn2+pr+p)erx=L(r)erx.12n-1n因此如果r是多項式L(r)的根，則y=erx是微分方程L(D)

15、y=O的解.n階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程:稱為微分方程L(D)y=O的特征方程.特征方程的根與通解中項的對應:單實根r對應于一項：Cerx；一對單復根2=azp對應于兩項:eax(C1cospx+C2sinpx);k重實根r對應于k項：erx(C+Cx+Cxk-1)；12k一對k重復根52皿ip對應于2k項：eax(C1+C2x+Ckxk-1)cospx+(D1+D_x+Dkxk-1)sinpx.12k12k例4求方程y(4)-2y+5y=0的通解.解這里的特征方程為r4_2r3+5r2=0,即r2(r2-2r+5)=0,它的根是廠=廠2=0和廠羅4=l2i.因此所給微分方程的通解為例

16、5求方程y(4)+p4y=0的通解，其中卩0.解這里的特征方程為r4+p4=0.r3,4它的根為,2=即土D,丁-召(1土D.因此所給微分方程的通解為12.10二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性微分方程：方程y+py，+qyfx)稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，其中p、q是常數(shù).二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解是對應的齊次方程的通解y=Y(x)與非齊次方程本身的一個特解y=y*(x)之和：y=Y(x)+y*(x).當fx)為兩種特殊形式時，方程的特解的求法：一、f(x)=P(x)e心型m當f(x)=P(x)e心時,可以猜想,方程的特解也應具有這種形式因此,設特解形式為my*=

17、Q(x)e心，將其代入方程，得等式Q(x)+(2X+p)Q(x)+(X2+pX+q)Q(x)=P(x).m如果九不是特征方程r2+pr+q=0的根，則X2+pX+q0.要使上式成立，Q(x)應設為m次多項式：Q(x)=b.xm+bxm1+bx+b,m01m-1m通過比較等式兩邊同次項系數(shù)，可確定b0,byb,并得所求特解01my*=Q(x)e心.m如果九是特征方程r2+pr+q=0的單根，則X2+pX+q=0,但2X+p0,要使等式Q(x)+(2X+p)Qr(x)+(X2+pX+q)Q(x)=P(x).m成立,Q(x)應設為m+1次多項式：Q(x)=xQ(x),mQ(x)=bxm+bxm-1+

18、bx+b,m01m-1m通過比較等式兩邊同次項系數(shù)，可確定b0,b,b,并得所求特解01my*=xQm(x)e心.如果九是特征方程r2+pr+q=0的二重根，則X2+pX+q=0,2X+p=0,要使等式Q(x)+(2X+p)Qr(x)+(X2+pX+q)Q(x)=P(x).m成立,Q(x)應設為m+2次多項式：Q(x)=x2Q(x),mQ(x)=bxm+bxm-1+bx+b,m01m-1m通過比較等式兩邊同次項系數(shù)，可確定b0,b,，b,并得所求特解01my*=X2Q(x)e心.m綜上所述，我們有如下結論：如果f(x)=P(x)e心，則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程my+py+qyfx)有形如y

19、*=xkQm(x)e心的特解，其中Q(x)是與P(x)同次的多項式，而k按九不是特征方程的根、是特征方程的單mm根或是特征方程的的重根依次取為0、1或2.例1求微分方程y-2y，-3y=3x+l的一個特解.解這是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，且函數(shù)fx)是P(x)e心型(其中P(x)=3x+1,mm九=0).與所給方程對應的齊次方程為y2y，3y=0,它的特征方程為r2-2r-3=0.由于這里九=0不是特征方程的根，所以應設特解為y*=b0 x+b1.把它代入所給方程，得-3box-2bo-3b1=3x+1，比較兩端x同次幕的系數(shù)，得-3b=3，-，-3bo=3，-2bo-3b1T.-2b-3

20、b=101由此求得b0=-1,b1=3.于是求得所給方程的一個特解為y*=-x+1.例2求微分方程y-5y+6y=xe2x的通解.解所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，且fx)是P(x)e心型(其中P(x)=x，九=2).mm與所給方程對應的齊次方程為yr-5y+6y=0,它的特征方程為r2-5r+6=0.特征方程有兩個實根ri=2,r2=3.于是所給方程對應的齊次方程的通解為Y=Ce2x+Ce3x.12由于X=2是特征方程的單根，所以應設方程的特解為y*=x(b0 x+b1)e2x.把它代入所給方程，得-2bx+2b-b=x.001比較兩端x同次幕的系數(shù)，得-2-2b=102b-b=00

21、1,-2b0=1,2b0-bi=0.由此求得b0=-2,bi=-1.于是求得所給方程的一個特解為y*=x(-2x-1)e2x.從而所給方程的通解為iy=qe2x+Ce3x（x2+2x）e2x.提示:y*=x(b0 x+bi)e2x=(b0 x2+bix)e2x,(b0 x2+bX)e2x=(2b0 x+b1)+(b0 x2+bix)-2e2x,(b0 x2+bX)e2x=2b0+2(2b0 x+bi)-2+(b0 x2+bix)-22e2x.y*,-5y*,+6y*=(b0 x2+bix)e2x,-5(b0 x2+bix)e2x,+6(b0 x2+bix)e2x=2b0+2(2b0 x+bi)

22、-2+(b0 x2+bix)-22e2x-5(2b0 x+bi)+(b0 x2+bix)-2e2x+6(b0 x2+bix)e2x=2b0+4(2b0 x+bi)-5(2b0 x+bi)e2x=-2b0 x+2b0-bie2x.方程y,r+pyr+qy=exP(x)cosx+P(x)sinQx的特解形式ln應用歐拉公式可得eZxP(x)cosx+P(x)sinxln二eMp(x)ei二eMp(x)eix+eix+Pn(x)neixeix2i二4P(x)iP(x)e(九+i)x+iP(x)+iP(x)e(九i)x2ln2ln二P(x)e(九+i)x+P(x)e(九i)x,其中P(x)二(PPi)

23、,P(x)二*P+Pi)而m=maxl,n.2l2l設方程y+py，+qy=P(x)eG+i)x的特解為yi*=xkQ(x)e+i)x,則y*二xkQ(x)e(沏)必是方程y+py+qy=P(x)e-沏)的特解，1m其中k按Xi不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1.于是方程y+py+qy=eZxPi(x)cosx+P”(x)sinx的特解為y*二xkQ(x)e(九+i)x+xkQ(x)e(九i)xTOC o 1-5 h zmm二xkexQ(x)(cx+isix)+Q(x)(cxisix)mm=xke心R(1)(x)cosx+R(x)sinx.mm綜上所述，我們有如下結論：如果fx)=e

24、&P;(x)cosx+P(x)sinx,則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程lny+py+qyfx)的特解可設為y*=xke心R(1)(x)cosx+R(x)sinx,mm其中R(1)(x)、R(x)是m次多項式,m=maxl,n,而k按X+i(或Xi)不是特征方程的根mm或是特征方程的單根依次取0或1.例3求微分方程y“+y=xcos2x的一個特解.解所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,且fx)屬于eXxP/(x)cosx+P(x)sinx型(其中X=0,=2,Px)=x,P(x)=0).與所給方程對應的齊次方程為y+y=0,它的特征方程為r2+l=0.由于這里X+zo=2z不是特征方程的根，

25、所以應設特解為y*=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x.把它代入所給方程，得(3ax3b+4c)cos2x(3cx+3d+4a)sin2x=xcos2x.比較兩端同類項的系數(shù)，得a二1,b=0,c=0,d=4.14于是求得一個特解為y*二3xcos2x+9sin2x.提示：y*=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x.y*=acos2x2(ax+b)sin2x+csin2x+2(cx+d)cos2x,=(2cx+a+2d)cos2x+(2ax2b+c)sin2x,y*=2ccos2x2(2cx+a+2d)sin2x2asin2x+2(2ax2b+c)cos2x=(4ax4b

26、+4c)cos2x+(4cx4a4d)sin2x.y*+y*=(3ax3b+4c)cos2x+(3cx4a3d)sin2x.3a=1a=-1,b=0a=-1,b=0,c=0,d=4.3c=0，得4a3d=012.12微分方程的冪級數(shù)解法當微分方程的解不能用初等函數(shù)或其積分表達時，我們就要尋求其它解法.常用的有幕級數(shù)解法和數(shù)值解法.本節(jié)我們簡單地介紹微分方程的冪級數(shù)解法.求一階微分方程J=f(x,y)滿足初始條件yI*%-y0的特解，其中函數(shù)f(x,y)是(x-x)、(y-y0)的多項式：fx,y)=a00+ai0(xx0)+a0i(yy0)+aim(xx0)l(yy0)m.這時我們可以設所求特

27、解可展開為x-x0的幕級數(shù):y=y0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+a(x-x0)n+,其中a,a2,，a,，是待定的系數(shù).把所設特解代入微分方程中，便得一恒等式，比較這12n恒等式兩端x-x0的同次幕的系數(shù)，就可定出常數(shù)a,a2,從而得到所求的特解.例1求方程dX二x+y2滿足y/o的特解.TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark50 o Current Document 解這時x0=0,y0=0,故設y=aix+a2x2+a3x3+a4x4+,把y及護的幕級數(shù)展開式代入原方程，得a+2ax+3ax2+4ax3+5ax4+12345=x+(ax+ax2+ax3+ax4+)21234=x+a2x2+2aax3+(a2+2aa)x4+，112213由此，比較恒等式兩端x的同次幕的系數(shù)，得11ai=0,a2二2a3=0,a4=0,a5=20于是所求解的幕級數(shù)展開式的開始幾項為定理如果方程y+P(x)y，+Q(x)y=