解析幾何全國(guó)卷高考真題

1、2015-2017解析幾何全國(guó)卷高考真題21、（2015年1卷5題）已知M （x0,y。）是雙曲線C: y22、（201522、（2015年1卷14題）一個(gè)圓經(jīng)過(guò)橢圓 L 1的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在164X軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為咯案】(x 3)2 y2 25【解析】設(shè)圓心為（a, 0）,則半徑為4 a ,則（4 a）2 a2 22 ,解得a -,22uuuu uuurF1,F2是C上的兩個(gè)焦點(diǎn)，若MF1?MF2 0,則yo的取值范圍是（）（A）y二)3(B)(-且旦66(C)(D)(2,3（A）y二)3(B)(-且旦66(C)(D)(2,33空)3【解析】由題知F1（50）, F2（V3

2、,0）,2X0y21 ,所以u(píng)uuu uLmrMF1?MF2,解得當(dāng)(.3X0,y0)?( .3X0,y。)=X2y233y21選A.考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；向量數(shù)量積坐標(biāo)表示；一元二次不等式解法故圓的方程為(x 3)2 y2空. 24考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程23、(2015年1卷20題)在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C: y=上與直線y kx a 4(a0)交與M,N兩點(diǎn)，(I)當(dāng)k=0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；(II) y軸上是否存在點(diǎn) P,使彳導(dǎo)當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有/ OPM =OPN說(shuō)明理 由.【答案】(I) Tax y a 0或& y a 0 (n)存在【解析】試題分析：

3、(I)先求出 M,N的坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)求出 M,N. (II)先作出 判定，再利用設(shè)而不求思想即將 y kx a代入曲線C的方程整理成關(guān)于x 的一元二次方程，設(shè)出 M,N的坐標(biāo)和P點(diǎn)坐標(biāo)，利用設(shè)而不求思想，將直 線PM PN的斜率之和用a表示出來(lái)，利用直線 PM PN的斜率為0,即可求 出a,b關(guān)系，從而找出適合條件的 P點(diǎn)坐標(biāo).試題解析：(I)由題設(shè)可得M(2/a,a) , N( 2無(wú),a),或M( 272, a),N(2 Ja,a).y 1x,故y 2在x =2夜a處的到數(shù)值為 由，C在(2揚(yáng)C)處的切線 24方程為y a Va(x 2品),即 Vax y a 0.2故y =在x=-272

4、a處的到數(shù)值為-品,0在(272a,a)處的切線方程為 4y aTa(x 2五),即 Vox y a 0.故所求切線方程為Tax y a?；蚍磞 a 0.(n)存在符合題意的點(diǎn)，證明如下：設(shè)P (0, b)為復(fù)合題意得點(diǎn)，M(x1,y1), N(x2,y2),直線PM PN的斜率分 別為ki,k2.將y kx a代入C得方程整理得x2 4kx 4a 0. TOC o 1-5 h z x, x2 4k,x1x24a.yi b y2 b 2kx1x2 (a b)(xi x2)_ k(a b) , , k1 k2.x1x2x1 x2a當(dāng)b a時(shí)，有ki k2=0,則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角

5、互補(bǔ)，故/OPM=OPN所以P(0, a)符合題意.考點(diǎn)：拋物線的切線；直線與拋物線位置關(guān)系；探索新問(wèn)題；運(yùn)算求解能4、（2015年2卷7題）過(guò)三點(diǎn)A（i,3）, B（4,2）, c（i, 7）的圓交y軸于M, N兩點(diǎn)，則 |MN |（）A. 2 7即=一整理,得=7所以橢|F| I BC2Ksic） aea 3圓離心率為2 = J J故選Ah 3考點(diǎn)：橢圓方程與幾何性質(zhì).【思路點(diǎn)撥】求解橢圓的離心率問(wèn)題主要有三種方法：（1）直接求得a，c的b值，進(jìn)而求得e的值；（2）建立a，b，c的齊次等式，求得a或轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的 等式求解；（3）通過(guò)特殊值或特殊位置，求出 e .14、（2016年3卷16

6、題）已知直線l : mx y 3m V3 0與圓x2 y2 12交 于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別做l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)，若AB 2代，則 |CD| .【答案】4E解析】試題分析；因?yàn)榍覉D的半徑為2招,所以圓心（0.0到直線詠+F+3陽(yáng)=。的距離為解得班_tu直線解得班_tu直線的方程,以直線，的傾斜角為30 ,由平面幾何知識(shí)知在軾冊(cè)ABDC中，| CD |二上之 二4 , 考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系.【技巧點(diǎn)撥】解決直線與圓的綜合問(wèn)題時(shí)，一方面，要注意運(yùn)用解析幾何 的基本思想方法(即幾何問(wèn)題代數(shù)化)，把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；另一方面，由于直線與圓和平面幾何聯(lián)系得非常緊密，因此，準(zhǔn)確地作出圖形，

7、并充分挖掘幾何圖形中所隱含的條件，利用幾何知識(shí)使問(wèn)題較為簡(jiǎn)捷地得到解 決.15、(2016年3卷20題)已知拋物線C： y2 2x的焦點(diǎn)為F ,平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于P，Q兩點(diǎn).(I)若F在線段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明ARPFQ；(II )若PQF的面積是 ABF的面積的兩倍，求AB中點(diǎn)的軌跡方程.一、一 ，一12【答案】(I)見解析；(n) y x 1.-I解析】試題分析；(I)設(shè)出與#軸垂直的兩條直線,然后得出4人EQ五的坐標(biāo),然后通過(guò)證明直線,與直 線 改的斜率相等即可證明結(jié)果了式設(shè)直線J與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)D(%o)品傭面積可求得M，設(shè)出.四

8、的申點(diǎn)J根據(jù)上與丈軸是否垂直分兩種情田結(jié)合二%求解.1一 一F(-，0)試題解析：由題設(shè) 2.設(shè)l1：y a，l2：y b，則ab 0,且a2b2111abA( ,0),B(-,b), P( -,a),Q( -,b), R(-,) 22222 2.記過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線為l,則l的方程為2x (a b)y ab 0.3分(I)由于F在線段AB上，故1 ab 0.記AR的斜率為k1 , FQ的斜率為k2，則k1a b1 a2a ba2 ab生b k2 a,所以AR P FQ(n)設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為D（x1,。），S ABF (n)設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為D（x1,。），S ABF 則一 |b a|FD1

9、b a x1由題設(shè)可得21b 21 ca X1一, S2PQFa b|2 ，所以2（舍去），Xi設(shè)滿足條件的AB的中點(diǎn)為E（x，y）.當(dāng)AB與x當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，由kABkDE可得a bF(xX 11)a by2a by2而2 ，所以y x 1(x1)當(dāng)AB與當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，E與D重合，所求軌跡方程為2216、（2017年1卷15題）已知雙曲線C：x2 2,（ a b點(diǎn)為A,以A為圓心，b為半徑作圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M , N兩點(diǎn)，若 MAN 60 ,則C的離心率為【答案】2-1 3【解析】如圖,AAOA a , AN AM, MAN 60 ,|ap fb, OP OA

10、2 |PA2 Ja2、b2.tanAP.tanAPOP3hb又 tan又 tana ,解得 a2 3b2-1 2/33 V-e-1 2/33 V-eb2112217、(2017年1卷20題)已知橢圓C：與2 1 a b 0 ,四點(diǎn) a bP1 1, 1 , B 0, 1 , B 1，R 1，中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.(1)求C的方程;(2)設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A、B兩點(diǎn)，若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1 ,證明：l過(guò)定點(diǎn).(1)根據(jù)橢圓對(duì)稱性，必過(guò) B、P4又P4橫坐標(biāo)為1,橢圓必不過(guò)P,所以過(guò)P2,P4三點(diǎn)將已0, 1 , P 將已0, 1 , P 1, 2代入橢圓方程得13,

11、解得a1 V1 Va 1 Va 12kP2 AKp2bm mm-i 1b2橢圓C的方程為:(2)當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)l: x m , A m , yA , B m,Va所以所以l過(guò)定點(diǎn)2, 1【解析】得m 2,此時(shí)l過(guò)橢圓右頂點(diǎn)，不存在兩個(gè)交點(diǎn)，故不滿足.【解析】當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)l：y kx bb 1【解析】A Xi , y , B X2 , y2一 y kx b聯(lián)立 一 y kx b聯(lián)立 x2 4y2 4。，整理得1 4k222_x 8kbx 4b 4 0 xixxix28kb1 4k2，4b2 41 4k2【解析】則kp2Akp【解析】則kp2Akp2By1 1y2 1x2 kx1 bx2x

12、1 kx2 bx1x1x2xx28kb2 8k 8kb2 8kb1 4k2 4b2 41 4k2一 8k b 1【解析】 1，又b 14 b 1 b 1【解析】b 2k 1 ,此時(shí) 64k,存在k使得 。成立.直線l的方程為y kx 2k 1當(dāng)x 2時(shí)，y 12218、（2017年2卷9題）若雙曲線C：: 4 1 （a 0, b 0）的一條漸近線 a b被圓x 22 y2 4所截得的弦長(zhǎng)為2,則C的離心率為（）A. 2B A. 2B .廬 C .近2.33【命題意圖】主要考查雙曲線的性質(zhì)及直線與圓的位置關(guān)系，意在考查考生的 轉(zhuǎn)化與化歸思想【解析】解法一：常規(guī)解法根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可求得漸近線

13、方程為y bx ,根據(jù)直線與圓的位置關(guān)a系可求得圓心到漸進(jìn)線的距離為V漸進(jìn)線的距離為V3, 圓心到漸近線的距離為得e 2.解法二：待定系數(shù)法設(shè)漸進(jìn)線的方程為y kx,根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可求得圓心到漸進(jìn)線的距圓心到漸近線的距離為率與離心率-J圓心到漸近線的距離為率與離心率-J2kr，即/2 瓜,解得k2 1 k1k2 3；由于漸近線的斜關(guān)系為k2 e2 1,解得e 2.19、（2017年2卷16題）已知F是拋物線C：y2 8x的焦點(diǎn)，是C上一點(diǎn)，F(xiàn)的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn).若為F的中點(diǎn)，則F .【命題意圖】本題主要考查拋物線的定義及直線與拋物線的位置關(guān)系，意在考查考生的轉(zhuǎn)化與化歸思想運(yùn)算求解的能力

14、【解析】解法一：幾何法【知識(shí)拓展】本題從拋物線定義入手，定比分點(diǎn)求坐標(biāo)，這是基礎(chǔ)概念題, 課本習(xí)題常有練習(xí)20、（2017 年 2 卷 20 題）設(shè)O設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C:2上 y2 1上，過(guò)M做x軸的垂線，垂2uur _uuur足為N,點(diǎn)P滿足NP V2NM .求點(diǎn)P的軌跡方程;uuur(2)設(shè)點(diǎn)uuur(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線x=-3上，且OPuuurPQ1.證明：過(guò)點(diǎn)P且垂直于 OQ勺直線l過(guò)C的左焦點(diǎn)F.【命題意圖】橢圓， 定值問(wèn)題的探索;運(yùn)算求解能力【命題意圖】橢圓， 定值問(wèn)題的探索;運(yùn)算求解能力【基本解法】(I )解法一：相關(guān)點(diǎn)法求軌跡：、uuuruuuur設(shè) M X0,y0

15、, N X0,O , P x, y ,則：NP x X0,y , NM0, y()uuu uuuur_又 NP V2NM ,所以：x X0,yT2 0,y。，則：x X0,y 2y。.橢圓C的參數(shù)方程為：x 2cos （為參數(shù)） y sin設(shè) M 2Ccos ,sin , N 2C cos0,sinx 72cos , y72 0,sin , 則uuuur 0,sinx 72cos , y72 0,sin , 則貝U： NPx . 2 cos , y , NMuuu -uuuur 一又 NP夜NM ，所以：x . 2 cos , y 2 sin則：x2 y2 2.(n)(n)解法一ULlrOP2

16、 cos , .2 sin設(shè) P 2 cos , 2 sinuuuruuur,OQ3,必,PQQ 3,yi, F 1,0 ,則3 & cos , y1 & sin ,uuurPF1.2 cos , -2 sinuuu又OPuuurPQ 1,所以:、2 cos , .2 sin 32 cos , y1 ,2 sin即：3、2cos、. 2ysin 3.3 2 cos 2cos2、2 ylsin2sin21uuur uur 那么：PF OQ1 、- 2 cos , 一 2 sin3,y13 3 .2cos . 2ysin 0.所以:uuurPFuuurOQ .即過(guò)P垂直于OQ的直線l過(guò)橢圓C的左焦

17、點(diǎn)F。解法二：設(shè) P x1, y解法二：設(shè) P x1, y1uuruur,Q 3,y2 , F 1,0 ,則 OPXi，Yi ， OQ3以,uuruuuPQ 3 X1,y2 Yi , PF 1 Xi, Yi .uuu uur又OP PQ 1,所以:2x1，y13 xl y3x x12Vi y2y11.又 P x, y1在x2 * 4 y2 2上，所以:3xi % y23.0.0.又 PF OQ 1。y13,y23 3% y1y2uur uur 所以：PF OQ .即過(guò)P垂直于OQ的直線l過(guò)橢圓C的左焦點(diǎn)a 0, b 0）的一條漸近線21、（2017年3卷5a 0, b 0）的一條漸近線a b-

18、22方程為y且與橢圓X2%1有公共焦點(diǎn).則C的方程為（）22A. Z L 18 1022xy4B. 1452C.-5D.【解析】二雙曲線的一條漸近線方程為22又橢圓12飛22又橢圓12飛1與雙曲線有公共焦點(diǎn)，易知c2.2a bc29a ba b 0）的左、右頂點(diǎn)分別22、（2017年3卷10題）已知橢圓C:與 4 1a b為A, A2,且以線段A 4為直徑的圓與直線bx ay 2ab 0相切，則C的離心率為（）【解析】二.以AA2為直徑為圓與直線bxay2ab0相切，圓心到直線距離等于半徑,12ab a,a2 b2a 0,b 0 ,則上式可化簡(jiǎn)為23ba 0,b 0 ,則上式可化簡(jiǎn)為23b.

19、b2 a2c2 ,可得 a2 3 a22即與ae a 故選a23、（201723、（2017年3卷20題）已知拋物線C：y過(guò)點(diǎn)（2, 0）的直線交C于A , B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓.（1）證明：坐標(biāo)原點(diǎn)。在圓M上;（2）設(shè)圓M過(guò)點(diǎn)P （4, -2）,求直線與圓M的方程.【解析】顯然，當(dāng)直線斜率為時(shí)，直線與拋物線交于一點(diǎn)，不符合題意.myA(Xi,yi) , B(X2,y2),聯(lián)立:2xmy2 得 myA(Xi,yi) , B(X2,y2),聯(lián)立:2xmy2 得 y2 2my24m16恒大于,yiy22m,yy24uir uuuOA OBX1X2(myi2(mV1V22)(my21)yi y22)2m(yi，2，、4(m1) 2 m(2 m)y2)4ui