概率論第4講利用獨(dú)立性計(jì)算并事件的概率

1、利用獨(dú)立性計(jì)算并事件的概率若 A1,A2,An相互獨(dú)立,則n P( A A2 An )P(A)證:i1i1 1 P( A A A )12nn 1 P( A1 A2 An ) 1 P( Ai )i1n 1 (1 P( Ai )i1nnP( Ai ) 1 (1 P( Ai )i 1i1例4設(shè)每個(gè)人的中含肝炎的概率為0.4%, 求來(lái)自不同地區(qū)的100個(gè)人的混合液中含有肝炎的概率設(shè)這100 個(gè)人的解混合液中含有肝炎為事件 A,第 i 個(gè)人的中含有為事件 Ai100i =1,2,100肝炎則AAii1100i1 1 (1 0.33 11P(A )1000.004)P(A)i若Bn 表示 n 個(gè)人的混合液

2、中含有肝炎，則P(B ) 1 (1 ) ,0 1nnn 1,2,lim P(Bn ) 1n 不能忽視小概率事件,小概率事件遲早要發(fā)生（系統(tǒng)的可靠性問(wèn)題）一個(gè)元件(或系統(tǒng))能正常工作的概率稱(chēng)為元件(或系統(tǒng))的可靠性系統(tǒng)由元件組成,常見(jiàn)的元件連接方式：串聯(lián)121并聯(lián)2例5設(shè)兩系統(tǒng)都是由 4 個(gè)元件組成,每個(gè)元件正常工作的概率為 p , 每個(gè)元件是否正常工作相互獨(dú)立.兩系統(tǒng)的連接方式如下圖所示，比較兩系統(tǒng)的可靠性.A2A1S1:B2B1P(S1 ) P( A1 A2 ) P(B1B2 ) P( A1 A2 B1B2 ) 2 p2 p4 p2(2 p2)A1A2S2:B1B2B ) 2 p p 2P(

3、S ) 22P( A2iii1 p2(2 p2) p2 (2 p)2P(S2 ) P(S1)2.3試驗(yàn)與直線上的隨機(jī)游動(dòng)n 重試驗(yàn)概型：試驗(yàn)可重復(fù) n 次每次試驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果：A, A且P( A) p,0 p 1每次試驗(yàn)的結(jié)果與其他次試驗(yàn)無(wú)關(guān)稱(chēng)為這 n 次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的n重試驗(yàn)中事件b(k, n, p)A 出現(xiàn) k 次的概率記為例1 袋中有3個(gè)白球,2個(gè)紅球,有放回地取球4 次,每次一只,求其中恰有2個(gè)白球的概率.解古典概型設(shè) B 表示4個(gè)球中恰有2個(gè)白球 C 2 3222n 54nB4 32 2 2C 2 32224 C 2 P(B) 4 5 5 54解二每取一個(gè)球看作是做了一次試驗(yàn)

4、P( A) 3記取得白球?yàn)槭录?A5有放回地取4個(gè)球看作做了 4 重試驗(yàn), 記第感i 次取得白球?yàn)槭录?Ai為:4次試驗(yàn)中A 發(fā)生2次的概率A1 A2 A3 A4A1 A2 A3 A4A1 A2 A3 A4A1 A2 A3 A4A1 A2 A3 A4A1 A2 A3 A4 32 2 2P(B) C 2 4 5 5 P( A) p,0 p 1一般地，若則n重次的概率為b(k,試驗(yàn)中事件 A 出現(xiàn) kk pk (1 p)nk ,nk 0,1,2, n上式稱(chēng)為二項(xiàng)分布。特別的，nnb(k;k 0k pk qnk ( p q)n 1.nk 0例2八門(mén)同時(shí)獨(dú)立地向一目標(biāo)各射擊彈,若有不少于2發(fā)一發(fā)彈命中

5、目標(biāo)命中目標(biāo)時(shí),目標(biāo)就被擊毀. 如果每門(mén)的概率為0.6,求目標(biāo)被擊毀的概率.目標(biāo)為事件A, P(A) = 0.6解設(shè)一門(mén)設(shè)目標(biāo)被擊毀為事件B,8則1k 0P(B) 8k 18kkkkkC 0.6 0.4C 0.60.488k 2 0.9914幾何分布:在試驗(yàn)中，首次成功出現(xiàn)在第k次的概率為g(k; p)= P ( 第 k 次試驗(yàn)時(shí)首次成功)= P (前k-1次失敗且 第 k 次時(shí)成功) qk1 p,k 1,2, ;q 1 pg(k; p)稱(chēng)為幾何分布。特別的，k 1g(k; p) qk1 p p 1 1.1 qk 1試驗(yàn)中，第r次成功恰好出分布：在現(xiàn)在第k次試驗(yàn)的概率為f (k; r, p)=

6、P (第r次成功恰好出現(xiàn)在第k次試驗(yàn))=P ( 前 k 1次試驗(yàn)中成功 r 1次且第 k 次試驗(yàn)成功 )r k r Cr, r 1,分布。1rpq, kk 1f (k; r, p)稱(chēng)為k rk rr k rf (k; r, p) 1.1rCpq并且k 1利用冪級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)的性質(zhì)當(dāng)| x | 1 xk 1 1k11 x(k 1)xk2 1k2(1 x)2(k 1)(k 2)xk3 2k3(1 x)3C 2xk 3 1k1(1 x)3k 3歸納地1(1 x)rCr1 xk rk 1k r令 x 1 pk r1(1 (1 p)r1Cr 1 (1 p)k rk 1prk rr(1 k r

7、11rCpp)k 1當(dāng)r =1時(shí)分布就成為幾何分布。直線上的隨機(jī)游動(dòng)x 軸上有一個(gè)點(diǎn)，假定其只能位于整數(shù)點(diǎn)，在t=0時(shí)，它處于初始位置a (a 為整數(shù))。以后每隔時(shí)間，它位置會(huì)發(fā)生變化，分別以概率 p 及概率 q=1-p 向正或負(fù)的方向移動(dòng)在時(shí)刻 t=n 時(shí)，這個(gè)點(diǎn)在一格，來(lái)直線上的位置，這種質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為隨機(jī)游動(dòng)。下面介紹兩個(gè)最簡(jiǎn)單的模型。的隨機(jī)游動(dòng)：假定質(zhì)點(diǎn)0時(shí)刻從原點(diǎn)出發(fā)，以Sn 記它在時(shí)刻t=n 時(shí)的位置。則PSn k= P (前n次游動(dòng)中有(n+k)/2次向右走,另外 (n-k)/2 次向左走)nknnknkp2 q2 , C2k n, n 2, n 2, n.兩端帶有吸收壁的隨機(jī)游動(dòng)

8、：假定質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻 t=0時(shí)位于x=a，而在x=0和x=a+b處各有一個(gè)吸收壁,則質(zhì)點(diǎn)在x=0被吸收和在x=a+b被吸收的概率分別為：(i) p q 12bp = P (質(zhì)點(diǎn)=0 吸收)aa ba= a+b 吸收) q = P (質(zhì)點(diǎn).aa b(ii) p qpb )b=0 吸收) p = P (質(zhì)點(diǎn),aqabpabqa= P (質(zhì)點(diǎn)= a+b 吸收)pb (qa pa ).qab pab注：令qk 表示質(zhì)點(diǎn)從 k 出發(fā)最終被a+b吸收的概率, 則由全概率公式得qn pqn1然后求解即可.，賭注是每次1元，例4 甲，乙兩人進(jìn)行兩人每局獲勝的概率都是0.5.現(xiàn)在甲有a元錢(qián)，乙有b元錢(qián)，若有一方的賭

9、資全部輸光，則結(jié)束。問(wèn)結(jié)束時(shí)甲獲勝(或乙輸光)的概率.n局以后甲的錢(qián)數(shù), 則形成一個(gè)考慮解從a點(diǎn)出發(fā), 在x=0和x=a+b處各有一個(gè)吸收壁的隨機(jī)游動(dòng). 于是與甲的賭資成正比P (第最終甲獲勝)a= P (過(guò)程被a+b點(diǎn)吸收) a b .5.多項(xiàng)分布隨機(jī)試驗(yàn)有r個(gè)可能結(jié)果, 分別記為A1 , A2 Ar ,并且P( Ai ) r pii 1, 2,r. 1.pi ,i1在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中A1出現(xiàn)k1次, A2出現(xiàn)k2次, Ar出現(xiàn)kr次的概率為n!k 0, k n.kpkk rp p,12r12iik !k!k !12r上式稱(chēng)為多項(xiàng)分布，當(dāng)r=2時(shí)多項(xiàng)分布就成為二項(xiàng)分布。2.4二項(xiàng)分布與泊松

10、分布1. 二項(xiàng)分布的性質(zhì)及計(jì)算b(k;n,p)中當(dāng)對(duì)于二項(xiàng)分布，來(lái)n,p固定時(shí)，關(guān)于k的單調(diào)性。當(dāng)n=20,p=0.2時(shí), b(k;n,p)的數(shù)據(jù)和圖表如下:01234567891011 20.01.06 .14.21.22.18.11.06.02.01.002 .0010.20.150.10.055101520由圖表可見(jiàn),當(dāng)k=4時(shí)，分布取得最大值b(4; 20, 0.2)=0.22,此時(shí)的k 稱(chēng)為最可能成功次數(shù).二項(xiàng)分布中最可能出現(xiàn)次數(shù)的定義與推導(dǎo)若b(k; n, p) b( j; n, p),則稱(chēng) k 為最可能出現(xiàn)的次數(shù)0 j nk pk (1 p)nk ,記 p b(k;k 0,1,

11、nkn(1 p)kpk 1 1p(n k 1)pkpk (1 p)(k 1) 1p(n k)(n 1) p 1 k (n 1) ppk 1當(dāng)( n + 1)p = 整數(shù)時(shí)，在 k = ( n + 1)p 與( n + 1)p 1 處的概率取得最大值當(dāng)( n + 1)p 整數(shù)時(shí)，在 k = ( n + 1)p 處的概率取得最大值例5 獨(dú)立射擊5000次，每次中率為0.001,求最可能命中次數(shù)及相應(yīng)的概率；(2)解(1)命中次數(shù)不少于2 次的概率.k = ( n + 1)p = ( 5000+ 1)0.001 = 5(5) C 5(0.001)5 (0.999)4995 0.1756P500050

12、00(2)令X 表示命中次數(shù)，則 X B( 5000,0.001 )P( X 2) 1 P( X 2) 1 P( X 0) P( X 1)1 1 (0.001)k (0.999)5000kkC5000k 0 0.9574問(wèn)題：計(jì)算b(k;n,p)時(shí)，若n很大，則計(jì)算非常復(fù)雜，因此就需要比較好的計(jì)算方法。定理(泊松) ：在二項(xiàng)分布中，pn與n有關(guān)，lim npn 0如果n則對(duì)固定的k，有knklim Cn p (1 ekkp)nnk!nk 0,1,2,npn n證: 記)nkpk (1 pCknnnnkn(n 1)(n k 1) k n 1 n n n k!) nk n ( k 1 k1 nn1

13、 1 1 nnnn k! n nk ek 1,2,k!泊松定理說(shuō)明：若X B( n, p), 則當(dāng) n 較大，np p 較小，而適中，則可以用近似公式kp (1 p )nk ek nkCk!k 0,1,2,kp(k; ) k 0,1, 2ek!,泊松分布: 稱(chēng)為泊松分布, 稱(chēng)為它的參數(shù)。特別kk 0k 0p(k; ) e e 1ek!例6為0.03，現(xiàn)將產(chǎn)品裝箱，某廠產(chǎn)品不若要以不小于90%的概率保證每箱中至少有100個(gè)合格品，則每箱至少應(yīng)裝多少個(gè)產(chǎn)品？解設(shè)每箱至少應(yīng)裝100+ n 個(gè)，每箱的不合格品個(gè)數(shù)為X ，則X B ( 100 + n , 0.03 )nP( X n) P100n (k

14、) 0.9由題意k 0(100+n)0.03=3+0.03n 3應(yīng)用泊松定理取 = 33k3knnk 0k 0 1 k n133(k) 0.9Peek!n100k!3k3 0.1查Poisson分布表 =3一欄ek!k n1得 n +1 = 6 ,n = 5所以每箱至少應(yīng)裝105個(gè)產(chǎn)品,才能符合要求.2. 泊松分布的產(chǎn)生考慮交換臺(tái)接到的呼叫次數(shù)，假定它具有下面三個(gè)性質(zhì)：平穩(wěn)性，在t0,t0+t) 中來(lái)到的呼叫數(shù)只與時(shí)間間隔長(zhǎng)度t有關(guān)，而與時(shí)間起始點(diǎn)t0無(wú)關(guān);獨(dú)立增量性(無(wú)后效性) ，在t0,t0+t) 中來(lái)到k個(gè)呼叫這一事件與t0時(shí)刻以前發(fā)生的事件獨(dú)立 ;普通性，在充分小的時(shí)間間隔中，最多來(lái)到一個(gè)呼叫。結(jié)論: 若以Pk(t) 表示在長(zhǎng)度為t的時(shí)間區(qū)間中來(lái)到k個(gè)呼叫的概率，則有(t)ktPk (t) k 0, 1, 2,e,k!其中為時(shí)間內(nèi)來(lái)到的平均呼叫次數(shù),上稱(chēng)為過(guò)程的強(qiáng)度.在一定時(shí)間間隔內(nèi)：總機(jī)接到的次數(shù)；一匹布上的疵點(diǎn)個(gè)數(shù)；大賣(mài)場(chǎng)的顧客數(shù)；放射性物質(zhì)發(fā)出的粒子數(shù)；某一地區(qū)