第5屆宇宙物理競賽(UPhO)試題

1、第 5屆 UphO 試題一、為了督促孫月月鳥同學減肥，我們把他綁在椅子上，放在x=0 處，而把冰淇凌放在遙遠的x=l 處，并只考慮孫月月鳥同學沿x 軸的一維運動.孫月月鳥同學雙腳不能著地，只能通過前后晃動身體，帶著椅子一起蹭過去吃冰淇淋.孫鵬質(zhì)量為m，椅子質(zhì)量也為m，椅子和地面之間的摩擦系數(shù)為 =0.5.晃動身體的時候，可以讓人體重心相對椅子變化，相對位移u 和相對速度u 以下圖的方式做周期性變化.方程為u v0 1 u2h和 uv0 1 u .其中h? l，重力加速度為g 開始位于 u=h, u 0狀態(tài)，每次相對運動完成半個周期，到達u= h 的時候，孫鵬就會保持相對靜止休息一會，等椅子和地

2、面相對靜止之后，再立即開始下半周期的運動.令 v0gh .1）為了可能吃到冰淇淋， 至少為多少？2）為了讓孫月月鳥同學相對椅子往前運動時椅子不動， 最多為多少？3）求孫月月鳥同學從相對椅子- h0所花的時間t0.4）在滿足（1） （2）問的條件下，一個周期內(nèi)能前進的距離L 為多少？5）接（4） ，求孫鵬同學吃到冰淇淋需要花多長時間t.二、如圖無窮電阻網(wǎng)絡，每個小三角形的一邊電阻為r.1）求 AB 之間等效電阻rAB；（ 2）在A、 B、 C 三點接入交流電源uA=u0cost , uB=u0cos（t +2 /3）, uC=u0cos（t +4 /3）無窮遠為接地點.求 A點處電源流入的電流I

3、A（t）；（ 3）接（2）問，如果將體系視為ABC 的三端網(wǎng)絡，則體系等效為下圖. 求等效阻抗ZA；（ 4）接（3）問，如果原網(wǎng)絡A、 B 之間的電阻斷了，則（3）中的等效網(wǎng)絡ZA 變?yōu)槎嗌伲浚?5）接（4）問，如果原網(wǎng)絡A、 B 之間的電阻斷了，則（3）中的等效網(wǎng)絡ZC 變?yōu)槎嗌?？三?神經(jīng)元可以利用軸突將神經(jīng)沖動傳輸?shù)狡渌窠?jīng)元.下面構(gòu)造一個簡化的軸突的膜結(jié)構(gòu)的模型.正常狀態(tài)膜內(nèi)外會形成一個電勢差.這個模型用來解釋電勢差的形成機制.正常狀態(tài)下細胞膜內(nèi)外鈉、鉀離子濃度各自穩(wěn)定在不同的濃度.膜表面對不同離子的通透性不同 . 離子在膜內(nèi)外輸運過程中會形成動態(tài)平衡，即從膜外向內(nèi)的流速等于從內(nèi)向外的

4、流速離子的流速受到兩方面的影響：一方面離子從濃度高向濃度低的地方擴散；另一方面電場力推動陽離子從電勢高的地方向電勢低的地方移動，兩個效果造成的總的凈離子流為零時即達到穩(wěn)定.先考慮靜息狀態(tài)，此時只有K+能通過細胞膜.令K +的摩爾濃度為c1（x）， x為細胞膜中一點到細胞膜內(nèi)邊界的距離，細胞膜厚度為.假設(shè)K +在細胞膜內(nèi)的電導率正比于摩爾濃度： 1（x）= 1c1（x）， 擴散系數(shù)為D 1（擴散導致的離子流摩爾密度為jC D dc x ） .dx假設(shè)細胞膜內(nèi)外的K+的摩爾濃度為c1in， c1out（ cin 大約比cout 大 40 余倍） ，并保持穩(wěn)定（因為通過表面流通的離子流很?。?，假設(shè)細

5、胞膜內(nèi)的電場均勻分布，元電荷e=1.6 10- 19C ， 阿 伏 伽 德 羅 常 數(shù)nA=6.02 1023mol- 1 ， 理 想 氣 體 常 數(shù)R=8.31J/mol?K，溫度取恒溫T=300K.1）定性分析，在離子流達到穩(wěn)定的時候，細胞膜內(nèi)外哪邊電勢高；2）定量計算細胞膜外與細胞膜內(nèi)的電勢差V1=out- in；3）我們不從動力學角度考慮，而從熱力學平衡角度考慮這個問題.平衡態(tài)時，細胞膜K+ 的化學勢應當相同. 假設(shè)離子濃度很低，可以引用理想氣體的結(jié)果，不考慮電場時，化學勢=Umol+pVmol- TSmol.考慮電場時需要再加上電勢能.通過化學勢相同的方案計算細胞膜內(nèi)外電勢差V2=

6、out- in，并與上一問結(jié)果進行比較.這個方程又被叫做 Nerst 方程 .（ 4）考慮在一般狀態(tài)，細胞通透性發(fā)生改變，不僅有K +能通過細胞膜，Na+， Cl-的擴散系數(shù)和電導率分別為D2， D3， 2， 3，并且同樣有 i（x）= ici（x）， i=1,2,3.假設(shè)這時電勢達到穩(wěn)定的條件是總凈電流密度為0.細胞內(nèi)外K+， Na+， Cl-的摩爾濃度分別為 c1in， c2in， c3in， c1out， c2out， c3out.定量計算細胞膜內(nèi)外的電勢差Vt=out- in.這個結(jié)果又被叫做Goldman 方程 .數(shù)學補充知識：多項式常微分方程y P x y Q x 的通解為P u

7、du xP u duy e00Q v e0 dv C22m 的勻質(zhì)球，半徑為r ，轉(zhuǎn)動慣量為I mr ，放在水平地面上.5重力加速度為g. 豎直向上為正方向.水平面上建立平面直角坐標架x-O-y.初始球心位置為x(0)=y(0)=z(0)=0初始速度為vx(0)=v0=r0, vy(0)=0, vz(0)=0初始角速度為 x(0)=0, y(0)= 0, z(0)=0B.小球在球心處固定有一個電量為q 的電荷 .空間中有向- z方向的均勻磁場max；0 時，求小球的磁矩mm1 ）地面摩擦系數(shù)足夠大，求之后球心的運動狀態(tài)表示；2）地面摩擦系數(shù)不足夠大，求出可能出現(xiàn)滑動的最大摩擦系數(shù)3）小球的電量

8、改為均勻分布在球的表面.當小球轉(zhuǎn)動角速度為4）接（3） ，地面摩擦系數(shù)足夠大，地面和球都是絕緣的.求球心的運動狀態(tài)五、 緩慢導熱的活塞如圖是一個截面積a、總長度2L 的絕熱氣缸，被一個導熱率十分低的光滑活塞分為體積1:3 的左右兩部分，內(nèi)部裝有等量雙原子理想氣體.初始時左側(cè)壓強為3 p0，右側(cè)壓強溫度C7為 p0,T0， 其中CP 7 為比熱容比.建立如圖坐標，原點位于氣缸中點.調(diào)節(jié)導熱率和活 TOC o 1-5 h z CV5塞質(zhì)量使得系統(tǒng)各種特征時間：系統(tǒng)完全平衡的時間t1， 活塞來回振動的準周期t2， 左右室內(nèi)氣體熱平衡弛豫時間t3 滿足t1? t2? t3. TOC o 1-5 h z

9、 （ 1 ）從初始位置靜止釋放活塞，活塞第一次速度變?yōu)? 時所在的位置x1；（2）最終平衡時活塞的位置x/L= ，求；（3）最終平衡時氣體的溫度T/T0=，求；（ 4）從初始到最終平衡，求系統(tǒng)的熵增 S；（ 5）記活塞相鄰兩次速度為零時的距離為振幅A，初始時的振幅為A0，則當振幅衰減為1A0.5= A0 且活塞在左側(cè)速度為零時，左邊氣體的溫度T0.5/T0=，求；2六、兩個介質(zhì)的折射率分別是n1 、 n2 且 n1n2，從n1 介質(zhì)這邊入射的光可以在兩者界面出發(fā)生全反射.發(fā)生全反射的條件是入射角1? c， 其中 c是臨界角，發(fā)生了全反射，就不 TOC o 1-5 h z 會有折射光線.全反射時

10、，全部的能量都會在反射的光線中.（ 1 ）請推導出臨界角的表達式 c；（ 2）電磁波法分析，我們先考慮n1 和n2介質(zhì)都是半無限大的情況.電磁波理論證明了全反射時，在光疏介質(zhì)一側(cè)其實會產(chǎn)生隱失波 .反射光和折射光的具體情況和入射光的入射角度 1 有關(guān)，而且和偏振也有關(guān)系.為了簡單起見，如圖所示，我們把入射光、反射光、折射光，分別用角標i, r, t 表示.用 k 表示波矢.入射光、反射光、折射光的波矢分別為ki, kr , kt ；并且，我們建立如圖所示的直角坐標系，單位矢量分別是x?, y?, z?.電磁波理論認為，單色光平面波的在某時t，某地 r 的波可以表示為E r ,t E0 cos

11、t k r 或者理解為復數(shù)表示e r ,tE0ei t k r 的實部 .其中 i 1.當然我們也可以將相位寫成分量的形式：kr kxxkyykzz，在這里kx=0，ky=ksin,kz=kcos.在界面處，顯然應該有反射、折射光相位相等.由此可以推出菲涅耳折射定律.隱失波請利用數(shù)學知識和剛才的題干內(nèi)容，證明隱失波可以表示成e r ,tE0te zei .并且求出衰減系數(shù)（用入射角 1，折射率n1, n2，光線真空波長 0表示）；3）穿透深度1已知入射光的波長， 請求出隱失波的振幅從最大的值（z=0 處）下降到原來的1 倍， 需要e的空間距離z；（ 4）隱失波的相速度（圖中紅點為相速度，綠點為

12、群速度）接（3）我們分別用vi, ve表示入射光和隱失波相速度.請求出ve .vi七、如左圖所示，有一個長為l 電動勢為 的電池，正極負極各吸住一個小磁鐵（磁矩方向相反），電池小磁鐵同線圈構(gòu)成一個回路.小磁鐵的磁矩為m 在線圈中心.電池小磁鐵整體放入螺線銅線圈中，銅線圈單位長度線圈匝數(shù)為n，半徑為r ，單位長度電阻為.電池和小磁鐵整體在銅線圈中運動的的阻力為f=kv.求如右圖所示，電池和小磁鐵整體在一個很大的螺線圈環(huán)中運動時的速度.八、 我們考慮在狹義相對論框架下的半徑為R 的呼啦圈.S系中測量測量1 ）與呼啦圈相對靜止的參考系記為S 系，在以速度v 向 - x 方向運動的測量，得到此呼啦圈的面積A1 為多少；2）設(shè)呼啦圈繞過圓心的軸以角速度 順時針勻速轉(zhuǎn)動， R c，呼啦圈上每個點都向所 TOC o 1-5 h z 有方向發(fā)出頻