最新2022年全國數學建模大賽A題中國人口增長預測與控制題目和論文賞析

1、最新2022年全國數學建模大賽A題中國人口增長預測與控制題目和論文賞析of rural drinking water sources, protection of drinking water sources in rural areas by the end of the delimitation of the scope of protection, complete with warning signs, isolating network protection facilitiesPAGE of rural drinking water sources, protection of d

2、rinking water sources in rural areas by the end of the delimitation of the scope of protection, complete with warning signs, isolating network protection facilitiesPAGE 73of rural drinking water sources, protection of drinking water sources in rural areas by the end of the delimitation of the scope

3、of protection, complete with warning signs, isolating network protection facilities2022高教社杯全國大學生數學建模競賽題目請先閱讀“對論文格式的統(tǒng)一要求A題：中國人口增長預測中國是一個人口大國，人口問題始終是制約我國開展的關鍵因素之一。根據已有數據，運用數學建模的方法，對中國人口做出分析和預測是一個重要問題。近年來中國的人口開展出現(xiàn)了一些新的特點，例如，老齡化進程加速、出生人口性別比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素，這些都影響著中國人口的增長。2022年初發(fā)布的?國家人口開展戰(zhàn)略研究報告?(附錄1) 還做出

4、了進一步的分析。關于中國人口問題已有多方面的研究，并積累了大量數據資料。附錄2就是從?中國人口統(tǒng)計年鑒?上收集到的局部數據。試從中國的實際情況和人口增長的上述特點出發(fā)，參考附錄2中的相關數據也可以搜索相關文獻和補充新的數據，建立中國人口增長的數學模型，并由此對中國人口增長的中短期和長期趨勢做出預測；特別要指出你們模型中的優(yōu)點與缺乏之處。附錄1 ?國家人口開展戰(zhàn)略研究報告?附錄2 人口數據?中國人口統(tǒng)計年鑒?中的局部數據及其說明中國人口增長預測與控制辛鑫，劉廈，袁雋琳，指導教師：許勇摘要針對中國人口的實際特點，建立了中國人口增長的數學模型，得到了中國人口隨年份變化的增長率，解決了中國人口中短期和

5、長期的人口預測與控制問題，包括人口總數、年齡結構、性別比、城鄉(xiāng)比變化等各因素的預測與控制研究。首先，將人口增長的預測問題轉化為對出生率、死亡率和城鎮(zhèn)鄉(xiāng)轉移率的預測。通過原題附錄3數據的分析研究，發(fā)現(xiàn)影響人口增長的主要因素可以歸結為出生率、死亡率和城鎮(zhèn)鄉(xiāng)轉移率，并依此建立了不同參數隨時間變化的遞推數學模型，討論了各個參數對人口增長的影響。其次，利用Compertz密度函數和Gamma密度函數分別擬合死亡率和生育率、城鎮(zhèn)鄉(xiāng)轉移率對年齡的分布。建立了差分數學模型，將死亡率、生育率與城鎮(zhèn)鄉(xiāng)轉移率的預測歸結到總和死亡率、總和生育率與城鎮(zhèn)鄉(xiāng)總和轉移率的預測，由于概率分布是相對穩(wěn)定的，模型參數整體健壯。對中

6、短期的預測而言，總和死亡率、生育率和轉移率的變化是近似線性的；對長期的預測，采用SI和SIS模型來描述其非線性變化，其模型的控制參數變化表達了國家人口政策的控制力度，結果說明模型具有長期可控性。再次，采用所建模型對090歲人口做出中短期和長期預測。2022-2030年總人口逐年增加，2022年為13.062億，2022年為13.109億，2022年為13.158億，2022年為13.3億，2023年到達頂峰期13.829億，以后開始下降趨于平緩，到2030年為13.805；鄉(xiāng)城轉移率逐年增加，短期線性變化，2022年為0.454，2022年為0.471，2022年為0.490，2022年為0.

7、526，長期由非線性模型描述，到2030年，城鄉(xiāng)比例為0.901；整體老齡化程度增大，2022年為0.129，2022年為0.134，2022年為0.139，2022年為0.150，到2030年為0.325，在農村老齡化尤其嚴重，可以確定為地區(qū)間的遷移。同時在做長期預測時，不同的國家策略導致不同的人口狀況(見圖26-30)，得到的結論可以作為國家制定人口方針的建議。最后，指出模型的優(yōu)缺點。通過求解經典的Logistic模型和Leslie模型，并將所得結果與本文模型結果比擬，發(fā)現(xiàn)本文模型具有易操作性、可控性、健壯性等優(yōu)點；主要缺點是在短期預測時準確度稍差。關鍵詞：人口控制 差分模型 預測 擬和

8、Leslie模型 Logistic方程目錄 TOC o 1-4 h z u HYPERLINK l _Toc178378186 一、問題重述 PAGEREF _Toc178378186 h 2 HYPERLINK l _Toc178378187 二、假設和符號說明 PAGEREF _Toc178378187 h 3 HYPERLINK l _Toc178378188 三、問題分析 PAGEREF _Toc178378188 h 3 HYPERLINK l _Toc178378189 四、模型建立與求解 PAGEREF _Toc178378189 h 4 HYPERLINK l _Toc1783

9、78190 4.1中國人口增長的影響因素分析 PAGEREF _Toc178378190 h 4 HYPERLINK l _Toc178378191 4.2中國人口增長總模型 PAGEREF _Toc178378191 h 6 HYPERLINK l _Toc178378192 4.3各影響因素模型 PAGEREF _Toc178378192 h 8 HYPERLINK l _Toc178378193 死亡率模型 PAGEREF _Toc178378193 h 8 HYPERLINK l _Toc178378194 出生人口模型 PAGEREF _Toc178378194 h 12 HYPER

10、LINK l _Toc178378195 生育模式模型 PAGEREF _Toc178378195 h 13 HYPERLINK l _Toc178378196 平均生育數模型 PAGEREF _Toc178378196 h 15 HYPERLINK l _Toc178378197 生育性別比模型 PAGEREF _Toc178378197 h 17 HYPERLINK l _Toc178378198 遷移模型 PAGEREF _Toc178378198 h 18 HYPERLINK l _Toc178378199 4.4中國人口增長的特點 PAGEREF _Toc178378199 h 21

11、 HYPERLINK l _Toc178378200 4.4.1 老齡化程度 PAGEREF _Toc178378200 h 21 HYPERLINK l _Toc178378201 4.4.2 性別比 PAGEREF _Toc178378201 h 22 HYPERLINK l _Toc178378202 4.4.3 城鎮(zhèn)化程度 PAGEREF _Toc178378202 h 22 HYPERLINK l _Toc178378203 4.5中國人口增長的中短期預測 PAGEREF _Toc178378203 h 22 HYPERLINK l _Toc178378204 4.6中國人口增長的長

12、期預測 PAGEREF _Toc178378204 h 27 HYPERLINK l _Toc178378205 五、模型優(yōu)缺點比擬 PAGEREF _Toc178378205 h 305.1 HYPERLINK l _Toc178378206 阻滯型人口模型 PAGEREF _Toc178378206 h 305.2 HYPERLINK l _Toc178378207 參數隨時間不變的Leslie 模型 PAGEREF _Toc178378207 h 32 HYPERLINK l _Toc178378208 參考文獻 PAGEREF _Toc178378208 h 34 HYPERLINK

13、l _Toc178378209 附錄 PAGEREF _Toc178378209 h 34問題重述中國人口增長影響因素主要包括老齡化進程的加速、出生人口性別比的升高和鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化。而老齡化程度、出生人口性別比和城鎮(zhèn)化程度是由死亡人口、出生人口及城、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)遷移人口所決定的。因此，人口增長的根本性影響因素是環(huán)境條件決定死亡率及國家政策決定出生人口數量及性別結構。我們要解決的問題是：首先對中國人口增長做出分析；其次建立人口增長的數學模型，對人口在一至十年的中短期內及二十五年的長期內的增長情況做出預測，并向國家提出政策上的建議；最后將此模型與經典模型做出比擬，指出差異及此模型的優(yōu)缺點。假設和符號說明

14、2.1 問題的假設每一年的人口總數，人口結構及分布和其他有關各量僅在年末發(fā)生變化，變化順序是：一局部人先死亡，然后一局部人生小孩，最后一局部人遷移本文中所提到的嬰兒出生率指的是嬰兒出生且在一歲前存活的概率生育婦女一年只生一胎九十歲以上的人口變化對總人口變化影響不大，因此不予以考慮人口的遷移路徑僅考慮從村到鎮(zhèn)，從村到城國際遷入遷出對于人口的影響較小2.2 符號說明第年初年齡為的總人數第年末年齡為的人的死亡率第年末平均每個育齡女性的生育數生育加權因子即生育模式 第年末生育性別比第年末遷移人口比例老齡化程度城鎮(zhèn)化程度性別比問題分析為了與機理分析結合求得較精確的結果，可以建立遞推模型，利用附錄中所給數

15、據確定未知參數，進而確定描述中國人口增長的數學模型，并用此進行中短期、長期預測。首先，由于人口增長受多個因素影響，我們分別建立描述各因素的數學模型，包括：死亡率模型、出生人口模型、生育性別比模型和遷移模型。由于死亡率模型和生育性別比有性別差異，各模型皆有城、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)差異，所以需將男性人口與女性人口，城、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)人口分開考慮。其次，由于中短期、長期預測時問題的復雜程度不同，側重點不同，因此中短期、長期預測的模型有所差異。中短期預測僅利用現(xiàn)有數據的變化趨勢進行預測，長期預測需要通過機理分析得到。最后，要檢驗模型的準確性，必須參照別的模型實際數據，因此我們用兩個經典的模型：Logistic模型和Leis

16、lie模型進行求解并與本文模型進行比擬。數據分析:為了建立模型，需整理篩選20012022年的數據，挖掘各種有用信息，剔除不良信息。很明顯數據中相當一局部數據是有誤的，特別是2022年的婦女生育率。本文局部數據來自于?中國統(tǒng)計年鑒?。此題中的數據是通過抽樣調查統(tǒng)計得到的，難免會出現(xiàn)偏差，而且用五年的數據預測三年或是三年以上的變化略顯薄弱。但是通過對數據的挖掘，得到了對建立模型很有幫助的數據特點，使得用5年數據預測三年以上的變化變成了可能。數據特點如下：城市婦女生育率、鎮(zhèn)婦女生育率、鄉(xiāng)村婦女生育率按年齡的分布相似，并且近似滿足于Gamma分布。 0歲時的死亡率不服從其它年齡段的死亡率近似服從的概

17、率分布，須要剔除。數據在時間上具有遞推性，即人口分布在年齡以及年份上具有連續(xù)性，這是建立遞推模型的關鍵。城鎮(zhèn)鄉(xiāng)人口比例適用于線性回歸。模型建立與求解4.1中國人口增長的影響因素分析人口變化包括人口增長及人口性別結構、年齡結構的變化。其中，人口性別結構、年齡結構的變化影響人口增長量及增長速度。為了建立中國人口增長的數學模型，并進行預測，首先須考慮人口變化的影響因素。其中，老齡化、城鎮(zhèn)化、性別比的增高等中國人口變化的特點須給與考慮。當前各地區(qū)的人口總數和人口比例、人口年齡結構決定以后的人口總數和人口比例、人口年齡結構。人口總數和人口比例、人口年齡結構表現(xiàn)為老齡化程度、城鎮(zhèn)化程度和性別比。其變化情況

18、由出生率、死亡率、遷移率決定。國家政策影響出生率、死亡率、遷移率。以上關系見圖1。出生率、出生人口性別結構第t年各類地區(qū)的人口總數、人口比例、人口結構影響第t年性別比、城鎮(zhèn)化程度、老齡化程度表達為表達為第年各類地區(qū)的人口總數、人口比例、人口結構死亡率遷移率影響影響政策影響變化第年性別比、城鎮(zhèn)化程度、老齡化程度圖1一、老齡化、城鎮(zhèn)化、性別比的及國家政策與人口增長的關系：1. 老齡化、城鎮(zhèn)化、性別比與中國人口增長的關系：老齡化使人口年齡結構發(fā)生變化，能生育的人口比例降低，進而影響各類地區(qū)人口比例及總人口數。城鎮(zhèn)化影響各類地區(qū)占總人口的比例，由于各類地區(qū)的死亡率、出生率不同，城鎮(zhèn)化也影響人口總數的增

19、長量。性別比持續(xù)增高給人口性別結構帶來變化。與老齡化類似，性別比增高使有生育能力的人口比例降低，進而影響各類地區(qū)人口比例及城鎮(zhèn)化程度和總人口增長量。在總人口增長的影響下，各個年齡段的人口增量不同，由此使年齡結構變化，老齡化程度變化。2國家政策對人口增長的影響：“三個代表提出了中國人口開展的戰(zhàn)略思路是穩(wěn)定低生育水平，提高人口素質，改善人口結構，引導人口合理分布，保障人口平安。其中，穩(wěn)定低生育水平可控制生育率，改善人口結構意味著對出生人口性別比的控制，引導人口合理分布可控制城、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)遷移率?？梢?，國家政策可在中短期內降低性別比增長速度，長期內使性別比控制在合理值，影響人口總數增量。另外，政策也調整

20、各類地區(qū)的人口比例，進而影響人口總數增量。二、老齡化、城鎮(zhèn)化、性別比的影響因素：由于各類地區(qū)的人口總數、人口比例、人口結構表達出性別比、城鎮(zhèn)化程度、老齡化程度，死亡率、出生率和出生人口性別結構、遷移率共同決定各類地區(qū)的人口總數、人口比例、人口結構的變化，所以分析人口增長的根本方法是分析死亡率、遷移率以及出生率和出生人口性別結構，同時須考慮政策的影響。4.2中國人口增長總模型將男、女人口，城、鎮(zhèn)、村的人口分開考慮，得到六個子對象，如圖2所示：總人口男性人口女性人口城市男性人口城鎮(zhèn)男性人口農村男性人口城市女性人口城鎮(zhèn)女性人口農村女性人口圖2以下建立適用于各個子對象的通用模型。男、女性分別用下標，表

21、示；城、鎮(zhèn)、村分別用下標表示。將第年初的人口分為在第年末出生的人口與第年末未死亡未遷出的非新生人口兩類，即：設有年齡結構向量：其中，為第年初年齡為的該類地區(qū)人數4.1.1求第年末出生的人口數設為第年末年齡為的人的死亡率，表示各年齡生育的女性占總生育女性的概率分布即生育模式，為第年末平均每個育齡女性的生育數，可以得到：第年末年齡為的婦女人數為第年末年齡為的婦女生下的嬰兒數量為另外，設為第年末生育性別比，那么有：第年末年齡為的婦女生下的男嬰數量為第年末年齡為的婦女生下的女嬰數量為表示為矩陣形式可得：第年末出生的男嬰數量為第年末出生的女嬰數量為4.1.2求第年末未死亡未遷出的非新生人口數設從農村到城

22、鎮(zhèn)遷移率、從農村到城市遷移率分別為那么第年末未死亡未遷出的非新生人口數可表示為：對農村人口對城鎮(zhèn)人口，未死亡未遷出的非新生人口包括城鎮(zhèn)原來的剩下人口加上從農村遷移至城鎮(zhèn)的人口：同理得，對于城市人口：4.3各影響因素模型4.3.1死亡率模型記死亡率1年齡對死亡率的影響眾所周知，在同一時期的人口中，少年兒童的死亡率隨年齡增長而下降，中青年人的死亡率變化較平穩(wěn)，老年人的死亡率隨年齡增長快速升高；總體來說，死亡率-年齡曲線為一“U字型。因此，考慮利用模型文獻11通過數據擬合對死亡率隨年齡增長的變化進行描述：其中，為年齡為的人的死亡率，和為參數，通過數據擬合得到。對于城市、鄉(xiāng)鎮(zhèn)擬合曲線大致如圖3所示不考

23、慮90歲以上的人口死亡率圖3通過對上面圖形分析可知：1 死亡率大致與年齡反相關，這說明中國的城鎮(zhèn)醫(yī)療開展水平以已經較高，兒童的成活率比擬高。2 隨著年齡的增加，死亡率明顯增大，而且增大的趨勢明顯。對于鄉(xiāng)村死亡率，變化圖形如圖4所示：圖4通過圖4分析可知：1. 小于10歲的人口死亡率比擬高，整個趨勢大體為U字型。這說明鄉(xiāng)村的醫(yī)療等水平比擬低，嚴重影響了兒童的成活率，因此對于鄉(xiāng)村來說，提高醫(yī)療水平是非常重要的。2. 隨著年齡的增長，死亡率逐漸增加。通過上面擬合可以得到市，鎮(zhèn)，鄉(xiāng)0歲到90歲死亡率的離散化數據。用于后面人口的預測。2時間對的影響a. 中短期內，隨時間的變化速度改變不大，我們采用線性回

24、歸的方法，得出如下結果：對于城市男性： 對于城市女性：對于城鎮(zhèn)男性： 對于城鎮(zhèn)女性：對于農村男性： 對于農村女性：各方程均通過顯著性檢驗?；貧w情況如圖5：時間死亡率圖5可見，短期內農村和城鎮(zhèn)的死亡率在增加，主要原因是農村和城鎮(zhèn)的老齡化程度不斷加深，以及從農村遷出的中青年人口增多。b. 長期內， 由于不斷降低，最終將會趨于一個理想值，我們利用SIS模型對其進行描述，表達制約與控制因素。有：，其中，為參數，的終值為改變和對終值的影響如圖6：死亡率時間死亡率時間圖6其中： 城、鎮(zhèn)、村不同初值的影響如圖7所示：圖7其中： 4.3.2出生人口模型出生人口的影響因素如圖8所示：出生人口男女性別比生育性別比

25、平均生育數生育模式生育數圖8生育人數對年齡符合一定的概率分布，每個年齡段的生育率歸結為總和生育率與生育概率的乘積。這樣對于生育率的預測，歸結為總和生育率的預測上。以下分別討論各個子模型。4.3.2.1生育模式模型記為各年齡生育的女性占總生育女性的概率分布，即生育模式生育加權因子。由于生育模式主要受生理因素影響，假設其不隨時間變化?？紤]到生育的女性中中青年人口占較大比例的特點，我們設不同年齡女性的生育加權因子滿足分布：， 數據的選取，在模型中用到附錄中的數據。用附錄中的數據進行分析,初步發(fā)現(xiàn)2022年的數據與其余數據相差較大：我們選用更權威的數據。兩組數據的對照表所示：統(tǒng)計年鑒數據附表三中數據2

26、3.831.8639.793.7360.566.1895.778.94117.7811.37123.8511.51123.6610.65108.129.9186.547.5366.385.5749.394.5136.773.29因此我們采用統(tǒng)計年鑒的數據來代替附表三中的數據。通過對數據進行擬合得到：a. 對城市：=19.86，=1.232擬合情況見圖9年齡 生育加權因子圖9b. 對城鎮(zhèn)：=19.213，=1.011擬合情況見圖10年齡 生育加權因子圖10c. 對農村：=24.023，=0.932擬合情況見圖11年齡 生育加權因子圖11從結果可知，對于三類地區(qū)，用此模型得到的從23歲到28歲的生

27、育模式比擬準確。由于這一年齡段時生育頂峰期，其他年齡段的生育模式微小變化對總人口的變化影響較小，所以用Gamma分布描述生育模式隨年齡的分布是合理的。另外，受當前農村人口文化、經濟條件影響，早生現(xiàn)象存在，這一點從對農村生育模式的擬合情況圖也可以看出來。但是，由于將來農村的開展，早生現(xiàn)象必會慢慢消除。因此用此模型對農村地區(qū)作長期預測將會得到更準確的結果。4.3.2.2平均生育數模型記平均生育數通過分析數據，我們發(fā)現(xiàn)從2001年到2022年平均生育數上下波動，但總體來說有所減小。1中短期內，采用如下線性回歸方程：根據各年平均生育數數據，利用軟件SAS得到如下結果： 對城市人口：對城鎮(zhèn)人口：對鄉(xiāng)村人

28、口：三方程均通過顯著性檢驗?；貧w情況如圖12。時間平均生育數圖122長期內，平均生育數下降必將趨近一個定值。我們采用SIS模型：，終值為改變終值可以表達國家政策影響的力度，如下對此做出分析：a. 初值相同，終值設定不同的情況：曲線一0.50.350.00035曲線二0.50.400.00035曲線三0.50.400.00035曲線比擬如圖13時間平均生育數圖13b. 城、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)初值不同的影響：參數選擇為：如圖14，初值不同不影響終值。平均生育數圖144.3.2.3生育性別比模型記生育性別比由于中國當前對女性的歧視，許多女嬰不能正常出生或存活。但由于社會的進步，必會下降。a. 在中短期內，農村生

29、育性別比降低趨勢較為明顯，城鎮(zhèn)生育性別比在一定值周圍上下波動。簡單起見，我們采用如下線性回歸方程：其中為初始時刻生育性別比，為表示其變化快慢的系數。利用SAS軟件得到如下結果：城市城鎮(zhèn)鄉(xiāng)村116.8117.4111.10.43570.084270.1051方程通過顯著性檢驗。b. 在長期內，生育性別比不斷上升，最后必將趨近1。我們采用SI模型來描述生育性別比：，其中，為參數。曲線斜率最大點在處，因此在初值一定的情況下，控制的值就可以控制生育性別比變化的快慢。4.3.3遷移模型記遷移率、分別是從村到鎮(zhèn)、從村到城的遷移率。分別為城、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)外來人口比重。在中國經濟快速開展的一個很長的時期內，國內人口

30、遷移主要是從鄉(xiāng)到鎮(zhèn)、從鄉(xiāng)到城，因此只考慮這兩種遷移。假設遷移率沒有性別差異。從數據得出遷移率的性別區(qū)別不明顯，而且隨著遷出的人在城鎮(zhèn)的工作多元化，遷移率的性別區(qū)別將會減小。時間的影響：遷移率長期開展情況將是先增大后減小。這是由于當前城鎮(zhèn)開展速度高于農村，所以中短期內遷移率將增加；但是，經濟開展最終將消滅城鄉(xiāng)差異，外來人口比重最終將變?yōu)榱?。中短期內，外來人口比重變化速率改變不大，假設其隨時間線性增加，通過線性回歸得到如下結果：三個線性回歸方程均通過顯著性檢驗。b.長期內，城鎮(zhèn)的外來人口比重減小并最終趨于零，我們采用SIS模型描述其變化：， 且由附錄數據計算出城、鎮(zhèn)的外來人口比例初值及變化趨勢，求

31、得其隨時間的長期變化曲線如圖15：時間外來人口比重圖15其中，綠線為轉移到城市的比例，紅線為轉移到鎮(zhèn)的比例。2年齡的影響：對數據的初步分析可以得知：青年和中年人口遷移率比幼年和老年人口遷移率高得多；遷移率在25歲到30歲間到達峰值；遷移率的變化率隨青少年的年齡增長不斷增高，遂老年人的年齡增長不斷降低。所以，我們考慮用Gamma分布來描述遷移率隨年齡增長的變化：， 其中，為參數。下面通過數據擬合確定，。a. 對于從村到城的遷移率：擬合得到：= 2.73=2.21擬合情況如圖16圖16b. 對于從村到城的遷移率：擬合得到：= 13.03=2.414擬合情況如圖17圖17可見，用離散化的Gamma分

32、布來描述遷移率隨年齡增長的變化結果非常準確。4.4中國人口增長的特點4.4.1 老齡化程度題目附錄一指出，60歲以上的人屬于老年人。設第t年末中國老年人總數為，那么老齡化程度描述老年人口在總人口中的比例，所以老齡化程度表示為其中，為第t 年末全國的總人口數。4.4.2 性別比第t年末的公民性別比為男性公民總人數與女性公民總人數之比，可表示為其中、分別為第t年末男性公民、女性公民總人數。4.4.3 城鎮(zhèn)化程度第t年末城鎮(zhèn)化程度表達出此時城鎮(zhèn)人口與鄉(xiāng)村人口之比，可表示為：其中，分別為第t年末城、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)人口總數。4.5中國人口增長的中短期預測通過對上面影響因素模型的求解，我們得到各個參數及其變化規(guī)律

33、將上面的參數帶入模型求解，首先通過01-04年的數據05年的數據進行檢測，得到圖18中比擬曲線：圖18橫坐標表示年齡，縱坐標表示各年齡段人數占總人數的比例通過對此圖分析可以知道：1 除少數比擬不規(guī)那么的點外，在整個年齡上，預測得數據與實際數據吻合的比擬好。1-8歲階段，實際預測的數之比實際數值稍小，假設實際數據準確，那么可能時我們對生育率的把握不夠準確，表達在參數上，可能是1-8歲的概率分布并不能和實際某一年的數據完全吻合，但在允許變動的范圍內，本文的模型還是較好的進行了預測。8-30歲階段，預測不是非常吻合。這可能表達在概率分布的問題上，也可能表達在遷移率上。30-50歲階段較好的吻合，而且

34、還表現(xiàn)了一個人口頂峰期。50-90歲階段實際數值比預測數值稍小，可能是死亡率預測的問題。2 預測數據成功的預測了三個人口頂峰期，說明，模型能夠較好的反映年齡結構的變化，隨著時間的變化，此模型的預測峰值還會變化。3 模型比擬健壯，能夠較好的反映在整個年齡上的分布。在模型中我們引入了三個概率密度，這三個密度總和起來使得模型比擬強壯，對于預測問題有較好的穩(wěn)定性。通過上面的分析，發(fā)現(xiàn)模型比擬適于預測，而且準確度比擬高，下面我們用01-05年的數據進行短期預測。4.4.1 對總人口增長的預測通過模型的求解得到結果如圖19圖19由此可知：在2022-2022年期間，人口增長比擬平緩，每年平均增加500萬人

35、，雖然總和生育率小于更替水平。但由于人口基數巨大，使得總人口仍然在增加。在2022年人口大體到達13億3千萬人左右。國家的開展方案是將人口控制在13億6千萬以內，因此反映了我們的模型較好的進行了預測。下面我們對每個年齡段的數據進行分析，得到圖20：圖20橫坐標表示人數，縱坐標表示年齡由圖20得知：對于年齡在小于18歲的人，人口數目逐年減小，這說明，人口的總和生育率在一定時期內發(fā)揮了作用，大約在30年前開始方案生育，這可以表達出方案生育政策對控制小孩的出生發(fā)揮了作用，但有一定的延時。對于年齡在18歲以上的人，隨時間的增加越來越多，這說明方案生育之前那局部人對中國人口的增長產生了劇烈的沖擊。在曲線

36、上有三個頂峰，19歲左右，41歲左右，64歲左右，這三個頂峰期的存在，使得人口的變化很不規(guī)律。一個頂峰期的來臨可能直接影響到人口的變化。曲線的頂峰在逐漸的變化，人口結構正在向老齡化邁進。新出生的嬰兒在總人口中的比例有增加的趨勢，很有可能是嬰兒的父母是處于生育頂峰。19831989是一個生育頂峰4.4.2 對老齡化程度的預測分別對農村城鎮(zhèn)，城市的老年人數進行統(tǒng)計可以得到圖21圖21橫坐標表示年份，縱坐標表示老年比例通過對上表的數據進行分析得到如下結論：1 從總體上來講，老齡化程度將在07到08年中期這段時間有較快的提高，在08年中期后保持相對的穩(wěn)定。2 提高最快的是農村女性老齡化程度，較快的是農

37、村男性老齡化程度。這主要是由于鄉(xiāng)村向外遷移人口多且多為男性，3 城鎮(zhèn)男、女性老齡化程度都將在08年中期后有微小降低，在此之前變化不明顯。4.4.3 對性別比變化的預測總趨勢表達在圖22中：圖22通過對上面圖形的分析知道：1總的性別比例的變化在短期內沒有特別的規(guī)律，且變化不大。這可以解釋為，雖然出生人口的性別比例比擬不均衡，但由于男士的死亡率相對較高等原因，使得社會上總的人口比例根本上為1:1。2在根本恒定的同時，也產生小小的波動，可以理解為隨機現(xiàn)象。對每個年齡段的性別比例進行分析，得到圖23：圖23總坐標表示各年齡的人占總人數的比例。通過對上圖進行分析，可以知道：1對于年齡小于22歲的人，男性

38、比例大于女性比例，表達出生育性別比擬高。2隨著年齡的增長，這種比例在減小，到了50歲以上，女性的比例大于男性的比例，表達出中年后女性死亡率低于男性。3控制男女比例對于穩(wěn)定社會開展有重要作用。4.4.4 對城鎮(zhèn)化的預測分別對城市，城鎮(zhèn)，農村人口的比例進行統(tǒng)計，得到如圖24：圖24曲線1：鎮(zhèn)人口比例曲線2：市人口比例曲線3：村人口比例通過上面圖形可以得到以下結論：1城鎮(zhèn)和城市人口在不斷增加。2農村人口由于向城鎮(zhèn)和城市的遷移，在不斷減小。3農村遷往城市和農村遷往城鎮(zhèn)的速度不同，大致為線性關系。對各個年齡段的人口比例進行統(tǒng)計，得到圖25：圖25通過對上圖分析可得，1農村人口比擬多，城鎮(zhèn)次之，再次為城市

39、，這也表達了現(xiàn)有的城鎮(zhèn)化開展情況，中國的城鎮(zhèn)化開展情況比擬低。2農村的人口結構大致為增長型，可以解釋為，農村的總和出生率比擬高，對于小孩比例的增加起作用。3城鎮(zhèn)，城市的人口結構大致為穩(wěn)定型，可依據解釋為總和出生率不高，且很多成年人會搬到城鎮(zhèn)和城市去。4.6中國人口增長的長期預測對人口增長的長期預測必須考慮政策的影響。國家可以采取的政策下：方案生育方面：加強，保持，放松。加強方案生育力度：降低育齡婦女的總和生育率；由于中國傳統(tǒng)觀念的影響，新生嬰兒的性別比失衡會進一步加??；新生嬰兒進一步減少，使老齡人口比重加大，我國將提前進入老齡社會。保持方案生育力度：育齡婦女的總和生育率維持不變；新生嬰兒的性別

40、比將根本維持不變。放松方案生育力度，增加育齡婦女的總和生育率；由現(xiàn)在新生嬰兒性別比的失衡向平衡開展；新生嬰兒增加，降低老齡人口比重，延緩我國老齡化進程。城市化進程方面：限制，保持，促進。限制城市化進程：降低農村人口向城市遷移的速度。保持城市化進程：保持現(xiàn)在農村人口向城市遷移的速度。促進城市化進程：增加農村人口向城市遷移的速度。以下分別考慮五種政策對人口增長長期形勢的影響。政策1：國家保持現(xiàn)有政策不變化；政策2：國家加強方案生育工作的力度，限制城市化進程；政策3：國家放松方案生育工作的力度，限制城市化進程；政策4：國家放松方案生育工作的力度，保持城市化進程；政策5：國家放松方案生育工作的力度，嚴

41、格限制城市化進程；上述政策與當前的人口分布、開展趨勢、城市化進程、老齡化、新生嬰兒性別比是緊密相關的。我國人口數量眾多，為應對人口持續(xù)增加的嚴峻形勢，需加強方案生育。面對人口老齡化的嚴峻壓力、嬰兒性別比例失衡又需要放松方案生育的工作力度。我國城市化水平偏低目前只有43.6%，但我國的城鎮(zhèn)化速度很快2022年為1.77%遠高于年均增長1%的速度，龐大的流入人口對城市的根底設施、公共效勞和城市管理能力提出挑戰(zhàn)，在此根底上有必要對城市化進程進行限制。因此本文選擇上述五種政策進行預測、評估，以期得到對國家開展有利的政策，為政府提供建議。圖26是我國在不同政策下25內總人口數量，國家的政策對總人口的開展

42、趨勢有很大的影響。其中政策1是保持現(xiàn)有政策不變，17年后到達峰值，并根本穩(wěn)定在13.7億附近。比擬各政策下總人口趨勢，發(fā)現(xiàn)方案生育對總人口趨勢影響很大，例如政策5情況下，人口在15年內快速攀升到峰值，到達14.8億。而政策2情況下，人口增長緩慢，峰值只有13.5億。圖26縱坐標是未來25年的人口數量單位：百人，橫坐標是時間圖27是我國在不同政策情況下25年內城鎮(zhèn)化速度的趨勢，可見國家政策對城鎮(zhèn)化進程的控制是相當有效的，例如政策5，減緩了城市根底設施的壓力。我國的城市化速度很快，在25年后會到達一個很高的水平。圖27縱坐標是未來25年的城市化比例，橫坐標是時間綜合比擬圖26和圖27，發(fā)現(xiàn)一個有趣

43、的現(xiàn)象，延緩城市化進程會降低人口總量，例如圖26中的政策5后半段以及政策2。這符合本文所構建的模型，因為城鄉(xiāng)死亡率不同，一般來說，鄉(xiāng)村高于城市，所以出現(xiàn)上述現(xiàn)象缺乏為奇，反而說明了模型的合理性。圖28是我國在不同政策情況下25年內人口老齡化的趨勢，我國人口的總體趨勢向老齡化開展，不管采取何種政策我國都將在15內邁進老齡化社會。政策1，2，3，4的比擬發(fā)現(xiàn)如果只是稍微放松方案生育工作力度，不會對延緩老齡化進程產生影響。政策5還說明，醫(yī)療條件的改善，在降低死亡率的同時會使；老齡化進程加快。圖28縱坐標是人口老齡化比例，橫坐標是時間人口老齡化進程圖29 是我國在不同政策情況下25年內人口性別比例的變

44、化，圖像的趨勢說明，在5種政策下，性別比例都變化不大，集中在106.0102.5之間，是相當合理的；但是這個性別比例是總人口的性別比例，而各年齡段的性別比例是很不協(xié)調的。圖29縱坐標是男女性別比例100*男性總數/女性總數，橫坐標是時間圖30是在保持現(xiàn)有政策不變下2030年各年齡段的性別比例。圖30 2030年按年齡分布的性別比例男/女*100綜上所述，建議國家采用政策4，在該政策下：總人口在19年后進入穩(wěn)定期，到達14.2億低于國家要求的15億，城鎮(zhèn)化進程保持現(xiàn)有速度，延緩老齡化進程，降低嬰兒性別比。模型優(yōu)缺點比擬首先介紹并求解兩個經典的模型，然后進行比擬得出本文模型的優(yōu)缺點。5.1阻滯型人

45、口模型設時刻時人口為,環(huán)境允許的最大人口數量為，人口凈增長率隨人口數量的增加而線性減少，即 由此建立阻滯型人口微分方程： 那么: 待求參數。此即為Logistic函數.當時，增長最快，即最大。擬合1949年到2001年數據,得到結果為: (單位:億)均方誤差根為.通過這個擬合的曲線預測2002-2022年的數據并與我們模型的數據進行比擬，得下列圖31：圖31Data1為Logistic預測曲線,data2實際曲線,data3是本文模型預測曲線。從上圖可知，阻滯增長模型對于人口增長的預測，遠不如我們采用的模型。但對于人口數目的預測還是比擬好的模型。盡管如此，它并不能衡量人口的性別比例，城鄉(xiāng)變動和

46、年齡結構的變化關系。這是該模型的一個很大缺點。相對于這個模型我們的模型有以下優(yōu)點：1 本文中的模型引入了影響總人口變化的三個因素：出生率，死亡率，遷移率。這樣從本質上描述了總人口的變化。而不像Logistic模型那樣，僅僅是對圖形的擬合。2 本文的模型同時引入了衡量出生率，死亡率，遷移率的模型，從更本質的，更容易觀測的角度衡量。對于出生率，我們引入了總和生育率，生育模式來衡量生育率，而假設總和生育率不變可以將生育率隨時間的變化轉化為總和生育率的預測上。這樣就大大地簡化了模型，而且使得模型更加健壯。5.2參數隨時間不變的Leslie 模型對于Leslie模型中的參數采用常數，進行預測。得到下面的

47、結果：比擬可得：通過這個模型進行預測，以01年的數值預測02-05年的數據，然后再用02-05年的實際數據進行比擬得到的數據與本文中模型進行比擬，得到人口總量的變化：圖32從圖32可以看出：1 對于總人口的預測，傳統(tǒng)模型的效果不好。2 對于長期預測尤其如此，如果預測的時間更長，將產生更大的偏差。得到人口連續(xù)兩年的關于年齡變化的人口下列圖33所示：圖33橫坐標表示年齡，總坐標表示所占的比例通過對該圖分析可知：1 連續(xù)兩年的年齡結構幾乎沒變化，也就是說明該模型并不能反映出年齡結構的變化。2 由于參數是常數所以對于初始迭代非常敏感。相對于這個模型，本文中的模型有如下優(yōu)點：1 可操作性引入了影響死亡率

48、，和生育率的子因素，將人口總量的變化轉化到這些子因素的變化上。子因素的數據更易獲取。2 健壯性將死亡率轉化為死亡分布率和死亡減小率，這樣將死亡變化轉化為總和死亡率的變化上，僅僅預測這一個參數就可以得到死亡率，這樣大大地加強了模型的強壯性。將生育率轉化為總和生育率和生育率分布的乘積，這樣把生育率這個隨時間和年齡變化的量轉化為僅隨時間變化的量，并在短期內通過擬合得到變化規(guī)律，并在長期內通過一個經典的非線性模型來描述。這樣增加了模型的健壯性。3 可控性在做長期參數預測時，將變化規(guī)律用參數來描述，這些參數表達了國家政策的控制，這樣通過這些參數的變化就可以表達人口總題的變化趨勢。這樣，就可以根據國家對人

49、口的要求制定不同的政策。除了上面的優(yōu)點還有如下的缺點：1 模型中是基于概率分布假設的，但對于概率分布的形式很難預測，我們只能對其進行大致的擬合，但可能并不是實際情形。死亡率的擬合函數參數值穩(wěn)定性太差。出生模式的擬合曲線不能完全符合實際情況，遷移模式的擬合曲線太理想化。2 總和生育率不能完全準確的描述，只能用近似形式的曲線來描述?？赡軐嶋H總和生育率的變化并不是那個形式。3并沒有對90歲以外的人進行預測研究。參考文獻1 姜啟源,謝金星,葉俊.數學模型第三版M.北京：高等教育出版社,20222 王學民.應用概率統(tǒng)計M.上海：上海財經大學出版社，20223 梅長林,范金城.數據分析方法M.北京：高等教

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53、413518118569637787242822346665139241239599808053477653763761479013199108048826499544123271572113802114439452532284387781631913996122681003756053469589167961499312717104105866549289101733715332134051104161119520681118012158121368111280640305605512185031630414170116786707557525131974117674150201290973

54、613642121420006184751588213852765126680615215751977917309147148268873474162305921534184861613084837778281724937232172035817493902038235918256692475920613181368689379140192607825492202211755377715706312026140267441950717285654615856021271122752517840159645736950066222652427938155601455447450414922326

55、283271151528614896433474042924266072768015517158243862537469252749329040172151776638137390572628498302981866919615378753824227282963023419814210623578136534282970132030213372203336498363462930761326892265323620363403563330320703414023912245273842036801313396235923254502587241308400663235435373372613

56、126056433784245333384283921827527276944938248013343949639943279592764950068491233540424408842835628314541475350836408544083828579279695681356596373968639295277732760558044579803838712380392775126749600306111739375843644326688262286064060330403778236620258502562759436601684138814376882572925012616036

57、136942387573706624682241205952359955433715635609235282235956032558084434392334952042519960484454852145318153046618477173984499744247462899627893157621487138584386644727721266901475814032382513718348287772811715267146264362842274492901928518155131468846464447975029520289101563715228509054925251284612

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60、212327110790117144922477021219212287210142106544578461319193194707399141030643624671196972058574884890573877392016710175957581268215369337111542716887767247728832953335137681548677647166502888300812030141667858625924260428741140412984794712519021872562940811584804067464518802087814810127813434418716