集合知識框架

1、刖浙匡 模塊框架4集含的概念弓表示憐集0的性質(zhì) 集合的表示法 集合偵元素的美系.子集與真子案4 _ 一0箜鯉五色問孚栗的列舉與個數(shù) 集合集合基本遂算 貧合的運算徒 集合元素的個數(shù)耳集吾家r題1或案合定義型目岫 高考要求內(nèi)容基本要求集合的含義會使用符號“6 ”或“W ”表示元素與集合之間的關系；集合的表示能選擇自然語言、圖形語言、集合語言描述不同的具體問題； 理解集合的特征性質(zhì)，會用集合的特征性質(zhì)描述一些集合，如常 用數(shù)集，方程或不等式的解集等集合間的基本關系理解集合之間包含與相等的含義，及子集的概念.在具體情景中， 了解空集和全集的含義；理解兩個集合的交集和并集的含義，會求兩個簡單集合的交集與

2、 并集.理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集 的補集集合的基本運算掌握有關的術語和符號，會用它們表達集合之間的關系和運算.能 使用維恩圖表達集合之間的關系和運算.IL知識內(nèi)容集合：某些指定的對象集在一起成為集合。集合中的對象稱元素，若a是集合A的元素，記作a 6 A ；若b不是集合A的元素，記作b史A ；（2）集合中的元素必須滿足：確定性、互異性與無序性；確定性：設A是一個給定的集合，x是某一個具體對象，則或者是A的元素，或者 不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立；互異性：一個給定集合中的元素，指屬于這個集合的互不相同的個體（對象），因此，同一集合中不應重復出現(xiàn)同一元素；

3、無序性：集合中不同的元素之間沒有地位差異，集合不同于元素的排列順序無關；（3）表示一個集合可用列舉法、描述法或圖示法；列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)；例如：1,2, 3, 4, 5，1,2, 3, 4, 5, 描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)。例如：大于3的所有整數(shù)表示為：x e Zl x3方程x2 - 2x - 5 = 0的所有實數(shù)根表示為：x e R | x2 - 2x - 5 = 0 具體方法：在大括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再 畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征。注意：列舉法與描述法各有優(yōu)點，應

4、該根據(jù)具體問題確定采用哪種表示法，要注意，一 般集合中元素較多或有無限個元素時，不宜采用列舉法。（4）常用數(shù)集及其記法：非負整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N；正整數(shù)集，記作N*或N+；整數(shù)集，記作Z；有理數(shù)集，記作Q；實數(shù)集，記作R。教師備案集合是數(shù)學中最原始的概念之一，不能用其他的概念給它下定義，所以集合是 不定義的概念，只能做描述性的說明.構(gòu)成集合的元素除了常見的數(shù)、式、點等數(shù)學對象之外，還可以是其他任何 對象.例：小明，機器貓，哈里波特正確認識一個集合的關鍵是理解集合中的元素特征.任何一個對象都能確定它是不是某一個集合的元素這是集合中元素的最 基本的特征一一確定性，反例：“很小的數(shù)，“個子較

5、高的同學;集合中的任何兩個元素都是不同的對象即在同一集合里不能重復出現(xiàn)相 同元素一一互異性，事實告訴我們，集合中元素的互異性常被忽略，從而 導致解題出錯例：方程（x-1）2（x-2） = 0的解集不能寫成1,1,2，而應寫 成1,2在同一集合里，通常不考慮元素之間的順序一一無序性 例：集合a,b, c與集合b, c, a是相同集合用描述法表示集合，對其元素的屬性要準確理解.例如：集合Lly = x2表示自變量x值的全體，即tx|x e R ；集合yly = x2 表示函數(shù)值y的全體，即y|y N 0；集合lx，y）|y = x2表示拋物線y = x2上 的點的全體，是點的集合（一條拋物線）；而

6、集合y = x2 則是用列舉法表示的單元素集.關于集合的表示方法之間的轉(zhuǎn)換例如：A = X GZ,x en)，用列舉法表示為A = 0,1,2,4,5, 6 9)3 - x JA = |xx = U + U, a, b是非零實數(shù) )，用列舉法表示為A = -2,0, 2)a b集合的包含關系：集合A的任何一個元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集(或B包含A), 記作A G B (或A u B)；集合相等：構(gòu)成兩個集合的元素完全一樣。若A G B且B目A，則稱A等于B，記作A=B； 若A G B且ANB,則稱A是B的真子集，記作AB；簡單性質(zhì)：1) A GA； 2) GA； 3)若 AGB,

7、BGC,則 A G C； 4)若集合 A 是n個元素的集合，則集合A有2n個子集(其中2n-1個真子集)；全集與補集：包含了我們所要研究的各個集合的全部元素的集合稱為全集，記作U；若S是一個集合，A GS,則，Cs = x I x e S且x任A稱S中子集A的補集；簡單性質(zhì)：1) % (CJ=A； 2) % S=，%中=SO教師備案強調(diào)說明，加深印象：表示元素和集合之間的關系：屬于“ e ”和不屬于“ W ”表示集合與集合之間的關系：包含關系：如果對于任意a e A n a e B，則集合A是集合B的子集，記為AgB或BmA ；注意提示：AgA , 0gA真子集關系：對于兩個集合A與B，若A

8、g B且A。B，則集合A是集合B的 真子集，記作A B (或B A)相等關系：對于兩個集合A與B剖果A g B，且B g A，那么集合A與B相 等，記作A = B注意提示：如果A g B ，那么有A = B或A B，兩種情況二者必居其一； 而A B是不允許A = B，所以即使A g B , A B不一定成立； 反之,A B可以說A g B ； A = B也可說A g B不包含關系：如果集合A中存在著不屬于集合B的元素，那么集合A不包含 于B ,或B不包含A .分別記作A B，或B A0 , 0 , 0 , 0之間的區(qū)別與聯(lián)系幺 更0與0是不同的，0只是一個數(shù)字，而0則表示集合，這個集合中含有一

9、 個元素0 ,它們的關系是0e00與0是不同的，0中沒有任何元素，0則表示含有一個元素0的集合， 它們的關系是兩個集合之間的關系（0 。）0與0是不同的，0中沒有任何元素，0則表示含有一個元素0的集 合，它們的關系是0G 0或0C 0或0 0顯然，0任0，0史0C集合中的計數(shù)問題當研究有限集合問題時，常有一些計數(shù)問題.在計數(shù)時常用下列結(jié)論：設集 合A中元素個數(shù)為n，則子集的個數(shù)為2n ,真子集的個數(shù)為2 -1 , 非空真子集的個數(shù)為2n - 2交集與并集：（1）一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交 集。交集 A c B = x I x g A且x g B。（2

10、）一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B 的并集。并集人u B = x I x g A或x g B。注意：求集合的并、交、補是集合間的基本運算，運算結(jié)果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集 的關鍵是“且”與“或”在處理有關交集與并集的問題時，常常從這兩個字眼出發(fā)去揭示、 挖掘題設條件，結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進而用集合語言表達，增強數(shù)形結(jié)合的思想方法。教師備案1 .理解兩個集合的并集、交集、補集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集 能使用Venn圖表示集合的并集、交集、補集；能使用數(shù)軸表示不等式或不等式組的解集和表示集合A的補集a TOC o 1-5 h z 2.基礎知識點

11、撥：/交集的概念：一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合， 稱為A與B的交集，記作A B （讀作 A交B” ），即 A B = x I x g A,且 x g Bn數(shù)學符號表示:：A B = x I x g A,且x g BVenn圖反映：n并集的概念：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合,稱為集合A與B的并集，記作A B （讀作 A并B ”），即A B =x I x e A,或 x e B數(shù)學符號表示：A B=x I x e A,或x e BVenn圖反映：補集的概念：全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究的問題中涉及的所有元素， 那么就稱這個集合為全集，通常

12、記作U補集：對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，記作a，即A=x I x e U,且x 冬 AU U數(shù)學符號表示：A = x I x e U,且x冬AUVenn圖反映：公式定理小結(jié)：n A ( A)二 U ； A ( A) = 0 ；( A)二 AAgA；0gA；若AgB,BgC ，則AgC ；若A B ,B C，則A C； A B = B A ； A g A。A B g B ；AP0 = 0 ； nAp|B = B A ；u；a ( A) = U ；rU A g AB|J B g A B ； A 0= AAU(A) = 0 ； H A) =

13、 AC7 C7集合的簡單性質(zhì):A c A = A, A 8 =,A c B = B c A;A uO = A, A uB = B u A;(A c B) q (A u B)；A q B = A c B = A; A q B = A u B = B ；Cs (AHB) = ( Cs A)U( Cs B), Cs (AUB) = ( C A)C( C B)。6.集合元素個數(shù)公式：n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B).un目上雌 競賽知識.集合的概念集合是一個原始的概念，是數(shù)學中一個不定義的概念.盡管如此，對于一個具體的集合 而言，很多情況下我們可以通過采用列舉或者描述的方法給

14、出它的一個準確而清晰的表示.集合的描述法對任給的一個性質(zhì)P，存在一個集合S，它由恰好是具有性質(zhì)P的所有對象構(gòu)成，即S = x I P(x)，其中P(x)表示“ x具有性質(zhì)P ”.元素與集合的關系一個集合的元素是完全確定的，同時其包含的元素之間具有無序性和互異性.對于一個 確定的對象x和一個確定的集合A，“ x E A 與“ x史A ”有且僅有一個成立.如果對象x滿 足描述集合A的性質(zhì)，則有“ x e A，此時稱對象x為集合A的元素.集合的元素個數(shù)為有限數(shù)的集合稱為有限集，元素個數(shù)為無限的集合稱為無限集.空集 0不含任何元素.思考：0是不是空集，它的元素是什么4集合與集合的關系集合A包含于集合B

15、，即“ A q B” o “ Vx e A，有x e B . ”(“ V ”：任給，“寸x e A ” 即“任給集合A中的元素x ”)集合A真包含于集合B，即A B ”o Vx e A，有x e B . ”且3x e B，使得x W A . ” (“ 3 ”：存在，“ 3x e B ”即“存在集合B中的元素x ”)集合A與集合B相等，即A =B o A q B ”且“ B q A ”.思考：如何利用“ V ”和“3通過數(shù)學語言敘述命題“對任何自然數(shù)。，都存在整數(shù) b，使得a + b是質(zhì)數(shù).集合與集合的運算集合的交集、并集、補集三種基本運算是通過元素與集合的關系來定義的.有時，我們 還要用到集合

16、的差集的概念.下面給出這四種運算的定義：交集：A B = x I x e A，且 x e B ，n并集：A B =x I x e A，或 x e B ,補集：如果有A o B，則A對B的補集A = x I x e B，且x史A .(注意前提條件，如 果A o B不成立，就A對B的補集運算就無從談起.)，當給定全集U時，A常記做A .差集：A B =x e A，且 x 史 B .V利用維恩圖可以直觀的理解集合與集合的運算，例如交集和并集：思考：補集運算與差集運算的聯(lián)系，畫出補集和差集的維恩圖表示.子集以及摩根定律如果集合A與集合M間滿足關系：A o M，那么稱集合A是集合M的子集.特別的， 規(guī)定

17、空集0是任何集合的子集.摩根定律：如果集合A、B都是集合M的子集，那么(A B) = A B，(A B) = A B .另外，如果集合A、B都是集合M的子集u那么A料AB .給定一個有限集，寫出其所有子集的方法寫出給定有限集的所有子集的方法有很多種，在這里我們通過一個實際的例子介紹通過 添加給定集合元素得到給定集合所有子集的添加元素法：例：對給定集合1，2，3寫出其所有子集.寫出空集將前一步得到的所有集合照抄，然后將給定集合中第一個元素添加到那些集合 中，得到一些新的集合.把照抄的集合和新的集合放在一起，作為該步得到的集 合與類似，不過這次添加的元素為集合中的第二個元素.重復操作，直到將給定

18、集合的所有元素都添加完畢，就得到了給定集合的所有子集.00，1 0，1， 2，1，2 0，1，2，1，2 T0，1， 2，1，2，3，1，3，2，3，1，2，3 .思考：寫出集合1,0的所有子集.有限集的階如果集合A為有限集，那么集合A的元素的數(shù)目叫做這個集合的階，記做IAI .特別的， 定義空集0的階為0 .思考：如果使用維恩圖表示集合，那么可以用面積表示有限集的階.子集族某些集合的元素是集合，例如A=0，1，1，2，2就是一個含有4個元素(每 個元素都是集合)的集合.特別的，將集合M的若干子集作為元素構(gòu)成的集合M*叫做集合 M的一個子集族.最簡單的子集族是由有限集M的全體子集所構(gòu)成的子集族

19、，簡稱為C 族.知識提要7給出的方法，其實就是得到有限集M的C族M*中所有元素的方法.C族的基本性質(zhì)：如果集合M的階為n，那么集合M的C族M*的階為2n.思考：通過寫出給定有限集的所有子集的添加元素法的步驟理解C族的基本性質(zhì).覆蓋和集合的分劃A，A是集合M的一個覆蓋.2集合的分劃：如果A1，A2， 交集為空集，即“V1 i j n n -分劃.集合M的覆蓋A，A，A = 1,2,3,4,5可以寫成1，A =3，4.所以 A，A子3集族，但不是集合A的一個分劃.思考：集合A的子集族0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 中的元素是否構(gòu)成集合A的一個 分劃，給出集合A的一個5-分劃.覆蓋：如果對于一個集合M，n個非空集合A，A，A滿足n A=M，則稱A， 12ni1，A是集合M的一個覆蓋，若A，A，A兩兩間 n12n，A. A. =0 .”，那么這些集合的全體叫做集合M的一個，A構(gòu)成的集合M *一定是集合M的一個子集族.例如集合 2 2，4，5 3，4，記 A =（1，2，A =