2022年三角函數(shù)公式典型例題大全2

1、高中三角函數(shù)公式大全以及典型例題 20XX 年 07 月 12 日 星期日 19:27 三角函數(shù)公式 兩角和公式 sinA+B = sinAcosB+cosAsinBsinA-B = sinAcosB-cosAsinBcosA+B = cosAcosB-sinAsinB cosA-B = cosAcosB+sinAsinB tanA+B = tanA tanB 1- tanAtanB tanA tanB tanA-B = 1 tanAtanB cotA+B = cotAcotB -1 cotB cotA cotA-B = cotAcotB 1cotB cotA 倍角公式 tan2A = 2ta

2、nA 21 tan A Sin2A=2SinA.CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4sinA 3cos3A = 4cosA3 -3cosA 3-a tan3a = tanatan +a tan 3半角公式 sin A = 21 cos A cos A = 21 cos A sin ab222tan A = 21cos A cot A = 21cos A 1cosA 1cosA tan A = 1 2cos A = sin A 1sin A sina-sinb=2cos a2bcos A 和差化積

3、 sina+sinb=2sin ab2cos ab2cosa+cosb = 2cos a2b cos ab 2cosa-cosb = -2sin a2bsin ab2sin a b tana+tanb= cosa cosb 第 1 頁,共 7 頁積化和差 sinasinb = - cosa+b-cosa-b 12sinacosb = 1 sina+b+sina-b 2誘導公式 cosacosb = 1 cosa+b+cosa-b 2cosasinb = 1 sina+b-sina-b 2sin-a = -sina cos-a = cosa cos -a = sina 2sin 2-a = co

4、sa sin 2+a = cosa cos 2+a = -sina sin -a = sinacos -a = -cosacos +a-=cosasin +a-s=inatgA=tanA = sin a cos a 萬能公式 sina= a 2tan 2tan a 222tan a2a 2 tan 2 1 cosa= a 2 tan 2tan a 2211tana= 1其它公式 2 a.sina+b.cosa=a a.sina-b.cosa = 2 bb sina+c 其中 tanc= a2 2 aa b cosa-c 其中 tanc= b 1+sina =sin +cos a a2 22 1

5、-sina = sin -cos a a2 22 其他非重點三角函數(shù) 1 csca = sin a 1 seca = cosa 公式一： 設(shè) 為任意角,終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等： sin（2k）= sin cos（2k）= cos tan（2k）= tan cot（2k）= cot 設(shè) 為任意角, +的三角函數(shù)值 的三角函數(shù)值之間的關(guān)與 sin（）= -sin cos（）= -cos 系： tan（）= tan cot（ ） = cot 公式三： 任意角 與 - 的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： 第 2 頁,共 7 頁sin（-） = -sin cos（-） = cos tan（-） = -

6、tan cot（ -）= -cot 公 式四： 利用公式二和公式三可以得到 -與 的三角函數(shù)值之間的關(guān) sin（-）= sin cos（ -） = -cos tan（-）= -tan cot（-） = -cot 公 式五： 利用公式 -和公式三可以得到 2-與 的三角函數(shù)值之間的關(guān) sin（2-）= -sin cos（2-） = cos 系： tan（2-）= -tan cot（2-） = -cot 公 式六： 23與 的三角函數(shù)值之間的關(guān)+）= -tan -）= tan 2及 系： sin（ 2+）= cos cos（ 2+）= -sin tan（ 2+）= -cot cot（ 2sin（

7、-）= cos cos（ 22-）= sin t（an-） = cot cot（223 sin（ 2cot（ 32+）= -cos cos（ 32+）= -tan sin（ 32+）= sin tan（ 32-）= -cos cos（ 32+）= -cot -）= -sin tan（ 3 2-） = cot cot（3-） = tan 2以上 kZ 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圓半徑 余弦定理 b2=a 2 +c 2-2accosB 注：角 B 是邊 a 和邊 c 的夾角 正切定理 : a+b/a-b=Tana+b/2/Tana-b

8、/2 三角函數(shù) 積化和差 和差化積公式 記不住就自己推,用兩角和差的正余弦： 3.三角形中的一些結(jié)論： 不要求記憶 1tanA+tanB+tanC=tanA tanBtanC2sinA+sinB+sinC=4cosA/2cosB/2cosC/2 3cosA+cosB+cosC=4sinA/2sinB/2 sinC/2+1第 3 頁,共 7 頁4sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinB sinC 5cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1 . 已知 sin=m sin+2, |m求|證1, tan +=1+m-/m1tan 解:sin =m sin +2

9、 sina+ - =msina+ + osa+sin=msina+cos +mcosa+sin sina+cos-c sina+cos - m=1cosa+sinm+1 tan +=1+m-/m1tan 三角函數(shù)典型例題 1 設(shè)銳角 ABC 的內(nèi)角 A,B,C 的對邊分別為 a,b,c , a 2b sin A. 1, 求 B 的大小 ; 求 cos A sin C 的取值范疇 . 【解析】 : 由 a2bsin A,依據(jù)正弦定理得 sin A 2sin Bsin A,所以 sin B 2由 ABC 為銳角三角形得 B . 6 cos A sin C cos A sin A cos A sin

10、 6A cos A 1cos A 3sin A 223 sin A 3. 2 在 ABC 中 ,角 A B C 的對邊分別a, b,c,且中意 2a-ccosB=bcos C 為 求角 ur 設(shè) mB 的大小 ; r sin A,cos2A ,n 4k,1 k 1ur r ,且 m n 的最大值是 5,求 k 的值 . 【解析】 :I 2a-ccosB=bcosC, 2sinA-sinCcosB=sinBcos C 即 2sinAcosB=sin BcosC+sinCcosB 第 4 頁,共 7 頁=sin B+C A+B+C=, 2sinAcosB=sinA 0A,sinA0. cosB=

11、1. 2 0B1, t=1 時 , m n 取最大值 . 依題意得 ,-2+4 k+1=5, k= 3 2. C sin 22. b 時取 A B 3 在 ABC 中 ,角 A, B, C 所對的邊分別 a,b,c , sin 為 2I.試判定 ABC 的形狀 ; II. 如 ABC 的周長為 16,求面積的最大值 . 【解析】 :I. sin C sin C cos C sin C 2 sin C2 2 2 2 24C42即 C2,所以此三角形為直角三角形 . 2II. 16 aba2b22 ab 2ab , ab 642 2 2 當且僅當 a等號 , 此時面積的最大值為 32 6 4 2

12、. 4 在 ABC 中 ,a, b,c 分別是A B C 的對邊 ,C=2A, cos A 3, 4角 1求 cos C, cos B 的值 ; 2如 BA BC 27 ,求邊 AC 的長 . 29 16 1137319【解析】 :1 cosC cos2A 2 2 cos A 128由 cosC 1 , 得 sin C 8 37 ;由 cos A 83 , 得 sin A 4 74cos B cos A Csin A sin C cos A cosC 7484816 第 5 頁,共 7 頁2 BA BC 27 , accosB 227 , ac 224 0 的兩個根 . 又 asin A c

13、, C sin C 2 A, c 2a cos A 3 a 2 由解得 a=4,c=6 b2a22 c 2accosB 16 36 48 925 16 b5 ,即 AC 邊的長為 5. 5 已知在 ABC 中 , A B ,且 tan A與 tan B 是方2 x 5 x 6程 3, tan B 2 . 求 tan A B 的值 ; 如 AB 5 ,求 BC 的長 . 【解析】 : 由所給條件 ,方程 2 x 5 x 6 0 的兩根 tan A tanA B tan A tan B 2311tan Atan B 1 2 3 A B C180 , C 180 A B . 由 知 , tan C

14、tan A B 1 , C 為三角形的內(nèi)角 , sin C 2 2 tan A 3 , A 為三角形的內(nèi)角 , sin A 3, 10 由正弦定理得 : AB sin C BC sin A BC 533 5 . 210 26 在 ABC 中 , 已 知 內(nèi) 角 A B C所 對 的 邊 分 別 為 a, , b c, 向 量 r m 1 ,且 m / /n . r r2sin B, 3r , n 2 cos 2B,2cos B 2I 求銳角 B 的大小 ; II 假如 b 2 ,求 ABC 的面積 S ABC 的最大值 . 【解析】 :1 m / / n r r 2sinB2cos 2 -1=

15、- B 2 3cos2B 2sinBcosB=- 3cos2B tan2B=- 3第 6 頁,共 7 頁 02B, 2B= 2 6- 2 時等號成 立 3 ,銳角 B= 32由 tan2B=- 3B= 5 3 或 6 當 B= 時 ,已知 b=2, 由余弦定理 3,得 : 4=a2+c2-ac 2a-cac=ac 當且僅當 a=c=2 時等號成立 ABC 的面積 SABC = 12acsinB= 3 4 ac 3 ABC 的面積最大值為 35 當 B= 6 時 ,已知 b=2, 由余弦定理 ,得 : 4=a 2+c2+ 3ac2ac+ 3ac=2 + 3ac當且僅當 a=c = ac42- 31 ABC 的面積 S ABC= 2 1 ac 2- acsinB= 4 3 ABC 的面積最大值為 2- 37 在 ABC 中 ,角 A B C 所對的邊分別是 a,b,c,且 a22 c b21ac. 22 1求 sin A Ccos 2