2023高考科學(xué)復(fù)習(xí)解決方案-數(shù)學(xué)(名校內(nèi)參版) 第七章 7.4正弦定理、余弦定理（word含答案解析）

1、74正弦定理、余弦定理(教師獨(dú)具內(nèi)容)1借助向量的運(yùn)算，通過對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題通過教材實(shí)例理解正弦定理、余弦定理的推導(dǎo)，結(jié)合教材實(shí)例掌握正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用2能運(yùn)用余弦定理、正弦定理解決三角形形狀的判斷問題能夠綜合運(yùn)用余弦定理、正弦定理解決實(shí)際問題3重點(diǎn)提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)(教師獨(dú)具內(nèi)容)1解三角形問題是高考的高頻考點(diǎn)，屬于中低檔題目，三種題型都有可能考查，大多放在解答題的第一題或第二題，命題的關(guān)注點(diǎn)在于兩個(gè)定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用正確掌握正弦定理與余弦定理，這是實(shí)現(xiàn)邊角互化的基礎(chǔ)；熟練掌

2、握三角恒等變換，這是準(zhǔn)確簡(jiǎn)化已知條件求角的基礎(chǔ)2高考中經(jīng)常將三角恒等變換與解三角形知識(shí)綜合起來命題，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時(shí)，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到而三角恒等變換中主要是“變角、變函數(shù)名和變運(yùn)算形式”，其中的核心是“變角”，即注意角之間的結(jié)構(gòu)差異，彌補(bǔ)這種結(jié)構(gòu)差異的依據(jù)就是三角公式3正弦定理、余弦定理應(yīng)用的主要功能是實(shí)現(xiàn)三角形中的邊角互化正弦定理、余弦定理的靈活應(yīng)用需深入領(lǐng)會(huì)化歸與轉(zhuǎn)化思想，在解題中多歸納、多總結(jié)，抽象概括，總結(jié)方法規(guī)律4涉及應(yīng)用正弦定理、余弦定理的

3、另一種題型是判斷三角形的形狀，通常從兩個(gè)方向進(jìn)行變形：一個(gè)方向是邊，考慮代數(shù)變形，通常正弦定理、余弦定理結(jié)合使用；另一個(gè)方向是角，考慮三角變形，通常運(yùn)用正弦定理(教師獨(dú)具內(nèi)容)(教師獨(dú)具內(nèi)容)1正弦定理eq f(a,sinA)eq f(b,sinB)eq f(c,sinC)2R(R為ABC外接圓的半徑)正弦定理的常見變形(1)aeq o(,sup3(01)2RsinA，beq o(,sup3(02)2RsinB，ceq o(,sup3(03)2RsinC.(2)sinAeq f(a,2R)，sinBeq f(b,2R)，sinCeq f(c,2R).(3)abceq o(,sup3(04)si

4、nAsinBsinC.(4)eq f(abc,sinAsinBsinC)eq f(a,sinA).(5)asinBbsinA，bsinCcsinB，asinCcsinA2余弦定理a2b2c22bccosA；b2eq o(,sup3(01)c2a22cacosB；c2eq o(,sup3(02)a2b22abcosC.余弦定理的常見變形(1)cosAeq f(b2c2a2,2bc).(2)cosBeq f(c2a2b2,2ca).(3)cosCeq o(,sup3(03)eq f(a2b2c2,2ab)注：(1)應(yīng)用正弦定理及三角形內(nèi)角和定理可以求解以下兩類解三角形問題：已知兩角和任一邊，求其他

5、的邊和角；已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其他的邊和角(2)應(yīng)用余弦定理可以求解以下三類解三角形問題：已知三邊求三內(nèi)角；已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和求其他兩個(gè)內(nèi)角；已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其他的邊和角3三角形的面積公式(1)SABCeq f(1,2)aha(ha為邊a上的高)(2)SABCeq o(,sup3(01)eq f(1,2)absinCeq f(1,2)bcsinAeq f(1,2)acsinB.(3)Seq f(1,2)r(abc)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑)(4)SABCeq r(ppapbpc)，其中peq f(1,2)(abc)4常用結(jié)論(1)三角形中的三角函數(shù)關(guān)系sin(

6、AB)sinC；cos(AB)cosC；sineq f(AB,2)coseq f(C,2)；coseq f(AB,2)sineq f(C,2)；在ABC中，最大內(nèi)角的取值范圍是eq blcrc)(avs4alco1(f(,3)，)，最小內(nèi)角的取值范圍是eq blc(rc(avs4alco1(0，f(,3)；在銳角三角形ABC中，sinAcosB，sinBcosC，sinCcosA.(2)在ABC中，內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列Beq f(,3)，ACeq f(2,3).(3)在斜三角形ABC中，tanAtanBtanCtanAtanBtanC.(4)三角形中的射影定理在ABC中，abcosCcco

7、sB，bacosCccosA，cbcosAacosB.(5)在ABC中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，ABabsinAsinBcosAcosB.(6)涉及求范圍的問題，一定要搞清已知變量的范圍，利用已知的范圍進(jìn)行求解，已知邊的范圍求角的范圍時(shí)可以利用余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化(7)注意題目中的隱含條件，如ABC，0A，bcabc等5在ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式absinAbsinAab解的個(gè)數(shù)eq o(,sup3(01)1eq o(,sup3(02)2eq o(,sup3(03)1eq o(,sup3(04)11思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“

8、”)(1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角之比()(2)在ABC中，若sinAsinB，則AB.()(3)在ABC的六個(gè)元素中，已知任意三個(gè)元素可求其他元素()(4)當(dāng)b2c2a20時(shí)，ABC為銳角三角形；當(dāng)b2c2a20時(shí)，ABC為直角三角形；當(dāng)b2c2a20時(shí)，ABC為鈍角三角形()答案(1)(2)(3)(4)2在ABC中，AB5，AC3，BC7，則BAC等于()A.eq f(,6)Beq f(,3)C.eq f(2,3)Deq f(5,6)答案C解析在ABC中，設(shè)ABc5，ACb3，BCa7，所以由余弦定理得cosBACeq f(b2c2a2,2bc)eq f(92549,30)eq

9、f(1,2)，因?yàn)锽AC(0，)，所以BACeq f(2,3).故選C.3在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，Aeq f(,4)，Beq f(,12)，c3eq r(3)，則a()A.eq r(2)B2eq r(2)C3eq r(2)D4eq r(2)答案C解析因?yàn)锳eq f(,4)，Beq f(,12)，所以Ceq f(2,3).由eq f(a,sinA)eq f(c,sinC)，得aeq f(csinA,sinC)3eq r(2).故選C.4(多選)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列結(jié)論正確的是()Aa2b2c22bccosABasinBbsinACabc

10、osCccosBDacosBbcosAsinC答案ABC解析對(duì)于A，由余弦定理得a2b2c22bccosA，故A正確；對(duì)于B，由正弦定理得eq f(a,sinA)eq f(b,sinB)，asinBbsinA，故B正確；對(duì)于C，由余弦定理得bcosCccosBbeq f(a2b2c2,2ab)ceq f(a2c2b2,2ac)a，故C正確；對(duì)于D，由余弦定理得acosBbcosAaeq f(a2c2b2,2ac)beq f(b2c2a2,2bc)csinC，故D錯(cuò)誤故選ABC.5在ABC中，A60，AC4，BC2eq r(3)，則ABC的面積等于_答案2eq r(3)解析因?yàn)閑q f(2r(3

11、),sin60)eq f(4,sinB)，所以sinB1，所以B90，所以AB2，所以SABCeq f(1,2)22eq r(3)2eq r(3).1(2021全國(guó)甲卷)在ABC中，已知B120，ACeq r(19)，AB2，則BC()A1Beq r(2)Ceq r(5)D3答案D解析解法一：由余弦定理AC2AB2BC22ABBCcosB，得BC22BC150，解得BC3或BC5(舍去)故選D.解法二：由正弦定理eq f(AC,sinB)eq f(AB,sinC)，得sinCeq f(r(57),19)，從而cosCeq f(4r(19),19)(C是銳角)，所以sinAsin(BC)sin(

12、BC)sinBcosCcosBsinCeq f(r(3),2)eq f(4r(19),19)eq f(1,2)eq f(r(57),19)eq f(3r(57),38).又eq f(AC,sinB)eq f(BC,sinA)，所以BC3.故選D.2(2020全國(guó)卷)在ABC中，cosCeq f(2,3)，AC4，BC3，則cosB()A.eq f(1,9)Beq f(1,3)C.eq f(1,2)Deq f(2,3)答案A解析在ABC中，cosCeq f(2,3)，AC4，BC3，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosC4232243eq f(2,3)9，AB3，cosBeq f(AB

13、2BC2AC2,2ABBC)eq f(9916,233)eq f(1,9).故選A.3(2021新高考卷)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，ba1，ca2.(1)若2sinC3sinA，求ABC的面積；(2)是否存在正整數(shù)a，使得ABC為鈍角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由解(1)因?yàn)?sinC3sinA，所以2c2(a2)3a，則a4，故b5，c6，cosCeq f(a2b2c2,2ab)eq f(1,8)，所以C為銳角，則sinCeq r(1cos2C)eq f(3r(7),8)，因此SABCeq f(1,2)absinCeq f(1,2)45eq f(3r

14、(7),8)eq f(15r(7),4).(2)顯然cba，若ABC為鈍角三角形，則C為鈍角，由余弦定理可得cosCeq f(a2b2c2,2ab)eq f(a2a12a22,2aa1)eq f(a22a3,2aa1)0，解得1a3，則0aa2，可得a1，又aZ，故a2.一、基礎(chǔ)知識(shí)鞏固考點(diǎn)利用正弦、余弦定理解三角形例1在ABC中，coseq f(C,2)eq f(r(5),5)，BC1，AC5，則AB()A4eq r(2)Beq r(30)Ceq r(29)D2eq r(5)答案A解析因?yàn)閏osC2cos2eq f(C,2)12eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(5),5)21

15、eq f(3,5)，所以AB2BC2AC22BCACcosC125215eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)32，所以AB4eq r(2).故選A.例2在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，bcosAeq r(3)asinB.(1)求角A的大小；(2)若a2eq r(2)，Beq f(,4)，求b，c的長(zhǎng)解(1)由bcosAeq r(3)asinB及正弦定理，得sinBcosAeq r(3)sinAsinB，又sinB0，所以tanAeq f(r(3),3)，因?yàn)?A，所以Aeq f(,6).(2)由bcosAeq r(3)asinB，a2eq r(2)，Beq f

16、(,4)，得beq f(r(3),2)eq r(3)2eq r(2)eq f(r(2),2)，解得b4.由余弦定理，得a2b2c22bccosA16c224ceq f(r(3),2)8，即c24eq r(3)c80，解得c2eq r(3)2或c2eq r(3)2，又CABeq f(7,12)，CB，所以c2eq r(3)2.1.在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若asinBcosCcsinBcosAeq f(1,2)b，且ab，則B()A.eq f(,6)Beq f(,3)Ceq f(2,3)Deq f(5,6)答案A解析asinBcosCcsinBcosAeq f(1,2)b

17、，由正弦定理得sinAsinBcosCsinCsinBcosAeq f(1,2)sinB，即sinB(sinAcosCsinCcosA)eq f(1,2)sinB.sinB0，sin(AC)eq f(1,2)，即sinBeq f(1,2).ab，AB，即B為銳角，Beq f(,6).故選A.2在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a2，A30，C105，則b()A1Beq r(2)C2eq r(2)D2eq r(3)答案C解析A30，C105，ABC180，B45.由正弦定理可知eq f(a,sinA)eq f(b,sinB)，即eq f(2,sin30)eq f(b,sin45)

18、，解得b2eq r(2).故選C.應(yīng)用正弦、余弦定理的解題技巧(1)求邊：利用公式aeq f(bsinA,sinB)，beq f(asinB,sinA)，ceq f(asinC,sinA)或其他相應(yīng)變形公式求解(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sinAeq f(asinB,b)，sinBeq f(bsinA,a)，sinCeq f(csinA,a)或其他相應(yīng)變形公式求解(3)已知兩邊和夾角或已知三邊可利用余弦定理求解(4)靈活利用式子的特點(diǎn)轉(zhuǎn)化：如出現(xiàn)a2b2c2ab形式用余弦定理，等式兩邊是關(guān)于邊或角的正弦的齊次式用正弦定理考點(diǎn)利用正弦、余弦定理判定三角形的形狀例3設(shè)ABC的內(nèi)角A

19、，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若bcosCccosBasinA，則ABC的形狀為()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D不確定答案B解析由正弦定理得sinBcosCsinCcosBsin2A，sin(BC)sin2A，即sinAsin2A.A(0，)，sinA0，sinA1，即Aeq f(,2)，ABC為直角三角形故選B.例4(多選)已知a，b，c分別是ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，下列四個(gè)命題中正確的是()A若tanAtanBtanC0，則ABC是銳角三角形B若acosAbcosB，則ABC是等腰三角形C若bcosCccosBb，則ABC是等腰三角形D若eq f(a,cosA)eq

20、f(b,cosB)eq f(c,cosC)，則ABC是等邊三角形答案ACD解析tanAtanBtanCtanAtanBtanC0，A，B，C均為銳角，A正確；由acosAbcosB及正弦定理，可得sin2Asin2B，AB或ABeq f(,2)，ABC是等腰三角形或直角三角形，B錯(cuò)誤；由bcosCccosBb及正弦定理，可知sinBcosCsinCcosBsinB，sinAsinB，AB，C正確；由已知和正弦定理，易知tanAtanBtanC，D正確故選ACD.3.在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知acosAbcosB，且c2a2b2ab，則ABC的形狀為()A等腰三角形或

21、直角三角形B等腰直角三角形C直角三角形D等邊三角形答案D解析因?yàn)閍cosAbcosB，所以sinAcosAsinBcosB，即sin2Asin2B，又A，B(0，)，故可得AB或ABeq f(,2).由c2a2b2ab，得cosCeq f(1,2)，又C(0，)，故可得Ceq f(,3).綜上所述，ABCeq f(,3)，故ABC是等邊三角形故選D.4(多選)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則滿足下面條件的三角形一定為直角三角形的是()AsinAsinBsinC(cosAcosB)Beq f(tanA,tanB)eq f(a2,b2)Ccos2eq f(B,2)eq f(ac

22、,2c)DacosBbcosAc答案ACD解析sinAsinBsinC(cosAcosB)，利用正弦定理角化邊有abc(cosAcosB)，整理得ccosBbcosCacosCccosAc(cosAcosB)，有(ab)cosC0，因?yàn)閍b0，所以cosC0Ceq f(,2)，故A正確；可知當(dāng)三角形為等邊三角形時(shí)，eq f(tanA,tanB)eq f(a2,b2)同樣成立，故B錯(cuò)誤；cos2eq f(B,2)eq f(ac,2c)，根據(jù)半角公式，得eq f(cosB1,2)eq f(ac,2c)ccosBaccosBccosBbcosC，整理得bcosC0Ceq f(,2)，故C正確；aco

23、sBbcosAc，因?yàn)樵谌我獾娜切沃卸加衋cosBbcosAc，所以兩式相減可得2bcosA0Aeq f(,2)，故D正確故選ACD.判斷三角形形狀的方法(1)化邊：通過因式分解、配方等得到邊的相對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀(2)化角：通過三角恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀(此時(shí)要注意應(yīng)用ABC這個(gè)結(jié)論)注：(1)鈍角三角形：a2b2c2或A90.(2)銳角三角形：a為最大邊，且滿足a2b2c2或A為最大角，且A90.考點(diǎn)與三角形面積有關(guān)的問題例5ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知sinAeq r(3)cosA0，a2eq r(7)，b2.(1)求c；(2)

24、設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且ADAC，求ABD的面積解(1)由已知條件可得tanAeq r(3)，A(0，)，所以Aeq f(2,3)，在ABC中，由余弦定理得284c24ccoseq f(2,3)，即c22c240，解得c6(舍去)或c4.(2)解法一：如圖，由題設(shè)可得CADeq f(,2)，所以BADBACCADeq f(,6)，故ABD的面積與ACD的面積的比值為eq f(f(1,2)ABADsinf(,6),f(1,2)ACAD)1，又ABC的面積為eq f(1,2)42sinBAC2eq r(3)，所以ABD的面積為eq r(3).解法二：由余弦定理得cosCeq f(2,r(7)，在Rt

25、ACD中，cosCeq f(AC,CD)，所以CDeq r(7)，所以ADeq r(3)，DBCDeq r(7)，所以SABDSACDeq f(1,2)2eq r(3)eq r(3).解法三：BADeq f(,6)，由余弦定理得cosCeq f(2,r(7)，在RtACD中，cosCeq f(AC,CD)，所以CDeq r(7)，所以ADeq r(3)，所以SABDeq f(1,2)4eq r(3)sinBADeq r(3).例6已知在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且eq f(b,2ac)eq f(cosB,cosAB).(1)求角B的大?。?2)若ABC的面積為eq f(1

26、5r(3),4)，且ac8，求邊b的長(zhǎng)度解(1)由正弦定理及誘導(dǎo)公式得eq f(sinB,2sinAsinC)eq f(cosB,cosC)，整理得2sinAcosBsin(BC)0，即2sinAcosBsinA0，即sinA(2cosB1)0，A(0，)，sinA0，cosBeq f(1,2)，又B(0，)，Beq f(2,3).(2)ABC的面積為eq f(15r(3),4)，SABCeq f(1,2)acsinBeq f(r(3),4)aceq f(15r(3),4)，可得ac15，由余弦定理得b2a2c22accosBa2c2ac(ac)2ac821549，因此b7.例7在ABC中，角

27、A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，其外接圓的半徑是1，且滿足2(sin2Asin2C)(eq r(2)ab)sinB.(1)求角C的大??；(2)求ABC面積的最大值解(1)在ABC中，其外接圓的半徑是1，eq f(a,sinA)eq f(b,sinB)eq f(c,sinC)2R2，sinAeq f(a,2)，sinBeq f(b,2)，sinCeq f(c,2).又2(sin2Asin2C)(eq r(2)ab)sinB，2eq blc(rc)(avs4alco1(f(a2,4)f(c2,4)(eq r(2)ab)eq f(b,2)，即a2b2c2eq r(2)ab，cosCeq f(a2b

28、2c2,2ab)eq f(r(2),2).又C(0，)，Ceq f(,4).(2)Ceq f(,4)，ABeq f(3,4)，即Beq f(3,4)A.eq f(a,sinA)eq f(b,sinB)2，即a2sinA，b2sinB，SABCeq f(1,2)absinC2sinAsinBsineq f(,4)eq r(2)sinAsinBeq r(2)sinAsineq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)A)eq r(2)sinAeq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)cosAf(r(2),2)sinA)sinAcosAsin2Aeq f(1,2)sin2A

29、eq f(1,2)(1cos2A)eq f(r(2),2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)sin2Af(r(2),2)cos2A)eq f(1,2)eq f(r(2),2)sineq blc(rc)(avs4alco1(2Af(,4)eq f(1,2)，Aeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(3,4)，2Aeq f(,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，f(5,4)，當(dāng)2Aeq f(,4)eq f(,2)，即Aeq f(3,8)時(shí)，ABC的面積取得最大值為eq f(r(2),2)eq f(1,2).5.在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)

30、的邊分別為a，b，c.若c2(ab)26，Ceq f(,3)，則ABC的面積為()A6Beq f(3r(3),2)C3eq r(3)Deq r(3)答案B解析由條件可知c2a2b22ab6，由余弦定理可知c2a2b22abcosCa2b2ab，所以由可知62abab，即ab6，則ABC的面積為Seq f(1,2)absinCeq f(1,2)6eq f(r(3),2)eq f(3r(3),2).故選B.6ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若b6，a2c，Beq f(,3)，則ABC的面積為_答案6eq r(3)解析由余弦定理得b2a2c22accosB，又b6，a2c，Beq f(

31、,3)，364c2c222c2eq f(1,2)，c2eq r(3)，a4eq r(3)，SABCeq f(1,2)acsinBeq f(1,2)4eq r(3)2eq r(3)eq f(r(3),2)6eq r(3).7在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且eq r(3)acosC(2beq r(3)c)cosA.(1)求角A的大小；(2)若a2，求ABC面積的最大值解(1)由正弦定理可得，eq r(3)sinAcosC2sinBcosAeq r(3)sinCcosA，從而可得，eq r(3)sin(AC)2sinBcosA，即eq r(3)sinB2sinBcosA，又B為三角

32、形的內(nèi)角，所以sinB0，于是cosAeq f(r(3),2)，又A(0，)，所以Aeq f(,6).(2)由余弦定理a2b2c22bccosA得，4b2c22bceq f(r(3),2)2bceq r(3)bc，當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)取等號(hào)，所以bc4(2eq r(3)，所以Seq f(1,2)bcsinA2eq r(3).所以ABC面積的最大值為2eq r(3).1求三角形面積的方法(1)若三角形中已知一個(gè)角(角的大小或該角的正、余弦值)，結(jié)合題意求解這個(gè)角的兩邊或該角的兩邊之積，代入公式求面積(2)若已知三角形的三邊，可先求其一個(gè)角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面積總之，結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇面積

33、公式是解題的關(guān)鍵2已知三角形面積求邊、角的方法(1)若求角，就尋求夾這個(gè)角的兩邊的關(guān)系，利用面積公式列方程求解(2)若求邊，就尋求與該邊(或兩邊)有關(guān)聯(lián)的角，利用面積公式列方程求解二、核心素養(yǎng)提升例1在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若Aeq f(,3)，eq f(3sin2C,cosC)2sinAsinB，且b6，則c的值為_答案4解析由余弦定理得a2b2c22bceq f(1,2)b2c2bc.又eq f(3sin2C,cosC)2sinAsinB，故由正、余弦定理可得eq f(3c2,f(a2b2c2,2ab)2ab，即a2b24c20，則b2c2bcb24c20.又b6，

34、所以c22c240，解得c4.例2在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且c7，sinCeq f(2r(6),5).若ab11，則ABC的面積為_答案6eq r(6)解析在ABC中，因?yàn)閟inCeq f(2r(6),5)，所以cosCeq f(1,5).當(dāng)cosCeq f(1,5)時(shí)，根據(jù)余弦定理c2a2b22abcosC，及ab11，c7，得491212abeq f(2ab,5)，所以ab30.所以eq blcrc (avs4alco1(ab11，,ab30，)解得eq blcrc (avs4alco1(a6，,b5)或eq blcrc (avs4alco1(a5，,b6.)所以

35、ABC的面積SABCeq f(1,2)absinC6eq r(6).當(dāng)cosCeq f(1,5)時(shí)，根據(jù)余弦定理c2a2b22abcosC，及ab11，c7，得ab45，此時(shí)方程組eq blcrc (avs4alco1(ab11，,ab45)無解綜上，ABC的面積為6eq r(6).例3已知四邊形ABCD為矩形，ABeq r(3)，BC1，E為AB上一點(diǎn)，AC與DE相交于點(diǎn)F，若DF2FE，則eq f(sinDEA,sinADE)的值為_答案eq f(2r(3),3)解析如圖，在矩形ABCD中，CDABeq r(3)，CDAB，則AEFCDF，所以eq f(AE,CD)eq f(EF,DF)e

36、q f(1,2)，所以AEeq f(r(3),2).在DAE中，由正弦定理得eq f(sinDEA,sinADE)eq f(AD,AE)eq f(1,f(r(3),2)eq f(2r(3),3).“解三角形”的總體難度適中，入手比較容易，但在具體解決問題時(shí)，易出現(xiàn)公式記憶不準(zhǔn)確；在三角函數(shù)公式的變形中轉(zhuǎn)化不當(dāng)，導(dǎo)致后續(xù)求解復(fù)雜或運(yùn)算錯(cuò)誤；忽視三角形中的隱含條件，求邊、角時(shí)忽略其范圍等問題解決此類問題要強(qiáng)化以下三個(gè)意識(shí)：一、邊角互化；二、函數(shù)與方程思想的應(yīng)用；三、認(rèn)知圖形課時(shí)作業(yè)一、單項(xiàng)選擇題1已知ABC中，a1，beq r(2)，B45，則A等于()A150B90C60D30答案D解析由正弦定

37、理，得eq f(1,sinA)eq f(r(2),sin45)，得sinAeq f(1,2).又ab，AB45.A30.故選D.2若ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知bsin2AasinB，且c2b，則eq f(a,b)()A.eq f(3,2)Beq f(4,3)Ceq r(2)Deq r(3)答案D解析解法一：bsin2AasinB，則sinB2sinAcosAsinAsinB，因?yàn)閟inAsinB0，所以cosAeq f(1,2)，又A(0，)，故Aeq f(,3).由c2b，得sinC2sinB2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)C)，化簡(jiǎn)整

38、理得cosC0，且C(0，)，故Ceq f(,2)，Beq f(,6)，eq f(a,b)eq f(sinA,sinB)eq f(f(r(3),2),f(1,2)eq r(3).故選D.解法二：由bsin2AasinB，得2sinBsinAcosAsinAsinB，得cosAeq f(1,2)，又c2b，由余弦定理得a2b2c22bccosAb24b24b2eq f(1,2)3b2，得eq f(a,b)eq r(3).故選D.3在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若eq f(sinA,sinB)eq f(a,c)，(bac)(bca)3bc，則ABC的形狀為()A直角三角形B等腰非

39、等邊三角形C等邊三角形D鈍角三角形答案C解析因?yàn)閑q f(sinA,sinB)eq f(a,c)，所以eq f(a,b)eq f(a,c)，所以bc.又(bca)(bca)3bc，所以b2c2a2bc，所以cosAeq f(b2c2a2,2bc)eq f(bc,2bc)eq f(1,2).因?yàn)锳(0，)，所以Aeq f(,3)，所以ABC是等邊三角形故選C.4在ABC中，Beq f(,4)，BC邊上的高等于eq f(1,3)BC，則cosA()A.eq f(3r(10),10)Beq f(r(10),10)Ceq f(r(10),10)Deq f(3r(10),10)答案C解析如圖，設(shè)BC邊上

40、的高為AD，則BC3AD.結(jié)合題意知BDAD，DC2AD，所以ACeq r(AD2DC2)eq r(5)AD，ABeq r(2)AD.由余弦定理，得cosAeq f(AB2AC2BC2,2ABAC)eq f(2AD25AD29AD2,2r(2)ADr(5)AD)eq f(r(10),10).故選C.5在ABC中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若bcosAacosBc2，ab2，則ABC的周長(zhǎng)為()A7.5B7C6D5答案D解析解法一：bcosAacosBc2，ab2，由余弦定理可得beq f(b2c2a2,2bc)aeq f(a2c2b2,2ac)c2，整理可得2c22c3，解得c1，則

41、ABC的周長(zhǎng)為abc2215.故選D.解法二：由正弦定理得sinBcosAsinAcosBcsinC，即sin(AB)sinCcsinC，所以c1，故ABC的周長(zhǎng)為abc2215.故選D.6(2022山東菏澤一中模擬)在ABC中，下列四個(gè)命題中不正確的是()A若AB，則sinAsinBB若sinAsinB，則AB，則eq f(1,sin2A)eq f(1,sin2B)D若Acos2B答案C解析若AB，則ab，由正弦定理得2RsinA2RsinB，所以sinAsinB，故A正確；同理B正確；當(dāng)A120，B30時(shí)，eq f(1,sin2A)0，故C不正確；若AB，則sinAsinB，所以sin2A

42、1sin2B，所以cos2Acos2B，故D正確故選C.7(2022河北唐山模擬)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差數(shù)列，若ABC外接圓的半徑為1，則b()A.eq f(3,2)B2Ceq r(3)Deq r(2)答案C解析由題意，得2bcosBacosCccosA，由正弦定理，得2sinBcosBsinAcosCsinCcosA，即2sinBcosBsin(AC)sinB，故cosBeq f(1,2)，則Beq f(,3).又ABC外接圓的半徑為1，則b2RsinBeq r(3).故選C.8在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，

43、b，c.若角A，B，C依次成等差數(shù)列，且a1，beq r(3).則SABC()A.eq r(2)Beq r(3)Ceq f(r(3),2)D2答案C解析因?yàn)锳，B，C依次成等差數(shù)列，所以B60，所以由余弦定理得b2a2c22accosB，得c2，所以SABCeq f(1,2)acsinBeq f(r(3),2).故選C.二、多項(xiàng)選擇題9在ABC中，根據(jù)下列條件解三角形，其中有一解的是()Ab7，c3，C30Bb5，c4，B45Ca6，b3eq r(3)，B60Da20，b30，A30答案BC解析對(duì)于A，因?yàn)閎7，c3，C30，所以由正弦定理可得sinBeq f(bsinC,c)eq f(7f(

44、1,2),3)eq f(7,6)1，無解；對(duì)于B，b5，c4，B45，所以由正弦定理可得sinCeq f(csinB,b)eq f(4f(r(2),2),5)eq f(2r(2),5)1，且cb，有一解；對(duì)于C，因?yàn)閍6，b3eq r(3)，B60，所以由正弦定理可得sinAeq f(asinB,b)eq f(6f(r(3),2),3r(3)1，A90，此時(shí)C30，有一解；對(duì)于D，因?yàn)閍20，b30，A30，所以由正弦定理可得sinBeq f(bsinA,a)eq f(30f(1,2),20)eq f(3,4)1，且ba，所以B有兩個(gè)值，有兩解故選BC.10在ABC中，已知bcosCccosB

45、2b，且eq f(1,tanA)eq f(1,tanB)eq f(1,sinC)，則()Aa，b，c成等比數(shù)列BsinAsinBsinC21eq r(2)C若a4，則SABCeq r(7)DA，B，C成等差數(shù)列答案BC解析因?yàn)閎cosCccosB2b，所以sinBcosCsinCcosBsin(BC)sinA2sinB，即a2b.又因?yàn)閑q f(1,tanA)eq f(1,tanB)eq f(1,sinC)，所以eq f(cosA,sinA)eq f(cosB,sinB)eq f(sinBcosAcosBsinA,sinAsinB)eq f(sinAB,sinAsinB)eq f(sinC,s

46、inAsinB)eq f(1,sinC)，即sin2CsinAsinB，c2ab，所以a，c，b成等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤；因?yàn)閍2b，c2ab，所以abc21eq r(2)，即sinAsinBsinC21eq r(2)，故B正確；若a4，則b2，c2eq r(2)，則cosBeq f(422r(2)222,242r(2)eq f(5r(2),8)，因?yàn)?B，所以sinBeq f(r(14),8).故SABCeq f(1,2)42eq r(2)eq f(r(14),8)eq r(7)，故C正確；若A，B，C成等差數(shù)列，則2BAC.又因?yàn)锳BC，則Beq f(,3).因?yàn)閍bc21eq r(2)，設(shè)a

47、2k，bk，ceq r(2)k，k0，則cosBeq f(2k2r(2)k2k2,22kr(2)k)eq f(5r(2),8)eq f(1,2)，故D錯(cuò)誤故選BC.三、填空題11在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若aeq r(7)，b2，A60，則c_.答案3解析由余弦定理，得a2b2c22bccosA，c22c30，解得c3(c1舍去)12在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若cosBeq f(1,3)，b4，SABC4eq r(2)，則ABC的周長(zhǎng)為_答案4eq r(3)4解析由cosBeq f(1,3)，得sinBeq f(2r(2),3)，由三角

48、形面積公式可得eq f(1,2)acsinBeq f(1,2)aceq f(2r(2),3)4eq r(2)，則ac12，由b2a2c22accosB，可得16a2c2212eq f(1,3)，則a2c224.聯(lián)立可得ac2eq r(3)，所以ABC的周長(zhǎng)為4eq r(3)4.13在ABC中，C60，且eq f(a,sinA)2，則ABC的面積S的最大值為_答案eq f(3r(3),4)解析由C60及eq f(c,sinC)eq f(a,sinA)2，可得ceq r(3).由余弦定理得3b2a2abab(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào))，Seq f(1,2)absinCeq f(1,2)3eq f(r(

49、3),2)eq f(3r(3),4)，ABC的面積S的最大值為eq f(3r(3),4).14已知在ABC中，ACeq r(2)，BCeq r(6)，ABC的面積為eq f(r(3),2)，若線段BA的延長(zhǎng)線上存在點(diǎn)D，使BDCeq f(,4)，則CD_.答案eq r(3)解析因?yàn)锳Ceq r(2)，BCeq r(6)，ABC的面積為eq f(r(3),2)eq f(1,2)ACBCsinACBeq f(1,2)eq r(2)eq r(6)sinACB，所以sinACBeq f(1,2)，所以ACBeq f(,6)或eq f(5,6)，若ACBeq f(5,6)，則BDCeq f(,4)eq f(,4)eq f(5,6)，與三角形內(nèi)角和定理矛盾，所以ACBeq f(,6)，所以在ABC中，由余弦定理得ABeq r(AC2BC22ACBCcosACB)eq r(262r(2)r(6)f(r(3),2)eq r(2)，所以ABAC，所以Beq f(,6)，所以在BDC中，由正弦定理可得CDeq f(BCsinB,sinBDC)eq f(r(6)f(1,2),f(r(