【高三數(shù)學知識點總結】29：圓的方程和直線與圓的位置關系

1、【高三數(shù)學知識點總結】圓的方程、直線與圓、圓與圓的位置關系一圓的三種方程（1）方程以為圓心，為半徑的圓的標準方程.（2）方程. = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 當時，表示圓，圓心為，半徑為，稱為一般方程. = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 當時，表示點 = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 當時，方程不表示任何圖形.圓的參數(shù)方程是其中是以圓心為頂點且與軸同向的射線按逆時針方向旋轉到圓上一點所在半徑成的角. 參數(shù)方程可用來解決與圓有關的最值問題.例：若實數(shù)滿足求的范圍.答：注1：求圓的方程的主要方法： 1代數(shù)法：利用待定系數(shù)法求圓的方程關鍵是建立關于或的方

2、程組2. 幾何法：利用圓的幾何性質求方程可直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程，體現(xiàn)了數(shù)形結合思想的運用求圓的方程時，要注意應用圓的幾何性質簡化運算(1)圓心在過切點且與切線垂直的直線上(2)圓心在任一弦的中垂線上(3)圓心和圓上任一點的距離等于半徑.(4)兩圓相切時，切點與兩圓心三點共線.注2：半圓問題.例:若直線與曲線恰有一個交點，則實數(shù)的取值范圍是_答：或注3：阿波羅尼斯圓：平面內到兩個定點的距離之比的點的軌跡是一個圓.二點與圓位置關系的判斷方法 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 點在圓內 = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 點在圓上 = 3 * GB3 * M

3、ERGEFORMAT 點在圓外三直線與圓的位置關系的判斷方法幾何法（主要方法）：比較圓心到直線的距離與圓半徑的大小 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 相離； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 相切； = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 相交.代數(shù)法：聯(lián)立直線和圓的方程，計算的大小 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 相離； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 相切； = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 相交.四. 圓與圓的位置關系的判斷方法位置關系外離外切相交內切內含圓心距與半徑的關系 圖示公切線的條數(shù)43210五計算

4、直線與圓相交的弦長問題主要核心方法：圍繞“弦心距，弦長的一半和半徑構成的直角三角形”來處理問題.（幾何法）注：代數(shù)法：運用韋達定理及弦長公式.(正設直線）.(反設直線）六處理直線與圓相切的問題主要核心方法：圍繞“圓心與直線上的點這兩點的距離，切線長和半徑構成的直角三角形”來處理問題.（幾何法）求切線方程的方法： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 幾何法（主要方法）：設出切線的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，求出未知數(shù)的值. = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 代數(shù)法：設出切線的方程，利用，求出未知數(shù)的值.注意：1.設直線方程時要注意直線方程的局限性.如設成點斜式要

5、注意討論斜率不存在的情況；設成斜截式，要注意討論直線過原點的情況.2.點在圓外，有兩條切線；點在圓上，只有一條切線；點在圓內，無切線.求切線長的最小值.切線長的最小值=七直線與圓相離的最值問題若直線和圓相離，則圓上的點到直線距離的最小值為：最大值為：（其中為圓心到直線的距離，為半徑）（2）若點在圓外，則圓上的點到已知點距離的最小值為：最大值為：（其中為圓心到已知點的距離，為半徑）八計算兩圓相交的弦長問題（1）公共弦所在的直線方程若圓與圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程為（2）公共弦長的求法 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點坐標，利用兩點間的距離

6、公式求出弦長. = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構成的直角三角形，根據(jù)勾股定理求解.九處理兩圓相切的問題定性，即必須準確把握是內切還是外切，若只是告訴相切，則必須考慮分兩圓內切還是外切兩種情況討論.（2）轉化思想，即將兩圓相切的問題轉化為兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差的絕對值（內切時）或兩圓半徑之和（外切時).十用幾何意義處理與圓有關的最值問題（1）形如的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題；（2）形如的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題；也可以考慮用圓的參數(shù)方程，借助三角函數(shù)來求最值.（3）形如的最值問題，可轉

7、化為動點到定點的距離的平方的最值問題；十一有用的結論（需要記?。?）若圓與軸相切，則與軸相切，則與兩坐標軸相切，則當點在圓上時，過點的圓的切線方程為推廣：當點在圓上時，過點的圓的切線方程為設點是圓外一點，過點作圓的切線，兩切點分別為則直線的方程為推廣：設點是圓外一點，過點作圓的切線，兩切點分別為則直線的方程為（4）以為直徑的圓的方程為（5）圓系方程： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 若直線與圓有兩個交點，則過直線與圓的交點的圓可設為： = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 若兩圓與圓有兩個交點，則過圓與圓的交點的圓可設為：（.注： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 時，表示兩圓的公共弦所在直線的方程. = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 方程不能表示留心檢驗.（6）圓和圓的重要性質 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 兩圓相切時，兩圓圓心與切點在同一條線上. = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 兩圓相交時，兩圓的公共弦所在直線的中垂線即為兩圓心的連線.（7）圓上有幾個點到直線的距離為幾的問題假設圓的半徑為圓心到直線的距離為圓上的點到直線的距離為，則 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 0個； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 1個；