壓軸題命題區(qū)間(五)增分點(diǎn)1多面體與球的切接問題專練

1、壓軸題命題區(qū)間（五）立體幾何增分點(diǎn)多面體與球的切接問題專練、選擇題1.（20171.（2017全國卷川）已知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的TOC o 1-5 h z球面上，則該圓柱的體積為（）nD.4解析：選B設(shè)圓柱的底面半徑為r，貝Vr2=12-12=3,所以圓柱的體積V=3解析：選B設(shè)圓柱的底面半徑為 HYPERLINK l bookmark2 o Current Document 44_3n=4.2.（2016全國卷川）在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球若AB丄BC,AB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是（）9nA.4nB.y32nD

2、.3T解析：選B設(shè)球的半徑為R,ABC的內(nèi)切圓半徑為解析：選B設(shè)球的半徑為R,ABC的內(nèi)切圓半徑為6+8102=2,RW2.又2RW3,4-Vmax=3XnX3.已知正四面體3.已知正四面體A-BCD的棱長為A.12nC.20n12,則其內(nèi)切球的表面積為（）B.16nD.24n解析：選D法一：女口圖，作BF丄CD于F,AE丄BF于E，由A-BCD為正四面體可知AE丄平面BCD，設(shè)O為正四面體A-BCD的內(nèi)切球的球心，則OE為內(nèi)切球的半徑，連接OB.因?yàn)檎拿骟w的棱長為12,所以BF=AF=63,BE=43,所以AE=122432=46.又OB2OE2=BE2，即(46OE)2OE2=(43)2

3、,所以O(shè)E=-.6,則其內(nèi)切球的半徑是，6.所以內(nèi)切球的表面積為4nX（6）2=24n.法二：因?yàn)檎拿骟w的棱長為12,其內(nèi)切球半徑為正四面體高的4所以r=4x312=.6,故其內(nèi)切球的表面積為24n.4.三棱錐4.三棱錐P-ABC的四個頂點(diǎn)都在體積為警的球的表面上，底面ABC所在的小圓面積為16n,則該三棱錐的高的最大值為（B.10解析：選C依題意，設(shè)題中球的球心為344=005,解得R=5.由Ttr2=16n,解得330,半徑為R,ABC的外接圓半徑為r,則r=4.又球心0到平面ABC的距離為，R2r2=3,因此三棱錐P-ABC的高的最大值為5+3=8.5.（2018洛陽第一次統(tǒng)考）已知三

4、棱錐P-ABC的四個頂點(diǎn)均在某球面上，PC為該球的直徑，ABC是邊長為4的等邊三角形，三棱錐P-ABC的體積為學(xué)，則此三棱錐的外接球的表面積為（16na.T40nB.T64nCh80n解析：選D依題意，記三棱錐P-ABC的外接球的球心為0,半徑為R,點(diǎn)P到平面ABC的距離為h,則由Vp-abc=SABCh=143x42xh=晉，得h=.又PC為球O的直徑，因此球心一12ABO到平面ABC的距離等于2h=（3.又正ABC的外接圓半徑為r=禹而4.3，因此R2=導(dǎo)32+&3=晉，所以三棱錐P-ABC的外接球的表面積等于4冗R2=80n.6.四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為6的正方形，且PA

5、=PB=PC=PD，若個半徑為1的球與此四棱錐所有面都相切，則該四棱錐的高是（）B.59c.9解析：選D過點(diǎn)P作PH丄平面ABCD于點(diǎn)H.由題知，四棱錐P-ABCD是正四棱錐，內(nèi)切球的球心0應(yīng)在四棱錐的高錐的高作組合體的軸截面如圖，其中PE,PF是斜高,的一個切點(diǎn).設(shè)PH=h,易知RtPMOsRtPHF，所以豐=翠，即FHPFPH上.過正四棱M為球面與側(cè)面Ah2+132解得h=4.7.（2018成都一診）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫CC.5nD.20n出的是某四棱錐的三視圖，則該四棱錐的外接球的表面積為B.34nD.18nC.25nD.18n解析：選B解析：選B由三視圖知，該四棱

6、錐的底面是邊長為3的正方形，高為4，且有一條側(cè)3,3,4的長方體，該長方體外接棱垂直于底面，所以可將該四棱錐補(bǔ)形為長、寬、高分別為球的半徑R即為該四棱錐外接球的半徑，所以2R=32+32+42,解得R=3,3,4的長方體，該長方體外接棱錐外接球的表面積為4kR2=34n.8.（2018湖北七市（州）聯(lián)考）8.積為（36n36n32nD.28n解析：選B32nD.28n解析：選B根據(jù)三視圖可知，該幾何體是一個四棱錐，其底面是一個邊長為4的正方形，高是2,3.將該四棱錐還原成一個三棱柱，如圖所示,則其底面是邊長為4的正三角形，高是4，其中心到三棱柱的6個頂點(diǎn)的距離即為該四棱錐外接球的半徑.因?yàn)槿?/p>

7、柱的底面是邊長為4的正三角形,所以底面三角形的中心到三角形三個頂點(diǎn)的距離為2所以底面三角形的中心到三角形三個頂點(diǎn)的距離為2X23=警，所以其外接球的半徑R33+22=,故外接球的表面積+22=,故外接球的表面積S=4nR2=4nX112兀9.某幾何體的三視圖如圖所示，若這個幾何體的頂點(diǎn)都在球表面積是（）O的表面上，則球O的解析：選C根據(jù)三視圖可知，該幾何體為三棱錐，且其中邊長為1的側(cè)棱與底面垂直，底面為斜邊長為2解析：選C根據(jù)三視圖可知，該幾何體為三棱錐，且其中邊長為1的側(cè)棱與底面垂直，底面為斜邊長為2的等腰直角三角形,所以可以將該三棱錐補(bǔ)形為長、寬、高分別為2,2,1的長方體，所以該幾何體的

8、外接球O的半徑R=二土二蘭=嚴(yán)，所以球O的表面積S=4tR2=5n.10.底面為矩形的四棱錐P-ABCD10.底面為矩形的四棱錐P-ABCD的所有頂點(diǎn)都在球0的球面上，且AB=23,AD=2,它的最大體積為163，則球O的表面積為（=2,它的最大體積為163，則球O的表面積為（）B.15nC.20nD.25n解析：選D如圖所示，設(shè)矩形ABCD的對角線的交點(diǎn)為O1,P在O1O的延長線上，并在球面上時，四棱錐P-ABCD的體積最大,則有1X23X2XPO1=16乜,3w3所以PO!=4,連接OA，設(shè)球O的半徑為R,則PO=OA=R,OOi=4-R,OiOiA=2,AB2+AD2=2.在RtAO1O

9、中，OO1+O1A2=OA2,即(4R)2+22=R2,解得R=5,所以球O的表面積為4冗R2=25n.11已知底面為正三角形的三棱柱內(nèi)接于半徑為1的球，則此三棱柱的體積的最大值B.2C.3解析：選A如圖，設(shè)球心為O,三棱柱的上、下底面的中心分別為11已知底面為正三角形的三棱柱內(nèi)接于半徑為1的球，則此三棱柱的體積的最大值B.2C.3解析：選A如圖，設(shè)球心為O,三棱柱的上、下底面的中心分別為O1,。2,底面正三角形的邊長為a,則AO1=和呼a=a.由已知得O1O2323丄底面，在RtOAO1中，由勾股定理得OO1=以皿2.3.3a21=3,所以V三棱柱=：a2x2X3-=睪二,令f(a)=3a4

10、-a6(0vav3)，貝Uf(a)=12a3-6a5=6a3(a2一2),令f(a)=0,解得a=2.因?yàn)楫?dāng)a(0,2)時,f(a)0;當(dāng)a(2,3)時，f(a)0,所以函數(shù)f(a)在(0,2)上單調(diào)遞增，在(2,3)上單調(diào)遞減.所以f(a)在a=.2處取得極大值f(2)=4.因?yàn)楹瘮?shù)f(a)在區(qū)間(0，3)上有唯一的極值，所以當(dāng)a=二時，三棱錐的體積取得最大值為1，故三棱柱體積的最大值為1.(2018廣州綜合測試)九章算術(shù)中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬；將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑.若三棱錐P-ABC為鱉臑，PA丄平面ABC,PA=AB=2,AC=4，

11、三棱錐P-ABC的四個頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為()A.8nB.12nC.20nD.24n解析：選C法一：將三棱錐P-ABC放入長方體中，如圖，三棱錐P-ABC的外接球就是長方體的外接球.因?yàn)镻A=AB=2,AC=4,ABC為直角三角形，所以BC=；42-22=23.設(shè)外接球的半徑為R,依題意可得(2R)2=22+22+(2.3)2=20,故R2=5,所以球O的表面積為4冗R2=20n,選C.法二：利用鱉臑的特點(diǎn)求解，如圖，因?yàn)樗膫€面都是直角三角形，所以PC的中點(diǎn)到每一個頂點(diǎn)的距離都相等，即PC的中點(diǎn)為球心O,易得2R=PC=20,所以球O的表面積為4nR2=20n.二、填空題已知

12、球O的半徑為R,A,B,C三點(diǎn)在球O的球面上，球心O到平面ABC的距離為丁R,AB=AC=BC=2*3,則球O的表面積為.解析：設(shè)厶ABC外接圓的圓心為O1,半徑為r,因?yàn)锳B=AC=BC=2_3,所以ABC為正三角形，其外接圓的半徑r=厶士=2,因?yàn)镺O1丄平面ABC,所以O(shè)A2=OO?+r2,2sin60所以r2所以r2=+22,解得R2=16,所以球O的表面積為4kR2=64n.答案：64n（2018云南11?？鐓^(qū)調(diào)研）已知三棱錐P-ABC的所有頂點(diǎn)都在表面積為卑撲千勺球面上，底面ABC是邊長為3的等邊三角形，則三棱錐P-ABC體積的最大值為解析：依題意，設(shè)球的半徑為R,則有4冗R2=8

13、95,即R解析：依題意，設(shè)球的半徑為R,則有168為r=2sd=1，球心到截面為r=2sd=1，球心到截面ABC的距離h=R2r2=“12-12=15，因此點(diǎn)p到截面ABC的距離的最大值等于15h+R=乎+譽(yù)4，因此三棱錐P-ABC體積的最大值為XX（3）XX（3）2x4=3.答案：315.已知在三棱錐P-ABC中,EC=竽，/APC=1BPC=n,PA丄AC,PB丄BC,BC,且平面PAC丄平面PBC,則三棱錐P-ABC外接球的體積為解析：取PC的中點(diǎn)0,連接AO,B0,設(shè)解析：取PC的中點(diǎn)0,連接AO,B0,設(shè)PC=2R，貝UOA=OB=OC=OP=R,.O是三棱錐P-ABC外接球的球心.易知，PB=R,BC=3R.vZAPC=,PA丄AC,O為PC的中點(diǎn)，二AO丄PC.又平面PAC寧寧11丄平面PBC，且平面PACn平面PBC=PC,.AO丄平面PBC,.Vp_abc=Va-pbc=3X?XRX3RXR=專，解得R=2,.三棱錐P-ABC外接球的體積V=4kR3=字 HYPERLINK l bookmark28 o Current Document 333答案：竽16.（2018長春質(zhì)檢）已知四棱錐P-ABCD的底面為矩形，平面PBC丄平面ABCD,PE丄BC于點(diǎn)E,EC=1,AB=V6