一個(gè)線性代數(shù)證明題

1、為nxm 實(shí)矩陣，如何證明A.而和加. A的非零特征值相同？證明方法1（侯鑫）:同理可證AA的特征值也是AA的特征值證明方法2 （sugar）:From the SVD A = UEV;, we see thatA A = UDUJ . Dj = XX7 = Diag（abj 0,0）m p 2erosA A = VDV. D? = XX = Diag（b.匕二）n p zeros所以，由于U和V是酉矩陣，所以a 2 ,a 2是AAr的特征值，也是而A的特征值。 1p注意如果A是方陣那么A的奇異值氣，. a不一定是A的特征值。如果A可對(duì)角化但是不是 也不一定是A的特征值（可以用matlab試驗(yàn)

2、下）。只有當(dāng)A可正交對(duì)角化時(shí)，A的奇異值氣， a才 為矩陣的奇異值均定義為正值）。I 定理5.4設(shè)Ae：；mXfl的秩mnk A = rf則存在m階酉知陣P和丹 階酉矩陣U,使A二四，其中&= ： :,5 =擊明（隊(duì)/八）/i 33尹0本截圖來自熊洪允應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)5.3節(jié)矩陣的奇異值分解。證明（I）構(gòu)造。.因?yàn)锳是mx/i矩陣，所以AhA是h階正定或半正定的 矩陣.又因?yàn)閞ank（#）=runk A = r，所以AUA有、個(gè)正特征值，不 妨設(shè)為m禮0,而Ah4l =- =0是AhA的昕-r個(gè)零特征值必設(shè)心，碼分別是妃頂?shù)膶?duì)應(yīng)于特征值“，力的標(biāo)準(zhǔn)正交 特征向量，于是1/ = ut 虬是階酉矩陣.

3、若記t/r = 碼.1,% = 3小 叫,則v = u.構(gòu)造乩 只需證Ax 5與AhAx0同解（從而解宇間雄教相同iHQms顯然,Ax = 0的解都.是4Ac 0的解反之若jt墨一矽心=。的任-解.則,Ax, Ax r： 次= 0,即/U =9.所以x也是4r =。的解.liWai的=/相,g = yOl |S = diagtg!必,g .則 S 可逆，且叫WA W =r.JF=妙XAh4(一.Al,AurrII+ml【Li AfMr 礦站虬應(yīng)次AruJ ur-7 ? 2 T，r lrU?Wr= diagCAj tAJ? -3J =他渚，忒)=S3-構(gòu)造V.作矩陣h“hs. g,并將it按列分

4、塊為研=3 r3t 一因?yàn)閄 比=以5 $T 尸(A0 W)= $ 礦二1145 S1=S s25f = t故列向最狙I，甘，是閾維標(biāo)準(zhǔn)正交向斌組，于是可將其1T充成5 的標(biāo)準(zhǔn)正交基怯.皿h %，。E .令1,=3 叫口小 PH1r vt F打，則V rft階西翁陣一證明 VS.U=At因?yàn)閲\L，M.是 g 的時(shí)應(yīng)卜,特征值的特征向最,于是府于i= r +匚r,有 % 仙,=0,宓用數(shù)學(xué)基咄即 4虬=0.故 AU2 = Aw-i Aun =0. 所以vsouu =k JI 17, %項(xiàng)匕s 01 斜=SlSUl； vAU2UAU l/；1 + uz u?） 7|1= /HM U2 H =/1UUh=A.證畢,1,（/2定義5.4 定理5一4中的A = VS. U1稱為矩陣A的奇異值分解, 卜=JX、=/）.稱為A的奇異值.由定理3.4的證明過程可知.在4的奇異偵分解建=V5o/h中， = i 、,而，虬分別是泌通的對(duì)應(yīng)于特征值，, An的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向febS?？捎?的奇異值人=/!,出=/無 構(gòu)造而