數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽-獎(jiǎng)學(xué)金評(píng)定模型

1、第七屆大學(xué)生微學(xué)建模競(jìng)賽主辦：東南大學(xué)教務(wù)處承辦：東南大學(xué)數(shù)學(xué)系東南大學(xué)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽組委會(huì)論文選題及題目： 工獎(jiǎng)學(xué)金評(píng)定問(wèn)題參賽隊(duì)員信息：隊(duì)員1隊(duì)員2隊(duì)員3姓名劉海波仇?；勰铄吩合祪x科自動(dòng)化公衛(wèi)手機(jī)獎(jiǎng)學(xué)金評(píng)定問(wèn)題模型摘要現(xiàn)行的獎(jiǎng)學(xué)金評(píng)定制度多種多樣，但并不是每一種都很科學(xué)合理；題目要求用至少三種模型解決問(wèn)題，因此本文基于不同的計(jì)算權(quán)重的算法，建立了四種模型：簡(jiǎn)單加 權(quán)平均值模型、標(biāo)準(zhǔn)化模型、層次分析模型以及模糊層次分析模型。逐步提高了權(quán)重算 法的準(zhǔn)確性以及考慮因素的完備性，并借助C+、matlab、excel等軟件解決了問(wèn)題。首先，我們對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了預(yù)處理。將除任選課以及人文課之外的科目有低于

2、60分 的同學(xué)淘汰，留下了 40名同學(xué)。然后我們采用偏大型柯西分布和和對(duì)數(shù)函數(shù)構(gòu)造了一 個(gè)隸屬函數(shù)：Jl + a（x-疔,1 W/（X）=anx + b,3x5將任選課與人文課的等級(jí)評(píng)價(jià)轉(zhuǎn)化為百分制。在用AHP和FAHP建模的時(shí)候，由于每個(gè) 同學(xué)的任選課與人文課的科目不盡相同，這對(duì)計(jì)算權(quán)重造成了很大的麻煩，為了簡(jiǎn)化計(jì) 算，我們采用了補(bǔ)償?shù)姆椒ǎ簩⒚课煌瑢W(xué)已修的任選課和人文課的平均分作為這位同學(xué) 未修課程的得分，因?yàn)槠骄衷谝欢ǔ潭壬峡梢员硎敬藢W(xué)生的學(xué)習(xí)能力。模型一（簡(jiǎn)單加權(quán)平均值模型）：此模型將基礎(chǔ)課、專業(yè)課、必選課以及選修課的 權(quán)重看作是一樣的，以學(xué)分比重作為權(quán)值來(lái)計(jì)算平均分，然后借助CH計(jì)

3、算平均成績(jī), 借助EXCEL軟件排序得到前10$的學(xué)生。模型二（標(biāo)準(zhǔn)化模型）：此模型考慮到了課程的難易程度對(duì)課程權(quán)值的影響，用標(biāo) 準(zhǔn)化的方法將百分制的分值轉(zhuǎn)化為。1，使得分?jǐn)?shù)域相同，這有效增強(qiáng)了其可比性，然 后借助EXCEL軟件計(jì)算排序得到前10舟的學(xué)生。模型三（層次分析模型）：此模型將課程性質(zhì)、學(xué)時(shí)和學(xué)分都看做方案層，課程權(quán) 值視為目標(biāo)層，建立判斷矩陣，將課程性質(zhì)、學(xué)時(shí)、學(xué)分這些因素對(duì)目標(biāo)層的影響量化， 運(yùn)用MATLAB分析計(jì)算出權(quán)值向量，進(jìn)而得到前10%的學(xué)生。結(jié)果為： 70, 30, 86, 2, 20, 75, 60, 84, 64, 72模型四（模糊層次分析法）：此模型有效地避免了層

4、次分析法中建立判斷矩陣時(shí)的 主觀因素以及一致性檢驗(yàn)時(shí)的繁瑣，相比較層次分析法更加嚴(yán)謹(jǐn)，用模糊一致矩陣量化 各因素的影響，然后代入公式求得權(quán)值向量，進(jìn)而運(yùn)用MATLAB求得前10$的學(xué)生。最 終結(jié)果為：70, 30, 86, 75, 60, 2, 17, 64, 20, 72關(guān)鍵詞：獎(jiǎng)學(xué)金評(píng)定問(wèn)題，權(quán)值，隸屬函數(shù)、簡(jiǎn)單加權(quán)平均值，標(biāo)準(zhǔn)化模型，層次分析 模型，模糊層次分析模型4目錄一、問(wèn)題重述 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark8 o Current Document 二、問(wèn)題分析4 HYPERLINK l bookmark10 o Current Documen

5、t 隸屬函數(shù)求解4 HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 模型求解公式5 HYPERLINK l bookmark16 o Current Document 三、模型的假設(shè)5四、定義與符號(hào)說(shuō)明5 HYPERLINK l bookmark20 o Current Document 五、模型的建立與求解5.模型16建立模型及模型求解6.模型27建立模型7模型求解7.模型38建立層次結(jié)構(gòu)模型8構(gòu)造成對(duì)比較矩陣8一致性檢驗(yàn)及層次排序9計(jì)算課程權(quán)重排序9L L中共 3 電 角不 g4.模型410建立層次結(jié)構(gòu)模型10建立模糊一致判斷矩陣11計(jì)算課程權(quán)重排序11

6、數(shù)據(jù)處理及模型求解12 HYPERLINK l bookmark32 o Current Document 六、模型的評(píng)價(jià)與推廣13 HYPERLINK l bookmark34 o Current Document 模型的優(yōu)缺點(diǎn)13 HYPERLINK l bookmark36 o Current Document 最終結(jié)果比較13 HYPERLINK l bookmark38 o Current Document 建議與推廣13參考文獻(xiàn)14附錄15一、問(wèn)題重述幾乎學(xué)校的每個(gè)院系每年都會(huì)評(píng)定學(xué)生獎(jiǎng)學(xué)金。設(shè)立獎(jiǎng)學(xué)金的目的是鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí) 期間德智體全而發(fā)展。其中，年度的學(xué)習(xí)成績(jī)是獎(jiǎng)學(xué)金評(píng)定的主要

7、依據(jù)之一，因此，如 何根據(jù)學(xué)生本年度的各門課成績(jī)來(lái)合理衡量學(xué)生很有必要。附件1是該學(xué)院某年級(jí)105名學(xué)生全年的學(xué)習(xí)情況。請(qǐng)你們隊(duì)根據(jù)附件信息，綜合考慮各門課程，至少用3到4 種方法將成績(jī)最優(yōu)秀的10$的同學(xué)評(píng)選出來(lái)，作為進(jìn)一步獎(jiǎng)學(xué)金評(píng)定的候選人，并比較 這些方法的優(yōu)劣。你們隊(duì)的論文不應(yīng)超過(guò)15頁(yè)。論文應(yīng)明確說(shuō)明你們隊(duì)是如何考慮課 程性質(zhì)、學(xué)時(shí)、學(xué)分、成績(jī)等因素的，以及你們隊(duì)的主要結(jié)果及對(duì)該問(wèn)題的建議。二、問(wèn)題分析隸屬函數(shù)求解在初始數(shù)據(jù)中，任選課和人文課是使用等級(jí)表示的，我們用了隸屬函數(shù)法來(lái)將等級(jí) 轉(zhuǎn)化為百分制。偏大型柯西分布隸屬函數(shù)：fM = 1 + 2(x-/)-2-4x3 alnx + b

8、,3 x5我們規(guī)定A, B, C, D四個(gè)等級(jí)相應(yīng)的值為5, 4, 3, 2。當(dāng)?shù)燃?jí)為A時(shí)，隸屬度 為1，即x=5, f(5)=l；等級(jí)為C時(shí)，隸屬度為，即x=3,六3)二;等級(jí)為(此處沒(méi)有該 類型評(píng)價(jià)，出于考慮問(wèn)題方便使用)時(shí)，隸屬度為，即工=1，f(l) = o計(jì)算可得a 0.9066,= 1.0957,6/ = 0.3915。= 0.3699 因而可得.fM = 1 + |0.9066(x 一 1.0957)-2 H,lx30.3915hix + 0.36993x5畫出隸屬函數(shù)圖像:根據(jù)圖像我們?nèi)∪缦潞瘮?shù)值:f(2)= f=, f=, f=, 即:A二，B二,C二，D=o模型求解公式我們

9、用到了四種模型來(lái)求解權(quán)重，代數(shù)法的計(jì)算公式為:v單科分?jǐn)?shù)*單科學(xué)分乙總學(xué)分標(biāo)準(zhǔn)化模型計(jì)算公式為：平均成績(jī)二手：二:;二:層次分析模型和模糊層次分析模型綜合成績(jī)二:E之（學(xué)分，成績(jī)*學(xué)時(shí)比重*課程性質(zhì)）的權(quán)重計(jì)算公式為:總學(xué)分最后用權(quán)重向量乘以成績(jī)矩陣就可以得到關(guān)于綜合成績(jī)的矩陣。三、模型假設(shè).假設(shè)參評(píng)人不會(huì)以任何手段來(lái)獲取評(píng)委的特殊照顧，僅以成績(jī)做為參考憑證。.假設(shè)所有參評(píng)人所獲得的學(xué)分為準(zhǔn)確，全面，真實(shí)。.假設(shè)該評(píng)定流程是按嚴(yán)格正規(guī)的官方流程進(jìn)行。.獎(jiǎng)學(xué)金評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)除了受體中所給因素影響外不再受其他條件影響。.假設(shè)未修的任選課和人文課的成績(jī)?yōu)樵搶W(xué)生已修任選課和人文課的平均分。四、符號(hào)說(shuō)明a、P

10、、表示隸屬函數(shù)anx + by3x5的參數(shù)；x ：學(xué)生的某科的成績(jī)max：代表每科的最高分min：代表每科的最低分i, n：代表科目數(shù)X：表標(biāo)準(zhǔn)化后的成績(jī)W：代表權(quán)重向量：比較判斷矩陣的特征值max：最大特征向量CI： 一致性指標(biāo)CR： 一致性比率RL平均隨機(jī)一致性指標(biāo)R：模糊一致矩陣A：模糊層次中的因素r：模糊層次中的數(shù)量標(biāo)度w：模糊層次中的各因素的權(quán)重五、模型建立與求解方法一：簡(jiǎn)單加權(quán)平均值模型對(duì)于綜合成績(jī)的評(píng)定，我們假設(shè)基礎(chǔ)課、專業(yè)課、必選課以及選修課的權(quán)重是一樣的, 獎(jiǎng)學(xué)金評(píng)定的標(biāo)準(zhǔn)是學(xué)校培養(yǎng)目標(biāo)的具體化，對(duì)學(xué)生全面發(fā)展具有導(dǎo)向作用。沒(méi)有一門課程 是可以被忽視的。為了更加直接的比較出每

11、位同學(xué)的綜合成績(jī)，我們沒(méi)有將分?jǐn)?shù)向績(jī)點(diǎn)來(lái)轉(zhuǎn) 化,而是直接用代入分?jǐn)?shù)的方法來(lái)計(jì)算。這樣得到的結(jié)果一般不會(huì)出現(xiàn)相同成績(jī)的兩位同學(xué), 有利于我們很直觀的選出前10%的同學(xué)，較具有科學(xué)性。綜合成績(jī)的計(jì)算取決于實(shí)際考試分?jǐn)?shù)和學(xué)分2個(gè)因素。計(jì)算學(xué)分成績(jī)時(shí)，把學(xué)分在該學(xué)年所 取得的實(shí)際總學(xué)分中的比重作為權(quán)重，對(duì)每門科目進(jìn)行加權(quán)得出一個(gè)加權(quán)成績(jī)，我們認(rèn)為學(xué) 分在獎(jiǎng)學(xué)金評(píng)定模型中的作用基本合理，問(wèn)題應(yīng)集中在實(shí)際考試分?jǐn)?shù)上。所用公式：?jiǎn)慰品謹(jǐn)?shù)*單科學(xué)分總學(xué)分建立模型及模型求解1、由題目描述可知，任選課和人文課的成績(jī)是以的等級(jí)的形式呈現(xiàn)的，所以我們通過(guò)上面 的方法將其分?jǐn)?shù)化得：A二、即、C二、2、然后我們將符合條件

12、（除選修課外無(wú)不及格科目）的同學(xué)篩選出來(lái)，共剩下40位同學(xué)。3、接下來(lái)我們通過(guò)計(jì)算機(jī)來(lái)計(jì)算得到每位同學(xué)的綜合成績(jī)，C+關(guān)鍵代碼見(jiàn)附錄.4、最后我們應(yīng)用excel自帶的排序功能排序得到綜合成績(jī)前10%的同學(xué)。得到如下表的綜合成績(jī)排名：表學(xué)生序號(hào)綜合成績(jī)學(xué)生序號(hào)綜合成績(jī)704430186187545163605329380749962129164933108413209672291781736954103922227S根據(jù)上表，得到前十名學(xué)生序號(hào)為:70, 30, 86, 75, 51, 60, 2, 80, 99, 12.方法二：標(biāo)準(zhǔn)化模型獎(jiǎng)學(xué)金評(píng)定的公平性在整個(gè)評(píng)定過(guò)程中必須放在首要位置但是由

13、于各科老師的給分習(xí) 慣的差異以及任選課和人文課采取等級(jí)評(píng)分制，使得在獎(jiǎng)學(xué)金評(píng)定時(shí)計(jì)算學(xué)生成績(jī)會(huì)出現(xiàn)諸 多不便，如等級(jí)A, B, C, D怎么算才是相對(duì)公平的。所以如何減小這些影響評(píng)定公平性的 因素是我們必須認(rèn)真解決的問(wèn)題，首先，考慮到每位老師給分習(xí)慣的不同，我們考慮極值標(biāo) 準(zhǔn)化的方法，將百分制的分值轉(zhuǎn)化為01,使得分?jǐn)?shù)域相同，這有效增強(qiáng)了其可比性。建立模型公式：X二；Y=average 模型求解.利用Excel中的Min和Max函數(shù)將每科的最高分max和最低分min找出;.極值標(biāo)準(zhǔn)化公式XYZL,其中x為學(xué)生的某科的成績(jī); max-min.將歸一化后所得的數(shù)據(jù)以學(xué)生為單位，計(jì)算出每位學(xué)生的平均

14、成績(jī)；.對(duì)最終計(jì)算得出的平均成績(jī)按降序進(jìn)行排序，篩選出前十名的同學(xué)最終得到如下表格表2-1成績(jī)排名學(xué)號(hào)總和平均值學(xué)號(hào)總和平均值7053301875133748662212519184106042096804472137369922799296481639932217854103根據(jù)上表得到前十名學(xué)生序號(hào)為：70, 30, 75, 33, 86, 2, 51, 84, 60, 20.方法三：層次分析法（AHP）考慮到光以學(xué)分為權(quán)重進(jìn)行加權(quán)平均不能完全代表各個(gè)學(xué)生的真實(shí)成績(jī)，因?yàn)楦鏖T課之 間的重要程度的因素是很多的，不能單一地以學(xué)分多少作為評(píng)價(jià)課程重要程度的依據(jù)。因此 我們計(jì)劃將課程性質(zhì)、學(xué)時(shí)與學(xué)

15、分綜合作為考察一個(gè)課程重要程度的依據(jù)，并以此作為加權(quán) 平均的權(quán)重，下而是先用層次分析法對(duì)課程性質(zhì)進(jìn)行重要程度排序。然后根據(jù)公式：（學(xué)分成績(jī)學(xué)時(shí)比重*課程性質(zhì)） 總學(xué)分求出綜合成練（在這里，將21門課的f 1定義為權(quán)重向量w）建立層次結(jié)構(gòu)模型構(gòu)造成對(duì)比較矩陣層次結(jié)構(gòu)反映了各因素之間的關(guān)系，但準(zhǔn)則層中的各準(zhǔn)則在目標(biāo)衡量中所占的比重并不一定相同。 我們就通過(guò)各因素兩兩比較來(lái)確定比較判斷矩陣表標(biāo)度的具體含義標(biāo)度含義1表示兩個(gè)因素相比，具有相同重要性3表示兩個(gè)因素相比，前者比后者稍重要5表示兩個(gè)因素相比，前者比后者明顯重要7表示兩個(gè)因素相比，前者比后者強(qiáng)烈重要9表示兩個(gè)因素相比，前者比后者極端重要2、

16、4、 6、 8表示上述相鄰判斷的中間值根據(jù)上述標(biāo)準(zhǔn)就可以構(gòu)造判斷矩陣:123571/212361/31/21251/51/31/212L1/71/61/51/2二一致性檢驗(yàn)及層次排序用MATLAB的eig函數(shù)算出判斷矩陣A的最大特征值為：max=查表得n=5相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI二一致性指標(biāo)CI的計(jì)算：max-n一致性比率CR的計(jì)算：crW/RICR,我們可以認(rèn)為判斷矩陣的一致性是可以接受的。用MATLAB計(jì)算矩陣A的最大特征向量并做歸一化處理得: w二,T得到的向量w就是根據(jù)AHP得到的五種課程的權(quán)重排序。計(jì)算課程權(quán)重排序上述的權(quán)重排序僅考慮了課程性質(zhì)，再對(duì)各種課程性質(zhì)中不同課程學(xué)時(shí)的

17、不同對(duì)各 課程再排序.下表是各課程所對(duì)應(yīng)的學(xué)時(shí)數(shù)：表課程對(duì)應(yīng)學(xué)時(shí)表基礎(chǔ)課課程11課程2課程53課程62專業(yè)課課程7課程82課程93必選課課程10課程153任選課課程16課程193人文課課程20、課程212在這里，我們以學(xué)時(shí)數(shù)考慮相同課程性質(zhì)內(nèi)不同課程的重要程度，一般認(rèn)為學(xué) 時(shí)數(shù)越多的課程越重要，所以用（各課程學(xué)時(shí)數(shù)/各性質(zhì)課程總學(xué)時(shí)數(shù)）作為權(quán)重進(jìn) 一步優(yōu)化權(quán)重向量：同樣地，學(xué)分的多少也是一種評(píng)價(jià)課程重要程度的依據(jù)，所以 用（各課程學(xué)分?jǐn)?shù)/總學(xué)分）作為權(quán)重加入權(quán)重向量w中。數(shù)據(jù)處理及模型求解在MATLAB中，建立一個(gè)41x21的成績(jī)矩陣A,用A與權(quán)重向量W相乘，得到所 有學(xué)生的綜合成績(jī)表如下表綜

18、合成績(jī)表學(xué)生序號(hào)綜合成績(jī)學(xué)生序號(hào)綜合成績(jī)1602624638649691070127213731774187520802281278429863091339244935196539954103將上表所有數(shù)據(jù)輸入EXCEL,運(yùn)用EXCEL的排序功能得到綜合成績(jī)排序: 表綜合成績(jī)排序表學(xué)生序號(hào)綜合成績(jī)學(xué)生序號(hào)綜合成績(jī)7099301886532S02096756260928429649724474541327518112417693316391938102273103從上表中，我們可以看到前十名的學(xué)生序號(hào)為:70, 30, 86, 2我0,可,60,84, 64, 72.方法四：模糊層次分析法（FA

19、HP）AHP的關(guān)鍵環(huán)汽是建立判斷矩陣，判斷矩陣是否科學(xué)、合理直接影響到AHP的效果，而判斷矩陣的建立往往具有主觀性，并且判斷矩陣一致性的判斷標(biāo)準(zhǔn)：CR缺乏科學(xué)依據(jù)，而 模糊層次分析法可以較好地規(guī)避這些問(wèn)題。下而是先用模糊層次分析法得到課程性質(zhì)的權(quán)值向量曠，再根據(jù)公式:綜合成績(jī)二（學(xué)分*成績(jī)*學(xué)時(shí)比重*課程性質(zhì)）總學(xué)分求出綜合成績(jī)。（在這里將21門課的二嚅一定義為權(quán)重向量w）建立層次結(jié)構(gòu)模型課程重要程度行戶建立模糊一致判斷矩陣下表為模糊一致判斷矩陣的數(shù)量標(biāo)度:表4-1數(shù)量標(biāo)度標(biāo)度說(shuō)明兩元素相比，同等重要兩元素相比，一元素稍微重要兩元素相比，一元素明顯重要兩元素相比，一元素重要得多兩元素相比，一元

20、素極端重要，若元素ai與元素aj相比較得到判斷rij, 則元素aj與元素ai比較得到的判斷為 rji=l-nj有了上面的數(shù)字標(biāo)度后，可得到如下模糊判斷矩陣,并根據(jù)模糊一致矩陣的充要條件進(jìn)行調(diào)整，具體步驟如下：第一步：假設(shè)將第一行元素ru, 如視為有把握的；第二步：用R的第一行元素減去第二行對(duì)應(yīng)元素，若所得的一個(gè)差數(shù)為常數(shù)，不需 調(diào)整第二行元素。否則，要對(duì)第二行元素進(jìn)行調(diào)整，直到第一行元素減第二 行的對(duì)應(yīng)元素之差為常數(shù)為止。第三步：用R的第一行元素減去第三行的對(duì)應(yīng)元素，若所得的n個(gè)差數(shù)為常數(shù)，則不 需調(diào)整第三行的元素。否則，要對(duì)第三行的元素進(jìn)行調(diào)整，直到第一行元 素減去第三行對(duì)應(yīng)元素之差為常數(shù)為

21、Iho上而步驟如此繼續(xù)下去直到第一 行元素減去第行對(duì)應(yīng)元素之差為常數(shù)為止。由以上步驟可以得到如下模糊一致矩陣：r0.50.60.70.80.910.40.50.60.70.80.30.40.50.60.70.20.30.40.50.6Hl0.20.30.40.N計(jì)算課程權(quán)重排序下而引入幾個(gè)定理：定理設(shè)R是n階模糊矩陣,則R是模糊一致矩陣的充分必要條件是存在一 n階非負(fù) 歸一化的向量W=(wl, w2, , wn)T及一正數(shù)a,使得對(duì)于任意的I, jri j=a (wi-wj)+(1)定理(必要性)若R是模糊一致矩陣，則其權(quán)重可由式計(jì)算：忖3三+1*即 rik(2)n 2a na其中,a(n-l

22、)/2, i=l, 2, 3, 4, 5.運(yùn)用以上定理，在本模型中，不妨設(shè)2,分別代入i=l, 2, 3, 4, 5于(2)式中得到:Wl=, W2 二，W3 =，W4=, W5=所以，T =, ,T再將學(xué)時(shí)比重和學(xué)分對(duì)權(quán)重向量的影響考慮進(jìn)來(lái)得到權(quán)重向量W.數(shù)據(jù)處理及模型求解在MATLAB中，建立一個(gè)41x21的成績(jī)矩陣A,用A與權(quán)重向量聽(tīng)相乘，得到所 有學(xué)生的綜合成績(jī)表如下：表4-2學(xué)生綜合成績(jī)表學(xué)生序號(hào)綜合成績(jī)學(xué)生序號(hào)綜合成績(jī)1602624638649691070127213731774187520S02281278429S63091339244935196539954103將上表所有數(shù)據(jù)

23、輸入EXCEL,運(yùn)用EXCEL的4表4-3紛排序功能得到綜合成績(jī)排序： 、合成績(jī)排序表學(xué)生序號(hào)綜合成績(jī)學(xué)生序號(hào)綜合成績(jī)701330918654752960962621710641220997269531S5127331804924473S84963S1742293103從上表中,我們可以看到前十名的學(xué)生序號(hào)為:70, 30, 86, 75, 60, 2,17, 64,20, 72.六、模型評(píng)價(jià)與推廣模型的優(yōu)缺點(diǎn)本文用到了四種模型，它們各有其優(yōu)缺點(diǎn)。第一種模型：簡(jiǎn)單加權(quán)平均值模型，簡(jiǎn)潔易 懂，有利于數(shù)據(jù)的篩選。這種模型的缺點(diǎn)也很明顯，它直接采用分?jǐn)?shù)的比較，有可能會(huì)受到 不同教師打分不同及標(biāo)準(zhǔn)差不同的問(wèn)題、不同科目難度不同的問(wèn)題。第二種模型：標(biāo)準(zhǔn)化模 型，在此模型下，所有的成績(jī)都轉(zhuǎn)化為01之間的數(shù)，使課程分?jǐn)?shù)域相同，這有效解決了各 科老師給分習(xí)慣導(dǎo)致的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)不同的問(wèn)題，使各科的成績(jī)可比性增強(qiáng)。它的缺點(diǎn)是一些同 學(xué)因?yàn)榭既∽畹头侄罱K該科成績(jī)?yōu)?分，這種零分情況難以接受。最后兩種模型：一種是層次分析模型，另一種是模糊層次分析模型。這兩種模型有相同 之處，它們都將研究對(duì)象看做一個(gè)系統(tǒng)，充分考慮了各種權(quán)重影響因素，解決了課程難度不 均帶來(lái)的不公平的問(wèn)題。但是前一種層次分析模型的判斷矩陣的建立有主觀性，不具有科學(xué) 嚴(yán)謹(jǐn)性，而模糊