高考理科數(shù)學復習第1部分-板塊2-核心考點突破拿高分-專題5-第3講-圓錐曲線中的最值、范圍、證明問題(大題)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)第3講圓錐曲線中的最值、范圍、證明問題(大題)熱點一最值問題求圓錐曲線中三角形面積的最值的關鍵(1)公式意識，把求三角形的面積轉(zhuǎn)化為求距離、求角等；(2)方程思想，即引入?yún)?shù)，尋找關于參數(shù)的方程；(3)不等式意識，尋找關于參數(shù)的不等式，利用基本不等式等求最值.例1(2019邯鄲模擬)已知橢圓E：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為E上的一個動點，且|PF2|的最大值為2eq r(3)，E的離心率與橢圓：eq f(x2

2、,2)eq f(y2,8)1的離心率相等.(1)求E的方程；(2)直線l與E交于M，N兩點(M，N在x軸的同側(cè))，當F1MF2N時，求四邊形F1F2NM面積的最大值.解(1)依題意可知eq blcrc (avs4alco1(ac2r(3)，,f(c,a)r(1f(2,8)，)解得eq blcrc (avs4alco1(a2，,cr(3)，)則b2a2c21，故E的方程為eq f(x2,4)y21.(2)延長MF1交E于點M，由(1)可知F1(eq r(3)，0)，F(xiàn)2(eq r(3)，0)，設M(x1，y1)，M(x2，y2)，設MF1的方程為xmyeq r(3)，由eq blcrc (avs

3、4alco1(xmyr(3)，,f(x2,4)y21)得(m24)y22eq r(3)my10，故eq blcrc (avs4alco1(y1y2f(2r(3)m,m24)，,y1y2f(1,m24).,)設F1M與F2N的距離為d，四邊形F1F2NM的面積為S，則Seq f(1,2)(|F1M|F2N|)deq f(1,2)(|F1M|F1M|)deq f(1,2)|MM|d，而eq f(1,2)|F1F2|y1y2|eq r(3)eq r(y1y224y1y2)eq f(4r(3)r(m21),m24)eq f(4r(3),r(m21)f(3,r(m21)eq f(4r(3),2r(3)2

4、，當且僅當eq r(m21)eq f(3,r(m21)，即meq r(2)時，等號成立，故四邊形F1F2NM面積的最大值為2.跟蹤演練1(2019焦作模擬)已知橢圓C：eq f(x2,2)y21，點Aeq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,2)，B(1,2).(1)若直線l1與橢圓C交于M，N兩點，且A為線段MN的中點，求直線MN的斜率；(2)若直線l2：y2xt(t0)與橢圓C交于P，Q兩點，求BPQ的面積的最大值.解(1)設M(x1，y1)，N(x2，y2)，故eq f(xoal(2,1),2)yeq oal(2,1)1，eq f(xoal(2,2),2)yeq oal(2,

5、2)1.將兩式相減，可得eq f(xoal(2,1),2)yeq oal(2,1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(xoal(2,2),2)yoal(2,2)0，即eq f(x1x2x1x2,2)(y1y2)(y1y2)0，因為A為線段MN的中點，所以x1x22，y1y21.得(x1x2)(y1y2)0，即eq f(y1y2,x1x2)1，故直線MN的斜率kMN1.(2)聯(lián)立eq blcrc (avs4alco1(y2xt，,f(x2,2)y21)可得9x28tx(2t22)0，由0可得64t236(2t22)0，解得0t20，SBPQeq f(r(2),9)eq r(9t2)|t

6、|eq f(r(2),9)eq r(9t2t2)eq f(r(2),9)eq f(9t2t2,2)eq f(r(2),2)，當且僅當t2eq f(9,2)，即teq f(3r(2),2)時取等號.故BPQ的面積的最大值為eq f(r(2),2).熱點二范圍問題圓錐曲線的范圍問題的常見解法(1)幾何法：若題目中的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；(2)代數(shù)法：若題目中的條件和結論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關系或不等關系或已知參數(shù)與新參數(shù)之間的等量關系等，則可利用這些關系去求參數(shù)的范圍.例2(2019江西九校聯(lián)考)已知橢圓E：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a

7、b0)的右焦點F(1,0)，A，B，C是橢圓上任意三點，A，B關于原點對稱且滿足kACkBCeq f(1,2).(1)求橢圓E的方程；(2)若斜率為k的直線與圓：x2y21相切，與橢圓E相交于不同的兩點P，Q，求|PQ|eq f(4r(3),5)時，k的取值范圍.解(1)由題可設A(xA，yA)，B(xA，yA)，C(xC，yC)，所以eq blcrc (avs4alco1(f(xoal(2,A),a2)f(yoal(2,A),b2)1，,f(xoal(2,C),a2)f(yoal(2,C),b2)1，)兩式相減得eq f(xAxCxAxC,a2)eq f(yAyCyAyC,b2)0，eq f

8、(yAyC,xAxC)eq f(yAyC,xAxC)eq f(b2,a2).即kACkBCeq f(yAyC,xAxC)eq f(yAyC,xAxC)eq f(b2,a2)eq f(1,2)，所以a22b2，又c1，a2b2c2，所以a22，b21，所以橢圓E的標準方程為eq f(x2,2)y21.(2)設直線方程為ykxm，交橢圓于點P(x1，y1)，Q(x2，y2).聯(lián)立方程eq blcrc (avs4alco1(ykxm，,f(x2,2)y21，)得(12k2)x24kmx2m220，8(2k21m2)0，得2k21m2，x1x2eq f(4km,12k2)，x1x2eq f(2m22,

9、12k2).所以|PQ|eq r(1k2)eq r(x1x224x1x2)eq r(1k2)eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(4km,12k2)2f(8m28,12k2)eq r(1k2)eq r(f(16k2m2,12k22)f(8m2812k2,12k22)eq r(1k2)eq r(f(16k2m2,12k22)f(8m216m2k2816k2,12k22)eq r(1k2)eq r(f(8m2816k2,12k22)，因為直線ykxm與圓x2y21相切，所以deq f(|m|,r(1k2)1eq r(1k2)|m|，即m21k2，代入2k21m2，得k0.所以|PQ|e

10、q r(1k2)eq r(f(81k2816k2,12k22)eq r(1k2)eq r(f(8k2,12k22)2eq r(2)eq r(f(k4k2,12k22)，因為|PQ|eq f(4r(3),5)，所以2eq r(2)eq r(f(k4k2,12k22)eq f(4r(3),5)，化簡得k4k260，即(k23)(k22)0，解得k22或k23(舍).所以keq r(2)或keq r(2)，故k的取值范圍為(，eq r(2)eq r(2)，).跟蹤演練2(2019合肥質(zhì)檢)已知拋物線C：x22py(p0)上一點M(m,9)到其焦點F的距離為10.(1)求拋物線C的方程；(2)設過焦點

11、F的直線l與拋物線C交于A，B兩點，且拋物線在A，B兩點處的切線分別交x軸于P，Q兩點，求|AP|BQ|的取值范圍.解(1)已知M(m,9)到焦點F的距離為10，則點M到準線的距離為10.拋物線的準線為yeq f(p,2)，9eq f(p,2)10，解得p2，拋物線的方程為x24y.(2)由已知可判斷直線l的斜率存在，設斜率為k，因為F(0,1)，則l：ykx1.設Aeq blc(rc)(avs4alco1(x1，f(xoal(2,1),4)，Beq blc(rc)(avs4alco1(x2，f(xoal(2,2),4)，由eq blcrc (avs4alco1(ykx1，,x24y)消去y，

12、得x24kx40，x1x24k，x1x24.由于拋物線C也是函數(shù)yeq f(1,4)x2的圖象，且yeq f(1,2)x，則PA：yeq f(xoal(2,1),4)eq f(1,2)x1(xx1).令y0，解得xeq f(1,2)x1，Peq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x1，0)，從而|AP|eq f(1,4)eq r(xoal(2,1)4xoal(2,1).同理可得，|BQ|eq f(1,4)eq r(xoal(2,2)4xoal(2,2)，|AP|BQ|eq f(1,16)eq r(x1x224xoal(2,1)4xoal(2,2)eq f(1,16)eq r(x1

13、x22164xoal(2,1)xoal(2,2)x1x22)2eq r(1k2).k20，|AP|BQ|的取值范圍為2，).熱點三證明問題圓錐曲線的證明問題，常表現(xiàn)為證明相等、定值、過定點、點在曲線上等，一般是以直線與圓錐曲線為載體，綜合使用圓錐曲線的性質(zhì)及位置關系進行論證.例3(2019南開模擬)已知橢圓C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的離心率為eq f(1,2)，以原點為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線xyeq r(6)0相切.(1)求橢圓C的方程；(2)過橢圓的右焦點F的直線l1與橢圓交于A，B，過F與l1垂直的直線l2與橢圓交于C，D，與l3：x4交于

14、P，求證：直線PA，PF，PB的斜率kPA，kPF，kPB成等差數(shù)列.(1)解由題意知eeq f(c,a)eq f(1,2)，所以eq f(a2b2,a2)eq f(1,4)，即a2eq f(4,3)b2又因為以原點為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓x2y2b2與直線xyeq r(6)0相切，所以圓心到直線的距離deq f(r(6),r(2)beq r(3)，所以a24，b23，故橢圓C的方程為eq f(x2,4)eq f(y2,3)1.(2)證明由題意，知當直線l1的斜率存在且不為0時，設直線l1的方程為yk(x1).由eq blcrc (avs4alco1(ykx1，,f(x2,4)f(y

15、2,3)1，)得(4k23)x28k2x4k2120.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用根與系數(shù)的關系，得x1x2eq f(8k2,4k23)，x1x2eq f(4k212,4k23)，由題意知直線l2的斜率為eq f(1,k)，則直線l2的方程為yeq f(1,k)(x1)，令x4，得P點的坐標為eq blc(rc)(avs4alco1(4，f(3,k)，kPAkPBeq f(y1f(3,k),x14)eq f(y2f(3,k),x24)eq f(kx11,x14)eq f(kx21,x24)eq f(3,k)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x14)f(1,x24)

16、keq f(2x1x25x1x28,x1x24x1x216)eq f(3,k)eq f(x1x28,x1x24x1x216)keq f(2f(4k212,4k23)5f(8k2,4k23)8,f(4k212,4k23)4f(8k2,4k23)16)eq f(3,k)eq f(f(8k2,4k23)8,f(4k212,4k23)4f(8k2,4k23)16)keq f(0,361k2)eq f(3,k)eq f(24k224,361k2)eq f(2,k)2kPF，即kPAkPB2kPF，當直線l1的斜率不存在時，kPAkPB0，kPF0，滿足題意，所以kPA，kPF，kPB成等差數(shù)列.跟蹤演練

17、3(2019深圳調(diào)研)在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心在坐標原點O，其右焦點為F(1,0)，且點eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(3,2)在橢圓C上.(1)求橢圓C的方程；(2)設橢圓的左、右頂點分別為A，B，M是橢圓上異于A，B的任意一點，直線MF交橢圓C于另一點N，直線MB交直線x4于Q點，求證：A，N，Q三點在同一條直線上.(1)解方法一設橢圓C的方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)，一個焦點坐標為F(1,0)，另一個焦點坐標為(1,0)，由橢圓定義可知，2aeq r(112blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)0)2)eq r(

18、112blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)0)2)4，a2，b2a2c23，橢圓C的方程為eq f(x2,4)eq f(y2,3)1.方法二不妨設橢圓C的方程為eq f(x2,m)eq f(y2,n)1(mn0).一個焦點坐標為F(1,0)，mn1，又點Peq blc(rc)(avs4alco1(1，f(3,2)在橢圓C上，eq f(1,m)eq f(9,4n)1，聯(lián)立方程，解得m4，n3，橢圓C的方程為eq f(x2,4)eq f(y2,3)1.(2)證明設M(x1，y1)，N(x2，y2)，可設直線MN的方程為xmy1，由方程組eq blcrc (avs4alco1(xmy1，

19、,f(x2,4)f(y2,3)1)消去x，并整理，得(3m24)y26my90，(6m)236(3m24)0，y1y2eq f(6m,3m24)，y1y2eq f(9,3m24)，直線BM的方程可表示為yeq f(y1,x12)(x2)，將此方程與直線x4聯(lián)立，可求得點Q的坐標為eq blc(rc)(avs4alco1(4，f(2y1,x12)，eq o(AN,sup6()(x22，y2)，eq o(AQ,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(6，f(2y1,x12)6y2(x22)eq f(2y1,x12)eq f(6y2x122y1x22,x12)eq f(6y2my112

20、2y1my212,my112)eq f(4my1y26y1y2,my11)eq f(4mblc(rc)(avs4alco1(f(9,3m24)6blc(rc)(avs4alco1(f(6m,3m24),my11)0，eq o(AN,sup6()eq o(AQ,sup6()，又向量eq o(AN,sup6()和eq o(AQ,sup6()有公共點A，故A，N，Q三點在同一條直線上.真題體驗(2019全國，理，21)已知點A(2,0)，B(2,0)，動點M(x，y)滿足直線AM與BM的斜率之積為eq f(1,2).記M的軌跡為曲線C.(1)求C的方程，并說明C是什么曲線；(2)過坐標原點的直線交C

21、于P，Q兩點，點P在第一象限，PEx軸，垂足為E，連接QE并延長交C于點G.證明：PQG是直角三角形；求PQG面積的最大值.(1)解由題設得eq f(y,x2)eq f(y,x2)eq f(1,2)，化簡得eq f(x2,4)eq f(y2,2)1(|x|2)，所以C為中心在坐標原點，焦點在x軸上的橢圓，不含左右頂點.(2)證明設直線PQ的斜率為k，則其方程為ykx(k0).由eq blcrc (avs4alco1(ykx，,f(x2,4)f(y2,2)1，)得xeq f(2,r(12k2) .記ueq f(2,r(12k2)，則P(u，uk)，Q(u，uk)，E(u,0).于是直線QG的斜率

22、為eq f(k,2)，方程為yeq f(k,2)(xu).由eq blcrc (avs4alco1(yf(k,2)xu，,f(x2,4)f(y2,2)1，)得(2k2)x22uk2xk2u280.設G(xG，yG)，則u和xG是方程的解，故xGeq f(u3k22,2k2)，由此得yGeq f(uk3,2k2).從而直線PG的斜率為eq f(f(uk3,2k2)uk,f(u3k22,2k2)u)eq f(1,k)，因為kPQkPG1.所以PQPG，即PQG是直角三角形.解由得|PQ|2ueq r(1k2)，|PG|eq f(2ukr(k21),2k2)，所以PQG的面積Seq f(1,2)|P

23、Q|PG|eq f(8k1k2,12k22k2)eq f(8blc(rc)(avs4alco1(f(1,k)k),12blc(rc)(avs4alco1(f(1,k)k)2).設tkeq f(1,k)，則由k0得t2，當且僅當k1時取等號.因為Seq f(8t,12t2)在2，)上單調(diào)遞減，所以當t2，即k1時，S取得最大值，最大值為eq f(16,9).因此，PQG面積的最大值為eq f(16,9).押題預測已知橢圓W：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的離心率為eq f(r(2),2)，點P(eq r(2)a，eq r(3)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓W的左、右焦點，PF1

24、F2為等腰三角形.(1)求橢圓W的方程；(2)過左焦點F1作直線l1交橢圓于A，B兩點，其中A(0,1)，另一條過F1的直線l2交橢圓于C，D兩點(不與A，B重合)，且D點不與點(0，1)重合.過F1作x軸的垂線分別交直線AD，BC于E，G.求B點坐標；求證：|EF1|F1G|.解(1)由已知eeq f(c,a)eq f(r(2),2)，a2b2c2，得bc，aeq r(2)c， PF1F2為等腰三角形，|F1F2|F2P|，則(2c)2(eq r(2)ac)2(eq r(3)2，代入aeq r(2)c，解得c1，a22，b21，橢圓W的方程為eq f(x2,2)y21.(2)由題意可得直線l

25、1的方程為yx1.與橢圓方程聯(lián)立，由eq blcrc (avs4alco1(yx1，,f(x2,2)y21，)可求Beq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)，f(1,3).當l2與x軸垂直時，D，C兩點與E，G兩點重合，由橢圓的對稱性，|EF1|F1G|.當l2不與x軸垂直時，設C(x1，y1)，D(x2，y2)，l2的方程為yk(x1)(k1).由eq blcrc (avs4alco1(ykx1，,f(x2,2)y21)消去y，整理得(2k21)x24k2x2k220，則x1x2eq f(4k2,2k21)，x1x2eq f(2k22,2k21).由已知，x20，則直線AD的方

26、程為y1eq f(y21,x2)x，令x1，得點E的縱坐標yEeq f(x2y21,x2).把y2k(x21)代入，得yEeq f(x211k,x2).由已知，x1eq f(4,3)，則直線BC的方程為yeq f(1,3)eq f(y1f(1,3),x1f(4,3)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(4,3)，令x1，得點G 的縱坐標yGeq f(y1x11,3blc(rc)(avs4alco1(x1f(4,3).把y1k(x11)代入，得yGeq f(x11k1,3x14).yEyGeq f(x211k,x2)eq f(x11k1,3x14)eq f(1kx213x14x2x11

27、,x23x14)eq f(1k2x1x23x1x24,x23x14)，把x1x2eq f(4k2,2k21)，x1x2eq f(2k22,2k21)代入到2x1x23(x1x2)4中，2x1x23(x1x2)42eq f(2k22,2k21)3eq blc(rc)(avs4alco1(f(4k2,2k21)40.即yEyG0，即|EF1|F1G|.A組專題通關1.(2019吉林調(diào)研)已知A，B為橢圓E：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的上、下頂點，|AB|2，且離心率為eq f(r(3),2).(1)求橢圓E的方程；(2)若點P(x0，y0)(x00)為直線y2上任意一

28、點，PA，PB交橢圓于C，D兩點，求四邊形ACBD面積的最大值.解(1)依題意|AB|2b2，則b1，又由eq blcrc (avs4alco1(ef(c,a)f(r(3),2)，,a2c21，)解得a2，故橢圓E的方程為eq f(x2,4)y21.(2)設C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(t,2)(不妨設t0)，則直線PA的方程為yeq f(1,t)x1，代入橢圓方程化簡得eq f(t24,t2)x2eq f(8,t)x0，解得xA0，x1eq f(8t,t24)，同理xB0，x2eq f(24t,t236)，S四邊形ACBDSACBSADBeq f(1,2)|AB|x2x1|eq f

29、(32t312t,t440t2144)eq f(32blc(rc)(avs4alco1(tf(12,t),t2f(144,t2)40)eq f(32blc(rc)(avs4alco1(tf(12,t),blc(rc)(avs4alco1(tf(12,t)216)，令uteq f(12,t)4eq r(3)，當且僅當t2eq r(3)時，取等號，則四邊形ACBD面積為g(u)32eq f(u,u216)eq f(32,uf(16,u)，又g(u)在4eq r(3)，)上單調(diào)遞減，(SABCD)maxg(4eq r(3)2eq r(3).2.已知橢圓C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)

30、1(ab0)的短軸長為2，離心率為eq f(r(3),2).(1)求橢圓C的標準方程；(2)若過點(3,0)的直線l與橢圓C交于不同的兩點M，N，O為坐標原點，求eq o(OM,sup6()eq o(ON,sup6()的取值范圍.解(1)因為橢圓C的短軸長為2，所以2b2，所以b1，又橢圓C的離心率為eq f(r(3),2)，所以eq f(c,a)eq f(r(a2b2),a)eq f(r(a21),a)eq f(r(3),2)，解得a2，所以橢圓C的標準方程為eq f(x2,4)y21.(2)由題意直線l的斜率存在，可設其方程為yk(x3)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，將yk(x3)

31、代入eq f(x2,4)y21，消去y可得(14k2)x224k2x36k240，所以(24k2)24(14k2)(36k24)0，即k2eq f(1,5)，且x1x2eq f(24k2,14k2)，x1x2eq f(36k24,14k2)，所以eq o(OM,sup6()eq o(ON,sup6()x1x2y1y2x1x2k(x13)k(x23)(1k2)x1x23k2(x1x2)9k2(1k2)eq f(36k24,14k2)3k2eq blc(rc)(avs4alco1(f(24k2,14k2)9k2eq f(41k24,14k2)4eq f(57k2,14k2)，因為0k2eq f(1

32、,5)，所以0eq f(57k2,14k2)eq f(19,3)，所以44eq f(57k2,14k2)0)的焦點為F，其準線L：x1與x軸的交點為K，過點K的直線l與拋物線C交于A，B兩點.(1)求拋物線C的方程；(2)點A關于x軸的對稱點為D，證明：存在實數(shù)t(0,1)，使得eq o(KF,sup6()teq o(KB,sup6()(1t)eq o(KD,sup6().(1)解因為拋物線C：y22px(p0)的準線為直線L：x1，所以eq f(p,2)1，解得p2.所以拋物線C的方程為y24x.(2)證明易知點K的坐標為(1,0)，據(jù)題意可設直線l的方程為xmy1，A(x1，y1)，B(x

33、2，y2).聯(lián)立eq blcrc (avs4alco1(xmy1，,y24x)整理得y24my40，所以16m2160，得m21，故eq blcrc (avs4alco1(y1y24m，,y1y24.)因為點A(x1，y1)關于x軸的對稱點為D，所以D(x1，y1).則直線BD的方程為yy2eq f(y2y1,x2x1)(xx2)，得yy2eq f(y2y1,my21my11)(xx2)，得yy2eq f(y2y1,my2y1)(xx2)，即yy2eq f(4,y2y1)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(yoal(2,2),4).令y0，得0y2eq f(4,y2y1)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(yoal(2,2),4)，得xeq f(yoal(2,2),4)y2eq f(y2y1,4)eq f(yoal(2,2)yoal(2,2)y1y2,4)eq f(y1y2,4)eq f(4,4)1.所以直線BD恒過定點(1,0).所以點F(1,0)在直線BD上，所以不妨令eq o(DF,sup6()teq o(DB,sup6()(t(0,1).因為eq o(KF,sup6()eq o(KD,sup6()eq o(DF,sup6()，所以eq o