2022年不等式高級水平必備

1、不等式高級水平必備 目錄 Ch1. 伯努利不等式 Ch2. 均值不等式 Ch3. 冪均不等式 Ch4. 柯西不等式 Ch5. 切比雪夫不等式 Ch6. 排序不等式 Ch7. 琴生不等式 Ch8. 波波維奇亞不等式 Ch9. 加權(quán)不等式 Ch10. 赫爾德不等式 Ch11. 閔可夫斯基不等式 Ch12. 牛頓不等式 Ch13. 麥克勞林不等式 Ch14. 定義多項式 Ch15. 舒爾不等式 Ch16. 定義序列 Ch17. 繆爾海德不等式 Ch18. 卡拉瑪塔不等式 Ch19. 單調(diào)函數(shù)不等式 Ch20. 3 個對稱變量 pqr 法Ch21. 3 個對稱變量 uvw 法 Ch22. ABC 法

2、Ch23. SOS法 Ch24. SMV 法 Ch25. 拉格朗日乘數(shù)法 Ch26. 三角不等式 Ch27. 習題與習題解析第 1 頁Ch1. 伯努利不等式1.1 如實數(shù)x （ i1 2,.,n）各項符號相同,且nix1,就：1x 11x 2.1x n1x 1x2.x 式為伯努利不等式 . 當x 1x2.xnx時, 1 式變?yōu)椋?xn1nx Ch2. 均值不等式2.1 如a a2,.,an為正實數(shù),記：if 當且僅當 . ）Qna12a22n.a2,為平方平均數(shù),簡稱平方均值；nA na1a2n.an,為算術(shù)平均數(shù),簡稱算術(shù)均值；G nna a 1 2. a n,為幾何平均數(shù),簡稱幾何均值；H

3、n11n.1,為調(diào)和平均數(shù),簡稱調(diào)和均值. 就：Qna1a2anA nGnHn iffa1a2.an時,等號成立 . （注： iffifandonly 式稱為均值不等式 . Ch3.冪均不等式3.1 設aa1,a 2,.,an 為正實數(shù)序列,實數(shù)r0 ,就記：a1,a2,.,an 為r0 ,就：1Mr a 1ra 2rn.a nrr 式的Mr 稱為冪平均函數(shù) . 3.2 如aa1,a 2,.,an 為正實數(shù)序列,且實數(shù)Mr Ms 關(guān)于 r 是單調(diào)遞增函數(shù) . 當 rs時, 5 式對任何 r 都成立,即Mr. 式稱為冪平均不等式,簡稱冪均不等式3.3 設mm 1,m 2,.,m n為非負實數(shù)序列

4、,且m1m 2.m n1,如a正實數(shù)序列,且實數(shù)r0 ,就：頁第 2 Mm m a1rm a2r.m anr1 rr 式稱為加權(quán)冪平均函數(shù) . 3.4 如aa1,a 2,.,an 為正實數(shù)序列,且實數(shù)r0 ,對Mm 就：Mm Mm rrs11即：m a 1rm a2r.m anrrm a1sm a2s.m anss 當 rs時, 7 式對任何 r 都成立,即Mm 關(guān)于 r 是單調(diào)遞增函數(shù) . r 式稱為加權(quán)冪平均不等式,簡稱加權(quán)冪均不等式. Ch4. 柯西不等式4.1 如a a2,.,an和b 1,b 2,.,b n均為實數(shù),就：ifa b 2.a b n2 a 12a22.an2b 12b

5、22.b n2a b 1iff.a1a2a nb n時,等號成立 . （注： iffandonlyif 當且僅當 . ）b 1b 2 式為柯西不等式 . 4.2 柯西不等式仍可以表示為：a 12a22n.an22 b 1b 22n.2 b na b 1a b 2.a b n2 . 12n簡稱：“ 平方均值兩乘積,大于積均值平方”a b 1a b 2.a b n我們將a b 1a b 2.a b n簡稱為積均值,記：DnnnD nab 就：Qn2 Qn 2Dnab4 ,即：Q n a Q n 104.3 推論 1：如 a b c x y z , 為實數(shù), x y z0,就：a 12a 22.a

6、n2a 1a 2.an211b 1b 2b nb 1b 2.b na n2b 1b 2.b n2iffa1a2.a n時,等號成立 . b 1b 2b n11 式是柯西不等式的推論,稱權(quán)方和不等式. 4.4 推論 2：如a 1,a2,.,an和b b 2,.,b n均為實數(shù),就：a 12b 12a 22b 22.a n2b n2a 1a 2.iffa1a2.a n時,等號成立 . b 1b 2b n第 3 頁4.5 推論 3：如 a b c x y z , 為正實數(shù),就：b 3 abbcca13yxzbczyxcaxzyaCh5. 切比雪夫不等式5.1 如a 1a2.an；b 1b 2.b n

7、,且均為實數(shù) . 就：14a 1a2.anb 1b 2.b nn a b 1a b 2.a b niffa1a2.an或b 1b 2.b n時,等號成立 . 12 式為切比雪夫不等式 . 由于有a1a2.an,b 1b 2.b n條件,即序列同調(diào),所以使用時,常采納 WLOGa1a2.an 注： WLOGWithout Loss OfGenerality不失一般性 5.2 切比雪夫不等式經(jīng)常表示為：a 1a2n.a nb 1b 2n.b na b 1a b 2.a b n15” . n簡稱：“ 切比雪夫同調(diào)數(shù),均值積小積均值即：對切比雪夫不等式采納同單調(diào)性的兩個序列表示時,兩個序列數(shù)的均值之積

8、不大即：于兩個序列數(shù)各積之均值. 就：A n a A n Dnab2 A a A b D n ab 16Ch6. 排序不等式6.1 如a 1a2.an； 1b 2.b n為實數(shù),對于a a2,.,an的任何輪換x1,x2,.,x n ,都有以下不等式：a b 1a b 2.a b nx b 1x b 2.x b na b 1an 1 b 2.a b n1717 式稱排序不等式（也稱重排不等式）. 其中,a b 1a b 2.a b n稱正序和,a b 1a n 1b 2.a b n稱反序和,x b 1 1x b 2 2.x b n n稱亂序和 . 故 17 式可記為：正序和亂序和反序和186.

9、2 推論：如a a2,.,an為實數(shù),設x1,x 2,.,xn 為a1,a 2,.,a n 的一個排序,就：a12a22.an2a x1a x2.a x n19Ch7. 琴生不等式第 4 頁7.1 定義凸函數(shù)：對一切 x y , , , ,如函數(shù) f : a b , R 是向下凸函數(shù),就：f x 1 f x 1 f y 20 20 式是向下凸函數(shù)的定義式 . 注： f : a b , R 表示區(qū)間 , 和函數(shù) f x 在 a b , 區(qū)間都是實數(shù) . 7.2 如 f : a b , R 對任意 x , ,存在二次導數(shù) f x 0,就 f x 在 a b , 區(qū)間為向下凸函數(shù)； iff x ,

10、時,如 f x 0,就 f x 在 a b , 區(qū)間為嚴格向下凸函數(shù) . 7.3 如 f 1 , f 2 ,., f n 在 a b , 區(qū)間為向下凸函數(shù), 就函數(shù) c f 1 c f 2 . c f n 在在 a b 區(qū)間對任何 c c 2 ,., c n , 也是向下凸函數(shù) . 7.4 如 f : a b , R 是一個在 , 區(qū)間的向下凸函數(shù),設 n N ,1 , 2 ,., n , 為實數(shù),且 1 2 . n 1,就對任何 x 1 , x 2 ,., x n , ,有：f 1 x 1 2 x 2 . n x n 1 f x 1 2 f x 2 . n f x n 21 21 式就是加權(quán)

11、的琴生不等式 . 簡稱：“ 對于向下凸函數(shù),均值的函數(shù)值不大于函數(shù)的均值” . Ch8. 波波維奇亞不等式8.1 如 f:a b , R是一個在 , 區(qū)間的向下凸函數(shù),就對一切2x y zz , ,有：zf2x22fxyzfxf f 2fx2yfy33322 式就是波波維奇亞不等式. 8.2 波波維奇亞不等式可以寫成：fxyzf x f y f z fx2yfyzfz2x2332323簡稱：“ 對于向下凸函數(shù)的三點情形,三點均值的函數(shù)與函數(shù)的均值之平均值,不小于兩點均值的函數(shù)值之平均值” . 248.3 如 f:a b , R是一個在 , 區(qū)間的向下凸函數(shù),a1,a2,.,an , ,就：f

12、a 1f a2.f ann n2 f a n1f b 1f b 2.f b nxy其中：aa1a 2n.an,b in11ijaj（對全部的 i ）24 式是普遍的波波維奇亞不等式. 當a 1x ,a2y ,a3z ,n3時,axyz,b 1y2z,b 2z2x,b 332第 5 頁代入 23式得：3 fxyz22 fy2zfz2xfx2y25fxf f z 3即：fxyzf f f z fxyfy2zfz2x333225 式正是 22 式. Ch9. 加權(quán)不等式9.1 如ia , ,i , （ i1 2 , ,.,n）,且12.n1,就：a11a22. anna 11a22.ann2626

13、式就是加權(quán)的均值不等式,簡稱加權(quán)不等式. . 26 式形式直接懂得為：幾何均值不大于算術(shù)均值Ch10. 赫爾德不等式10.1 如實數(shù) a b0,實數(shù) p q1且1 p11,就：ab1apq b2728qpqiffapq b 時,等號成立 . 27 式稱為楊氏不等式 . 1,就：10.2 如a1,a2,.an和b b 1 2,.b n為正實數(shù), p q1且1 pq1b 2q.b nq1a b 1a b 2.a b na 1pa 2p.a np p b 1qq28 式稱為赫爾德不等式 . iffa 1pa 2p.a np時,等號成立 . b 1 qb 2qb nq10.3 赫爾德不等式仍可以寫成：

14、a b 1a b 2.a b na1pa2p.anp1b 1qb 2q.b nq129p qnnn即：Dnab 2Mp a Mq ,即：Mp a Mq Dnab 30,切比雪夫要求是同調(diào)；簡稱：“ 冪均值的幾何均值不小于積均值” . 111（注：赫爾德與切比雪夫的不同點：赫爾德要求是pq赫爾德的積均值小,切比雪夫的積均值大. ）第 6 頁10.4 如a1,a2,.an、b 1,b 2,.b n和m 1,m 2,.m n為三個正實數(shù)序列,p q1且1 pn11,就：q11na b m inp a mipnq b miq31i 1i1i 131 式稱為加權(quán)赫爾德不等式. iffa 1pa 2p.a

15、 np時,等號成立 . q b 1b 2qb nq2.1 ,就：10.5 如a i1 2 , ,.,m; j1 2 , ,.,n ,1,2,.,n為正實數(shù)且1mnnmaijjaijj32i 1j1j 1i132 式稱為普遍的赫爾德不等式. a b c333310.6 推論：如a1,a2,a3N,b 1,b 2,b 3N,c 1,c 2,c 3N,就：a13a23a33b 13b 23b 33c 13c 23c 33a b c 1a b c2簡稱：“ 立方和的乘積不小于乘積和的立方” . Ch11.閔可夫斯基不等式11.1 如a1,a2,.,an；b b 2,.,b n為正實數(shù),且 p1,就：p

16、1,就：naib ip 1naip1nb ip134iffpppi1i 1i1a1a2.a n時,等號成立 . b 1b 2b n34 式稱為第一閔可夫斯基不等式. 11.2 如a1,a2,.,an；b b 2,.,b n為正實數(shù),且 p1,就：iffnaipnb ip1naipb ip135ppi1i1i 1a1a2.a n時,等號成立 . b nb 1b 235 式稱為其次閔可夫斯基不等式. 11.3 如a1,a2,.,an；b b 2,.,b n；m1,m 2,.,mn為三個正實數(shù)序列,且naib ipm i1np a m i1np b mi136pppi1i1i 1第 7 頁iffa1

17、a2.a n時,等號成立 . b 1b 2b n36式稱為第三閔可夫斯基不等式. Ch12.牛頓不等式12.1 如a1,a2,.,an為任意實數(shù),考慮多項式：c n 1xc n37P x xa1xa2.xanc xnc xn 1.的系數(shù)c 0,c 1,.,c n作為a1,a 2,.,a n的函數(shù)可表達為：0c1 ；c 1a1a2.an；c 2a a 1 2a a 1 3.a n 1 ana a ij；（ ijn）c 3a a a ；（ijkn ） c na a2. an. k.nk.c k38對每個 k1 2 , ,.,n,我們定義p kc kk C nn.c kCkp . 有：就 37式類似

18、于二項式定理,系數(shù)為：n12.2 如a1,a2,.,an為正實數(shù),就對每個k1 2 , ,.,n1p k1p k1p k239iffa1a2.ak時,等號成立 . 39 式稱為牛頓不等式 . Ch13.麥克勞林不等式13.1 如 a 1 , a 2 ,., a n 為正實數(shù),按 38 定義,就：1 1 1p 1 p 2 2 . p k k . p n n 40 iff a 1 a 2 . a k 時,等號成立 . 40 稱麥克勞林不等式 . Ch14.定義多項式14.1 如x1,x2,.,xn為正實數(shù)序列,并設n1,2,.,n為任意實數(shù) . 記：Fx 1,x2,.,x nx 11x22.xn；

19、頁第 8 T 1,2,.,n 為Fx 1,x2,.,x n 全部可能的積之和,遍及1,2,.,n的全部輪換 . 14.2 舉例說明 T 1 0 0 , , ：表示共有 3個參數(shù)的全部積之和,共有3.6項. 第 1個參數(shù)的指數(shù)是 1 ,第 2和第 3個參數(shù)的指數(shù)是 0 . 故：T 1 0 0 , , 31 . 1 0 0 x y z1 0y x z01 0z y x0.2 xyz . T 1 1 , ：表示共有 2 個參數(shù)的全部積之和,共有22項 . 第 1個和第 2 個參數(shù)的指數(shù)是 1. 故：T 1 1 , 21. 1 x y12xy . 2.2項. 第 1 個參數(shù)的指數(shù)是 1 , T 1 2

20、 , ：表示共有 2 個參數(shù)的全部積之和,共有第 2個參數(shù)的指數(shù)是 2 . 故：T 1 2 , 21. 1 x y21 y x2xy22 x y . 3.6項. 第 1個參數(shù)的指數(shù)是 1 , T 1 2 1 , , ：表示共有 3個參數(shù)的全部積之和,共有第 2個參數(shù)的指數(shù)是 2 ,第 3 個參數(shù)的指數(shù)是 1. 故：T 1 2 1 , , 2 2 xy z2 x yz2 xyz. 3.6項. 第 1個參數(shù)的指數(shù)是 2 ,即：T 1 2 1T 2 1 1 T 2 1 0 , , ：表示共有 3 個參數(shù)的全部積之和,共有第 2個參數(shù)的指數(shù)是 1 ,第 3 個參數(shù)的指數(shù)是 0 . 故：T 2 1 0

21、, , 2 x y2 x z2 y x2 y z2 z x2 z y. 3.6項. 第 1個參數(shù)的指數(shù)是 3 , T 3 0 0 , , ：表示共有 3 個參數(shù)的全部積之和,共有第 2個和第 3 個參數(shù)的指數(shù)是 0 . 故：T 3 0 0 , , 2 x3y3z3 . 3 .6項. 第 1個參數(shù)的指數(shù)是 a ,T a b c ：表示共有 3 個參數(shù)的全部積之和,共有第 2個參數(shù)的指數(shù)是 b ,第 3 個參數(shù)的指數(shù)是 c. 故：T a b c , , a b cx y za c bx y zb cx y zab a cx y zc a bx y zc b ax y z . 由于T a b cT

22、b c a , , T c a bT c b a , , T b a c , , .表達式比較多,所以我們規(guī)定：T a b c （ abc）. Ch15.舒爾不等式15.1 如TR,且0 ,就：2T第 9 , 412, , T,頁41 式稱為舒爾不等式 . x zxz4215.2 解析 41 式T2, , 2 x2y2z2；T,2 x y zxy zxy z；T, xyxyyzy z將上式代入 41 式得：z0 x2y2z2x y zx y zx y zxyx yyzy zx zx即：x2y2z2x y zxy zxyzz0 xyxyyzyzx zx即：xx 2y zxyx zyy 2x zx

23、yy zzz2x yy zx z0 xzy即：xxyxzyyzyxzz42 式與 41 式等價,稱為舒爾不等式. 4315.3 如實數(shù)x y z0 ,設 tR ,就：xtxy xzy tyz yxztzx zy 0iffxyz或xy z0 及輪換,等號成立 . bc,就：依據(jù) 41 式寫法,即：t,1 ,就：T t2 0 0 , , T t 1 1 , , 2T t1 1 0 , , 4443 式是我們最常見的舒爾不等式形式. 15.4 推論：設實數(shù)x y z0 ,實數(shù)a b c0 且 abc或 a45a xyxzb yz yxc zxzy043 式中,xta ,tyb,ztc,就得到 45

24、式. 15.5 推論：設實數(shù)x y z0 ,就：3xyzx3y 3z 32 xy 3yz 3 23462zx 15.6 推論：如k , 0 3 ,就對于一切a b cR ,有：第 10 頁3kk abc 2a2b 2c 22 abbcca 47kCh16. 定義序列16.1 設存在兩個序列 i i 1 n1,2,.,n和 i i 1 n1,2,.,n,當滿意以下條件：12.n12.ni. 12.n且12.n12.s12.s對一切s , 1 n ,式都成立 . 就： i i 1就是 i i 1的優(yōu)化值,記作：ni注：這里的序列只有定性的比較,沒有定量的比較. Ch17.繆爾海德不等式17.1 如

25、x1,x2,.,x 為非負實數(shù)序列,設 ni和 i為正實數(shù)序列,且ii,就：TiTi48a1a 2b 1b ,2iffii或x1x 2.x 時,等號成立 . n48 式就繆爾海德不等式 . 17.2 解析 48 式如實數(shù)a 1a2a 30 ,實數(shù)b 1b 2b 30 ,且滿意a 1b ,1a 1a2a3b 1b 2b ；設 3x y z0 ,就：滿意序列 b 1,b 2,b 3a 1,a2,a3條件,就：T b b 1 2,b 3xb 1y z b b 3xb 1y z b b 2xb 2y z b b 3xb 2y z b b 1xb 3y z b b 2xb 3y z b b 1T a1,

26、a2,a 3xa 1y z a a 3xa 1y a 3z a2x a2y z a a3xa 2y z aa 1xa3y z a a2x a3y z a a 1即 48 式為：T b b 1 2,b 3T a1,a2,a 3用通俗的方法表達即：xa 1y z aa 3xb 1yb 2z b 349symsym49 式就繆爾海德不等式的常用形式. 17.3 例題：設 , x y z 為非負變量序列,考慮 , , 2 2 1 和 , , 3 1 1 . 由 16.1 中的序列優(yōu)化得： , , , , 由繆爾海德不等式 48 式得：T 2 2 1 T 3 1 1 , , T 2 2 1 2 x y

27、z 2 2 x yz 2 2 xy z 2 2 T 3 1 1 2 x yz 3 xy z 3 xyz 3 第 11 頁將代入得：x y z 2 2 x yz 2 2 xy z 2 2 x yz 3 xy z 3 xyz 3即：xy yz zx x 2 y 2 z 2 由柯西不等式： x 2 y 2 z 2 y 2 z 2 x 2 xy yz zx 2即： x 2 y 2 z 2 2 xy yz zx 2即：x 2 y 2 z 2 xy yz zx 式式等價, 這就證明白式是成立的, 而繆爾海德不等式直接得到式是成立的 . 式可以用 T 2 0 0 , , T 1 1 0 來表示,這正是繆爾海

28、德不等式的 48 式. Ch18.卡拉瑪塔不等式18.1 設在實數(shù)區(qū)間 IR 的函數(shù) f 為向下凸函數(shù),且當a b i iI （ii1 2 , ,.,n）兩個序列 ai i 1 n和 b i i 1 n滿意 aib ,就：i50b ,就：if a1f a2.f anf b 1f b 2.f b n50 式稱為卡拉瑪塔不等式 . ,且 a18.2 如函數(shù) f 為嚴格向下凸函數(shù),即不等取等號,aib if a1f a2.f anf b 1f b 2.f b n51如函數(shù) f 為嚴格向上凸函數(shù),就卡拉瑪塔不等式反向. Ch19.單調(diào)函數(shù)不等式19.1 如實數(shù)函數(shù) f : a b , R 在區(qū)間 ,

29、a b 對一切 x y , a b 為單調(diào)增函數(shù),就當 x y時,有 f f y ；如 f 在區(qū)間 , a b 對一切 x y , a b 為嚴格單調(diào)增函數(shù),當 x y 時,有 f f y . 19.2 如實數(shù)函數(shù) f : a b , R 在區(qū)間 , a b 對一切 x y , a b 為單調(diào)減函數(shù),就當 x y時,有 f f y ；如 f 在區(qū)間 , a b 對一切 x y , a b 為嚴格單調(diào)減函數(shù),當 x y 時,有 f f y . 19.3 如實數(shù)函數(shù) f : a b , R 在區(qū)間 , a b 為可導函數(shù),當對一切 x , a b ,f x 0 ,就 f 在區(qū)間 , a b 為單調(diào)

30、遞增函數(shù)；當對一切 x , a b ,f x 0 ,就 f 在區(qū)間 , a b 為單調(diào)遞減函數(shù) . 19.4 設兩個函數(shù) f : , R 和 g : a b , R 滿意以下條件： 函數(shù) f 和 g在 , a b 區(qū)間是連續(xù)的,且 f a g a ； 函數(shù) f 和 g在 , a b 區(qū)間可導；第 12 頁 導數(shù)fxgx 對一切x , a b 成立,就對一切x , a b 有：f g x5252 式就是單調(diào)函數(shù)不等式 . Ch20. 3 個對稱變量 pqr 法20.1 設 x y z R ,對于具有變量對稱形式的不等式,采納以下變量代換：p x y z ； q xy yz zx； r xyz,就

31、 p q r R . 代換后的不等式 f , , p q r ,很簡單看出其滿意的不等式關(guān)系,這樣證明不等式的方法稱為 pqr法. 20.2 常用的代換如下：x2p 22qcycx3p p23q3rcycx y 22q 22 prcyc xyyzzx2pqrxyyz pqcycxy xypq3rcyc 1x1y 1z1pqr1x 1y32 pqcyccycx2yz cycxy xy pq3r20.3 常用的 pqr 法的不等式如x y z0 ,就：第 13 頁p 3qr4 pqpq9rp 23qp 327rq327r27 pqq 23pr2 p 39r2 p 39r27 pqrp q 23 p

32、r4q 2Ch21. 3 個對稱變量 uvw法21.1 在a b cbR 的不等式中,采納以下變量代換：3uac ；3v2abbcca ；w3abc . 上述變換劇烈含有“ 平均” 的意味：u對應“ 算術(shù)平均值”； v 對應“ 積均值” ； w 對應“ 幾何平均值”. 21.2 當 a b c 0 時,就： u v w 53 53 式稱為傻瓜不等式 . 即：“ 算術(shù)平均值” “ 積均值” “ 幾何平均值”. 21.3 如 a b c 0 ,就 u v 2 , w 3 0 54 54 式稱為正值定理 . 21.4 如 u v 2 , w 3 R,任給 a b c R ,就當且僅當 u 2 v ,

33、2且 w 3 3uv 22u 32 u 2v 2 3 , 3uv 22u 32 u 2v 2 3 時,就： 3u a b c,3v 2 ab bc ca ,w 3 abc等式成立 . 這稱為 uvw 定理 . Ch22. ABC 法22.1 ABC 法即Abstract ConcretenessMethod設 pxyz ； qxyyzzx ； rxyz. 就函數(shù)f x y z 變換為f r q p . 這與 Ch20. 3 個對稱變量 pqr 法類似 .22.2 如函數(shù)f r q p 是單調(diào)的,就當 xyyz zx0 時,f r q p 達到極值 . 22.3 如函數(shù)f r q p 是凸函數(shù),

34、就當 xyyz zx0 時,f r q p 達到極值 . 22.4 如函數(shù)f r q p 是 r 的線性函數(shù), 就當 xyyz zx0 時,f r q p 達到極值 . 22.5 如函數(shù)f r q p 是 r 的二次三項式,就當xy yz zx0 時,f r q p 達到極第 14 頁值. Ch23. SOS法 23.1 SOS法即 Sum Of Squares23.2 本法的全部思想是將給出的不等式改寫成以下形式：S,S abc 2S bac 2S c ab 2550 ,就 S0 ；0 . 其中,S a,S b,S 分別都是 ca b c 的函數(shù) . 如SaS b,Sc0 ,就 S0； 如

35、abc或 abc,且S b,S bS a,S bS c 如 abc或 abc,且Sa,S c,S a2Sb,S c2Sb0 ,就 S0 ； 如 abc,且S b,S a S c 2bb S 2a0 ,就 S0 ； 如S aS b0 或S bS c0 或S cS a0 ,且S S a bS S b cS S ca0 ,就 S23.3 常用的形式cyca2cycab1cyc ab 2b 22cyca33abc1cycacycab 22cyca b 2cycab 21cycab 33cyca3cyca b 21cyc2ab a3cyc3 a bcyc3 ab1cycacyc ba 33cyca4a

36、b 222ab 2ab2cyccycCh24. SMV 法 24.1 SMV 法即 Strong Mixing Variables Method本法對多于 2個變量的對稱不等式特別有用. xjmaxx 1,x2,.,x n；24.2 設 x1,x2,.,xn為任意實數(shù)序列, 挑選 , i j , ,.,n 使ximinx1,x2,.,xn第 15 頁 用其平均數(shù) x i2 x j 代替 x 和 i x ,經(jīng)過多次代換后各項 j x （i i 1 2 ,., n）都趨于相同的極限 x x 1 x 2 . x n . n24.3 設實數(shù)空間的函數(shù) F 是一個對稱的連續(xù)函數(shù),滿意F a 1 , a

37、2 ,., a n F b 1 , b 2 ,., b n 56 其中, b 1 , b 2 ,., b n 序列是由 a 1 , a 2 ,., a n 序列經(jīng)過預定義變換而得到的 . 預定義變換可依據(jù)當前的題目敏捷采納,如 a b,ab ,a 2 b 2等等 . 2 224.4 例題說明例題：設實數(shù)a b c0 ,證明：baccbaacb3. 2解析：采納 SMV 法. 設：f a b c , , baccbctct1213aab就：f t t c , , ttcctc2tctttc2t其中,ta2b. c11t2tc由得：f t t c , , t2tc2t222t222由 56 式得：

38、f a b c , , f t t c , , 3 2證畢 . Ch25.拉格朗日乘數(shù)法25.1 設函數(shù)f x1,x2,.,xn在實數(shù)空間的IR 連續(xù)可導,且g ix1,x 2,.,xn0 ,其中（i1 2 , ,.k ）,即有 k 個約束條件,就f x1,x2,.,xn的極值顯現(xiàn)在 I 區(qū)間的邊界或偏導數(shù)（函數(shù)為Lfkig ）全部為零的點上 . ii 1這就是拉格朗日乘數(shù)法 . Ch26.三角不等式26.1 設, ,且,就,就是同一個三角形的內(nèi)角. 26.2 如,為同一個三角形的內(nèi)角,就有以下不等式：第 16 頁 sin sin sin 3 3；2 cos cos cos 3；2 sin s

39、in sin 3 3；8 cos cos cos 1；8 sin 2 sin 2 sin 2 9；4 cos 2 cos 2 cos 2 3；4 tan tan tan 3 3 （銳角三角形）； cot cot cot 3 ； sin sin sin 3；2 2 2 2 cos cos cos 3 3；2 2 2 2 sin sin sin 1；2 2 2 8 cos cos cos 3 3；2 2 2 8 sin 22 sin 22 sin 22 34； cos 2 cos 2 cos 2 9；2 2 2 4 tan tan tan 3；2 2 2 cot cot cot 3 3 . 2 2

40、 2Ch27.習題27.1 設x 1,x2,.,x n , 0 1 ,求證： 1111xn12 . n1xn1. x1x 2x2x 3.1x 127.2 設x 1,x2,.,x n0 ,且x1x 2.x n1,求證： 1x11x2.22第 17 頁27.3 設a 1,a 2,.,a nR ,且a a 1 2.a n1 ,求證：a 1a2.a na1a 2.a . n2 3. 27.4 設 , , a b c0 ,且 abc1 ,求證：a3b 3c3abbcca . d27.5 設 , , , a b c d0 ,求證：ba3dcb3adc3b2c2d2aa2b3c27.6 設 , , a b

41、c0 ,求證：a2bcb 2cac 2ababc. bccaab2 ,求27.7 設 , a b0 , nN ,求證： 1an1bn2n 1. ba27.8 設x 1,x 2,.,x nR ,且x 1 2x2 2.x n21,如 nN , nf x1,x2,.,xnnx 15nx25.nxn5i1x ix 1i1xix2i 1xixn的最小值 . 27.9 設a b cR ,且 abcabc,求證：11a211b 211c23. . a n2. 227.10 設 , , a b cR ,求證：a21b 2b 21c 2c21a23 2227.11 設a b cR ,且 abbcca3 , 求證

42、： 1a21b 21c28. 27.12 設 , , a b c0 ,且 abc1,求證：6 a3b3c315 a2b 2c2. 27.13 設 , , a b c0 ,且 abc2,求證：a4b4c4abca3b3c . 327.14 設 , , a b c0 ,求證：8 a3b3c3ab3bc3ca3. 27.15 設 , , a b c0 ,求證：a3b3c3abc1abc 3. 727.16 設 , , a b c0 ,且 abc1,求證：a2b2c23abc4. 927.17 設a 1,a 2,.,a n0 ,求證： 1a11a 2. 1an1a 121a22.1a 2a 3a 12

43、7.18 設a b c d0 ,且 abcd1,求證：112 11112 1121. a b 2c d27.19 設a b c d0 ,且 abcd4 ,求證：abcbcdcdadab abc 2bcd 2cda 2 dab 28 . 第 18 頁27.20 設a b c0 ,且a2b2c23 ,求證：a b 22b c 2 2c d 22abc . c a . 3 327.21 設a b cR ,求證：3 a2abb 2b 2bcc 2 c 2caa2a b 3 3b c 3 327.22 設a b c d0 ,且 abcdabcd5 ,求證：1 a1114. bcd27.23 設不等式：a

44、b a2b 2bc b2c2ca c 2a2M a2b2c 2 2 9. 對一切實數(shù)a b c都成立,求 M 的最小值 . b c 2c a ab 2bcca 27.24 設a b c0 ,且 abc3 ,求證： a b 2Ch27.習題解析1112 . nn）27.1 設x 1,x2,.,x n , 0 1 ,求證： 1x1x 21x2x 3.1xnx 1解析： 設：x n 1x ,就：由于 1ix , ,所以1 , （ i1 2 , ,.,xi由伯努利不等式 ：當ix1且i ,時, 1x ii1ixiiffix0 或i1 時,式等號成立 . 由均值不等式 ：1ix i2ix iiffiix

45、1時,式等號成立 . 由式得：1x ii2ixiiffiix1 時, 式等號成立 . 設：i11,就由式得：1x ix12xii 1x ixi 12xn. 就：1x112x1；1x 212x 2； ；1xn1x 2x 3x 1xxx 321上面各式相乘得：1x 111x21.1x n12nx 1x2.xn2n. x 2x3x 1x2x3x1證畢 .第 19 頁27.2 設x 1,x2,.,x n0 ,且x1x 2.x n1,求證： 1x11x2.1xn1. 22解析： 由于ix0 ,inxi1,所以xi ,1122y n1y 1y 2.y n設y ix ,就 iy i1, 12由伯努利不等式

46、：1y11y 2.1將y ix 代入式,并代入x1x2.xn1得：1 2. 2xn111x 11x2.1x n1x1x 2.2證畢 . 27.3 設a1,a2,.,an0,且a a 1 2. an1,求證：a1a2.ana 1a2.a . n解析： 由于a1,a2,.,an0,且a a 1 2. an1,.annca所以由均值不等式 ：a 1a2.a nnna1a2即：a1a2.a n1niffa1a2.an1時,式等號成立 . 2.an由柯西不等式 ：a 12a 22 .a n2 2 12 1.2 1a 1a2即：a 1a 2.a nna 1a 2.a n2a n即：a 1a 2.a na

47、1a 2.a na 1a 2.niffa1a2.an1時,式等號成立 . 將式代入式得：a 1a2.a na 1a 2.aniffa1a2.an1時, 式等號成立 . 證畢 .bc27.4 設 , , a b c0 ,且 abc1 ,求證：a3b 3c3abbcca . a2ab解析： 由于a b c0 ,且 abc1,所以由均值不等式 ：a2b22 ca222 bb22c22 c2iffabc1時,式等號成立 . 第 20 頁由均值不等式 ：abc3 3 abc3 ,即：abc12. 3iffabc1時,式等號成立 . WLOG ,設 abc,就由于a b c0 ,所以a2b2c2由切比雪夫

48、不等式14 ：abc a22 bc23 a a2b b2c c2即：a3b3c3abca22 bc23iffabc1時,式等號成立 . 將代入式得：a33 b3 cabbccaiffabc1時, 式等號成立 . 證畢. 27.5 設 , , , a b c d0 ,求證：ba3dcb3adc3bad3c2c2d2a2b3解析： 記 Ab2c3d , Bc2d3a , Cd2a3b , Da2b3c就： aAbBcCdD4 abacadbcbdcd待證式為：a Abcd2BCD3由柯西不等式 ：abcdaAbBcCdDabcd2ABCD即：abcdabcd2ABCDaAbBcCdD由式,只需證明

49、abcd22aAbBcCdD3設多項式： P x xaxbxc xdc x 04c x 13c x 22c x 3c4就：1cabcdc 2abacadbcbdcd代入式得：aAbBcCdD4c2依據(jù)定義38 ：p kc kCk n得：p 1c1c 1,即：c14 p ；1p 2c2c 2,即：c 26 p 2C14C2644第 21 頁就： a b c d 2 c 1 2 16 p 1 22 p 1 2aA bB cC d D 4c 2 4 6 p 2 3 p 2由麥克勞林不等式 40 ：p 1 p 2 12,即：p 1 21p 22代入式得： a b c d 2,式得證 . aA bB c

50、 C dD 3iff a b c d 時,等號成立 . 證畢 .27.6 設 , , a b c 0 ,求證：a 2 bc b 2 ca c 2 aba b c . b c c a a b解析： 不等式左邊 = a 2 b c b 2 c a c 2 a bb c b c c a c a a b a b不等式右邊 = a b c a c a b a b c b c c a a b b cac a 2 ab b 2 c b c 2c a c a a b a b b c b c就不等式其實就是：a 2 b 2 c 2 c 2 a 2 b 2b c c a a b b c c a a b由于是對稱不

51、等式, WLOG ,假設 a b c,就 a 2 b 2 c 2 且 b c a c a b ,即：1 1 1 b c c a a b就有排序不等式 18 ：a 2 b 2 c 2 c 2 a 2 b 2b c c a a b b c c a a b其中,a 2 b 2 c 2為正序和；c 2 a 2 b 2為亂序和 . b c c a a b b c c a a biff a b c 時,等號成立 . 證畢 .27.7 設 , a b 0 , n N 證： 1 a n 1 b n 2 n 1 . b a解析： 當 n 0 時, 1 a 0 1 b 0 2,2 0 1 2 ,不等式成立；b a

52、當 n 1時, 1 a 1 1 b 1 2 a b4,2 1 1 4 ,不等式成立；b a b a當 n 2 時,構(gòu)建函數(shù) f x x . n就函數(shù)的導數(shù) f nx n 1；二次導數(shù) f x n n 1 x n 2 0 ,故在 x 0 時函數(shù)為向下凸函數(shù) . 第 22 頁由琴生不等式 20 ：f x 1 f x 2 f x 1 x 2 2 2將 f x 1 1 a n,f x 2 1 b n,b af x 1 x 2 1 ba 1 ab n 1 1 b a n2 n2 2 2 a b帶入式得： 1 ab n 1 ba n2 n,即： 1 a n 1 b n 2 n 12 b a綜上,當 n 0

53、 、 n 1和 n 2 時, 1 a n 1 b n 2 n 1 都成立 , b a即 n N 時, 1 a n 1 b n 2 n 1 成立 . 證畢.b a27.8 設 x 1 , x 2 ,., x n R ,且 x 1 2x 2 2. x n 21,如 n N , n 2 ,求f x 1 , x 2 ,., x n n x 1 5n x 2 5. n x n 5 x i x 1 x i x 2 x i x ni 1 i 1 i 1的最小值 . n解析： 記 S x ,（i i 1 2 , ,., n）. i 1就 f x 1 , x 2 ,., x n x 1 5x 2 5. x n

54、5S x 1 S x 2 S x n4 4 4WLOG 假設 x 1 x 2 . x ,就 x 1 x 2 . x n 由于 S nx ,所以 i S x k nx i x 與 k x 無關(guān),就 k x k 與 x 同單調(diào)性 . ki 1 i 1 S x k即：x 1 x 2 . x n S x 1 S x 2 S x n由切比雪夫不等式 14 ：如 a 1 , a 2 ,., a n 與 b b 1 2 ,., b n 同單調(diào)性,就有： a 1 a 2 . a n b 1 b 2 . b n n a b 1 a b 2 . a b n 設：a i x i 4,b i x n,（i 1 2 ,

55、 ,., n）,就滿意 ia 與 ib 同單調(diào)性 . S x n代入式得：第 23 頁x14.xn4Sx1x 1.Sx nn x14Sx 1x 1.x n4Sxnnng xnx nx.Sx n即：fS5 x 1.Sx n5nx 14.xn4 Sx1x 1xnx 1x n由均值不等式 3 ：QnA ,即：x 14.x n4x 12.x n21nnn故：x 14.x n412g x2.n構(gòu)建函數(shù)：g xSxx就導函數(shù)：gxSSx2,gxS2S30 x故g x 為向下凸函數(shù) . 由琴生不等式21 ：g 1x12x2.nxn1g x 1取加權(quán)i1（i1 2 , ,.,n）時,上式變?yōu)椋簄gx 1x2n

56、.x ng x1g x2.g xnn即：g x 1g x2.g xnn gx1x2n.xnSSnn1即：Sx 1x 1.Sx nnSx 1x 2.x nnSn x 2nnx 1x nx nn將和式代入式得：f x 1 5. x n 51 1 n 1S x 1 S x n n n n 1 n n 1 故：f x 1 , x 2 ,., x n 的最小值是 1 . n n 1 27.9 設 a b c R ,且 a b c abc ,求證：1 1 1 3 . 1 a 2 1 b 2 1 c 2 2解析： 在圓錐曲線里,橢圓方程為：a x2 2b y 22 1 時,經(jīng)常采納的參數(shù)方程是：x a co

57、s,y b sin,由于將它帶入方程時滿意 cos 2 sin 2 1 ,這個三角函數(shù)第 24 頁的 基 本 關(guān) 系 . 對 于 三 角 形 的 內(nèi) 角A B C , 同 樣 有 關(guān) 系 ABC和tanAtanBtanCtanAtanBtanC . 而此題初始條件 abcabc.設atanA .btanB ,ctanC ,由于a b cR ,所以A B C ,2就當A B C 為三角形的內(nèi)角時,ABC,tanAtanBtanCtanAtanBtanC 滿意條件 . 帶入不等式左邊得：11122. 1a 21b 21c 21111tan 2A1tan 2B1tan 2CcosAcosBcos C

58、構(gòu)建函數(shù)f cos x ,就在x ,2區(qū)間函數(shù)f x 為向下凸函數(shù),故由琴生不等式21 得： 函數(shù)值的均值不小于均值的函數(shù)值.f1x12x2.nxn1f x12f x2.nf xn當加權(quán)12.n1時,式變?yōu)椋簄f x1f x2.f xnfx1x 2n.xnn即：f Af Bf CfABC33即：cosAcos Bcos CcosABCcos31332即： cos Acos Bcos C32將式帶入式得：11a211b 211c 23. 證畢 .227.10 設 , , a b cR ,求證：a21b 2b 21c2c21a23解析： 由于a b cR ,由柯西不等式12 式a 12b 12.a

59、 n2b n 2a 12.a n2b 12.b n 2就：a21b2b21c2c21a2第 25 頁a21b 21b2a2b 21c 21c2b22c2 1a21a2c221a1bb1cc1a21ba1.cb1ac2213232322. 1c2c21a232證畢 .2即：a21b2b2227.11 設a b cR ,且 abbcca3 , 求證： 1a21b 21c28. 解析： 對赫爾德不等式32 ：321mnnmja ijjaiji 1j1j1i141時, 32 式為：當 n4 , m4 ,1234111a a a a 11 12 13 144a a a a 21 22 23244a a

60、a a 31 32 33344a a a a 41 42 434441a11a21a31a41a12a22a32a42a13a23a33a 43a14a24a34a444即： a11a21a 31a 41a12a22a 32a42a13a23a 33a43a 14a 24a34a44a a a a 11 12 131411114a a a a 21 22 23244a a a a 31 32 33344a a a a 41 42 4344 4設：a 111,a212 a ,a312 b ,a 412 2a b ；2 2c a ,a322 c ,a422 a ；a121,a222 c ,a332