專(zhuān)題3、4七大重點(diǎn)函數(shù)與不等式第講

1、不等式教師：愛(ài)護(hù)環(huán)境，從我做起提倡使用板塊二函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專(zhuān)題4不等式4.1不等式性質(zhì)與基本不等式基礎(chǔ)秘訣(問(wèn)中學(xué))問(wèn)1寫(xiě)出“不等式性質(zhì)表”問(wèn)2寫(xiě)出“基本不等式表”問(wèn)3試總結(jié)證明不等式的方法.范例評(píng)注(例中學(xué))如果a b ,那么在 1 1 ; a3 b3 ; a 2 b2 ; 2a 2b 中,正確的是ab例1A.B. C. D. 已知 a b 0，全集 I =R，M = x | b x a b ，N= x | ab x a ，例22P= x | b x ab , 則A. P= MR N不等式A. (0,1)B. P= NRMC. P= MND. P= MNx | | log3 x | 的解集為例3

2、B. (1,+)C. (0, +)D. (, +)若 a b 0, 則下列不等式成立的是例4A. b b 1B. a a 1C. 2a b aD. a 1 b 1aa 1bb 1a 2bbab例5 (2006(x1 x2),)在下列四個(gè)函數(shù)中, 滿(mǎn)足性質(zhì):“對(duì)于區(qū)間(1, 2)內(nèi)的任意 x1, x2x2 | 恒成立”的只有| f (x1 )A. f (x) 1B. f (x) | x |C. f (x) 2xD. f (x) x2x- 第 1 頁(yè) -天地精華教育科技例6 (08 江西)若0 a1 a2 , 0 b1 b2 , 且 a1 a2 b1 b2 1, 則下列代數(shù)式中值最大的是D. 12

3、A. ab a bB. a a bb C. ab a b1 12 21 21 21 22 1 例7 (2006 重慶)若 a, b, c 0, 且a(a b c) bc 4 23 ,則 2a+ b+ c 的最小值為A.3 1B.3 1C 2 3 2D. 2 3 2例8 (2006 陜西)已知不等式(x y)( 1 a ) 9 對(duì)任意正實(shí)數(shù) x、y 恒成立，xy實(shí)數(shù) a 的最小值為.例9 給出五個(gè)函數(shù):1x2 3 y y x ;x; y=|tanx+cotx| ;x2 2sin 2 x22 y y x 1.x;2sin 2 x其中最小值為 2 的函數(shù)的代號(hào)是.例10 設(shè) a1，a2，b1，b2R

4、，求證：(a12+a22)(b12+b22)(a1b1+a2b2)2 ,取等號(hào)ai=kbi（kR，i=1，2）例11 已知 x,yR+ , 且 x+y=1,1(2) 求證 (x 1 )( y 1 ) 25 .(1) 求 xy 的最小值;xyxy4例12 設(shè) a 0, 求證: a 1 a2 a1a2 2 2.- 第 2 頁(yè) -天地精華教育科技不等式的解法與應(yīng)用不等式解法基礎(chǔ)秘訣(問(wèn)中學(xué))問(wèn)1寫(xiě)出一元二次不等式解法步驟和解集傻瓜圖.問(wèn)2寫(xiě)出“根序法”解不等式的步驟問(wèn)3試總結(jié)分式不等式的解法.問(wèn)4試總結(jié)絕對(duì)值不等式的解法范例評(píng)注x 0 ,例1 (1997.高考)不等式組3 x2 x 的解集是3 xB

5、. (0, 2.5)2 xA. (0, 2)C. (0,6 )D. (0, 3)x 2 px q20 的解集為例2 已知不等式 x +px+q0 的解集為(1,2), 則不等式x 2 5x 6A. (1,2)C. (-1,1)(2,6)B. (-,-1)(6,+)D. (-,-1)(1,2)(6,+)例3 快速填空：(1) 不等式x)2 (x 3)3 0 的解集是;(x 1)2 (x 2)3 0 的解集是(2) 不等式(x 5)例4 不等式 x2 3 | x | 10 的解集是 .- 第 3 頁(yè) -天地精華教育科技x2 2x 3) 在 x 9 時(shí)成立,不等式log (是.例5則此不等式的解集a

6、4例6使 log2(-x) 0(4)2 x 1 3(3) 2x 5 x 1x已知不等式ax2 bx 1 0 的解集為(1, 1)，求不等式 x2 bx a 0 的解集.例93例10 已知關(guān)于 x 的不等式 ax 5 0 的解集為 M.x2 a當(dāng) a = 4 時(shí), 求集合 M ;若 3M , 且 5 M , 求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.- 第 4 頁(yè) -天地精華教育科技4.2.2 不等式的應(yīng)用基礎(chǔ)秘訣(問(wèn)中學(xué))問(wèn)1怎樣用均值定理求最值？均值定理失效后怎么辦？問(wèn)2怎樣含參二次方程？問(wèn)3怎樣含參不等式?范例評(píng)注一元二次方程 mx2-4mx+4=0 有兩個(gè)實(shí)根,若兩根都大于 1, 求實(shí)數(shù) m 的取值范圍；

7、若兩根, 一個(gè)比 1 小, 一個(gè)比 1 大, 求實(shí)數(shù) m 的取值范圍例1關(guān)于 x 的若關(guān)于 x 的方程4 x a 2 x a 1 0 有實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)a 的取值范圍.例2不等式 x22xy5 0 在 1y2 時(shí)恒成立, 求實(shí)數(shù) x 的取值范圍.例3xR, 不等式 ax2 (2a 1)x a 1 0 有解. 求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.例4x2 8x 20 0 的解集為 R, 求實(shí)數(shù) m 的取值范圍.例5若不等式mx2 2(m 1)x 9m 4- 第 5 頁(yè) -天地精華教育科技例6 (2004.福建高考) 已知 f (x) = 4x+ax2 2 x3 ( xR )在區(qū)間1, 1上是增函數(shù).3(1)

8、求實(shí)數(shù) a 的值所組成的集合 A;(2) 設(shè)關(guān)于 x 的方程 f (x) = 2x+ 1 x3 的兩個(gè)非零實(shí)根為 x1、x2 . 試問(wèn): 是否存在實(shí)數(shù) m ,3使得不等式 m2+tm+1| x1x2|對(duì)任意 aA 及 t1, 1恒成立?若存在, 求 m 的取值范圍; 若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.例7 設(shè) x，y 都是正實(shí)數(shù)，且 2xy1，求T 2xy 4x2 y2的最大值.例8 *已知函數(shù) f (x) x2 ax有實(shí)根, 求 a2+b2 的取值范圍. 0) .若實(shí)數(shù) a、b 使得 f (x)=0(每件 x 元)在 50 b ab0.反身: a b b b, bca c.加法: a b a+cb+c;

9、 ab, cd a+cb+d.乘法: a b, c0 acbc; a b, c0 acb0 , cd0 acbd.冪單調(diào): a b0 , c0 acbc;a b0 , c0 acbc.絕對(duì)值“同解不等式”: 對(duì)于aR, 有|x| a a x a xa或x b , 那么在 1 1 ; a3 b3; a2 b2; 2a 2bab中, 正確的是( C)A.B. C. D. 問(wèn)3 試總結(jié)證明不等式的方法.解不等式證明方法(1) 綜合法(2) 分析法比較法數(shù)學(xué)歸納法 (5) 窮舉法(6) 反證法(7) 舉反例(8) 放縮法(9) 換(10) 導(dǎo)數(shù)法幻燈片 6幻燈片 7- 第 10 頁(yè) -天地精華教育科技

10、例3 不等式|x+log3x|b0, 則下列不等式成立的是 ( C)A. b b 1B. a a 1aa 1bb 1C. 2a b aD. a 1 b 1a 2bbab例2 已知 a b 0, 全集 I R, M = x | b x a b,2N = x | ab x a , P = x |b x ab , 則( A)A. P = MR NB. P = NRMC. P = MND. P = MN解 把全集R改設(shè)為S=(b, a),圖解:MNPbaba bax2故選A.幻燈片 8幻燈片 9- 第 11 頁(yè) -天地精華教育科技例6 (08江西)若 0 a1 a2 , 0 b1 b2 , 且 a1

11、a2 b1 b2 1,則下列代數(shù)式中值最大的是( A )A. a b a bB. a a b bC. a b a bD. 11 12 21 21 21 22 12解法1 檢驗(yàn)特值:令 a b 1 , a b 2 , 則113223A. a b a b 5 ;B. a a b b 4 ;1 12 2 91 21 29C. a b a b 4 ;D. 1 4.5 .1 22 1 929故選A .例5 (2006.)在下列四個(gè)函數(shù)中,滿(mǎn)足性質(zhì):“對(duì)于區(qū)間(1,2)上的任意x1, x2(x1 x2), |f (x1) f (x2)|x1 x2| 恒成立”的只有( A )A. f (x)幻燈片 10幻燈

12、片 11- 第 12 頁(yè) -天地精華教育科技例6 (08江西)若 0 a1 a2 , 0 b1 b2 , 且 a1 a2 b1 b2 1,則下列代數(shù)式中值最大的是( A )A. a b a bB. a a b bC. a b a bD. 11 12 21 21 21 22 12解法3排序不等式: a1 a2 a b a b a b a b ; b b1 12 21 22 1A C 12 a1 b1 a b a b a a b b ; b a1 22 11 21 2C B 221 1a1 a21 1a a b b12 2ab a b 12 1 2 ab a b .1 11 1 4 4 2 222

13、1 12 2 2 A Db1 b22 2例6 (08江西)若 0 a1 a2 , 0 b1 b2 , 且 a1 a2 b1 b2 1,則下列代數(shù)式中值最大的是( A )A. a b a bB. a a b bC. a b a bD. 11 12 21 21 21 22 12解法2排序不等式: a1b1 a2b2 a1b2 a2b1 ;A C均值不等式: a a b b (a1 a2 )2 (b1 b2 )2 1 ; D B1 21 2222作差: (a b a b ) 1 (a b a b ) (a1 a2 )(b1 b2 ) 1 12 221 12 22 (a1b1 a2b2 ) (a2b1

14、 a1b2 ) 0.A D2故選A .幻燈片 12幻燈片 13- 第 13 頁(yè) -天地精華教育科技例7 若 a, b, c 0, 且 a(a b c) bc 4 2 3 , 則2a + b + c的最小值為( D )A.3 1B.3 1C. 2 3 2D. 2 3 2解法1: 對(duì)稱(chēng)猜想b=c時(shí), a2 2ab b2 4 2 3 a b 3 1 2a b c 2(a b) 2( 3 1).故選D解法2 精明演繹: 均值定理a(a b c) bc 4 2 3 (a b)(a c) ( 3 1)22a b c (a b)(a c) 2 (a b)(a c) 2( 3 1)例6 (改題) 若0 a1

15、a2 , 0 b1 b2 , 且 a1 a2 b1 b2 1,下列四數(shù)從小到大的順序是 B C D0, 求證: a 1 a2 1 2 2.aa2證法2 (函數(shù)法) 令x a 1 2, ),aa 1 a2 1 x x2 2aa2令 f2 2, x 2, ), f ( x) 1 x 0, x 2, )x2 2x2 2 f (x)在2, +)上遞減, f ( x) f (2) 2 2, 即 a 1 a2 1 2 2.aa2例12 設(shè)a0, 求證: a 1 a2 1 2 2.aa2證法1 (分析法)a 1 a 2 1 2 2 a 1 2 a 2 1 2aa 2aa 2 (a 1 2 )2 ( a 2

16、1 2)2aa 2 a 2 1 2 2 2(a 1 ) 2 a 2 1 4 4 a 2 1a 2aa 2a 2 a 1 2 a2 1 (a 1 )2 2(a2 1 )aa2aa2 2 a2 1 a0證完.a2幻燈片 20幻燈片 21- 第 17 頁(yè) -天地精華教育科技4.2 不等式的解法基礎(chǔ)秘訣(問(wèn)中學(xué))問(wèn)1 寫(xiě)出一元二次不等式的解法步驟和解集傻瓜圖解集圖:+ x x +x120解法步驟:標(biāo)準(zhǔn)化(使a0)求及根表出解集例12 設(shè)a0, 求證: a 1 a2 1 2 2.aa2證明3 (函數(shù)單調(diào)法有理化)令 x a 1 2, ),a 1 a2 1 x x2 2aaa2令 f2 2, x 2, )

17、,f ( x) 2在 2, +)上遞減,x x2 2 f ( x) f (2) 2 2.幻燈片 22幻燈片 23- 第 18 頁(yè) -天地精華教育科技問(wèn)3試總結(jié)分式不等式的解法解分式不等式解法根序法積商符號(hào)分類(lèi)法去分母分類(lèi)法問(wèn)2“根序法”(變號(hào)零點(diǎn)排序法)？解 “根序法”是解一元二次不等式、分式不等式的一個(gè)“傻瓜方法”.根序法三步標(biāo)準(zhǔn)化: 將不等式分解為標(biāo)準(zhǔn)式( xx3 )L( x xn ) 0 ( 0)數(shù)軸標(biāo)根, 區(qū)間標(biāo)號(hào)表出解集幻燈片 24幻燈片 25- 第 19 頁(yè) -天地精華教育科技x 0 ,例1 (1997. 高考)不等式組 3 x2 x 的解集是 ( C) 3 x2 xA. (0,

18、2)B. (0, 2.5)C. (0, 6 )D. (0, 3)解法1檢驗(yàn)：排除 A, B, D, 選C.解法2：解方程選C.問(wèn)4 試總結(jié)絕對(duì)值不等式的解法.絕對(duì)值不等式解法公式法分類(lèi)法圖解法平方法幻燈片 26幻燈片 27- 第 20 頁(yè) -天地精華教育科技例3快速填空:(1)x)2 ( x 3)3 0 3) 0 且 x 2,+0123 解集為 (, 0) U (1, 2) U (2, 3).( x 1)2 ( x 2)3(2) 0( x 5)x 1, 2 . 解集為 5,或x 1 .例2 已知不等式x2+px+q0的解集為(1,2), 則不等式x2 px q Dx2 5 x 60 的解集為(

19、)A. (1,2)B. (,1)(6,)C. (1,1)(2,6)D. (,1)(1,2)(6,)解 x2 px q ( x 1)( x 2) 00 x 1)( x 6)+1126幻燈片 28幻燈片 29- 第 21 頁(yè) -天地精華教育科技例5不等式 log (ax 2x 3)2在 x 9 時(shí)成立,則此不等式的解集是( 2, 5 )42解 log ( x 1)( x 2)0 log 1 0 0 a 1.a ( x 1)(3 x) x9a 34log (a x 2x3)2(例4不等式 x2 3 | x | 10的解集是_( 2, 2 ) .解 令 t | x | 0, 則原方程化為t 2 3t

20、10 0 (t 0) 5 t 2(t 0) 0 t 2| x | 2 2 x 2.幻燈片 30幻燈片 31- 第 22 頁(yè) -天地精華教育科技例7 解下列不等式：(1) x 3 2x解2 x 3 0 x(x+1)(x 3)0 x 解集是 (, 1) U (0, 3)5 x 2 8 x 3(2) 13 x 2 5 x 2解1x 3 x 1 (2 x 1)( x 1)20 0 x2 5 x 2(3 x 2)( x 1)x 1且x 2 3(, 1 U (2 , 1 )U ( 1, ) 解集是23(2 x 1)(3 x 2) 0例6 使 log2(x)0解 |x+1|2x 3|+20|2x 3|x+1

21、|+2|x+1|22x 3|x+1|+2 | x 1 | 1 2 x| x 1 | 2 x 5 x 1 2 x 1x 1 5 2 x x 0 或 x 2 40 x0的解集為 (1, 1)求不等式 x2+bx+a 0 的解集.3 a 0解 Q 1ax 2 bx 1 0 的二根是 1,3 1 1 1 1 a33 a 3 b12b 2 (1 ) a33 x2+bx+a0 x22x30 x3 或 x1 1 m 4 .43(2)f (, 則m4“m取值” f ( 1 ) 0 m 0 或m .3問(wèn)3 怎樣含參不等式？含參不等式:分類(lèi)解不等式法圖解法分離變量（反解法）幻燈片 42幻燈片 43- 第 28 頁(yè)

22、 -天地精華教育科技例3 (1) 不等式 x22xy5 0 在1y2時(shí)恒成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.解 (1) 令 f (x)= x22yx5 , x 1 , 2.f (x) 0 在 y1, 2恒成立 f (1) 0 f (2) 0 2 x x2 5 0 x 5 或 x 1 6 .4 x x2 5 0例2關(guān)于x 的方程解(反4解x+法a) 2x+a+1=0有實(shí)數(shù)(其中t 2x 1 (1, )“取等號(hào)” t 2 t 2 (1, ).t a 的范圍是 a 2 22 .幻燈片 44幻燈片 45- 第 29 頁(yè) -天地精華教育科技例5x2 8 x 20若不等式0 的解集為R,mx2 2(m 1)x 9m

23、 4求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解 由=824200 在R上恒成立,x2 8 x 20所以 0 的解集為Rmx2 2(m 1) x 9m 4 mx2+2(m+1)x+9m+40解集為R, m 0 m 04(m 1)2 4m(9m 4) 08m 2 2m 1 0m 01 m m 1 或m 1224所以實(shí)數(shù) m 的取值范圍是(, 1 ).2例4 xR, 不等式 ax2 (2a 1)x a 1 0 有解.求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.解 不等式 ax2 (2a 1)x a 1 0的解集為 a 0 a 0 0(2a 1)2 4a(a 1) 0 a 0 a 18a 1 08所以不等式 ax2 (2a 1)x a 1

24、0有解時(shí),.1實(shí)數(shù)a 的取值范圍是 a .8幻燈片 46幻燈片 47- 第 30 頁(yè) -天地精華教育科技例6 (2)設(shè)關(guān)于x 的方程 f3 的兩個(gè)非零實(shí)根為x1、x2 .試問(wèn): 是否存在實(shí)數(shù)m , 使得不等式m2+tm+1 | x1x2| 對(duì)任意 aA及t 1, 1恒成立? 若存在, 求m 的取值范圍;若不存在, 請(qǐng)說(shuō)明理由.解 (2) 4 x x 1 x 3 , a 1, 1, x 033 x2ax2=0 ( a1, 1 ). 其二根為 x | a2 812 m2 tm1| x x | m2 tm1 a2 8L（） 12a 2 8在a 1，1上最大值 1 8 3 ()在aA上恒成立 m2+t

25、 m+13 (t)= m t + m2 2 0 在 t 1, 1上恒成立 (1) 0 m m2 2 0 (1) 0 m m2 2 0m 2 或m2. 存在實(shí)數(shù)m , m 的取值范圍2例 6已知f(3x)=4x+ax2x3 (xR)1在區(qū)間1, 1上是增函3 數(shù).(1) 求實(shí)數(shù) a 的值所組成的集合A;解 (1) f (x)=4+2ax2x20在區(qū)間1, 1上恒成立(f2()設(shè)1) 關(guān)0于x4的 方2a 程 2f(0 x)=2x+ x3 的兩個(gè)f非(1零) 實(shí)0 根為4 x 2、a x2 . 012 1 a1 答：試問(wèn): 是否存在實(shí)數(shù)m , 使得不等式m2+tm+1A =| x1x |,對(duì)1幻燈片 48幻燈片 49- 第 31 頁(yè) -天地精華教育科技例8*已知函數(shù) f ( x) x2 ax 0) .若實(shí)數(shù)a、b使得f (x)=0有實(shí)根，求a2+b2的取值范圍.解 設(shè)t x 1 , 則 | t | 2, t 2 x2 1 2,xx2f (x)=0有實(shí)根 t2+at+b2=0 ( |t| 2 )有實(shí)根在直角坐標(biāo)系aOb中,| t 2 2 |原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為 d .t 2 1設(shè) m = t2+1 5, 則(m 3)2994a2 b2 d2 m 6 5 6 .mm55所以a2 b2的取