2021-2022學(xué)年高二物理競賽課件：粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律

1、粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律2.4 粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律 粒子狀態(tài)或者說波函數(shù)隨時間變化，它在一定空間區(qū)域內(nèi)的出現(xiàn)的幾率也將隨時間變化。t時刻 r 點粒子出現(xiàn)的幾率密度為(2.4-1)幾率密度隨時間的變化率為(2.4-2)由薛定諤方程可得代入（2.4-2）式得(2.4-3)令(2.4-4)可得(2.4-5)此式具有連續(xù)性方程的性質(zhì)。將其對空間某體積積分(2.4-6)由高斯定理得(2.4-7)等式左邊表示單位時間內(nèi)體積V中幾率的增加,右邊是矢量J在體積V的邊界面上法向分量的面積分。故可把J解釋為幾率流密度矢量，Jn表示單位時間內(nèi)流過S上單位面積的幾率。若波函數(shù)在無限遠處為零，則有(2.4-8

2、)表明整個空間內(nèi)找到粒子的幾率與時間無關(guān)。若波函數(shù)是歸一的，則將保持其歸一性不變。這就是幾率守恒定律。有連續(xù)方程一定有守恒定律，兩者是等價的。幾率守恒定律表明幾率不會憑空產(chǎn)生，也不會憑空消失。定義質(zhì)量密度質(zhì)量流密度由（2.4-5）可得2.4-9質(zhì)量守恒定律，單位時間內(nèi)體積V內(nèi)質(zhì)量的改變，等于穿過V的邊界S流進或流出的質(zhì)量。定義電荷密度電流密度則有2.4-10電荷守恒定律，粒子的電荷總量不隨時間改變。2.5 定態(tài)薛定諤方程 討論勢能函數(shù)與時間無關(guān)的情形，即U(r)不含時間，此時粒子的能量是一個與時間無關(guān)的常量，這種狀態(tài)稱為定態(tài)，對應(yīng)的波函數(shù)稱為定態(tài)波函數(shù)。說明： 幾率守恒具有定域性質(zhì)。當(dāng)粒子在某

3、地的概率減小了，必然在另外一些地方的概率增加了，使總概率不變，并且伴隨著有什么東西在流動來實現(xiàn)這種變化。連續(xù)性就意味著某種流的存在。2.5-1把此式帶入方程2.3-10中，兩邊除以若等式成立，需兩邊等于一常量，設(shè)該常量為E，則有2.5-22.5-3可考慮用分離變量法求薛定諤方程的一種特解。設(shè)2.5-2的解為C為任意常數(shù)，此式代入2.5-1得到薛定諤方程的特解2.5-4可看出，這個波函數(shù)與時間成正弦關(guān)系，其角頻率是，根據(jù)德布羅意關(guān)系，E就是體系處于這個波函數(shù)所描寫的狀態(tài)時的能量。此時能量具有確定值，稱這種狀態(tài)為定態(tài)。該波函數(shù)稱為定態(tài)波函數(shù)。在定態(tài)中，幾率密度、幾率流密度都與時間無關(guān)。2.5-3式

4、稱為定態(tài)薛定諤方程。函數(shù) 也稱為波函數(shù)，可由2.5-3式和具體條件求出,且有分別乘以2.5-2和2.5-3式兩邊得2.5-52.5-6算符完全相當(dāng)，都稱為能量算符。也稱為哈密頓算符，表示為，2.5-6式可寫為2.5-7本征值方程，本征值，本征函數(shù)，能量本征態(tài) 討論定態(tài)問題就是求出體系可能的定態(tài)波函數(shù) ，和這些態(tài)中的能量E；亦即解定態(tài)薛定諤方程，求出能量的可能值E和波函數(shù) 。表示能量算符的第n個本征值 En對應(yīng)的波函數(shù)，則有含時薛定諤方程的一般解可寫為式中cn是常系數(shù)2.6 一維無限深勢阱一維空間中運動的粒子，其勢能分布為 （如圖）2.6-1U(x)x-a0a一維無限深勢阱這種勢稱為一維無限深勢阱。在阱內(nèi)，體系滿足定態(tài)薛定諤方程2.6-2在阱外，體系滿足定態(tài)薛定諤方程2.6-3式中，。根據(jù)波函數(shù)的連續(xù)性、有限性條件，2.6-3式成立需滿足2.6-4引入符號2.6-52.6-2式簡化為其通解為2.6-6根據(jù)邊界條件2.6-4式可得兩式分別相加減可得2.6-7由于A、B不能同時為零，得到兩組解2.6-82.6-9解得（n為奇數(shù)，對應(yīng)第一組解 n為偶數(shù)，對