數(shù)學建模競賽-獎學金評定模型

1、第七屆大學生微學建模競賽主辦：東南大學教務處承辦：東南大學數(shù)學系東南大學數(shù)學建模競賽組委會論文選題及題目： 工獎學金評定問題參賽隊員信息：隊員1隊員2隊員3姓名劉海波仇?；勰铄吩合祪x科自動化公衛(wèi)手機獎學金評定問題模型摘要現(xiàn)行的獎學金評定制度多種多樣，但并不是每一種都很科學合理；題目要求用至少三種模型解決問題，因此本文基于不同的計算權重的算法，建立了四種模型：簡單加 權平均值模型、標準化模型、層次分析模型以及模糊層次分析模型。逐步提高了權重算 法的準確性以及考慮因素的完備性，并借助C+、matlab、excel等軟件解決了問題。首先，我們對數(shù)據(jù)進行了預處理。將除任選課以及人文課之外的科目有低于

2、60分 的同學淘汰，留下了 40名同學。然后我們采用偏大型柯西分布和和對數(shù)函數(shù)構造了一 個隸屬函數(shù)：Jl + a（x-疔,1 W/（X）=anx + b,3x5將任選課與人文課的等級評價轉化為百分制。在用AHP和FAHP建模的時候，由于每個 同學的任選課與人文課的科目不盡相同，這對計算權重造成了很大的麻煩，為了簡化計 算，我們采用了補償?shù)姆椒ǎ簩⒚课煌瑢W已修的任選課和人文課的平均分作為這位同學 未修課程的得分，因為平均分在一定程度上可以表示此學生的學習能力。模型一（簡單加權平均值模型）：此模型將基礎課、專業(yè)課、必選課以及選修課的 權重看作是一樣的，以學分比重作為權值來計算平均分，然后借助CH計

3、算平均成績, 借助EXCEL軟件排序得到前10$的學生。模型二（標準化模型）：此模型考慮到了課程的難易程度對課程權值的影響，用標 準化的方法將百分制的分值轉化為。1，使得分數(shù)域相同，這有效增強了其可比性，然 后借助EXCEL軟件計算排序得到前10舟的學生。模型三（層次分析模型）：此模型將課程性質、學時和學分都看做方案層，課程權 值視為目標層，建立判斷矩陣，將課程性質、學時、學分這些因素對目標層的影響量化， 運用MATLAB分析計算出權值向量，進而得到前10%的學生。結果為： 70, 30, 86, 2, 20, 75, 60, 84, 64, 72模型四（模糊層次分析法）：此模型有效地避免了層

4、次分析法中建立判斷矩陣時的 主觀因素以及一致性檢驗時的繁瑣，相比較層次分析法更加嚴謹，用模糊一致矩陣量化 各因素的影響，然后代入公式求得權值向量，進而運用MATLAB求得前10$的學生。最 終結果為：70, 30, 86, 75, 60, 2, 17, 64, 20, 72關鍵詞：獎學金評定問題，權值，隸屬函數(shù)、簡單加權平均值，標準化模型，層次分析 模型，模糊層次分析模型4目錄一、問題重述 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark8 o Current Document 二、問題分析4 HYPERLINK l bookmark10 o Current Documen

5、t 隸屬函數(shù)求解4 HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 模型求解公式5 HYPERLINK l bookmark16 o Current Document 三、模型的假設5四、定義與符號說明5 HYPERLINK l bookmark20 o Current Document 五、模型的建立與求解5.模型16建立模型及模型求解6.模型27建立模型7模型求解7.模型38建立層次結構模型8構造成對比較矩陣8一致性檢驗及層次排序9計算課程權重排序9L L中共 3 電 角不 g4.模型410建立層次結構模型10建立模糊一致判斷矩陣11計算課程權重排序11

6、數(shù)據(jù)處理及模型求解12 HYPERLINK l bookmark32 o Current Document 六、模型的評價與推廣13 HYPERLINK l bookmark34 o Current Document 模型的優(yōu)缺點13 HYPERLINK l bookmark36 o Current Document 最終結果比較13 HYPERLINK l bookmark38 o Current Document 建議與推廣13參考文獻14附錄15一、問題重述幾乎學校的每個院系每年都會評定學生獎學金。設立獎學金的目的是鼓勵學生學習 期間德智體全而發(fā)展。其中，年度的學習成績是獎學金評定的主要

7、依據(jù)之一，因此，如 何根據(jù)學生本年度的各門課成績來合理衡量學生很有必要。附件1是該學院某年級105名學生全年的學習情況。請你們隊根據(jù)附件信息，綜合考慮各門課程，至少用3到4 種方法將成績最優(yōu)秀的10$的同學評選出來，作為進一步獎學金評定的候選人，并比較 這些方法的優(yōu)劣。你們隊的論文不應超過15頁。論文應明確說明你們隊是如何考慮課 程性質、學時、學分、成績等因素的，以及你們隊的主要結果及對該問題的建議。二、問題分析隸屬函數(shù)求解在初始數(shù)據(jù)中，任選課和人文課是使用等級表示的，我們用了隸屬函數(shù)法來將等級 轉化為百分制。偏大型柯西分布隸屬函數(shù)：fM = 1 + 2(x-/)-2-4x3 alnx + b

8、,3 x5我們規(guī)定A, B, C, D四個等級相應的值為5, 4, 3, 2。當?shù)燃墳锳時，隸屬度 為1，即x=5, f(5)=l；等級為C時，隸屬度為，即x=3,六3)二;等級為(此處沒有該 類型評價，出于考慮問題方便使用)時，隸屬度為，即工=1，f(l) = o計算可得a 0.9066,= 1.0957,6/ = 0.3915。= 0.3699 因而可得.fM = 1 + |0.9066(x 一 1.0957)-2 H,lx30.3915hix + 0.36993x5畫出隸屬函數(shù)圖像:根據(jù)圖像我們取如下函數(shù)值:f(2)= f=, f=, f=, 即:A二，B二,C二，D=o模型求解公式我們

9、用到了四種模型來求解權重，代數(shù)法的計算公式為:v單科分數(shù)*單科學分乙總學分標準化模型計算公式為：平均成績二手：二:;二:層次分析模型和模糊層次分析模型綜合成績二:E之（學分，成績*學時比重*課程性質）的權重計算公式為:總學分最后用權重向量乘以成績矩陣就可以得到關于綜合成績的矩陣。三、模型假設.假設參評人不會以任何手段來獲取評委的特殊照顧，僅以成績做為參考憑證。.假設所有參評人所獲得的學分為準確，全面，真實。.假設該評定流程是按嚴格正規(guī)的官方流程進行。.獎學金評判標準除了受體中所給因素影響外不再受其他條件影響。.假設未修的任選課和人文課的成績?yōu)樵搶W生已修任選課和人文課的平均分。四、符號說明a、P

10、、表示隸屬函數(shù)anx + by3x5的參數(shù)；x ：學生的某科的成績max：代表每科的最高分min：代表每科的最低分i, n：代表科目數(shù)X：表標準化后的成績W：代表權重向量：比較判斷矩陣的特征值max：最大特征向量CI： 一致性指標CR： 一致性比率RL平均隨機一致性指標R：模糊一致矩陣A：模糊層次中的因素r：模糊層次中的數(shù)量標度w：模糊層次中的各因素的權重五、模型建立與求解方法一：簡單加權平均值模型對于綜合成績的評定，我們假設基礎課、專業(yè)課、必選課以及選修課的權重是一樣的, 獎學金評定的標準是學校培養(yǎng)目標的具體化，對學生全面發(fā)展具有導向作用。沒有一門課程 是可以被忽視的。為了更加直接的比較出每

11、位同學的綜合成績，我們沒有將分數(shù)向績點來轉 化,而是直接用代入分數(shù)的方法來計算。這樣得到的結果一般不會出現(xiàn)相同成績的兩位同學, 有利于我們很直觀的選出前10%的同學，較具有科學性。綜合成績的計算取決于實際考試分數(shù)和學分2個因素。計算學分成績時，把學分在該學年所 取得的實際總學分中的比重作為權重，對每門科目進行加權得出一個加權成績，我們認為學 分在獎學金評定模型中的作用基本合理，問題應集中在實際考試分數(shù)上。所用公式：單科分數(shù)*單科學分總學分建立模型及模型求解1、由題目描述可知，任選課和人文課的成績是以的等級的形式呈現(xiàn)的，所以我們通過上面 的方法將其分數(shù)化得：A二、即、C二、2、然后我們將符合條件

12、（除選修課外無不及格科目）的同學篩選出來，共剩下40位同學。3、接下來我們通過計算機來計算得到每位同學的綜合成績，C+關鍵代碼見附錄.4、最后我們應用excel自帶的排序功能排序得到綜合成績前10%的同學。得到如下表的綜合成績排名：表學生序號綜合成績學生序號綜合成績704430186187545163605329380749962129164933108413209672291781736954103922227S根據(jù)上表，得到前十名學生序號為:70, 30, 86, 75, 51, 60, 2, 80, 99, 12.方法二：標準化模型獎學金評定的公平性在整個評定過程中必須放在首要位置但是由

13、于各科老師的給分習 慣的差異以及任選課和人文課采取等級評分制，使得在獎學金評定時計算學生成績會出現(xiàn)諸 多不便，如等級A, B, C, D怎么算才是相對公平的。所以如何減小這些影響評定公平性的 因素是我們必須認真解決的問題，首先，考慮到每位老師給分習慣的不同，我們考慮極值標 準化的方法，將百分制的分值轉化為01,使得分數(shù)域相同，這有效增強了其可比性。建立模型公式：X二；Y=average 模型求解.利用Excel中的Min和Max函數(shù)將每科的最高分max和最低分min找出;.極值標準化公式XYZL,其中x為學生的某科的成績; max-min.將歸一化后所得的數(shù)據(jù)以學生為單位，計算出每位學生的平均

14、成績；.對最終計算得出的平均成績按降序進行排序，篩選出前十名的同學最終得到如下表格表2-1成績排名學號總和平均值學號總和平均值7053301875133748662212519184106042096804472137369922799296481639932217854103根據(jù)上表得到前十名學生序號為：70, 30, 75, 33, 86, 2, 51, 84, 60, 20.方法三：層次分析法（AHP）考慮到光以學分為權重進行加權平均不能完全代表各個學生的真實成績，因為各門課之 間的重要程度的因素是很多的，不能單一地以學分多少作為評價課程重要程度的依據(jù)。因此 我們計劃將課程性質、學時與學

15、分綜合作為考察一個課程重要程度的依據(jù)，并以此作為加權 平均的權重，下而是先用層次分析法對課程性質進行重要程度排序。然后根據(jù)公式：（學分成績學時比重*課程性質） 總學分求出綜合成練（在這里，將21門課的f 1定義為權重向量w）建立層次結構模型構造成對比較矩陣層次結構反映了各因素之間的關系，但準則層中的各準則在目標衡量中所占的比重并不一定相同。 我們就通過各因素兩兩比較來確定比較判斷矩陣表標度的具體含義標度含義1表示兩個因素相比，具有相同重要性3表示兩個因素相比，前者比后者稍重要5表示兩個因素相比，前者比后者明顯重要7表示兩個因素相比，前者比后者強烈重要9表示兩個因素相比，前者比后者極端重要2、

16、4、 6、 8表示上述相鄰判斷的中間值根據(jù)上述標準就可以構造判斷矩陣:123571/212361/31/21251/51/31/212L1/71/61/51/2二一致性檢驗及層次排序用MATLAB的eig函數(shù)算出判斷矩陣A的最大特征值為：max=查表得n=5相應的平均隨機一致性指標RI二一致性指標CI的計算：max-n一致性比率CR的計算：crW/RICR,我們可以認為判斷矩陣的一致性是可以接受的。用MATLAB計算矩陣A的最大特征向量并做歸一化處理得: w二,T得到的向量w就是根據(jù)AHP得到的五種課程的權重排序。計算課程權重排序上述的權重排序僅考慮了課程性質，再對各種課程性質中不同課程學時的

17、不同對各 課程再排序.下表是各課程所對應的學時數(shù)：表課程對應學時表基礎課課程11課程2課程53課程62專業(yè)課課程7課程82課程93必選課課程10課程153任選課課程16課程193人文課課程20、課程212在這里，我們以學時數(shù)考慮相同課程性質內不同課程的重要程度，一般認為學 時數(shù)越多的課程越重要，所以用（各課程學時數(shù)/各性質課程總學時數(shù)）作為權重進 一步優(yōu)化權重向量：同樣地，學分的多少也是一種評價課程重要程度的依據(jù)，所以 用（各課程學分數(shù)/總學分）作為權重加入權重向量w中。數(shù)據(jù)處理及模型求解在MATLAB中，建立一個41x21的成績矩陣A,用A與權重向量W相乘，得到所 有學生的綜合成績表如下表綜

18、合成績表學生序號綜合成績學生序號綜合成績1602624638649691070127213731774187520802281278429863091339244935196539954103將上表所有數(shù)據(jù)輸入EXCEL,運用EXCEL的排序功能得到綜合成績排序: 表綜合成績排序表學生序號綜合成績學生序號綜合成績7099301886532S02096756260928429649724474541327518112417693316391938102273103從上表中，我們可以看到前十名的學生序號為:70, 30, 86, 2我0,可,60,84, 64, 72.方法四：模糊層次分析法（FA

19、HP）AHP的關鍵環(huán)汽是建立判斷矩陣，判斷矩陣是否科學、合理直接影響到AHP的效果，而判斷矩陣的建立往往具有主觀性，并且判斷矩陣一致性的判斷標準：CR缺乏科學依據(jù)，而 模糊層次分析法可以較好地規(guī)避這些問題。下而是先用模糊層次分析法得到課程性質的權值向量曠，再根據(jù)公式:綜合成績二（學分*成績*學時比重*課程性質）總學分求出綜合成績。（在這里將21門課的二嚅一定義為權重向量w）建立層次結構模型課程重要程度行戶建立模糊一致判斷矩陣下表為模糊一致判斷矩陣的數(shù)量標度:表4-1數(shù)量標度標度說明兩元素相比，同等重要兩元素相比，一元素稍微重要兩元素相比，一元素明顯重要兩元素相比，一元素重要得多兩元素相比，一元

20、素極端重要，若元素ai與元素aj相比較得到判斷rij, 則元素aj與元素ai比較得到的判斷為 rji=l-nj有了上面的數(shù)字標度后，可得到如下模糊判斷矩陣,并根據(jù)模糊一致矩陣的充要條件進行調整，具體步驟如下：第一步：假設將第一行元素ru, 如視為有把握的；第二步：用R的第一行元素減去第二行對應元素，若所得的一個差數(shù)為常數(shù)，不需 調整第二行元素。否則，要對第二行元素進行調整，直到第一行元素減第二 行的對應元素之差為常數(shù)為止。第三步：用R的第一行元素減去第三行的對應元素，若所得的n個差數(shù)為常數(shù)，則不 需調整第三行的元素。否則，要對第三行的元素進行調整，直到第一行元 素減去第三行對應元素之差為常數(shù)為

21、Iho上而步驟如此繼續(xù)下去直到第一 行元素減去第行對應元素之差為常數(shù)為止。由以上步驟可以得到如下模糊一致矩陣：r0.50.60.70.80.910.40.50.60.70.80.30.40.50.60.70.20.30.40.50.6Hl0.20.30.40.N計算課程權重排序下而引入幾個定理：定理設R是n階模糊矩陣,則R是模糊一致矩陣的充分必要條件是存在一 n階非負 歸一化的向量W=(wl, w2, , wn)T及一正數(shù)a,使得對于任意的I, jri j=a (wi-wj)+(1)定理(必要性)若R是模糊一致矩陣，則其權重可由式計算：忖3三+1*即 rik(2)n 2a na其中,a(n-l

22、)/2, i=l, 2, 3, 4, 5.運用以上定理，在本模型中，不妨設2,分別代入i=l, 2, 3, 4, 5于(2)式中得到:Wl=, W2 二，W3 =，W4=, W5=所以，T =, ,T再將學時比重和學分對權重向量的影響考慮進來得到權重向量W.數(shù)據(jù)處理及模型求解在MATLAB中，建立一個41x21的成績矩陣A,用A與權重向量聽相乘，得到所 有學生的綜合成績表如下：表4-2學生綜合成績表學生序號綜合成績學生序號綜合成績1602624638649691070127213731774187520S02281278429S63091339244935196539954103將上表所有數(shù)據(jù)

23、輸入EXCEL,運用EXCEL的4表4-3紛排序功能得到綜合成績排序： 、合成績排序表學生序號綜合成績學生序號綜合成績701330918654752960962621710641220997269531S5127331804924473S84963S1742293103從上表中,我們可以看到前十名的學生序號為:70, 30, 86, 75, 60, 2,17, 64,20, 72.六、模型評價與推廣模型的優(yōu)缺點本文用到了四種模型，它們各有其優(yōu)缺點。第一種模型：簡單加權平均值模型，簡潔易 懂，有利于數(shù)據(jù)的篩選。這種模型的缺點也很明顯，它直接采用分數(shù)的比較，有可能會受到 不同教師打分不同及標準差不同的問題、不同科目難度不同的問題。第二種模型：標準化模 型，在此模型下，所有的成績都轉化為01之間的數(shù)，使課程分數(shù)域相同，這有效解決了各 科老師給分習慣導致的評分標準不同的問題，使各科的成績可比性增強。它的缺點是一些同 學因為考取最低分而最終該科成績?yōu)?分，這種零分情況難以接受。最后兩種模型：一種是層次分析模型，另一種是模糊層次分析模型。這兩種模型有相同 之處，它們都將研究對象看做一個系統(tǒng)，充分考慮了各種權重影響因素，解決了課程難度不 均帶來的不公平的問題。但是前一種層次分析模型的判斷矩陣的建立有主觀性，不具有科學 嚴謹性，而模糊