選修第1課空間向量的有關(guān)概念與線性運(yùn)算

1、選修第1課空間向量的有關(guān)概念與線性運(yùn)算一、教學(xué)目標(biāo)了解空間向量、共線向量、共面向量等概念；2 .理解空間向量的線性運(yùn)算及其性質(zhì).。二、基礎(chǔ)知識(shí)回顧與梳理1、空間向量的有關(guān)概念空間向量：在空間中，既有大小又有方向的量叫做空間向量；相等向量：方向相同且模相等的向量共線向量：表示空間的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量；共面向量：能平移到同一平面內(nèi)的向量.下列命題中是否正確（1 ）分別表示空間向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個(gè)向量不是共面向量 I- I-i- fc-（2）若I a |=| b |，則a, b的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反（3）若兩個(gè)非零向量AB與CD滿足AB + CD =0

2、，則AB CD【教學(xué)建議】本題主要是幫助學(xué)生復(fù)習(xí)、了解空間向量的有關(guān)概念。教學(xué)時(shí)，教師可讓學(xué)生說明理由或舉 出反例。結(jié)合本題，強(qiáng)調(diào)定義中的關(guān)鍵詞：大小和方向。2、共線向量、共面向量定理和空間向量基本定理 TOC o 1-5 h z lr fr f FF共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a,b（a豐0）,b與a共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)人，使b二人a ；共面向量定理：如果兩個(gè)向量a,b不共線，那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)*I3, ），使得 p = xa + yb ；空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a,b,項(xiàng)共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x, y, z），使得

3、p = xa + yb + zc，把a(bǔ),b,c叫做空間的一個(gè)基底；下列命題：r若A、B、C、D是空間任意四點(diǎn)，則有AB + BC + CD + DA = 0;I a |-| b |=| a + b |是a、b共線的充 * fh- ir要條件；若a、b共線，則a與b所在直線平行；對(duì)空間任意一點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)A、B、C，若 OP = xOA + yOB + zOC （其中x、y、zER）則p、B 仁四點(diǎn)共面.其中不正確命題的個(gè)數(shù)【教學(xué)建議】本題主要是復(fù)習(xí)空間向量基本定理及其應(yīng)用三、診斷練習(xí)1、教學(xué)處理：課前要求學(xué)生閱讀課本選修2-1P - P完成教材習(xí)題P T , P T , P T，再完成診斷

4、練習(xí)737873 276 478 34道小題，并要求將解題過程扼要地寫在學(xué)習(xí)筆記欄。課前抽查批閱部分同學(xué)的解答，了解學(xué)生的思路及 主要錯(cuò)誤。將知識(shí)問題化，通過問題驅(qū)動(dòng)，使教學(xué)言而有物，幫助學(xué)生內(nèi)化知識(shí)，初步形成能力。點(diǎn)評(píng)時(shí) 要簡(jiǎn)潔，要點(diǎn)擊要害。2、診斷練習(xí)點(diǎn)評(píng) 題 1：化簡(jiǎn)（AB - CD） - （AC - BD） =.答案：0【分析與點(diǎn)評(píng)】向量的加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則都需要共起點(diǎn)，首尾相接的向量相加 等于起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量【變式】：化簡(jiǎn)AF - BF - AC = .答案：CB （教材P73練習(xí)1第（2 ）小題）則OE =題2.已知空間四邊形OABC中，D

5、是線段BC的中點(diǎn)，E是線段AD的中點(diǎn)，若向量OA = a,OB = b,OC 則OE =答案：；a + 了 b + 丁 c244 - 一 - 一 - 【分析與點(diǎn)評(píng)】利用平行四邊形法則，表示出三角形一邊上的中線對(duì)應(yīng)的向量是基本方法?！咀兪健浚阂阎臻g四邊形ABCD中，AB = a - 2c, CD = 5a + 6b - 8c ,對(duì)角線AC、BD的中點(diǎn)分別是P、Q，Q，則 PQ =fff答案 PQ = 3a + 3b - 5cD【分析與點(diǎn)評(píng)】(1 )用AB,CD表示PQ,關(guān)鍵是將三向量平移到一個(gè)三角形中D-A由于P、Q是中點(diǎn)，利用中點(diǎn)平移向量AB, CD .題3.如圖，ABCD - ABCD是平

6、行六面體，給出下列命題: iiii(1) AC = AD + DC + CC ； (2) AC = AB + AD + AA AC = AC + CD + DC ； (4) AC = AB + B D + AA其中正確的命題個(gè)數(shù)有個(gè)答案：:3 . 1【分析與點(diǎn)評(píng)】(1)向量的加法、減法一般用三角形法則和平行四邊形法則；(2 )首尾相接若干向量相加等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量可以認(rèn)為是平面向量的 加法的平行四邊形法則在空間的推廣。題4 .在正方體ABCD - A1BCD1中，M,N分別是線段A1D, DC上的點(diǎn)，且AM = 3 A? D N = | DC,2 1 _則向量MN與向

7、量DA, DC之間的關(guān)系是. 答案：MN = -DA + -DC .【分析與點(diǎn)評(píng)】取叫的一個(gè)三等分點(diǎn)，運(yùn)用三角形法則可解，也可用回路法，即：MN = ND + DC + CN . 總之，空間向量加減法的運(yùn)算與平面向量完全類似.3、要點(diǎn)歸納一 (1 )在掌握向量加減法時(shí)首先應(yīng)掌握有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)向量的和或差，如共線、共起點(diǎn)、共終點(diǎn)等 (2 )向量的減法可以轉(zhuǎn)化為向量的加法，注意向量的三角形法則和平行四邊形法則要點(diǎn).對(duì)于向量加法用 平行四邊形法則要求兩向量共起點(diǎn)，運(yùn)用三角形法則要求首尾順次相接對(duì)于向量減法要求兩向量共起點(diǎn).(3 )平面向量的運(yùn)算僅限于在它所在的平面內(nèi)進(jìn)行，空間向量的運(yùn)算常常將研

8、究的向量進(jìn)行平移，轉(zhuǎn)化 為平面向量問題解決.BDC(4)空間向量的線性運(yùn)算方法和思想是由平面向量的線性運(yùn)算推廣而來，空間向量的性質(zhì)、運(yùn)BDCA比平面向量的運(yùn)算、性質(zhì).四、范例導(dǎo)析例1、如圖所示，在平行六面體ABCD - ABCD中，P是CA的中點(diǎn)， 11111M是CD1的中點(diǎn)，N是CR的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在CA1上，且CQ : QA1 = 4:1 設(shè)AB = a, AD = b, AA = c，用基底a,b,c寶示以下向量：(1) AP ； (2) AM ； ( 3 ) AN ；(4) AQ .【教學(xué)處理】本題是教材選修2-1習(xí)題3.1 P8T第(1 )題、第(2 )題可讓學(xué)生板演，教師點(diǎn)評(píng)；第(3

9、X (4 )兩題可提問學(xué)生，先交流討論，再教師板書。點(diǎn)評(píng)或板書時(shí)，要示范解題步驟、方法.【引導(dǎo)分析與精講建議】1、第(1X(2)題，AAAf, AACD1中，p、M分別是Af CR中點(diǎn)，利用平行四邊形法則轉(zhuǎn)化為平行 六面體面上的向量再化為棱上的向量運(yùn)算.第(3 X第(4 )題分析時(shí)，先提出以下問題問題1 : AN , AQ如何與基底取得聯(lián)系？問題2 : AN , AQ放在哪一個(gè)三角形中進(jìn)行轉(zhuǎn)化？問題3:能否用平行四邊形法則？或首尾相接的空間多邊形？不同路徑得到的結(jié)果是否相同？為什么？【說明】：第（3）、（4）兩題，在提出問題討論交流后，教師可板書示范其中的一種解法，其它的解法可讓學(xué) 生嘗試練習(xí)

10、、板演后點(diǎn)評(píng).D1B1例2：在三棱柱ABC - A1B1C1中，D是AC的中點(diǎn)，用向量證明：Ag II面CBD.D1B1【教學(xué)處理】要求學(xué)生獨(dú)立思考并解題，指名學(xué)生板演，老師巡視指導(dǎo)了解學(xué)情；再結(jié)合板演情況進(jìn)行點(diǎn)評(píng)。也可在學(xué)生對(duì)解題方向遇到困難時(shí)，教師適時(shí)介入與學(xué)生交流或進(jìn)行講解，并示范板書。【引導(dǎo)分析與精講建議】1、引導(dǎo)學(xué)生從共面向量的概念和定理出發(fā)尋找思路。強(qiáng)調(diào)并示范用向量證明線面平行的一般方法和解題步驟；2、本題在用向量證明后可以讓學(xué)生嘗試用綜合法來證明，對(duì)兩種方法進(jìn)行比較.【變式】：設(shè)A,B, C及a b C分別是異面直線l,l上的三點(diǎn)，而M,N,P,Q分別是線段AA ,BA ,BB

11、,CC 1 1 11 21111的中點(diǎn).求證：M,N,P,Q四點(diǎn)共面.【點(diǎn)評(píng)】：變式題中給出四點(diǎn)共面問題可化為三向量共面問題解決.根據(jù)空間向量共面的基本定理幾何，結(jié) 合圖形根據(jù)中點(diǎn)找到四點(diǎn)M,N,P,Q構(gòu)成的三向量MN,NP,PQ之間的線性關(guān)系即可得證.例3已知矩形ABCD,P為平面ABCD外的一點(diǎn)，M, N分別為PC, PD上的點(diǎn)，且PM = 2MC, PN = ND. 求滿足MN = xAB + yAD + zAP的實(shí)數(shù)x, y, z的值.【教學(xué)處理】要求學(xué)生獨(dú)立讀題并畫出圖形，引導(dǎo)學(xué)生思考：怎樣將空間向量轉(zhuǎn)化到一個(gè)個(gè)平面上的 向量去處理？【引導(dǎo)分析與精講建議】1、容易表示出MN = AN

12、 - AM，這里的基底AP, AD, AB確定了三個(gè)平面，向量AN在平面APD內(nèi)，一 1 1 1 2因而用平面向量基本定理可得AN = -AP + AD；向量AM在平面APC中，AM =-AP + AC,向*22*33DNCBC量AC在基底AD,AB確定的平面ABDp，因而回路接通。這里的表示，要突出空間向量是如何轉(zhuǎn)化到 平面向量上去的.DNCBC2、* 案中提供的方法，可仿照上面的分析，引導(dǎo)學(xué)生作類似的轉(zhuǎn)化.【備用題】已知ABCD - A1 B孔是平行六面體.，一.”一 12 （1）在圖上標(biāo)出式子2AA1+ BC + 3 AB的結(jié)果；（2）設(shè)M是底面ABCD的中心，N是側(cè)面BCCB對(duì)角線BC

13、上3的分點(diǎn)，設(shè)MN = aAB +PAD+yAA試求a,P,y的值。41【教學(xué)處理】第（1）題可以讓學(xué)生板演，教師點(diǎn)評(píng)作圖依據(jù).第二題從式子的特征、向量MN,AB,AD,AA1 位置關(guān)系入手弄清解題意圖和解題方向，指導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，指名回答，教師點(diǎn)評(píng)并板書解題過程。【引導(dǎo)分析與精講建議】可提出以下問題與學(xué)生交流：?jiǎn)栴}1 ：式子mN=a aB+PaD+y A!表示什么含義？四個(gè)向量mN , aB, ad, aa1之間有什么關(guān)系？問題2 :由偵,P,Y的值確定嗎？為什么？問題3 : MN向量如何利用三角形、平行四邊形或空間多邊形轉(zhuǎn)化到AB,AD,俱?五、解題反思1、用已知向量表示未知向量一定要結(jié)合圖形。以圖形為依托指導(dǎo)解題是關(guān)鍵廠要熟練掌