初等變換初等矩陣的概念

1、第三章a11x1+a12x2+a1nxn=b1a21x1+a22x2+a2nxn=b2am1x1+am2x2+amnxn=bm矩陣的初等變換與線形方程組13.1 、矩陣的初等變換1、矩陣的初等變換引例解方程組:增廣矩陣2解方程的三種變換: 1)互換兩個方程的位置； 2)用一個非零數(shù)乘某一個方程； 3)把一個方程的倍數(shù)加到另一個方程上去3注：上述三種變換都是可逆的由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的故這三種變換是同解變換對方程組施行的三種同解變換實質(zhì)上是對方程組的系數(shù)進行運算.4【定義2.7】下面三種變換稱為矩陣的初等行(列)變換: (1)對調(diào)兩行(列)(對調(diào)i與j

2、兩行(例)記為 ) (3) 把某一行(列)所有元素的k倍分別加到另一行(列)對應(yīng)的元素上去 (第j行(列)k倍加到第i行(列)上去,記為 ).注 1）矩陣的初等行、列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換。2）矩陣的初等變換是可逆的，而且是同型的；逆變換逆變換逆變換(2)以數(shù) 乘第i行(列)的所有元素(記為 )5如果矩陣A經(jīng)過有限次初等行變換變成矩陣B,則稱矩陣A與B行等價，記做AB。等價矩陣等價矩陣之間的性質(zhì)如果矩陣A經(jīng)過有限次初等列變換變成矩陣B,則稱矩陣A與B列等價，記做AB。如果矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣B,則稱矩陣A與B等價，記做AB。6形如:的矩陣稱為行階梯矩陣.特點 1）若矩陣有零行，那

3、么零行全部位于非零行的下方； 2）各個非零行的左起第一個非零元素的列序數(shù)由上到 下嚴(yán)格遞增。具有特點1）3）的行階梯矩陣稱為行最簡矩陣3）各個非零行左起的第一個非零元素為1，且其所在的列除此元素外，其余元素均為零。一個矩陣經(jīng)過初等行變換可以化成行階梯矩陣和行最簡矩陣。7例1 用初等變換化簡矩陣矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)型注: 1.任一矩陣都可經(jīng)過初等行變換化成行階梯矩陣； 2.任一矩陣都可經(jīng)過初等行變換化成行最簡矩陣； 3.任一矩陣都可經(jīng)初等變換化成標(biāo)準(zhǔn)型 。行階梯型行最簡型注意！8例2 設(shè)解910例2 設(shè)解與A有什么關(guān)系呢11 若把矩陣( A，E )的行最簡形記作( E，X ) ，則 E 應(yīng)是 A 的行最

4、簡形，即 ；并可驗證 AX = E，即 X = A-1. 下節(jié)我們將證明，對任何方陣 A ， 的充分必要條件是 A 可逆，且當(dāng) A 可逆時，EArEAr12【定義2.9】由單位矩陣經(jīng)一次初等變換而得到的矩陣稱為初等矩陣.如對三階單位矩陣E施行三種初等變換得到的三種初等矩陣為：E23=E3(k)=E12(k)=初等矩陣分為三類, 分別記為Eij、Ei(k)、Eij(k),其中Eij : 交換單位矩陣E的第i，j行 , 得到的初等矩陣。Ei(k)：單位矩陣E的第i行 的元素乘以數(shù)k, 得到的初等矩陣 。Eij(k)：單位矩陣E的第j行 乘以數(shù)k加到第i行 , 得到的初等矩陣。對單位陣經(jīng)一次初等行變

5、換與經(jīng)一次列變換，得到的初等矩陣相同嗎？(列)(列)(第i列)(第j列)2、初等矩陣的概念13 1）初等矩陣都是可逆矩陣,并且初等矩陣的逆矩陣還是初 等矩陣,即:2） 初等矩陣的轉(zhuǎn)置還是初等矩陣，即：3）對A施行一次初等行變換的結(jié)果等于用一個相應(yīng)的初等 陣左乘矩陣A;對A施行一次初等列變換的結(jié)果等于用一 個相應(yīng)的初等陣右乘矩陣A.行變換：列變換：初等矩陣的性質(zhì)：14如：15A=P1P2Pk.【證】 充分性:設(shè)有初等陣P1，P2，,Pk, 使A=P1P2Pk.即 A= P1P2Pk, 【定理2】矩陣A可逆的充要條件是:存在有限個初等陣P1，P2，,Pk，使 因初等陣是可逆矩陣,且可逆陣的積還是可

6、逆陣，所以A可逆。 必要性使，因A可逆，所以F也可逆，由16【推論2】設(shè)A是可逆矩陣,則A可以只經(jīng)過初等行變換化成單位矩陣E.【推論1】兩個 型矩陣A、B等價的充要條件是:存在m階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q,使PAQ=B.這表明,只經(jīng)過初等行變換便可將A化成單位矩陣.注：矩陣A可逆的充要條件是A與單位矩陣E等價.【證推論2】因A可逆,所以A-1也可逆,由定理2存在初等陣P1,P2,Ps,使A-1= P1P2Ps于是有 A-1A=P1,P2,PsA=E17設(shè)A可逆，則存在有限個初等矩陣下面我們來證明前面留下的一個結(jié)論： 求逆矩陣18例1設(shè)求 A1.解：r22r1r33r119r1 2r3r2 5

7、r3r1 + r2r3 r220例2 設(shè)分析：2122列變換 求逆矩陣23注意：求方陣的逆矩陣24小結(jié)1.初等行(列)變換初等變換的逆變換仍為初等變換, 且變換類型相同3.矩陣等價具有的性質(zhì)2.初等變換254. 單位矩陣 初等矩陣.一次初等變換5. 利用初等變換求逆陣的步驟是:26作業(yè)273.2 、矩陣的秩1.矩陣秩的概念則 均是A的子陣.是A的兩個二階子式.【定義2.8】矩陣A中非零子式的最高階數(shù)叫作矩陣A的秩.記為R(A).如果A是零矩陣,規(guī)定R(A)=0. 將矩陣 的某些行或某些列劃去，余下的元素按原來的順序排列而成的矩陣稱為矩陣A的子(矩)陣.矩陣A可以看做自身的一個子（矩）陣 A的子

8、方陣的行列式為A的子式 .子式 例如注：1）R(A)=0的充要條件是A=O；若AO，則R(A) 0;2）若R(A)=r ，則A中至少有一個r階子式非零，而所有階數(shù)大于r的子式全為零.28由矩陣秩的定義不難得到：如矩陣:又如： 由于B中所有三階子式均為零,而二階子式 , 所以R(B)=2 .所有二、三階子式為零，A中又有非零元素，故R(A)=1；(4) 其中A1為A的任一子陣 【性質(zhì)】 設(shè)A是 型矩陣,則2. 矩陣秩的性質(zhì)29例1 求下列矩陣的秩解對于矩陣A,有00=0=0, 而所有的四階子式全為零.所以R(A)=3.對于B，顯然其三階子式, 而所有的四階子式全為零.所以R(B)=3.30印象1. 一般的矩陣按定義求其秩，計算量相當(dāng)大。2. 行階梯形矩陣按定義求其秩,非常方便,其秩為非零行的行數(shù).2）初等變換不改變矩陣的秩1) 且r由A唯一確定;【定理】若矩陣A與B等價,則R(A)=R(B)注問題:等價的兩矩陣其秩是否一定相等?31例2求矩陣A的秩，其中解由于A的行階梯矩陣的非零行數(shù)為3，故R(A)=3.3.用矩陣的初等變換求矩陣的秩一般方法：1）將A用初等變換化為行階梯矩陣；2）R(A)=A的行階梯矩陣的非