黃麗容-在探究過程中領悟數學思想

1、PAGE PAGE 7在探究過程中領悟數學思想轉化思想在多邊形外角和中的應用廣州市第四十七中學匯景實驗學校 黃麗容【摘要】本文通過轉化思想在多邊形外角和中的應用，從知識鋪墊、情境創(chuàng)設、提出問題、解決問題到應用知識，做到有目的地進行轉化思想的教學。讓學生在學習過程中由淺入深不斷體驗和領悟轉化思想，逐步提高學生用轉化思想方法去分析問題、解決問題的能力?！娟P鍵詞】探究 領悟 轉化思想 多邊形外角和 應用轉化也稱化歸，它是一種將未知的、陌生的、復雜的問題通過演繹歸納轉化為已知的、熟悉的、簡單的問題，從而使問題獲得順利解決的數學思想。常見的轉化方式有：生活實際問題與數學知識轉化、一般與特殊轉化、等價轉化

2、、復雜與簡單轉化、構造轉化、聯想轉化、類比轉化、數形轉化等。在探索多邊形外角和及其應用的教學中，轉化思想貫穿始終，引導學生把舊知識轉化為新知識、生活中的實際問題轉化為多邊形外角和問題、多邊形外角和問題轉化為多邊形內角和問題、多邊形問題轉化為代數問題、內角問題轉化為外角問題、靈活應用轉化思想解決問題，從而順利完成了探索多邊形外角和及其應用的教學目標 理解多邊形外角和公式及其靈活應用。一、必要的知識鋪墊是領悟數學思想的前奏奧蘇伯爾提出：在呈現具體內容之前，先激活認知結構中已具備的、密切相關的概念、定理等，使學生認識到它們與新知識之間的聯系；為將要學習的新知識轉化為舊知識提供了鋪墊作用。因此，我們在

3、進行教學設計時必須尊重學生現有的知識經驗和認知發(fā)展水平，并在此基礎上進行有效地教學。例如，在探索多邊形外角和及其應用中，我設計了兩道復習題。第一道復習多邊形外角的定義，它是多邊形外角和定義的前奏：下圖中，多邊形的外角是（ ），()1，()，()，()1和。第二道復習多邊形內角和公式和多邊形任一外角都與它相鄰的內角互為鄰補角（構成一個平角），它們是這節(jié)課應用轉化思想的重要依據：求下圖中的1，然后追問1和有何關系？312圖140217080圖二、用生活實例提高教學親和力，有利于數學思想的領悟教育心理學的知識告訴我們：學習內容和學生熟悉的生活背景越貼近，學生自覺接納知識的程度就越高。所以教學設計時，

4、要緊密聯系學生的生活實際，從學生的生活經驗和已有的知識出發(fā)，創(chuàng)設生動有趣的情景，引導學生主動探索，激發(fā)學生學習的興趣和學好數學的愿望。列夫.托爾斯泰曾經說過：“成功的教學所需要的不是強制，而是激發(fā)學生的興趣?！痹谝氕h(huán)節(jié)中，我充分運用生活實踐和多媒體輔助教學在課堂上呈現所學內容的生活情景，把生活帶進課堂，對所學知識的建構與生活實際充分聯系并提升之上產生，讓學生感受“數學來源于生活，應用于生活”，從而激發(fā)了學生高漲的學習熱情。大家看！一個同學正在公園里跑步鍛煉身體，從多邊形的一個頂點A點出發(fā)，沿多邊形的各邊走過各頂點，再回到點A，然后轉向出發(fā)時的方向。猜一猜：這個同學在行程中所轉的各個角的和是（

5、 ）度。 鼓勵學生大膽猜測，展開豐富的想象。三、在多邊形外角和公式的探索中領悟轉化思想北京一中的王坤老師認為：課堂上應該把問題拋給學生，由學生來證明，老師只負責完善與整理。教師應該多立足于學生的“學”與“取”，而少立足教師的“教”與“給”。學生經過自己身體力行的實踐，從自己親身經歷的探索思考過程中獲得體驗，從自己不斷深入的概括活動中，獲得對轉化思想方法的領悟，才能真正理解轉化思想方法。例如：如圖，在五邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做五邊形的外角和五邊形的外角和等于多少？我們首先讓學生自己默讀題目，然后問：“什么叫五邊形的外角和？” 學生回答后，引導學生對此定義提出疑問：“為什么五

6、邊形的外角和在每個頂點處只取一個外角，而不取它的兩個外角呢？” 讓學生認真觀察復習題圖，不難發(fā)現：每個頂點處的兩個外角互為對頂角，而對頂角相等，所以五邊形的外角和在每個頂點處各取一個外角。這樣就很自然地由多邊形外角的概念轉化到多邊形外角和的概念，解決了學生心中的疑惑。 在推導五邊形的外角和時，對于基礎較好的班級，可以先讓學生獨立自主探索，然后才合作交流、匯報展示、傾聽點評，發(fā)現五邊形的任一內角都與它相鄰的外角構成一個平角，再根據五邊形外角和與五個平角、五邊形內角和的關系得出五邊形的外角和為3600。在教學設計中，運用轉化思想方法產生解決問題策略的“關節(jié)點”上，對于基礎薄弱的班級，可以提出恰當的

7、、對學生轉化思維有適度啟發(fā)的問題，結合問題的解決，讓學生經歷轉化思想方法的形成過程，我們可以出示分析過程：（1）任何一個外角與它相鄰的內角有什么關系？（2）五邊形的五個外角加上與它們相鄰的內角所得總和是多少？（3）上述總和與五邊形的內角和、外角和有什么關系？（4）五邊形的外角和=_五邊形的內角和從而求得五邊形的外角和為3600。接著引發(fā)學生對新問題的思考，那么什么叫n邊形的外角和，n邊形的外角和又是多少呢？多邊形的內角和隨邊數的變化而變化，那么多邊形外角和是否也隨著邊數的變化而變化?這時學生類比五邊形外角和的推導過程，可以獨立推導出n邊形的外角和也為3600，多邊形的外角和與邊數無關。接著返回

8、引入環(huán)節(jié)，驗證剛剛猜想的答案，應用多邊形外角和公式解決實際問題。這種把五邊形外角和轉化為五邊形內角和、再由特殊到一般推導出n多邊形外角和公式的方法，實際上就是將未知的、陌生的、特殊的問題通過演繹歸納轉化為已知的、熟悉的、一般的問題，從而使問題順利解決。四、在多邊形外角和公式的應用中領悟轉化思想運用轉化思想能使問題快速解決，它是解決復雜問題的一種很有力的工具，在解題當中，我們應當熟悉和掌握這一工具，并能自覺地運用這一工具去分析、解決問題。有不少問題的解答，同學發(fā)生困難，并不是因為這些問題的解答太難以致學生無法解決，而是其思維形式或結果與具體問題的解決存在著差異，即學生的數學思維存在著障礙，要突破

9、思維障礙，就是要把問題進行轉化。（）把多邊形問題轉化為代數問題，用方程的思想來解。數學是研究客觀世界的數量關系和空間形式的科學，數和形是數學研究的兩個重要方面，在研究過程中,數形結合既是一個重要的數學思想，又是一種常用的數學方法。華羅庚先生曾指出：“數缺形時少直觀，形少數時難入微。數形結合百般好,隔裂分家萬事休?！狈匠淌浅踔袛祵W的重要內容，方程思想是數學中的一種重要思想方法。數學教材指出：“方程是反映現實世界數量關系的一個有效的數學模型?！狈匠趟枷氩粌H在代數中應用廣泛，而且在處理幾何中的某些問題時，常常也需要利用圖形的有關性質，建立方程來尋求答案。在有關多邊形的問題中，常常需要用多邊形外角和、

10、內角和公式搭橋建立方程。例如，一個正多邊形的內角和與外角和的比為13：2，求這個多邊形的邊數。這類問題可以借用方程思想來解。（）把內角問題轉化為外角問題。DCBAEF多邊形的內角和是隨著多邊形邊數的變化而變化的，但外角和卻是不變的，所以有時利用外角和的不變來應內角和的萬變，把內角問題轉化為外角問題來處理，解題更方便快捷。21例如，如圖，A+B+C+D+E+F= _ 。觀察圖形，可以看成三個三角形的內角和減去一個三角形的內角和，得到：31800180= 360；也可以看成這六個角的和正好是中間這個三角形的外角和，所以A+B+C+D+E+F = 3600；也可以經過 三次“8字圖形”轉化（如E+F

11、=1+2）為中間那個三角形的內角和的2倍。顯然方法二簡單。例如，多邊形的內角中，銳角的個數最多有（ ）。（A）1個， （ B）2個， （C）3個， （ D）4個分析：若從內角考慮，有一定的難度，不妨引導學生從外角入手，把它變式為：多邊形的外角中，鈍角的個數最多有（ ），這樣就簡單多了。解：由于多邊形的外角和等于360，而360 90= 4，所以多邊形的外角中最多有3個鈍角。又因為多邊形的任一內角都與它相鄰的外角互為鄰補角，所以多邊形的內角中，最多有3個銳角，應選C。其實它是將復雜的問題通過演繹歸納轉化為簡單的問題，從而使問題化難為易，這時學生有“山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村”的感覺。五、靈活

12、應用轉化思想解決問題圖1ABCDE轉化思想方法的特點是具有靈活性和多樣性。在應用轉化的思想方法去解決數學問題時，沒有一個統(tǒng)一的模式去進行。在實施轉化時，我們只要遵循熟悉化、簡單化、直觀化、標準化的原則，即把我們遇到的問題，通過轉化變成我們比較熟悉的問題來處理；或者將較為繁瑣、復雜的問題，變成比較簡單的問題，按照這些原則進行轉化，有如順水推舟。例如：圖1是五角星，求A+B+C+D+E告訴學生此題有很多種解法，鼓勵學生先獨立思考，想出盡量多的解法，然后在小組內交流，最后每組派代表匯報展示各種解法，在各種解法中尋找較簡單的解法，從而向孩子們滲透辯證唯物主義思想，靈活應用轉化思想解決問題。 圖2212

13、ABCDE解法1：觀察圖形，結合內外轉化，將所求的五個角的和轉化為五個“尖尖”三角形的內角和再減去中間那個五邊形的外角和的2倍，所以A+B+C+D+E = 5180 360 2 = 180。解法2：也可以利用三角形外角的性質，把這五個角的和的2倍轉化成中間那個五邊形的外角和，所以A+B+C+D+E =3602=180。解法3：觀察圖形2，可以利用三角形外角的性質將它局部轉化為一個“尖尖”三角形的內角和,A+B+C+D+E =A+(B+D)+（C +E）=A+1+2 = 18030圖3212ABCDE解法4：觀察圖形3，也可以利用三角形外角的性質將它整體轉化為一個平角，連接AO，因為1=CAO+

14、C，2=DAO+D，3=B+E，所以CAD+B+C+D+E=（CAO+C）+0212ABCDE圖4（DAO+D)+（B +E）=1+2+3 = 180解法5：當然也可以經過一次“8字圖形” 轉化為一個三角形的內角和，觀察圖形圖4，連接CD，因為COD=BOE，所以1+2=B+E，那么A+43圖5212ABCDEB+ACE+ADB+E =A+ACE+ADB+1+2=A +ACD+ADC= 180。圖6BCDEA解法6：可以經過兩次“8字圖形” 轉化為一個三角形的內角和，觀察圖形5，連接AB、AE，因為1+2=C+BEC, 3+4=EBD+D,所以CAD+EBD+C+D+BEC=1+(2+CAD +3)+4=1+BAE+4=180解法7：觀察圖6，也可以經過五次“8字圖形” 轉化為五邊形ABCDE的內角和除以3，所以A+B+C+D+E =（5-2）1803=180。 教師要有意識、有目