圓錐曲線中的傾斜角互補(bǔ)問題

1、 圓錐曲線中的傾斜角互補(bǔ)問題【引子】4-14-1其實(shí)對(duì)于傾料角至補(bǔ)的問題，我們并不陌生，例如入射光線和反射光線問題:設(shè)人溝入射光線，經(jīng)過斗軸反射后，厶為反射光線此時(shí)兩査線傾斜角氏補(bǔ)一、傾斜角互補(bǔ)，直線過定點(diǎn)鋼2:已知蟲-L0)設(shè)不曇直于工軸的直線/與拋物線v2=S.v4nZ于不同的兩點(diǎn)P.Q,若工軸是ZPBO的角平分線，求證直線/過定點(diǎn)厲易M走/PBO話總-；/後、沅jn.絞PB.0B迪譏.紆角錄樸：旳注%=0(xe+1)Cy2+1)卜卜kx+bkx2-hb(kxl+)(.r24-1+(Ax.-E-i)(.Yj+1)時(shí)囂管靜曲將心=乍%呂代入上式忖免b+心3=0=b=-k，所以直媒J為y=s過

2、定點(diǎn)(1.0)K(X+1)(x?+1)鋼1:光線沿直線x+2y-l=0射入，經(jīng)過x軸反射，求反射光線所旌直線才程解：如圖*設(shè)入射光線為v+2y-l=0,斛率為-斗1占斗軸的交點(diǎn)月L0),則反射龍線經(jīng)過&L0)、斜率為故反射尤線所在直線方提為：人：玄-2丁-！=0證明；如圖設(shè)宜線/的方程溝丁=賦+血，P(xj,kxx+Z?),P(.y2,fcr2+&聯(lián)立直線與拋物線方程消去yk2x-lkb)x+b2=0山韋達(dá)定理伽+y響*卓7J31oABb2二、傾斛角互科，直線有定向yk例3設(shè)P（XQ.VQ）是圓x2+y2=兀上的一點(diǎn)，EF是圓上兩動(dòng)息證明：如圖，設(shè)PM是圜的切線，AB.PM分別交丁軸于N.M即

3、AB的斜率和切線PM妁斜率百_為相反數(shù)，k曲x2廠例4過橢圓+=(cib0)止任-點(diǎn)A(xv0)做兩條傾斜Mab證明：如圖，設(shè)0（*1、%）,C（x2,叫），AB的中點(diǎn)為M（x3,也），j211-2則由點(diǎn)墨法易得-一，令褊=4則氐.壘=一一,5CM在直線48上,ax3a故幾5得心代冷以-斤代和，得且C的中點(diǎn)皿族導(dǎo)W知了）a2k2+b2*my護(hù)x由MN/BC=xkBC=k倔*Vo22結(jié)論1:過雙曲線冷-務(wù)=1（0）上任-點(diǎn)且（和）做兩條傾斜角互補(bǔ)帕直線aZr更雙曲線于兩點(diǎn)，結(jié)論2:過拋物線12=2px（左0）上任一點(diǎn)応（%）作兩條傾斜角互補(bǔ)的査線交則Zl=Z2,由弦切角等于其所對(duì)的圓周角可知ZP

4、AB=ZBPM,Z1二APAB+ZANM,Z2=ZBPM+Z3,所以ZANM=Z3若加和FB的傾斜角互補(bǔ)，則山的斜率為定值皿bx互補(bǔ)的直線過橢圓于RC兩點(diǎn)，則kBC=曠Vo拋物線于兩點(diǎn)，則饑匚=注憊到上述橢圓、雙曲線、拋物線上任一點(diǎn)A（xg,yQ）處的切線斜率分別為-化工?顯然切線的斜率和直線的斜率互為相反數(shù)/.%/兀M【定理“：過圓錐曲線上任-亠I作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交圓錐曲線J-BX兩Af則EC的斜率是在H處的切線斜率的相反數(shù)例5:過曲線Ax7+By2+Dx+Ey+F=0A2+B20）_h一點(diǎn)戶氏?。┳髦本€PE.PFZ曲線于E.F,若直線PE與FF傾斜角互補(bǔ)，則直線EF的斜率為定值證明：

5、直線PE與PF的傾斜角互補(bǔ)，故它們的斜率互為相反數(shù)不iPE:y-yQ=k(x-x,直線PF.y-yQ=-k(x-x聯(lián)立直線PE:y-10=k(x-xG)和曲線且/4-By2+Dx+v+F=0消去i得(A+Bk2)x2-D-Ek-h2Bky一2RlFxJx4-Bk2x-(2BxQyQ+ExQ)k+By02-Er0+F=0因?yàn)橹本€過卩（丸,坯），所以心走上述方程的一個(gè)根，由韋達(dá)定理可得住二加訐叫心+心+陽2+氐*尸x0(A+Bk2)堆=Q及3叮+Er沐;+F加門斤十升）,將R換成-左可得x0（A+Bk）xG(A+Bk2)_Bk2x+(2BxQyQ+ExJk+Ryj+EyG+FXp-(25x0-0_

6、+ExQ)k-(5v024-E%+F-AxQ)k十y&)所以=J%_Ve=_乎。,訐為定值（與戸E的斜率斤無關(guān)）0222三、圓錐曲線內(nèi)接四邊形傾斜角互補(bǔ)問題例6:若P（,v0）在阿外，過F引傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，分刑與圜交于4C和B.D?則直線AB.CD的傾斜角也互補(bǔ)證法二：A(rcosq；,rsincos仇、vsin0)*C(rcos馬、rsing),D(rcos0.rsill0)所以怙十丸加=斤血+爲(wèi)c=0，即川月與CD傾斜角互補(bǔ)，ADBC傾斜角互補(bǔ)22例7:過攤罔亠+爲(wèi)二1內(nèi)點(diǎn)E作兩條直線分別交橢圓于川/和CD?若直線ab且B和CD的傾斜角互補(bǔ)，求證：直線NC和ED的傾斜角互補(bǔ)證明：因?yàn)?/p>

7、直線貝*和CD的傾斜角互補(bǔ)，所以它們的斜率互為相反敎設(shè)直線AB:y=!q+E十E十E=2k.keZtan13tan丄122y因?yàn)閆CAB=ZEDB=ZC+Zl+Z2,ZCDB=ZPAB=ZC+Z3+Z4ZCXB+ZCZ)5=180aZC+Zl+Z2+ZC+Z3+Z4=180a又Zl+ZC+Z4=ZPFE=90AE.D比較（1）,（2）兩式，.卩項(xiàng)系教為0，故4為+九$=0=（尋）+（尋）=0即直線且和的斜率芝和為0,即直線ACBD傾斜角互補(bǔ)【定理2:在圓錐曲線的內(nèi)接四邊形中，如果有一組對(duì)邊的斜率互為相反數(shù),則它的另一組對(duì)邊的斜率也互為相反數(shù)四、圓錐曲線上存在定點(diǎn)使得傾斜角總是互補(bǔ)例8已知楠圓匕

8、$+荒=1,在橢圖上是否存在一點(diǎn)P,使得對(duì)所有不過點(diǎn)P且斜率為斤的直線匚當(dāng)/與C交于丘B(yǎng)時(shí)，直線煦與戸喪傾斜角總是互補(bǔ)的?解：設(shè)A（xy1）.B（x2.y2P（x0.yQ）7直r+.r7二嚴(yán)號(hào).x.x2=?,-?廣+礦/廣-嚴(yán)+曠十（%耳）（心一冷）,匚_y-y,兒-旳（兒貽）（-乃）+（%兒）（-逅）PA十人円上式分式中的分子（,r0-ViX-x2）+（v0-旳）（-耳）=2心坯一（屯+E）耳一（站+y2K+%叫+=2xQyQ-（工14-兀2）尹。_斥（鬲+*2）+2川龍+x（kx2+m）+x2（kx+川）=2gj%-（工i+x2）x?0-什（百+x2）址-2川工。+2kxxx2+川（X+口

9、）嚴(yán)；y輕善bmlr+ak顯然直線ACBD也包舍在上述二次曲線方程中由（4玄專方1尹+G）（&x+5-,y+C-,）=07艇.化簡(jiǎn)得:I殳査線AC:Bry+1=0，直纟戔BD:A2x+B2y+C2=0Ax2+耳耳，+（昌盡+出J-fA2C1）x+（B1C2+艮GH+GG=0（2）或22aB,20b2b1kci223（磯f）_磯=0=與.皿由于也+忌側(cè)無關(guān)，所以宀用將方程紐的解代入得也+kPB=2兀坯站=0,b2+a2k2結(jié)論1：橢圓上存在定點(diǎn)刊需州必2如曙+丿或卅荷宀円需”十/便-ka2-b2得對(duì)所有不過點(diǎn)P且斜率為斤的直線匚當(dāng)/與C交于/仏吋也+kPB=0jT2玖啟蒂斫所有不過山附訕欣線人當(dāng)

10、/與C交于A.B時(shí)，kPA+kp3=0結(jié)論弓：拋物線C：v2=2px(p0)上存在定點(diǎn)P呂得對(duì)所有不過點(diǎn)PII2kk斜率為斤的直線匚當(dāng)/與C交于吋，也+%=0五、鳳錐曲線中的相交弦定理則PA.PB=PC.PD的克要條件是兩條直線.PA.PC的傾斜角互補(bǔ)A例9:已知血CD是橢圓二十缶=1(0)的兩條相交拓【圓錐曲線中的相交弦定理】：過戸作兩條直線分別與圓錐曲線交于九E與CDQtrR交點(diǎn)為尸且它們的傾斜角互補(bǔ)，求證：PA.PB=PC.PD(即4BCD四點(diǎn)共圓)”-辰2v_b2I冷2結(jié)論2:雙曲線C:各aV2z“計(jì)上存在定5薩帚薩喬)或證明：設(shè)P(x0,v0),直線妞B的傾斜角為B,則AB的參救方程

11、為x=xn-i-fcos0.，代入橢圓方程整理得V=V04-/Sill0 (Lrcos2+f72sm2+2(b2x0cos&+a2yQsui6)t+(b2x+a2y-ct2b2)=0所以出!.尸=b2cos26+a2sill20以&代9得PGPD=以4b1cos2+(72sin26所以PA.PB=PC.PD由圓琴定理的逆定理可知4BCD四點(diǎn)共圖例10已知拋物線y2=2pxp的兩條AB.CD所在直線的交點(diǎn)為尸，且它們的傾斜角互補(bǔ)，求證：PA.PB=PC.PD（即H,D四點(diǎn)共圜）證明：設(shè)川刃的參數(shù)方程為+九5,代入拋物線方程整理得y=y0+tsm3sin201+2（%sin0pcos0）t+（r0

12、2-2pxQ）=0?所以PA.PB=花二”“sill0以B代臼得PC.PD=|站|=-管,所以PAPB=PC.PD由圓棘定理的逆定理可知A.B.CD四點(diǎn)共圓例11:已知點(diǎn)4（A+f占一右）二h2,3、4）是平面上的四個(gè)不間的點(diǎn)，若此四點(diǎn)共圓，求U怡應(yīng)滿足的條件解：四點(diǎn).綣&4在同一個(gè)圓上詢充要條件是直線&綣心4的傾斜角互補(bǔ)(t1)&11即心禺+人入也=o,口-右%_花十1代加丄F爲(wèi)廿1*2同理心去=7TT7?將上兩式代入g+G=0化簡(jiǎn)得鎧切=1Xc0Ld設(shè)直線AB方程為y=k（x+c）,代入橢囲方程整理得六、圓錐曲線中切割線定理1.過圓錐曲線外一點(diǎn)遲仗曲兒）（兒老約作兩條直線，其沖一條與曲線相

13、切（切點(diǎn)傾奈卜角互補(bǔ)則直線AB.且C的傾斜角也互補(bǔ)2.過圓錐曲線外一點(diǎn)P（%“）（.兒工0）作兩條直線，其中一條與曲線相切，切點(diǎn)y證明：先看橢圓，如圖，戸才=PB.PC二APAEsAPC4,即PAB=TPCA溝A,另一頭與曲線相交于U若這兩條直線的傾斜角互補(bǔ)厶一過理作直線AD直于工軸，且交直線FC于點(diǎn)D,過點(diǎn)尸作直線PF垂直于丁軸,七、與焦點(diǎn)有關(guān)的傾斜角互補(bǔ)問題例12過圓錐曲線的焦點(diǎn)的兩條孩AR、CD的傾斜角互補(bǔ)，延長(zhǎng)AD.BC,則它們相交于一足點(diǎn)P（對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線與對(duì)稱軸的萸點(diǎn)）2,2證明：対于榊國，如圖，過橢圓冷+fy=l的左焦點(diǎn)耳（-的兩條傾斜角/D則有尬+忌=亠+亠=山+5疋3+一0,8為/

14、),另?xiàng)l與曲線相交于*,c,則PA2=PB.PC的充要條件是直線尸且的則廿=曇2心廠25護(hù)，設(shè)PgZAFE=ZCPE-i-ZACP,所以ZBAD=ACADt分別萸直線AB.AC于罷E.F,所以XAEF=ZAPE4-APAB，!即直線AB.且C的傾制角互補(bǔ)，雙曲線與拋物線的情況同理可證(k2+b1)x2+2ci1k2cx-ct1(k1c2-Z2)=0T設(shè)川(屯.fJ,月此書)互補(bǔ)的弦AB.CD,另兩條直線AD.CB的傾斜角也互補(bǔ)，貝DCB炙于F (1ATNcb4點(diǎn)，交芒軸于F雖,且FM.FN=e2AB.AC,則F必為橢圖的焦二2證明：不妨設(shè)該準(zhǔn)線為橢圓的右準(zhǔn)線，則X=0）,丘=ca整理得2兀禹一

15、（耳（?）（西+工J-2cxq=0,2將代入解得XQ=-,即尸為左準(zhǔn)線與工軸的焦點(diǎn)對(duì)于拋物線如圖，過拋物線/=2py的焦點(diǎn)尸彳）的兩條傾斜角互補(bǔ)的弦整理得g-2P）Q=二兒=-號(hào)則宀仝十鼻耳一土二丄J-貳宀2煦2pxB代入兀2=2py中得x22pkp=0;1V韋達(dá)定理得?！皅=p1j設(shè)P(O丿。)ty八、與準(zhǔn)線有關(guān)的傾斜角互補(bǔ)問題2例X橢吟+滬4。）的-條準(zhǔn)線與對(duì)稱軸的交幾過I作橢圓的一條割線更橢圓于E.C兩點(diǎn)T作傾斜角與月C互補(bǔ)的割線交橢M于血N兩代入橢同方程得(t?2sill23+b2cos20)t2+2卜wt+=QAB.AC-tJ2-_；7；=2.,rr麒co$粉siir+cos0代入橢

16、圓方程整理得(b1cos20+a1sin20)t22rxQb2cos0+b1(.r02-a2)=0AB.CD則另兩條直線AD.CB傾斜角也互補(bǔ)，交于尸，設(shè)直線畀月設(shè)川C傾斜角為0,則直線宜匚參攢方程為設(shè)直線MN與x軸更點(diǎn)為F（x0,O）,則直線抱小參數(shù)方程為x=x0-tcos6y=rsin6A=+rcos?AC(7力參數(shù))j；=tsine線交拋物線于兩點(diǎn)，作傾斜角與互補(bǔ)的割線交拋物線則直線MN傾斜角為7T-0,AC參數(shù)方程為設(shè)直線A例的參數(shù)方程涌x=x0+tcos(-3)=x0-tcos3y=tsin-6=tsin0由參如的幾何意5啓r=miFM.FN=e2AB.AC?4-門?asnr04-Z

17、rcos0easnr0+bcos0所以/和=b2xQ=c,即F必為橢圓的焦點(diǎn)用同樣的方法可以證明對(duì)于或曲線也有和橢圓一樣的結(jié)論例14若拋物線y2=2pxp0）的一條準(zhǔn)線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為/,過川作拋物線的一條割于-N兩點(diǎn)且FM.FN=e2AB.AC,則F必為拋物線的焦點(diǎn)證明：昇（-，設(shè)尸（勺0）,設(shè)直線AC傾軒角為白代入拋物線方程得產(chǎn)sill26-2cos6)+p7=0AB.AC=trt2=代入拋物線方程得t2sin20+2ptcos-2pxG=0=FM.FN=q由FM.FN=e2AB.AC=聲厘二=心=左，故F為拋物線的焦點(diǎn)snr0snr62結(jié)論：若圓錐曲線的一條準(zhǔn)線與對(duì)稱軸釣交點(diǎn)為月，過點(diǎn)/作尉錐曲線的一條劇線交圓錐曲線于EC兩點(diǎn)，作傾斜角BCA補(bǔ)的割線交圓錐曲線于九TN兩點(diǎn),交芒軸于F點(diǎn)，且FM.FN=e2AB.AC.則F必為圓錐曲線的焦點(diǎn)【拓展】；若兩直線傾斜互補(bǔ)改為兩直線垂直，則又如何？例15:過曲線Ax2+By2=1（才+B2（j）上一點(diǎn)P（xQ,%）作直線PE.PF交曲線于E,F,若FE1PF,求證：直線EF恒過定點(diǎn)解得x=ABkB+A證明：假設(shè)直線PE和尸F(xiàn)都不與斗軸垂直，設(shè)直線PE:y-y.=kx-x0)則JL線PF-.v-v(A+Rf疋+(2Bh