黃麗容-在探究過程中領悟數(shù)學思想

1、PAGE PAGE 7在探究過程中領悟數(shù)學思想轉(zhuǎn)化思想在多邊形外角和中的應用廣州市第四十七中學匯景實驗學校 黃麗容【摘要】本文通過轉(zhuǎn)化思想在多邊形外角和中的應用，從知識鋪墊、情境創(chuàng)設、提出問題、解決問題到應用知識，做到有目的地進行轉(zhuǎn)化思想的教學。讓學生在學習過程中由淺入深不斷體驗和領悟轉(zhuǎn)化思想，逐步提高學生用轉(zhuǎn)化思想方法去分析問題、解決問題的能力?！娟P(guān)鍵詞】探究 領悟 轉(zhuǎn)化思想 多邊形外角和 應用轉(zhuǎn)化也稱化歸，它是一種將未知的、陌生的、復雜的問題通過演繹歸納轉(zhuǎn)化為已知的、熟悉的、簡單的問題，從而使問題獲得順利解決的數(shù)學思想。常見的轉(zhuǎn)化方式有：生活實際問題與數(shù)學知識轉(zhuǎn)化、一般與特殊轉(zhuǎn)化、等價轉(zhuǎn)化

2、、復雜與簡單轉(zhuǎn)化、構(gòu)造轉(zhuǎn)化、聯(lián)想轉(zhuǎn)化、類比轉(zhuǎn)化、數(shù)形轉(zhuǎn)化等。在探索多邊形外角和及其應用的教學中，轉(zhuǎn)化思想貫穿始終，引導學生把舊知識轉(zhuǎn)化為新知識、生活中的實際問題轉(zhuǎn)化為多邊形外角和問題、多邊形外角和問題轉(zhuǎn)化為多邊形內(nèi)角和問題、多邊形問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題、內(nèi)角問題轉(zhuǎn)化為外角問題、靈活應用轉(zhuǎn)化思想解決問題，從而順利完成了探索多邊形外角和及其應用的教學目標 理解多邊形外角和公式及其靈活應用。一、必要的知識鋪墊是領悟數(shù)學思想的前奏奧蘇伯爾提出：在呈現(xiàn)具體內(nèi)容之前，先激活認知結(jié)構(gòu)中已具備的、密切相關(guān)的概念、定理等，使學生認識到它們與新知識之間的聯(lián)系；為將要學習的新知識轉(zhuǎn)化為舊知識提供了鋪墊作用。因此，我們在

3、進行教學設計時必須尊重學生現(xiàn)有的知識經(jīng)驗和認知發(fā)展水平，并在此基礎上進行有效地教學。例如，在探索多邊形外角和及其應用中，我設計了兩道復習題。第一道復習多邊形外角的定義，它是多邊形外角和定義的前奏：下圖中，多邊形的外角是（ ），()1，()，()，()1和。第二道復習多邊形內(nèi)角和公式和多邊形任一外角都與它相鄰的內(nèi)角互為鄰補角（構(gòu)成一個平角），它們是這節(jié)課應用轉(zhuǎn)化思想的重要依據(jù)：求下圖中的1，然后追問1和有何關(guān)系？312圖140217080圖二、用生活實例提高教學親和力，有利于數(shù)學思想的領悟教育心理學的知識告訴我們：學習內(nèi)容和學生熟悉的生活背景越貼近，學生自覺接納知識的程度就越高。所以教學設計時，

4、要緊密聯(lián)系學生的生活實際，從學生的生活經(jīng)驗和已有的知識出發(fā)，創(chuàng)設生動有趣的情景，引導學生主動探索，激發(fā)學生學習的興趣和學好數(shù)學的愿望。列夫.托爾斯泰曾經(jīng)說過：“成功的教學所需要的不是強制，而是激發(fā)學生的興趣?！痹谝氕h(huán)節(jié)中，我充分運用生活實踐和多媒體輔助教學在課堂上呈現(xiàn)所學內(nèi)容的生活情景，把生活帶進課堂，對所學知識的建構(gòu)與生活實際充分聯(lián)系并提升之上產(chǎn)生，讓學生感受“數(shù)學來源于生活，應用于生活”，從而激發(fā)了學生高漲的學習熱情。大家看！一個同學正在公園里跑步鍛煉身體，從多邊形的一個頂點A點出發(fā)，沿多邊形的各邊走過各頂點，再回到點A，然后轉(zhuǎn)向出發(fā)時的方向。猜一猜：這個同學在行程中所轉(zhuǎn)的各個角的和是（

5、 ）度。 鼓勵學生大膽猜測，展開豐富的想象。三、在多邊形外角和公式的探索中領悟轉(zhuǎn)化思想北京一中的王坤老師認為：課堂上應該把問題拋給學生，由學生來證明，老師只負責完善與整理。教師應該多立足于學生的“學”與“取”，而少立足教師的“教”與“給”。學生經(jīng)過自己身體力行的實踐，從自己親身經(jīng)歷的探索思考過程中獲得體驗，從自己不斷深入的概括活動中，獲得對轉(zhuǎn)化思想方法的領悟，才能真正理解轉(zhuǎn)化思想方法。例如：如圖，在五邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做五邊形的外角和五邊形的外角和等于多少？我們首先讓學生自己默讀題目，然后問：“什么叫五邊形的外角和？” 學生回答后，引導學生對此定義提出疑問：“為什么五

6、邊形的外角和在每個頂點處只取一個外角，而不取它的兩個外角呢？” 讓學生認真觀察復習題圖，不難發(fā)現(xiàn)：每個頂點處的兩個外角互為對頂角，而對頂角相等，所以五邊形的外角和在每個頂點處各取一個外角。這樣就很自然地由多邊形外角的概念轉(zhuǎn)化到多邊形外角和的概念，解決了學生心中的疑惑。 在推導五邊形的外角和時，對于基礎較好的班級，可以先讓學生獨立自主探索，然后才合作交流、匯報展示、傾聽點評，發(fā)現(xiàn)五邊形的任一內(nèi)角都與它相鄰的外角構(gòu)成一個平角，再根據(jù)五邊形外角和與五個平角、五邊形內(nèi)角和的關(guān)系得出五邊形的外角和為3600。在教學設計中，運用轉(zhuǎn)化思想方法產(chǎn)生解決問題策略的“關(guān)節(jié)點”上，對于基礎薄弱的班級，可以提出恰當?shù)?/p>

7、、對學生轉(zhuǎn)化思維有適度啟發(fā)的問題，結(jié)合問題的解決，讓學生經(jīng)歷轉(zhuǎn)化思想方法的形成過程，我們可以出示分析過程：（1）任何一個外角與它相鄰的內(nèi)角有什么關(guān)系？（2）五邊形的五個外角加上與它們相鄰的內(nèi)角所得總和是多少？（3）上述總和與五邊形的內(nèi)角和、外角和有什么關(guān)系？（4）五邊形的外角和=_五邊形的內(nèi)角和從而求得五邊形的外角和為3600。接著引發(fā)學生對新問題的思考，那么什么叫n邊形的外角和，n邊形的外角和又是多少呢？多邊形的內(nèi)角和隨邊數(shù)的變化而變化，那么多邊形外角和是否也隨著邊數(shù)的變化而變化?這時學生類比五邊形外角和的推導過程，可以獨立推導出n邊形的外角和也為3600，多邊形的外角和與邊數(shù)無關(guān)。接著返回

8、引入環(huán)節(jié)，驗證剛剛猜想的答案，應用多邊形外角和公式解決實際問題。這種把五邊形外角和轉(zhuǎn)化為五邊形內(nèi)角和、再由特殊到一般推導出n多邊形外角和公式的方法，實際上就是將未知的、陌生的、特殊的問題通過演繹歸納轉(zhuǎn)化為已知的、熟悉的、一般的問題，從而使問題順利解決。四、在多邊形外角和公式的應用中領悟轉(zhuǎn)化思想運用轉(zhuǎn)化思想能使問題快速解決，它是解決復雜問題的一種很有力的工具，在解題當中，我們應當熟悉和掌握這一工具，并能自覺地運用這一工具去分析、解決問題。有不少問題的解答，同學發(fā)生困難，并不是因為這些問題的解答太難以致學生無法解決，而是其思維形式或結(jié)果與具體問題的解決存在著差異，即學生的數(shù)學思維存在著障礙，要突破

9、思維障礙，就是要把問題進行轉(zhuǎn)化。（）把多邊形問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，用方程的思想來解。數(shù)學是研究客觀世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學，數(shù)和形是數(shù)學研究的兩個重要方面，在研究過程中,數(shù)形結(jié)合既是一個重要的數(shù)學思想，又是一種常用的數(shù)學方法。華羅庚先生曾指出：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好,隔裂分家萬事休?！狈匠淌浅踔袛?shù)學的重要內(nèi)容，方程思想是數(shù)學中的一種重要思想方法。數(shù)學教材指出：“方程是反映現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的一個有效的數(shù)學模型?！狈匠趟枷氩粌H在代數(shù)中應用廣泛，而且在處理幾何中的某些問題時，常常也需要利用圖形的有關(guān)性質(zhì)，建立方程來尋求答案。在有關(guān)多邊形的問題中，常常需要用多邊形外角和、

10、內(nèi)角和公式搭橋建立方程。例如，一個正多邊形的內(nèi)角和與外角和的比為13：2，求這個多邊形的邊數(shù)。這類問題可以借用方程思想來解。（）把內(nèi)角問題轉(zhuǎn)化為外角問題。DCBAEF多邊形的內(nèi)角和是隨著多邊形邊數(shù)的變化而變化的，但外角和卻是不變的，所以有時利用外角和的不變來應內(nèi)角和的萬變，把內(nèi)角問題轉(zhuǎn)化為外角問題來處理，解題更方便快捷。21例如，如圖，A+B+C+D+E+F= _ 。觀察圖形，可以看成三個三角形的內(nèi)角和減去一個三角形的內(nèi)角和，得到：31800180= 360；也可以看成這六個角的和正好是中間這個三角形的外角和，所以A+B+C+D+E+F = 3600；也可以經(jīng)過 三次“8字圖形”轉(zhuǎn)化（如E+F

11、=1+2）為中間那個三角形的內(nèi)角和的2倍。顯然方法二簡單。例如，多邊形的內(nèi)角中，銳角的個數(shù)最多有（ ）。（A）1個， （ B）2個， （C）3個， （ D）4個分析：若從內(nèi)角考慮，有一定的難度，不妨引導學生從外角入手，把它變式為：多邊形的外角中，鈍角的個數(shù)最多有（ ），這樣就簡單多了。解：由于多邊形的外角和等于360，而360 90= 4，所以多邊形的外角中最多有3個鈍角。又因為多邊形的任一內(nèi)角都與它相鄰的外角互為鄰補角，所以多邊形的內(nèi)角中，最多有3個銳角，應選C。其實它是將復雜的問題通過演繹歸納轉(zhuǎn)化為簡單的問題，從而使問題化難為易，這時學生有“山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村”的感覺。五、靈活

12、應用轉(zhuǎn)化思想解決問題圖1ABCDE轉(zhuǎn)化思想方法的特點是具有靈活性和多樣性。在應用轉(zhuǎn)化的思想方法去解決數(shù)學問題時，沒有一個統(tǒng)一的模式去進行。在實施轉(zhuǎn)化時，我們只要遵循熟悉化、簡單化、直觀化、標準化的原則，即把我們遇到的問題，通過轉(zhuǎn)化變成我們比較熟悉的問題來處理；或者將較為繁瑣、復雜的問題，變成比較簡單的問題，按照這些原則進行轉(zhuǎn)化，有如順水推舟。例如：圖1是五角星，求A+B+C+D+E告訴學生此題有很多種解法，鼓勵學生先獨立思考，想出盡量多的解法，然后在小組內(nèi)交流，最后每組派代表匯報展示各種解法，在各種解法中尋找較簡單的解法，從而向孩子們滲透辯證唯物主義思想，靈活應用轉(zhuǎn)化思想解決問題。 圖2212

13、ABCDE解法1：觀察圖形，結(jié)合內(nèi)外轉(zhuǎn)化，將所求的五個角的和轉(zhuǎn)化為五個“尖尖”三角形的內(nèi)角和再減去中間那個五邊形的外角和的2倍，所以A+B+C+D+E = 5180 360 2 = 180。解法2：也可以利用三角形外角的性質(zhì)，把這五個角的和的2倍轉(zhuǎn)化成中間那個五邊形的外角和，所以A+B+C+D+E =3602=180。解法3：觀察圖形2，可以利用三角形外角的性質(zhì)將它局部轉(zhuǎn)化為一個“尖尖”三角形的內(nèi)角和,A+B+C+D+E =A+(B+D)+（C +E）=A+1+2 = 18030圖3212ABCDE解法4：觀察圖形3，也可以利用三角形外角的性質(zhì)將它整體轉(zhuǎn)化為一個平角，連接AO，因為1=CAO+

14、C，2=DAO+D，3=B+E，所以CAD+B+C+D+E=（CAO+C）+0212ABCDE圖4（DAO+D)+（B +E）=1+2+3 = 180解法5：當然也可以經(jīng)過一次“8字圖形” 轉(zhuǎn)化為一個三角形的內(nèi)角和，觀察圖形圖4，連接CD，因為COD=BOE，所以1+2=B+E，那么A+43圖5212ABCDEB+ACE+ADB+E =A+ACE+ADB+1+2=A +ACD+ADC= 180。圖6BCDEA解法6：可以經(jīng)過兩次“8字圖形” 轉(zhuǎn)化為一個三角形的內(nèi)角和，觀察圖形5，連接AB、AE，因為1+2=C+BEC, 3+4=EBD+D,所以CAD+EBD+C+D+BEC=1+(2+CAD +3)+4=1+BAE+4=180解法7：觀察圖6，也可以經(jīng)過五次“8字圖形” 轉(zhuǎn)化為五邊形ABCDE的內(nèi)角和除以3，所以A+B+C+D+E =（5-2）1803=180。 教師要有意識、有目