2023高考科學(xué)復(fù)習(xí)解決方案-數(shù)學(xué)(名校內(nèi)參版) 第七章 7.3平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用（word含答案解析）

1、7.3平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用(教師獨(dú)具內(nèi)容)1通過物理中“功”等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義，會(huì)計(jì)算平面向量的數(shù)量積通過幾何直觀，了解平面向量投影的概念以及向量投影的意義，體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積，能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，能用坐標(biāo)表示平面向量垂直的條件，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題2平面向量有“數(shù)”與“形”雙重身份，它溝通了代數(shù)與幾何的關(guān)系，所以平面向量的應(yīng)用非常廣泛，主要體現(xiàn)在平面向量與平面幾何、函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、解析幾何等方面，解

2、決此類問題的關(guān)鍵是將其轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積、模、夾角等問題，進(jìn)而利用向量方法求解3重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)(教師獨(dú)具內(nèi)容)1本考點(diǎn)是歷年高考命題?？嫉膬?nèi)容，屬于中檔題目，主要是選擇題或填空題，命題的重點(diǎn)是平面向量的夾角和模的求解問題以及平面向量的垂直問題2考查方向有四個(gè)方面：一是考查平面向量數(shù)量積的含義：根據(jù)平面向量的模與夾角求平面向量的數(shù)量積或結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算進(jìn)行考查；二是考查平面向量的夾角：根據(jù)向量的數(shù)量積求兩向量的夾角；三是考查平面向量的模：利用向量數(shù)量積的公式求向量數(shù)量積的值或由模的值求參數(shù)等；四是考查平面向量垂直的坐標(biāo)表示：利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示求參數(shù)(教師獨(dú)

3、具內(nèi)容)(教師獨(dú)具內(nèi)容)1向量的夾角(1)已知兩個(gè)非零向量a，b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，則eq o(,sup3(01)AOB(0)叫做向量a與b的夾角(2)當(dāng)0時(shí)，a與b同向；當(dāng)eq f(,2)時(shí)，a與b垂直，記作ab；當(dāng)時(shí)，a與b反向2平面向量的數(shù)量積定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為，我們把數(shù)量eq o(,sup3(01)|a|b|cos叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab，即ab|a|b|cos.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.3平面向量數(shù)量積的幾何意義設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，eq o(AB,sup6()

4、a，eq o(CD,sup6()b，它們的夾角是，e是與b方向相同的單位向量，過eq o(AB,sup6()的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作eq o(CD,sup6()所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到eq o(A1B1,sup6()，我們稱上述變換為向量a向向量beq o(,sup3(01)投影，eq o(A1B1,sup6()叫做向量a在向量b上的eq o(,sup3(02)投影向量記為|a|cos e.4向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)abba.(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc.注：向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足乘法結(jié)合律，即(ab)c不一定等于a(bc)，這是由于(ab)c表示一

5、個(gè)與c共線的向量，a(bc)表示一個(gè)與a共線的向量，而c與a不一定共線5平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論(1)已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a與b的夾角為.結(jié)論符號(hào)表示坐標(biāo)表示模|a|eq r(aa)|a|eq r(xoal(2,1)yoal(2,1)夾角coseq f(ab,|a|b|)coseq f(x1x2y1y2,r(xoal(2,1)yoal(2,1) r(xoal(2,2)yoal(2,2)ab的充要條件ab0eq o(,sup3(01)x1x2y1y20|ab|與|a|b|的關(guān)系|ab|a|b|eq o(,sup3(02)|x1x2y1y2| eq r(xoal(2,1

6、)yoal(2,1)xoal(2,2)yoal(2,2)(2)兩個(gè)向量a，b的夾角為銳角ab0且a，b不共線；兩個(gè)向量a，b的夾角為鈍角ab0且a，b不共線平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式(ab)(ab)a2b2；(ab)2a22abb2；(ab)2a22abb2.1思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果是向量()(2)兩個(gè)向量的夾角的范圍是eq blcrc(avs4alco1(0，f(,2).()(3)由ab0可得a0或b0.()(4)(ab)ca(bc)()答案(1)(2)(3)(4)2已知|a|2，|b|6，ab6eq r(3)，則a與b

7、的夾角等于()A.eq f(,6)Beq f(5,6)C.eq f(,3)Deq f(2,3)答案B解析coseq f(ab,|a|b|)eq f(6r(3),26)eq f(r(3),2)，又因?yàn)?，所以eq f(5,6).故選B.3(2021遼寧沈陽郊聯(lián)體第三次模擬)已知向量a，b，ab，|a|1，若|a2b|5，則|b|()A.eq r(6)B2C3D2eq r(2)答案A解析因?yàn)閍b，所以ab0.又|a2b|5，所以|a|24|b|225，所以|b|eq r(6).4設(shè)a，b是非零向量，“ab|a|b|”是“ab”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答

8、案A解析設(shè)a與b的夾角為.因?yàn)閍b|a|b|cos|a|b|，所以cos1，即a與b的夾角為0，所以ab.當(dāng)ab時(shí)，a與b的夾角為0或180，所以ab|a|b|cos|a|b|.所以“ab|a|b|”是“ab”的充分不必要條件故選A.5在RtABC中，ABC60，BAC90，則向量eq o(BA,sup6()在向量eq o(BC,sup6()上的投影向量為()A.eq f(1,4)eq o(BC,sup6()Beq f(r(3),4)eq o(BC,sup6()Ceq f(1,4)eq o(BC,sup6()Deq f(r(3),4)eq o(BC,sup6()答案A解析取點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，根

9、據(jù)題意作圖，BAC90，ABC60，eq o(BA,sup6()在eq o(BC,sup6()上的投影向量為eq f(1,2)eq o(BO,sup6()eq f(1,4)eq o(BC,sup6().故選A.1(多選)(2021新高考卷)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P1(cos，sin)，P2(cos，sin)，P3(cos()，sin()，A(1,0)，則()A|eq o(OP1,sup6()|eq o(OP2,sup6()|B|eq o(AP1,sup6()|eq o(AP2,sup6()|C.eq o(OA,sup6()eq o(OP3,sup6()eq o(OP1,sup6()eq o(OP

10、2,sup6()D.eq o(OA,sup6()eq o(OP1,sup6()eq o(OP2,sup6()eq o(OP3,sup6()答案AC解析對(duì)于A，因?yàn)閨eq o(OP1,sup6()|eq r(cos2sin2)1，|eq o(OP2,sup6()| eq r(cos2sin2)1，所以A正確；對(duì)于B，因?yàn)閨eq o(AP1,sup6()|eq r(cos12sin2)eq r(22cos)，|eq o(AP2,sup6()|eq r(cos12sin2)eq r(22cos)，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)閑q o(OA,sup6()eq o(OP3,sup6()(1,0)(cos()

11、，sin()cos()，eq o(OP1,sup6()eq o(OP2,sup6()coscossinsincos()，所以eq o(OA,sup6()eq o(OP3,sup6()eq o(OP1,sup6()eq o(OP2,sup6()，所以C正確；對(duì)于D，因?yàn)閑q o(OA,sup6()eq o(OP1,sup6()(1,0)(cos，sin)cos，eq o(OP2,sup6()eq o(OP3,sup6()(cos，sin)(cos()，sin()coscos()sinsin()cos(2)，所以D錯(cuò)誤故選AC.2(2021新高考卷)已知向量abc0，|a|1，|b|c|2，abb

12、cca_.答案eq f(9,2)解析由已知可得(abc)2a2b2c22(abbcca)92(abbcca)0，因此abbccaeq f(9,2).3(2021全國甲卷)若向量a，b滿足|a|3，|ab|5，ab1，則|b|_.答案3eq r(2)解析由|ab|5得(ab)225，即a22abb225，結(jié)合|a|3，ab1，得3221|b|225，所以|b|3eq r(2).4(2021全國甲卷)已知向量a(3,1)，b(1,0)，cakb.若ac，則eq avs4al(k)_.答案eq f(10,3)解析cakb(3,1)k(1,0)(k3,1)，由ac，得ac0，所以3(k3)10，解得k

13、eq f(10,3).5(2021全國乙卷)已知向量a(1,3)，b(3,4)，若(ab)b，則_.答案eq f(3,5)解析解法一：由題設(shè)知ab(13，34)由(ab)b，得(ab)b3(13)4(34)15250，解得eq f(3,5).解法二：因?yàn)閍(1,3)，b(3,4)，所以ab133415.由(ab)b，得(ab)babb215(3242)15250，解得eq f(3,5).6(2020全國卷)設(shè)a，b為單位向量，且|ab|1，則|ab|_.答案eq r(3)解析因?yàn)閍，b為單位向量，所以|a|b|1，所以|ab|eq r(ab2)eq r(|a|22ab|b|2)eq r(22a

14、b)1，所以2ab1，所以|ab|eq r(ab2)eq r(|a|22ab|b|2)eq r(3).7(2020全國卷)已知單位向量a，b的夾角為45，kab與a垂直，則k_.答案eq f(r(2),2)解析由題意可得ab11cos45eq f(r(2),2)，kab與a垂直，(kab)a0，ka2abkeq f(r(2),2)0，解得keq f(r(2),2).一、基礎(chǔ)知識(shí)鞏固考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算例1已知ABC是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長到點(diǎn)F，使得DE2EF，則eq o(BC,sup6()eq o(AF,sup6()的值為()Aeq f(5

15、,8)Beq f(1,8)Ceq f(1,4)Deq f(11,8)答案B解析如圖，由條件可知eq o(BC,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()，eq o(AF,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(DF,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(3,2)eq o(DE,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(3,4)eq o(AC,sup6()，所以eq o(BC,sup6()eq o(AF,sup6()(eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq blc(rc)(avs4a

16、lco1(f(1,2)o(AB,sup6()f(3,4)o(AC,sup6()eq f(3,4)eq o(AC,sup6()2eq f(1,4)eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()2.因?yàn)锳BC是邊長為1的等邊三角形，所以|eq o(AC,sup6()|eq o(AB,sup6()|1，BAC60，所以eq o(BC,sup6()eq o(AF,sup6()eq f(3,4)eq f(1,8)eq f(1,2)eq f(1,8).例2在梯形ABCD中，ABCD，CD2，BADeq f(,4)，若eq o(AB,sup6()eq

17、o(AC,sup6()2eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()，則eq o(AD,sup6()eq o(AC,sup6()_.答案12解析解法一(定義法)：因?yàn)閑q o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()2eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()，所以eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()，所以eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6().因?yàn)锳BCD，

18、CD2，BADeq f(,4)，所以2|eq o(AB,sup6()|eq o(AB,sup6()|eq o(AD,sup6()|coseq f(,4)，化簡(jiǎn)得|eq o(AD,sup6()|2eq r(2).故eq o(AD,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(AD,sup6()(eq o(AD,sup6()eq o(DC,sup6()|eq o(AD,sup6()|2eq o(AD,sup6()eq o(DC,sup6()(2eq r(2)22eq r(2)2coseq f(,4)12.解法二(坐標(biāo)法)：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xAy.依題意，可設(shè)點(diǎn)D(m，m)，C(m2，m

19、)，B(n,0)，其中m0，n0，則由eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()2eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()，得(n,0)(m2，m)2(n,0)(m，m)，所以n(m2)2nm，化簡(jiǎn)得m2.故eq o(AD,sup6()eq o(AC,sup6()(m，m)(m2，m)2m22m12.1.已知向量eq o(BA,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(r(3),2)，eq o(BC,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，f(1,2)，則ABC等于()A30B45C60D120答案A

20、解析|eq o(BA,sup6()|1，|eq o(BC,sup6()|1，cosABCeq f(o(BA,sup6()o(BC,sup6(),|o(BA,sup6()|o(BC,sup6()|)eq f(r(3),2)，又0ABC180，ABC30.故選A.2在四邊形ABCD中，ADBC，AB2eq r(3)，AD5，A30，點(diǎn)E在線段CB的延長線上，且AEBE，則eq o(BD,sup6()eq o(AE,sup6()_.答案1解析解法一：在等腰三角形ABE中，易得BAEABE30，故BE2，則eq o(BD,sup6()eq o(AE,sup6()(eq o(AD,sup6()eq o(

21、AB,sup6()(eq o(AB,sup6()eq o(BE,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(BE,sup6()eq o(AB,sup6()2eq o(AB,sup6()eq o(BE,sup6()52eq r(3)cos3052cos180122eq r(3)2co解法二：在ABD中，由余弦定理可得BDeq r(AD2AB22ADABcosBAD)eq r(7)，所以cosABDeq f(AB2BD2AD2,2ABBD)eq f(r(21),14)，則sinABDeq f(5r(7),14)

22、.設(shè)eq o(BD,sup6()與eq o(AE,sup6()的夾角為，則coscos(180ABD30)cos(ABD30)cosABDcos30sinABDsin30eq f(r(7),14)，在ABE中，易得AEBE2，故eq o(BD,sup6()eq o(AE,sup6()eq r(7)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(7),14)1.3在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60.點(diǎn)E和F分別在線段BC和DC上，且eq o(BE,sup6()eq f(2,3)eq o(BC,sup6()，eq o(DF,sup6()eq f(1,6)eq o(D

23、C,sup6()，則eq o(AE,sup6()eq o(AF,sup6()的值為_答案eq f(29,18)解析在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB2，BC1，ABC60，CD1，eq o(AE,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BE,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(BC,sup6()，eq o(AF,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(DF,sup6()eq o(AD,sup6()eq f(1,6)eq o(DC,sup6()，eq o(AE,sup6()eq o(AF,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(

24、o(AB,sup6()f(2,3)o(BC,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(o(AD,sup6()f(1,6)o(DC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,6)eq o(DC,sup6()eq f(2,3)eq o(BC,sup6()eq o(AD,sup6()eq f(2,3)eq o(BC,sup6()eq f(1,6)eq o(DC,sup6()21cos602eq f(1,6)eq f(2,3)12cos60eq f(2,3)eq f(1,6)12cos120eq f(29,18).解決涉及

25、幾何圖形的向量的數(shù)量積運(yùn)算常用兩種方法：一是定義法，二是坐標(biāo)法定義法可先利用向量的加、減運(yùn)算或數(shù)量積的運(yùn)算律化簡(jiǎn)后再運(yùn)算，但一定要注意向量的夾角與已知平面幾何圖形中的角的關(guān)系是相等還是互補(bǔ)；坐標(biāo)法要建立合適的坐標(biāo)系(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)，可利用定義法求解，即ab|a|b|cosa，b(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y2.(3)利用數(shù)量積的幾何意義求解考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的應(yīng)用例3已知非零向量a，b滿足ab0，|a|3，且a與ab的夾角為eq f(,4)，則|b|()A6B3eq r(2)C2eq r(2)D3答案D解析a

26、b0，|a|3，a(ab)a2ab|a|ab|coseq f(,4)，|ab|3eq r(2)，將|ab|3eq r(2)兩邊平方可得，a22abb218，解得|b|3.故選D.例4已知向量a，b為單位向量，且abeq f(1,2)，向量c與ab共線，則|ac|的最小值為()A1Beq f(1,2)Ceq f(3,4)Deq f(r(3),2)答案D解析向量c與ab共線，可設(shè)ct(ab)(tR)，ac(t1)atb，(ac)2(t1)2a22t(t1)abt2b2，向量a，b為單位向量，且abeq f(1,2)，(ac)2(t1)2t(t1)t2t2t1eq f(3,4)，|ac|eq f(r

27、(3),2)，|ac|的最小值為eq f(r(3),2).故選D.例5已知單位向量e1與e2的夾角為，且coseq f(1,3)，向量a3e12e2與b3e1e2的夾角為，則cos_.答案eq f(2r(2),3)解析因?yàn)閍2(3e12e2)2923212cos49，所以|a|3，因?yàn)閎2(3e1e2)2923112cos18，所以|b|2eq r(2)，又ab(3e12e2)(3e1e2)9eeq oal(2,1)9e1e22eeq oal(2,2)9911eq f(1,3)28，所以coseq f(ab,|a|b|)eq f(8,32r(2)eq f(2r(2),3).例6若向量a(k,3

28、)，b(1,4)，c(2,1)，已知2a3b與c的夾角為鈍角，則k的取值范圍是_答案eq blc(rc)(avs4alco1(，f(9,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(9,2)，3)解析2a3b與c的夾角為鈍角，(2a3b)c0，即(2k3，6)(2,1)0，4k660，k3.又若(2a3b)c，則2k312，即keq f(9,2).當(dāng)keq f(9,2)時(shí)，2a3b(12，6)6c，即2a3b與c反向綜上，k的取值范圍為eq blc(rc)(avs4alco1(，f(9,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(9,2)，3).例7已知向量eq o(AB,sup6(

29、)與eq o(AC,sup6()的夾角為120，且|eq o(AB,sup6()|3，|eq o(AC,sup6()|2.若eq o(AP,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，且eq o(AP,sup6()eq o(BC,sup6()，則實(shí)數(shù)的值為_答案eq f(7,12)解析因?yàn)閑q o(AP,sup6()eq o(BC,sup6()，所以eq o(AP,sup6()eq o(BC,sup6()0.又eq o(AP,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，eq o(BC,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(AB,s

30、up6()，所以(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()(eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()0，即(1)eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AB,sup6()2eq o(AC,sup6()20，所以(1)|eq o(AC,sup6()|eq o(AB,sup6()|cos120940，即(1)32eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)940，解得eq f(7,12).4.(2021山東省德州市高三上期末)已知向量a，b滿足|a|1，|b|2，(ab)(a3b)13，則a與b的夾角為()A.eq f(,6)Be

31、q f(,3)C.eq f(2,3)Deq f(5,6)答案C解析由(ab)(a3b)a22ab3b213，即2ab1113，得ab1，則coseq f(ab,|a|b|)eq f(1,2).0，eq f(2,3)，即a與b的夾角為eq f(2,3).5(2022昆明調(diào)研)已知向量a(1,2)，b(1,3)，則|2ab|()A.eq r(2)B2Ceq r(10)D10答案C解析解法一：因?yàn)閍(1,2)，所以2a(2，4)，因?yàn)閎(1,3)，所以2ab(3,1)，所以|2ab|eq r(10).故選C.解法二：|2ab| eq r(2ab2) eq r(4a24abb2)，|a|eq r(12

32、22)eq r(5)，|b|eq r(1232)eq r(10)，ab11235，|2ab|eq r(454510)eq r(10).故選C.6已知平面向量a，b的夾角為eq f(,6)，且|a|eq r(3)，|b|2，在ABC中，eq o(AB,sup6()2a2b，eq o(AC,sup6()2a6b，D為BC的中點(diǎn)，則|eq o(AD,sup6()|等于()A2B4C6D8答案A解析因?yàn)閑q o(AD,sup6()eq f(1,2)(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq f(1,2)(2a2b2a6b)2a2b，所以|eq o(AD,sup6()|24(ab)2

33、4(a22abb2)4eq blc(rc)(avs4alco1(32r(3)2cosf(,6)4)4，則|eq o(AD,sup6()|2.故選A.7已知向量|eq o(OA,sup6()|3，|eq o(OB,sup6()|2，eq o(OC,sup6()meq o(OA,sup6()neq o(OB,sup6()，若eq o(OA,sup6()與eq o(OB,sup6()的夾角為60，且eq o(OC,sup6()eq o(AB,sup6()，則實(shí)數(shù)eq f(m,n)的值為()A.eq f(1,6)Beq f(1,4)C6D4答案A解析因?yàn)橄蛄縷eq o(OA,sup6()|3，|eq

34、o(OB,sup6()|2，eq o(OC,sup6()meq o(OA,sup6()neq o(OB,sup6()，eq o(OA,sup6()與eq o(OB,sup6()的夾角為60，所以eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()32cos603，所以eq o(AB,sup6()eq o(OC,sup6()(eq o(OB,sup6()eq o(OA,sup6()(meq o(OA,sup6()neq o(OB,sup6()(mn)eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()m|eq o(OA,sup6()|2n|eq o(OB,sup6()|23(mn)9m4

35、n6mn0，所以eq f(m,n)eq f(1,6).故選A.8已知在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則|eq o(PA,sup6()3eq o(PB,sup6()|的最小值為_答案5解析建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則A(2,0)，設(shè)P(0，y)，C(0，b)，則B(1，b)，則eq o(PA,sup6()3eq o(PB,sup6()(2，y)3(1，by)(5,3b4y)所以|eq o(PA,sup6()3eq o(PB,sup6()|eq r(253b4y2)(0yb)當(dāng)yeq f(3,4)b時(shí)，|eq o(PA,sup6()3eq o(PB

36、,sup6()|min5. 平面向量數(shù)量積求解問題的策略(1)求兩向量的夾角：coseq f(ab,|a|b|)，要注意0，(2)兩向量垂直的應(yīng)用：兩非零向量垂直的充要條件是abab0 x1x2y1y20|ab|ab|.(3)求向量的模：利用數(shù)量積求解長度問題的處理方法a2aa|a|2或|a|eq r(aa)；|ab|eq r(ab2)eq r(a22abb2)；若a(x，y)，則|a|eq r(x2y2).二、核心素養(yǎng)提升例1設(shè)向量a，b滿足|ab|eq r(10)，|ab|eq r(6)，則ab等于()A1B2C3D5答案A解析abeq f(1,4)(ab)2(ab)2eq f(1,4)(

37、106)1.故選A.例2已知a，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足(ac)(bc)0，則|c|的最大值是()A1B2Ceq r(2)Deq f(r(2),2)答案C解析設(shè)eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()，且eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，eq o(OC,sup6()c，D為線段AB的中點(diǎn)，因?yàn)閨a|b|1，所以ABeq r(2)，ADeq f(r(2),2)，(ac)(bc)eq o(CA,sup6()eq o(CB,sup6()|eq o(CD,sup6()|2|eq o(DA,sup6()|2|eq o(CD,sup6()

38、|2eq f(1,2)0，所以|eq o(CD,sup6()|eq f(r(2),2)，上式表明，eq o(DC,sup6()是有固定起點(diǎn)，固定模長的動(dòng)向量，點(diǎn)C的軌跡是以eq f(r(2),2)為半徑的圓，因此|c|的最大值就是該軌跡圓的直徑eq r(2).故選C.例3如圖所示，正方形ABCD的邊長為1，A，D分別在x軸、y軸的正半軸(含原點(diǎn))上滑動(dòng)，則eq o(OC,sup6()eq o(OB,sup6()的最大值是_答案2解析如圖，取BC的中點(diǎn)M，AD的中點(diǎn)N，連接MN，ON，則eq o(OC,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OM,sup6()2eq f(1,4).因?yàn)?/p>

39、OMONNMeq f(1,2)ADABeq f(3,2)，當(dāng)且僅當(dāng)O，N，M三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以eq o(OC,sup6()eq o(OB,sup6()的最大值為2.極化恒等式(1)極化恒等式：設(shè)a，b為兩個(gè)平面向量，則abeq f(1,4)(ab)2(ab)2極化恒等式表示平面向量的數(shù)量積運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為平面向量線性運(yùn)算的模，如果將平面向量換成實(shí)數(shù)，那么上述公式也叫“廣義平方差”公式(2) 極化恒等式的幾何意義：平面向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的eq f(1,4)，即abeq f(1,4)(|eq o(AC,sup6()|2|eq o(

40、BD,sup6()|2)(3) 極化恒等式的三角形模式：在ABC中，若M是BC的中點(diǎn)，則eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(AM,sup6()2eq f(1,4)eq o(BC,sup6()2.可以利用極化恒等式來求數(shù)量積、求最值、求模長課時(shí)作業(yè)一、單項(xiàng)選擇題1. 如圖，AB是圓O(O為圓心)的一條弦，下列條件能確定eq o(AB,sup6()eq o(AO,sup6()的值的是()A已知圓的半徑長B已知弦長|AB|C已知OAB的大小D已知點(diǎn)O到弦AB的距離答案B解析如圖所示，過點(diǎn)O作OCAB于點(diǎn)C，根據(jù)垂徑定理可得C是AB的中點(diǎn)，所以eq o(AB,sup6()

41、eq o(AO,sup6()eq o(AB,sup6()(eq o(AC,sup6()eq o(CO,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(o(AB,sup6(),2)eq f(1,2)|eq o(AB,sup6()|2，所以eq o(AB,sup6()eq o(AO,sup6()的大小只跟|eq o(AB,sup6()|有關(guān)，故已知弦長|AB|可以確定eq o(AB,sup6()eq o(AO,sup6()的大小故選B.2若等邊三角形ABC的邊長為1，點(diǎn)D滿足eq o(BD,sup6()eq o(AC,sup6()(1)，若

42、eq o(DB,sup6()eq o(DC,sup6()3，則實(shí)數(shù)的值為()A.eq f(3,2)B2Ceq f(5,2)D3答案B解析如圖，以AB，BD為鄰邊作平行四邊形ABDE，所以eq o(DB,sup6()eq o(DC,sup6()eq o(DB,sup6()(eq o(DE,sup6()eq o(EC,sup6()eq o(DB,sup6()eq o(DE,sup6()eq o(DB,sup6()eq o(EC,sup6()1cos60(1)cos02eq f(,2)3，解得2(負(fù)值舍去)故選B.3在RtABC中，ACBeq f(,2)，ACBC2，P是斜邊AB上一點(diǎn)，且BP2PA

43、，則eq o(CP,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(CP,sup6()eq o(CB,sup6()()A4B2C2D4答案D解析如圖，在直角三角形ABC中，ACBeq f(,2)，ACBC2，點(diǎn)P是斜邊AB上一點(diǎn)，且BP2PA，eq o(CP,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(AP,sup6()eq o(CA,sup6()eq f(1,3)eq o(AB,sup6()eq o(CA,sup6()eq f(1,3)(eq o(CB,sup6()eq o(CA,sup6()eq f(2,3)eq o(CA,sup6()eq f(1,3)eq o(CB,sup6()

44、，eq o(CP,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(CP,sup6()eq o(CB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)o(CA,sup6()f(1,3)o(CB,sup6()(eq o(CA,sup6()eq o(CB,sup6()eq f(2,3)eq o(CA,sup6()2eq f(1,3)eq o(CB,sup6()2eq o(CA,sup6()eq o(CB,sup6()eq f(2,3)22eq f(1,3)2204.故選D.4已知AD是直角三角形ABC斜邊BC上的高，點(diǎn)P在DA的延長線上，且滿足(eq o(PB,sup6()eq

45、o(PC,sup6()eq o(AD,sup6()4eq r(2)，若ADeq r(2)，則eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()的值為()A2B3C4D6答案A解析由AD為高，得eq o(PD,sup6()eq o(DC,sup6()eq o(PD,sup6()eq o(BD,sup6()0，因?yàn)?eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()eq o(AD,sup6()4eq r(2)，所以(eq o(PD,sup6()eq o(DB,sup6()eq o(PD,sup6()eq o(DC,sup6()eq o(AD,sup6()4eq r(2)，即eq o(P

46、D,sup6()eq o(AD,sup6()2eq r(2)，即|eq o(PD,sup6()|eq o(AD,sup6()|cos02eq r(2)，所以|eq o(PD,sup6()|2，eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()(eq o(PD,sup6()eq o(DB,sup6()(eq o(PD,sup6()eq o(DC,sup6()eq o(PD,sup6()2eq o(DB,sup6()eq o(DC,sup6()eq o(PD,sup6()2|eq o(DB,sup6()|eq o(DC,sup6()|coseq o(PD,sup6()2|eq o(DB,su

47、p6()|eq o(DC,sup6()|PD2AD2422.故選A.5. 在直角梯形ABCD中，ADAB，CDAB，AB2AD2DC2，E為BC邊的中點(diǎn)，eq o(AC,sup6()eq o(AE,sup6()的值為()A1Beq f(1,2)Ceq f(3,2)D2答案D解析根據(jù)題意，可得AB2，ADCD1，ACeq r(2)，DACDCACAB45，在ABC中，根據(jù)余弦定理可得，BCeq r(AB2AC22ABACcosCAB)eq r(2)，即AC2BC2AB2，即ABC為等腰直角三角形，又因?yàn)镋為BC邊的中點(diǎn)，故有eq o(AE,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6(

48、)eq f(1,2)eq o(AC,sup6()，因此可得eq o(AC,sup6()eq o(AE,sup6()eq o(AC,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)o(AB,sup6()f(1,2)o(AC,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq f(1,2)eq o(AC,sup6()2eq f(1,2)2eq r(2)cos45eq f(1,2)(eq r(2)22.故選D.6已知ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則eq o(PA,sup6()(eq o(PB,sup6()eq o(PC,

49、sup6()的最小值是()A2Beq f(3,2)Ceq f(4,3)D1答案B解析eq avs4al(解法一)(建系法)：建立平面直角坐標(biāo)系如圖(1)所示，則A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0，eq r(3)，B(1,0)，C(1,0)設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，圖(1)則eq o(PA,sup6()(x，eq r(3)y)，eq o(PB,sup6()(1x，y)，eq o(PC,sup6()(1x，y)，eq o(PA,sup6()(eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()(x，eq r(3)y)(2x，2y)2(x2y2eq r(3)y)2eq blcrc(avs4alco

50、1(x2blc(rc)(avs4alco1(yf(r(3),2)2f(3,4)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)eq f(3,2)，當(dāng)且僅當(dāng)x0，yeq f(r(3),2)時(shí)，eq o(PA,sup6()(eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()取得最小值，最小值為eq f(3,2).故選B.eq avs4al(解法二)(幾何法)：如圖(2)所示，eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()2eq o(PD,sup6()(D為BC的中點(diǎn))，則eq o(PA,sup6()(eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()2eq o(PA,

51、sup6()eq o(PD,sup6().要使eq o(PA,sup6()eq o(PD,sup6()最小，則eq o(PA,sup6()與eq o(PD,sup6()方向相反，即點(diǎn)P在線段AD上，圖(2)則(2eq o(PA,sup6()eq o(PD,sup6()min2|eq o(PA,sup6()|eq o(PD,sup6()|，問題轉(zhuǎn)化為求|eq o(PA,sup6()|eq o(PD,sup6()|的最大值又|eq o(PA,sup6()|eq o(PD,sup6()|eq o(AD,sup6()|2eq f(r(3),2)eq r(3)，|eq o(PA,sup6()|eq o(

52、PD,sup6()|eq blc(rc)(avs4alco1(f(|o(PA,sup6()|o(PD,sup6()|,2)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)2eq f(3,4)，eq o(PA,sup6()(eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()min(2eq o(PA,sup6()eq o(PD,sup6()min2eq f(3,4)eq f(3,2).故選B.7在ABC中，Aeq f(,4)，Beq f(,3)，BC2，AC的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，則eq o(AC,sup6()eq o(CD,sup6()()A1B2C3D3答案D解析設(shè)AC的

53、中點(diǎn)為M，在ABC中，Aeq f(,4)，Beq f(,3)，BC2，eq f(AC,sinB)eq f(BC,sinA)ACeq f(2f(r(3),2),f(r(2),2)eq r(6)，eq o(AC,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(AC,sup6()(eq o(CM,sup6()eq o(MD,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(CM,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(MD,sup6()eq f(1,2)eq o(AC,sup6()23.故選D.8已知向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)且(2a3b)c，則實(shí)數(shù)k()Aeq f(9

54、,2)B0C3Deq f(15,2)答案C解析a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，2a3b(2k3，6)，(2a3b)c，(2a3b)c0，2(2k3)1(6)0，解得k3.故選C.二、多項(xiàng)選擇題9設(shè)向量a，b滿足|a|b|1，且|b3a|eq r(13)，則()AabB|ab|1C|ab|3Da與b的夾角為60答案BD解析因?yàn)閨b3a|eq r(13)，即|b|29|a|26|a|b|cosa，b196cosa，b106cosa，b13，所以cosa，beq f(1,2)，即向量a與b的夾角為60，故D正確，A錯(cuò)誤；又因?yàn)閨ab|2|a|2|b|22|a|b|cosa，b112eq f

55、(1,2)1，所以|ab|1，故B正確；|ab|2|a|2|b|22|a|b|cosa，b112eq f(1,2)3，所以|ab|eq r(3)，故C錯(cuò)誤故選BD.10已知平面向量a，b滿足|a|2，|b|1，ab1，下列說法正確的是()Aa(ab)0B(a2b)(a2b)CR，使|ab|eq f(3,2)DR，|ab|ab|恒成立答案BD解析對(duì)于A，a(ab)|a|2ab413，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，(a2b)(a2b)|a|24|b|2440，(a2b)(a2b)，故B正確；對(duì)于C，由|ab|eq f(3,2)，得(ab)2eq f(9,4)，即|a|22(ab)2|b|2eq f(9,4)，

56、422eq f(9,4)，整理，得42870，64112480，方程無解，故C錯(cuò)誤；若|ab|ab|恒成立，則(ab)2(ab)2，即a22(ab)2b2a22abb2，整理，得(1)20，此式恒成立，即R，|ab|ab|恒成立，故D正確故選BD.三、填空題11根據(jù)記載，最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的人應(yīng)是我國西周時(shí)期的數(shù)學(xué)家商高，商高曾經(jīng)和周公討論過“勾3股4弦5”的問題現(xiàn)有ABC滿足“勾3股4弦5”，其中“股”AB4，D為“弦”BC上一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，且ABD滿足勾股定理，則(eq o(CB,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(AD,sup6()_.答案eq f(144,25)解析由等面

57、積法可得ADeq f(34,5)eq f(12,5)，依題意可得，ADBC，所以(eq o(CB,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()|eq o(AD,sup6()|2eq f(144,25).12. 如圖，在ABC中，D為BC中點(diǎn)，ADAB，AD1，則eq o(AC,sup6()eq o(AD,sup6()_.答案2解析由題圖可知eq o(AC,sup6()eq o(AD,sup6()(eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(AD,sup6()(eq o(AB,sup6()2eq

58、 o(BD,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()2(eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()(eq o(AB,sup6()2eq o(AD,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()2eq o(AD,sup6()22122.13在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若sin2Bsin2Csin2AsinBsinC，且eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()4，則ABC的面積S為_答案2eq r(3)解析因?yàn)閟in2Bsin2Csin2AsinBsinC，由正弦定理可得b2c2a2bc，由余弦定理可得cosAeq f(b2c2a2,2bc)eq f(a2bca2,2bc)eq f(1,2)，又A(0，)，所以Aeq f(,3)，因?yàn)閑q o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()4，所以eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()|eq o(AC,sup6()|eq o(AB,sup