教學(xué)教案-立體幾何序言課的教學(xué)設(shè)計(jì)

1、立體幾何序言課的教學(xué)設(shè)計(jì)一.教案描述序言課的主要任務(wù)是揭示這門學(xué)科研究的對(duì)象、內(nèi)容、解決問題的思想方法，它具 有承前啟后之作用。上好序言課，對(duì)學(xué)生學(xué)好這門學(xué)科有著十分重要的作用。因此，應(yīng)當(dāng) 重視序言課的教學(xué)，精心設(shè)計(jì)教學(xué)過程，使其上得生動(dòng)、具體、有趣，防止抽象、空洞、 乏味，從而有效地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。教學(xué)目的.使學(xué)生了解立體幾何研究的對(duì)象、內(nèi)容；.使學(xué)生初步理解立體幾何中的主要數(shù)學(xué)思想方法（類比思想、轉(zhuǎn)化思想、展開思 想）；.培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力，初步建立空間概念。教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)教學(xué)的重點(diǎn)是空間概念的建立及立體幾何中的主要數(shù)學(xué)思想方法；難點(diǎn)是空間概念 的建立。教具正方體、正四面體骨架、圓

2、柱、圓錐等模型；學(xué)生每人準(zhǔn)備六根長度相等的牙簽或 六根火柴。教學(xué)方法引導(dǎo)類比探索法。教學(xué)過程（一）引入新課師：問題1。請(qǐng)同學(xué)們用六根長度相等的牙簽（或火柴）搭正三角形，試試看，最多 搭成幾個(gè)正三角形？生：開始在桌面上擺，有的擺成兩個(gè)余下一根牙簽；有的在桌面上擺成塔形，塔底為 三角形，出現(xiàn)四個(gè)三角形。學(xué)生興趣很濃，積極探索擺法。最后都探索到，在空間，可搭 成四個(gè)正三角形。師：（小結(jié)）：在平面內(nèi)（桌面）最多只能搭成兩個(gè)，而在空間能搭成四個(gè)正三角 形。同時(shí)，向?qū)W生展示正四面體骨架模型，再讓學(xué)生看投影1中的圖1?！军c(diǎn)評(píng)：通過小實(shí)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)了學(xué)習(xí)情境，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。一開始就把學(xué)生的 視線由平面引導(dǎo)

3、到了空間】師：問題2。請(qǐng)同學(xué)們想一想，是否存在三條直線兩兩互相垂直？假設(shè)存在，請(qǐng)舉出實(shí) 際中的例子。生：有的在紙上畫；有的用筆、直尺等演示；有的在教室四周觀察。議論紛紛，有的 說不存在，有的說存在，各持己見，爭論不休。師：在兩種不同意見的學(xué)生中各選一人，讓他們陳述理由。生甲：不存在。因?yàn)榧僭O(shè)a，c, bc, 那么ab。生乙：存在。如教室墻角處的三條直線兩兩互相垂直。師（小結(jié)）：在同一平面內(nèi)不存在，如甲的理由；但在空間是存在的，如乙同學(xué)所舉 的實(shí)例，教室墻角處的三條直線AB、AC、AD兩兩互相垂直（如投影1中圖2所示）。請(qǐng)同 學(xué)們觀察正方體（向?qū)W生展示正方體模型）中一個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱之間的關(guān)系，

4、也是兩兩 互相垂直的（如投影1中圖3）。師：現(xiàn)實(shí)世界中許多問題，只在平面內(nèi)研究是很不不夠的，還需要在空間這個(gè)更廣闊 的領(lǐng)域內(nèi)來考慮和研究，這就是我們將要學(xué)習(xí)的“立體幾何”（板書課題）【點(diǎn)評(píng)：問題2更具有探索性，激活了學(xué)生的思維，通過學(xué)生自己探索、辯論，教師 小結(jié)，將學(xué)生的思維活動(dòng)由平面引導(dǎo)到空間，促使了學(xué)生空間概念的形成?！浚ǘ┲v授新課1、立體幾何研究的對(duì)象、內(nèi)容師：平面幾何研究的對(duì)象、內(nèi)容是什么？生：對(duì)象是平面圖形；內(nèi)容是平面圖形的畫法、形狀、位置關(guān)系、大小計(jì)算及應(yīng)用。師：那么立體幾何研究的對(duì)象、內(nèi)容又是什么呢？讓學(xué)生觀察正方體、正四面體骨架、圓柱、圓錐等模型，引導(dǎo)學(xué)生與平面幾何進(jìn)行類比，

5、在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，教師小結(jié)為投影2的內(nèi)容。投影2立體幾何研究的對(duì)象 空間圖形（由空間的點(diǎn)、線、面組成的圖 形，也可以看成空間點(diǎn)的集合。如投影3中圖1、2、3、4都是空間圖 形）；立體幾何研究的內(nèi)容 空間圖形的畫法、形狀、位置關(guān)系、大小計(jì)【點(diǎn)評(píng)：與平面幾何進(jìn)行類比，非常自然地揭示了立體幾何研究的對(duì)象和內(nèi)容】師：同學(xué)們雖然還沒有掌握空間圖形的畫法但已經(jīng)見到了老師畫的正方體、長方體、 圓柱、圓錐的直觀圖，如投影3中圖1 一圖4。同學(xué)們想一想，空間圖形與平面圖形的畫法 有什么不同？投影3生：平面圖形的畫法是真實(shí)的，而空間圖形的直觀圖不真實(shí)。如投影3中，正方體、 長方體的底面本是正方形和矩形，但在直觀

6、圖中都 畫成了平行四邊形。圓柱、圓錐的的 底面本是圓，但在直觀圖中畫成了橢圓。師：同學(xué)們說得對(duì)，在畫法上有著很大差異。同學(xué)們知道，平面圖形中的位置關(guān)系主 要是研究線與線的位置關(guān)系。那么對(duì)于空間圖形來說，除了要研究線與線的位置外，還有 哪些位置關(guān)系呢（用正方體、長方體模型及投影3中的圖形啟發(fā)學(xué)生從構(gòu)成空間圖形的基 本元素線與面作答）？生：因?yàn)榭臻g圖形是由點(diǎn)、線、面構(gòu)成的因此要研究線與線、線與面、面與面的位置 關(guān)系。師：在平面圖形中，我們要經(jīng)常計(jì)算一些角的大小和線段的長度，面積的大小。對(duì)于 空間圖形，也要計(jì)算有關(guān)角的大小，線段的長度，除了面積外，還有體積的計(jì)算。對(duì)于投 影3中的正方體ABCD Ag

7、G，請(qǐng)同學(xué)們 說出以下各角的度數(shù)：試計(jì)算的大?。辉O(shè)AB = a,試求正方體的外表積和體積。生：計(jì)算并回答：都是45;連結(jié)A氏因ABGA是等邊三角形，故ZBC,A =60 ； 5方=6。2,丫 = 3。師：通過解答上述問題，同學(xué)們已經(jīng)看到：在研究空間圖形時(shí)，不能依據(jù)對(duì)圖形的直 覺做出判斷，而應(yīng)依據(jù)正確的推理、計(jì)算做出結(jié)論。如/abg，從直觀上看圖形是鈍角，但實(shí)際上是直角?！军c(diǎn)評(píng)：通過學(xué)生熟知的正方體、長方體、圓柱、圓錐等的直觀圖，使學(xué)生深刻認(rèn)識(shí) 到了空間圖形與平面圖形在畫法上的差異；從組成空間圖形的元素入手揭示了空間圖形中 要研究的線線、線面、面面之間的位置關(guān)系；通過對(duì)正方體的簡單計(jì)算，向?qū)W生說

8、明了在 研究空間圖形時(shí)不能只依據(jù)直覺做出判斷，為學(xué)生提早打了 “預(yù)防針”。這局部教學(xué)設(shè) 計(jì)，深入淺出，既說明了立體幾何研究的內(nèi)容，乂加強(qiáng)了學(xué)生空間概念的形成?！?、立體幾何中的主要思想方法(1)類比思想師：判斷以下命題是否正確(石,瓦c表示直線)石 c, bc=ab; a-Lc, b c=ab.生：在同一平面內(nèi)，、都是真命題，在空間內(nèi)，仍然是真命題，但不正確； 如教室墻角處的三條直線ac, bc, aLb, a馬6相交。師：對(duì)。命題在空間仍然是真命題，就是我們將要學(xué)習(xí)的平行公理，同學(xué)們在物理 課中見到的三棱鏡的三條側(cè)棱就是這種關(guān)系。命題在空間就不成立了。由此知平面幾何 中的有些結(jié)論在空間成立，

9、有些結(jié)論在空間不成立。因此，在立體幾何學(xué)習(xí)中，我們要善 于與平面幾何做比擬，認(rèn)識(shí)其相同點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)其不同點(diǎn)，這種思想方法稱之為類比思想。(2)轉(zhuǎn)化思想師：在投影3的圖1中，假設(shè)設(shè)正方體的棱長為石，請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算：BD的長；NDD】B的余弦。生甲：瓜；cos/DDB = g3師：請(qǐng)你說一下，是怎樣算得的？生甲：連結(jié)BD,解RtADDB。師：對(duì)。這個(gè)問題實(shí)際上是在對(duì)角面8。|瓦(如投影4圖1)中進(jìn)行的，即空間圖形的問題一般要轉(zhuǎn)化為平面圖形問題去解決。只要轉(zhuǎn)化到平面圖形中，就可以運(yùn)用平面幾 何知識(shí)去解決。這就是轉(zhuǎn)化思想。(3)展開思想師：在初中，同學(xué)們學(xué)習(xí)了圓柱、圓錐的側(cè)面積公式，大家記得這兩個(gè)公式是怎樣

10、推 出來的嗎？生：展開。師：對(duì)，就是將圓柱、圓錐側(cè)面分別展開為矩形和扇形，從而將問題轉(zhuǎn)化為計(jì)算矩形 和扇形的面積。像這樣將空間圖形展開為平面圖形來處理問題的思想方法稱為展開思想。請(qǐng)同學(xué)們考慮下面的問題：在投影4圖2的長方體ABCD A 51G2中AB=5, AD=4, A41=3,從點(diǎn)A出發(fā)沿長方體外表到達(dá)C1點(diǎn)路徑有：ABB1C1；AA|B 一iC；ABC C,求最短路程，怎么辦？生：展開，在展開圖中計(jì)算并做比擬。師：對(duì)。需將長方體展開進(jìn)行計(jì)算，按照三種不同路徑，有投影4中圖35的三種展 開方法。根據(jù)平面幾何知識(shí)知，兩點(diǎn)之間線段最短，故在三種路徑中最短路程是AC】的長，請(qǐng)同學(xué)們算一算，最短路

11、程是多少？生：在圖3中，得AC】=畫；在圖4中，得AG =色；在圖5中，得AC = 80 o故沿圖4中的路線走，路程最短，最短路程是J而?！军c(diǎn)評(píng)：在學(xué)生已有的平面幾何知識(shí)的基礎(chǔ)上，從問題入手，在解決問題中，揭示了 立體幾何研究問題的思想方法，培養(yǎng)了學(xué)生空間想象能力，促進(jìn)了學(xué)生空間概念的建 立?！浚ㄈ┱n堂小結(jié)（教師指導(dǎo)學(xué)生小結(jié)，歸納為投影5）投影5研究的對(duì)象：空間圖形（空間點(diǎn)的集合）畫法立體幾何研究的內(nèi)容：空間圖猱勺性質(zhì)（形狀、位置）大小的計(jì)算及應(yīng)用類比思想（與平面幾彳嵌比）主要數(shù)學(xué)思想和方法轉(zhuǎn)化思想（空間向平面展開思想（展開為平面II形）（四）課堂練習(xí).判斷正誤，錯(cuò)誤的請(qǐng)舉出反例：過一點(diǎn)有且

12、只有一條直線與直線平行。過直線上一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線垂直。.在右圖的圓柱中，底面半徑為2,高為4,求從點(diǎn)A繞圓柱側(cè)面一周到點(diǎn)D的最短路程（用根式表示）（五）課外作業(yè)1、在以下圖的長方體中，：48=5厘米，47=4厘米，彳4=3厘米，求:（1） BD、4& 84 的長度； （2）/ACB、4BC、C、的余弦值。AB第1題2、在上圖的圓錐中，底面半徑為5厘米，母線長為10厘米，A、B是底面圓直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，C為母線SB的中點(diǎn)，求從點(diǎn)A沿圓錐側(cè)面到點(diǎn)C的最近路程（精確到0.1厘 米）。二.教案評(píng)析本教學(xué)案例是自己對(duì)立體幾何序言課經(jīng)過十多年課堂教學(xué)探索的成果。在陜西師范 大學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考

13、發(fā)表，后被中國人民大學(xué)報(bào)刊復(fù)印中心中學(xué)數(shù)學(xué)全文轉(zhuǎn) 載，收到了許多同行的來信，受到了同行的青睞和極高的評(píng)價(jià)。今天重新來分析這一教學(xué) 案例，總結(jié)成功的經(jīng)驗(yàn)，用新課標(biāo)的教學(xué)理念重新審視這一教學(xué)案例，尋找缺乏之處，進(jìn) 一1步完善。成功之處.教學(xué)內(nèi)容的獨(dú)創(chuàng)性一堂序言課的教學(xué)設(shè)計(jì)的教學(xué)內(nèi)容完全是教者從長期教學(xué)實(shí)踐中摸索、積累的。 當(dāng)時(shí)的教材只在封二中用了四、五行的文字闡述了立體幾何研究的對(duì)象、內(nèi)容。教學(xué)參考 書（教師用書）中也沒有相關(guān)的內(nèi)容，在課時(shí)分配中也沒有安排課時(shí)。在當(dāng)時(shí)本人沒有看 見過有關(guān)立體幾何序言課的教學(xué)設(shè)計(jì)或教案。具了解當(dāng)時(shí)許多學(xué)校和老師，對(duì)立體幾何序 言課不專門作為一節(jié)課上。只是在第一節(jié)（平

14、面基本性質(zhì)）開頭提上兒句。我們將立體兒 何序言課單列為一節(jié)課，從課時(shí)安排到教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)過程完全是獨(dú)創(chuàng)。為什么要將立體幾何序言課單獨(dú)作為一節(jié)課來上呢？其理由有三：一是立體幾何比擬 抽象，對(duì)空間想象能力要求較高，容易使學(xué)生產(chǎn)生分化。對(duì)某門學(xué)科的興趣對(duì)學(xué)好這門課 程至關(guān)重要。而通過立體幾何序言課的教學(xué)，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的興趣。二是立體 幾何是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，有其獨(dú)特的研究方法，如類比思想（與平面幾何類比）、轉(zhuǎn)化思 想（空間向平面）、展開思想。使學(xué)生提早了解其研究的思想方法，對(duì)學(xué)好這門課很有必 要。三是空間概念的建立是學(xué)好立體幾何的關(guān)鍵。通過序言課的教學(xué)，是學(xué)生初步建立空 間概念，是學(xué)生的視野

15、由平面開展到空間。因此，將立體幾何序言課單獨(dú)作為一節(jié)課是值 得的，對(duì)學(xué)生立體幾何的學(xué)習(xí)有較高的教學(xué)價(jià)值，是完全必要的。.教學(xué)內(nèi)容的適應(yīng)性本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容雖然是自編的，但就其內(nèi)容來說，都是在學(xué)生已有的平面幾何知識(shí) 的基礎(chǔ)上，從學(xué)生知識(shí)的最近開展區(qū)設(shè)計(jì)問題，所涉及的內(nèi)容基本符合學(xué)生的知識(shí)水平和 學(xué)習(xí)能力。教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)上，重視了從模型到圖形、從直觀到圖形的呈現(xiàn)方式。在引入 中從學(xué)生動(dòng)手做開始，把學(xué)生的視野由平面引向了空間；在新授課中，安排了立體幾何研 究的對(duì)象、內(nèi)容、常用的思想方法等三塊內(nèi)容。在各塊內(nèi)容的安排中，充分考慮學(xué)生的認(rèn) 識(shí)水平和學(xué)習(xí)能力，注重了從學(xué)生已有的知識(shí)出發(fā)設(shè)計(jì)問題。如在立體幾何研

16、究的對(duì)象中 與平面幾何進(jìn)行類比，非常自然地揭示了立體幾何研究的對(duì)象和內(nèi)容；在立體幾何研究的 內(nèi)容中，通過學(xué)生熟知的正方體、長方體、圓柱、圓錐等的直觀圖，使學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)到了 空間圖形與平面圖形在畫法上的差異；從組成空間圖形的元素入手揭示了空間圖形中要研 究的線線、線面、面面之間的位置關(guān)系；通過對(duì)正方體的簡單計(jì)算，向?qū)W生說明了在研究 空間圖形時(shí)不能只依據(jù)直覺做出判斷，為學(xué)生提早打了 “預(yù)防針”。這局部教學(xué)設(shè)計(jì)，深 入淺出，說明了立體幾何研究的內(nèi)容；在數(shù)學(xué)思想方法中，用具體的、學(xué)生比擬熟悉的例 子揭示數(shù)學(xué)思想方法。所安排的教學(xué)內(nèi)容適合學(xué)生的知識(shí)水平和學(xué)習(xí)能力及教學(xué)大綱的要 求。.教學(xué)過程的探索性教學(xué)

17、內(nèi)容的問題化、教學(xué)過程的探索化是本教學(xué)案例的又一特色。本教學(xué)案例的教學(xué) 內(nèi)容、教學(xué)過程有兩個(gè)最顯著的特征：即教學(xué)內(nèi)容的問題化、教學(xué)過程的探索化。所有的 教學(xué)內(nèi)容都以問題的形式呈現(xiàn)，通過問題引動(dòng)，創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，調(diào) 動(dòng)學(xué)生積極參與學(xué)習(xí)活動(dòng)，充分發(fā)揮學(xué)生的主體性。使課堂教學(xué)成為在教師指導(dǎo)下的探索 學(xué)習(xí)過程。如在引入中通過小實(shí)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)了學(xué)習(xí)情境，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣；又如在數(shù) 學(xué)思想方法中，在學(xué)生已有的平面幾何知識(shí)的基礎(chǔ)上，從問題入手，在解決問題中，揭示 了立體幾何研究問題的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力?？傊?，本教學(xué)案例的教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)重視從學(xué)生已有的平面幾何知識(shí)入手，利用模型和

18、投影圖形，啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生積極探索，大膽實(shí)踐，極大地激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和創(chuàng)造 性，使抽象的序言課上得具體、生動(dòng)，內(nèi)容豐富。既使學(xué)生獲得了知識(shí)，又培養(yǎng)了學(xué)生的 能力。為學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何創(chuàng)造了一個(gè)良好的開端，成功地拉開了立體幾何教學(xué)的帷幕。缺乏之處本教學(xué)案例雖然比擬成功，但用新課程的理念的要求來分析，還存在許多缺乏之處， 主要有以下幾個(gè)方面：.教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)上開放度還不夠。教學(xué)內(nèi)容和過程使得學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)在教師事先 設(shè)計(jì)的框架下進(jìn)行。.學(xué)生的學(xué)習(xí)方式單一。在整個(gè)教學(xué)活動(dòng)中，都好像是教師提問，學(xué)生答。.現(xiàn)代教育技術(shù)手段運(yùn)用不夠。教學(xué)中用的都是靜態(tài)的投影，效果不佳。改進(jìn)與完善根據(jù)以上述分析，應(yīng)從如下幾個(gè)方面加以改進(jìn)和完善：.在教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)中，盡可能的使問題的開放度、自由度大一些，使學(xué)生能夠通過 自己自主探索獲取結(jié)論。如在展開思想中設(shè)計(jì)的長方體展開問題