人教版八年級數(shù)學上冊第12章軸對稱同步練習題全套

1、（第一課時）隨堂檢測 ，聯(lián)系是 圖形對稱軸點A直線l線段AB角等腰三角形3.在下列各電視臺的臺標圖案中，是軸對稱圖形的是（ ） A B C D4.下列四副圖案中，不是軸對稱圖形的是（ ）典例分析ABOCD例：如圖，校圓有兩條路OA、OB，在交叉口附近有兩塊宣傳牌C、D，學校準備在這里安裝一盞路燈，要求燈柱的位置P離兩塊宣傳牌一樣遠，并且到兩條路的距離也一樣遠，請你幫助畫出燈柱的位置P，并說明理由解析：根據(jù)軸對稱和角平分線的性質即可畫出P離兩塊宣傳牌一樣遠，只須畫CD的垂直平分線；到兩條路的距離也一樣遠，只須畫AOB的角平分線，兩線的交點即是所求課下作業(yè)拓展提高1.下列說法中，正確的個數(shù)有（ ）

2、個（1）角的對稱軸是這個角的平分線（2）圓的對稱軸是直徑（3）正方形的對角線是它的對稱軸 （4）線段的垂直平分線是它的對稱軸A1 B2 C3 D4圖22.把一張正方形紙片按如圖2對折兩次后，再挖去一個小圓孔，那么展開后的圖形應為（ ）A B C D3.如果兩個圖形的大小、形狀完全一樣，放在一起能夠完全重合，那么這兩個圖形一定關于某條直線對稱這種說法 （填正確或不正確）4.如圖所示的圖案，在不考慮顏色的情況下是一個軸對稱圖形，如何求陰影部分的面積？l l m5.某居民小區(qū)搞綠化，要在一塊矩形空地上建花壇，現(xiàn)征集設計方案，要設計的圖案由圓和正方形組成（圓和正方形的個數(shù)不限），并且使整個矩形場地成軸

3、對稱，請在下邊矩形中畫出你的設計圖案體驗中考1.(2009年湖北黃岡) 如圖，ABC與ABC關于直線l對稱，且A=78，C=48，則B的度數(shù)為（）A48 B54 C74 D782（2009年河北?。┤鐖D，等邊ABC的邊長為1 cm，D、E分別是AB、AC上的點，將ADE沿直線DE折疊，點A落在點處，且點在ABC外部，則陰影部分圖形的周長ABCDEA為 cm參考答案：隨堂檢測：1.解析：抓住軸對稱和軸對稱圖形的定義是關鍵區(qū)別：軸對稱是說兩個圖形的位置關系；軸對稱圖形是說一個具有特殊形狀的圖形。聯(lián)系：（1）定義中都有一條直線，都要沿著這條直線折疊，圖形重合如果把軸對稱圖形沿對稱軸分成兩部分，那么這

4、兩個圖形關于這條直線或軸對稱；反過來，如果把兩個或軸對稱的圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形，可見它們在一定的條件下，可以相互轉化，由軸對稱的性質能研究軸對稱圖形的性質2.解析：理解對稱軸的定義是關鍵過點A的任意直線；（1）直線l本身（2）直線l的垂線；（1）直線AB（2）線段AB的中垂線；角平分線所在直線；底邊上的中垂線3.解析：由軸對稱定義，我們可以知道選項C是正確的解：選擇C4.解析：判斷一個圖形是否是軸對稱圖形，關鍵是要抓住軸對稱圖形的本質特征：對于這個圖形來說，能夠找到某條直線，并沿著這條直線對折，對折后的兩部分能夠完全重合觀察每一個圖案發(fā)現(xiàn)， B、C、D都能找到這樣的直線，

5、因此它們都是軸對稱圖形，只有A找不到這樣的直線，故應選A拓展提高：1.解析：對稱軸都是“直線”，而（1）中的角平分線是射線，（2）中的直徑是線段，（3）中的對角線也是線段，因此（1）、（2）、（3）都是錯誤的，只有（4）是正確的解：A2.解析：折疊軸對稱圖形產生的一個典型操作，對于這類折疊題，同學們可以通過實際操作或空間想象，便可得出正確答案本題的答案是C3.解：不正確解析：若認為正確，那么錯誤原因是沒有真正理解軸對稱的概念，對成軸對稱的兩個圖形的必備條件理解不徹底，認為只要兩個圖形的大小、形狀完全一樣就成軸對稱，忽視了兩個圖形的位置關系如圖中的兩個三角形，雖然它們的大小、形狀完全一樣，但它們

6、并不關于某條直線對稱，即找不到這樣的一條直線，沿著該直線對折，使它們完全重合，因此它們并不成軸對稱4.解析：利用軸對稱可將所有的陰影部分的圖形全翻到對稱軸的一邊，故陰影部分的面積即為半圓面積5.解：參考圖案如圖：體驗中考：1.B2.3. 解析：想象把圖形再翻折過去，就會發(fā)現(xiàn)陰影部分圖形的周長為就是三角形的周長。12.1軸對稱（第二課時）隨堂檢測1設A、B兩點關于直線MN軸對稱，則直線MN與線段AB的關系是 .2若直角三角形是軸對稱圖形，則其三個內角的度數(shù)為_.3在平面鏡里看到背后墻上,電子鐘示數(shù)如圖所示,這時的實際時間應該是_.4給出以下兩個定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相

7、等；和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上應用上述定理進行如下推理，如圖，直線是線段MN的垂直平分線點A在直線上，AM=AN（ ）BM=BN，點B在直線上（ ）CMCN，點C不在直線上（ ）如果點C在直線上，那么CMCN（ ）這與條件CMCN矛盾 以上推理中各括號內應注明的理由依次是（ ）A.(B) B. C. D.典例分析例： 已知如圖，AD是ABC的角平分線，過點A的直線MNAD，CHMN。求證：HB+CHAB+AC。解析：本例是一類比較解決的幾何問題，由AD是ABC的角平分線MNAD，CHMN。，想到延長CH、BA交于點E，構造線段CE的垂直平分線。解：延長CH交BA的

8、延長線于E，因為AD平分BAC，MNAD，CHMN,所以ADCH，所以BAD=E，DAC=ACH，由AN平分CAE得BAD=DAC，故E=ACH，因為CHMN，AHC=AHE=900，因為AH=AH，所以ACHAEH，所以CH=EH，由CHMN，易知MN是CE的垂直平分線。所以ACAE，在BHE中，BH+HEBE，即BH+HCBE，所以HB+CHAB+AC。規(guī)律總結：由角平分線想到構造線段的垂直平分線，將所要求證的線段轉化到同一個三角形中，利用三角形的三邊關系證明線段的不等問題是常用的轉化方法。課下作業(yè)拓展提高1如圖，在ABC中，BC8cm，AB的垂直平分線交AB于點D，交邊AC于點E，BCE

9、的周長等于18cm，則AC的長等于（ ）A6cm B8cm C10cm D12cm2已知Rt ABC中，斜邊AB2BC，以直線AC為對稱軸，點B的對稱點是，如圖所示，則與線段BC相等的線段是_，與線段AB相等的線段是_和_，與 B相等的角是_和_，因此 B_.3在ABC中，ABAC，AB的中垂線與AC所在直線相交所得的銳角為50，求底角B的大小4如圖，AB=AD，BC=CD，AC，BD相交于E由這些條件可以得出若干結論，請你寫出其中三個正確結論(不要添加字母和輔助線，不要求證明)如圖，ABC的邊BC的中垂線DF交BAC的外角平分線AD于D, F為垂足, DEAB于E，且ABAC，求證：BEAC

10、=AE 體驗中考1（2009年湖北荊門）如圖，RtABC中，ACB=90，A=50，將其折疊，使點A落在邊CB上A處，折痕為CD，則ADB=( )A40 B30 C20 D10第1題圖參考答案：隨堂檢測：1垂直平分解析：利用對稱圖形的性質245，45，90解析：直角三角形只有一個直角，不能是軸對稱的對應角，只能是其他的兩個銳角是軸對稱的對應角，它們應相等，而其和為90，所以每個銳角都是45321:05.解析：由于鏡子是垂直擺放，因此，實際數(shù)字與鏡中的實際像是左右相反的，所以這時的實際時間應該是21:05.4分析：本題是一道閱讀理解題，考查對線段的垂直平分線的性質與判定的區(qū)分，解答時一定要認真閱

11、讀文字，正確寫出理由答案：選D拓展提高1解析：要求AC的長，即求AE+EC的長，由于DE是AB的垂直平分線，由線段垂直平分線的性質，可得AEBE，所以只需 求出BE+EC的長而BCE的周長等于18cm，BC8cm，易知BE+EC18-8=10cm，即AC=10cm故應選C2； 、 ； 、 ； 60 解析：點A的對應點仍為A，點C的對應點仍為C，線段BC與是對應線段，則與線段BC相等的線段是，而，故與線段AB相等的線段為而線段與AB是對應線段，因此與線段AB相等的線段還有與B對應的角是，故與B相等的角是又由AB、，三邊相等知是等邊三角形，故其三個內角相等，因此與B相等的角還有因為三個內角之和等于

12、180，所以B60圖1點悟：本題主要考查對稱圖形的性質及其判定充分利用軸對稱的性質，找出軸對稱的對應點，對應線段與對應角即可3解：（1）當AB的中垂線MN交AC邊時，如圖1，DEA50，A905040，ABAC，B（18040）70；（2）當AB的中垂線MN交CA的延長線時，如下圖2，圖2DEA50，BAC9050140，B（180140）20解析：本題考察分類討論的思想，其關鍵是當圖形未給定時，要畫出所有符合條件的圖形，并加以解答4解析：由AB=AD，根據(jù)線段垂直平分線的判定，知點A在線段BD的垂直平分線上，由BC=CD，知點C也在線段BD的垂直平分線上，所以直線AC是線段BD的垂直平分線，

13、即DE=BE，ACBD還可以得出DAC=BAC等5證明：過D作DNAC, 垂足為N, 連結DB、DC則DN=DE，DB=DC，又DEAB, DNAC, RtDBERtDCN， BE=CN又AD=AD，DE=DN，RtDEARtDNA，AN=AE，BE=AC+AN=AC+AE，BEAC=AE體驗中考1解析：ADC與ADC關于CD軸對稱，A=CAD=50，ACB=90，B=40，則ADB=50- 40=10選C（第一課時）隨堂檢測1.作五角星關于與某條直線對稱的圖形時，最多要選 個關鍵點。2.把如圖（實線部分）補成以虛線為對稱軸的軸對稱圖形，。你會得到一只美麗蝴蝶的圖案（不寫作法，保留作圖痕跡）3

14、. 如圖，在ABC中，C，用直尺和圓規(guī)在AC上作點P，使P到A、B的距離相等(保留作圖痕跡，不寫作法和證明)4.學校團委向大家征集板報報頭圖案，圖案設計要求如下：（1）是軸對稱圖形；（2）在你學過的幾何圖形中任意選幾種（不少于3種，每個圖形的個數(shù)不限），組成一個美觀且有實際意義的圖案，請根據(jù)以上要求畫出圖案，并用簡練的語言表達你所設計的圖案的含義.典例分析例：ABC和ABC關于直線MN對稱，ABC和ABC關于直線EF對稱.畫出直線EF；（2）直線MN與EF相交于點O，試探究BOB 與直線MN、EF所夾銳角的數(shù)量關系.解析:(1)利用軸對稱的性質:兩個圖形關于某直線對稱,則對稱軸是對稱點連線的垂

15、直平分線來畫出直線EF. (2)利用關于軸對稱的兩個圖形是全等形的性質來探究角的關系. 圖2ANMBCAABBCCFEO解：(1)如圖，連結BB. 作線段BB的垂直平分線EF. 則直線EF是ABC和ABC的對稱軸.(2)結BO. ABC和ABC關于MN對稱，BOM=BOM又ABC和ABC關于EF對稱，BOEBOE.BOB=BOM+BOM+BOE+BOE =2（BOMBOE） 2.即BOB2說明：畫對稱軸的關鍵是要找出對稱軸的兩邊的對稱點，由對稱軸是對稱點連線被垂直平分線，從而畫出所要畫的直線.課下作業(yè)拓展提高1如圖，一軸對稱圖形畫出了它的一半，請你以點畫線為對稱軸畫出它的另一半.2如圖，已知點

16、A、B在直線l的異側，在l上找點P，使PA+PB最小.3如圖所示，已知三個村莊的位置如圖3所示，經(jīng)過商量，三個村莊決定聯(lián)合打一眼機井向三個村莊供水，要想使機井到三個村莊的距離相等，機井應該設在何處？并說明你的理由。4.已知，如圖所示，甲、乙、丙三個人做傳球游戲，游戲規(guī)則如下：甲將球傳給乙，乙將球立刻傳給丙，然后丙又立刻將球傳給甲。若甲站在角AOB內的P點，乙站在OA上，丙站在OB上，并且甲、乙、丙三人的傳球速度相同。問乙和丙必須站在何處，才能使球從甲到乙、乙到丙、最后丙到甲這一輪所用的時間最少？5. 如圖，兩條公路OA、OB相交，在兩條公路的中間有一個油庫，設為點P，如在兩條公路上各設置一個加

17、油站，請你設計一個方案，把兩個加油站設在何處，可使運油車從油庫出發(fā)，經(jīng)過一個加油站，再到另一個加油站，最后回到油庫所走的路程最短.6.如圖，小河邊有兩個村莊、要在河邊建一自來水廠向村與村供水（）若要使水廠到、村的距離相等，則應選擇在哪建廠？（）若要使水廠到、村的水管最省料，應建在什么地方？ 體驗中考北東BACDl1.(2009年臨沂)如圖，A，B是公路l（l為東西走向）兩旁的兩個村莊,為方便村民出行，計劃在公路邊新建一個公共汽車站P，要求該站到兩村的距離相等，請用尺規(guī)在圖中作出點P的位置（保留清晰的作圖痕跡，并簡要寫明作法）2.（2008年湖北宜昌）如圖，在ABC與ABD中，BCBD設點E是B

18、C的中點，點F是BD的中點（1）請你在圖中作出點E和點F；(要求用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法與證明）（2）連接AE，AF若ABCABD，請你證明ABEABF。參考答案：隨堂檢測“1. 10個 解析：畫軸對稱圖形關鍵是作關鍵點的對稱點2.解析:再作出另外五個關鍵點3.解：分別以A、B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧交于M、N，過M、N作直線交AC于點P，則點P即為所求作的點或作線段AB的垂直平分線MN，交邊AC于點P，點P就是AC上到A、B的距離相等點。解析:到A、B距離相等的點都在AB的垂直平分線上,又要求這樣的點在AC上,故是AB的垂直平分線與AC的交點說明：在以A、B為圓心畫弧時，一

19、定要以大于AB的長為半徑作弧，否則由于兩弧不相交而得不到交點盼望2008神六升空：本題是一道開放性軸對稱圖形設計問題，充分發(fā)揮你的想象能力，選用不同的圖形，可設計出很多的圖案.但要注意一點，所設計的圖案一定要符合題目要求，現(xiàn)給出兩種圖案供參考.拓展提高：1.解析:由于所給圖形在正方形的網(wǎng)格中，所以很容易畫出這個軸對稱圖形的另一半，如圖2.解析:作圖中的最短問題,通常是利用“兩點之間線段最短”.作法:連接AB交直線于點P,則P即為所求3.解析：可以分開考慮，與A、B距離相等的點在線段AB的垂直平分線上，與A、C距離相等的點在線段AC的垂直平分線上。因為同時需要滿足到A、B、C三點的距離相等，所以

20、機井應該設在這兩條垂直平分線的交點處。解：如圖所示，（1）連結AC、AB；（2）作AC的垂直平分線交AC于點F，作AB的垂直平分線交AB于點E，兩條垂直平分線相交于點M，點M就是機井的位置。理由：因為ME垂直平分AB，所以MA=MB；因為MF垂直平分AC，所以MA=MC；所以MA=MB= MC，所以點M到三個村莊的距離相等4.解析：本道題目求最短路程可以看成求線段之和最小，往往轉化為軸對稱問題進行考慮。解：如圖所示，（1）分別作點P關于OA、OB的對稱點P1、P2；（2）連結P1P2，與OA、OB分別相交于點M、N。 因為乙站在OA上，丙站在OB上，所以乙必須站在OA上的M處，丙必須站在OA上

21、的N處。5.解析： 這是一個實際問題，我們需要把它轉化為數(shù)學問題，經(jīng)過分析，我們知道此題是求運油車所走路程最短，OA與OB相交，點P在AOB內部，通常我們會想到軸對稱，分別做點P關于直線OA和OB的對稱點P1、P2 ，連結P1P2分別交OA、OB于C、D，C、D兩點就是使運油車所走路程最短，而建加油站的地點，那么是不是最短的呢？我們可以用三角形的三邊關系進行說明.解：分別做點P關于直線OA和OB的對稱點P1、P2 ，連結P1P2分別交OA、OB于C、D，則C、D就是建加油站的位置.若取異于C、D兩點的點，則由三角形的三邊關系，可知在C、D兩點建加油站運油車所走的路程最短.6解析：（）到、兩點距

22、離相等，可聯(lián)想到“線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等”（）要使水廠到村、村的距離和最短，可聯(lián)想到“兩點之間線段最短”解：（）如圖，畫線段的中垂線，交與，則到、的距離相等 （）如圖，畫出點關于河岸的對稱點，連結交于，則到的距離和最短體驗中考1作法：分別以點為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧交于兩點，作直線；直線交于點，點即為所求BACDlNMOP2解：(1)能看到“分別以B，C為圓心，適當長為半徑畫弧，兩弧交于點M、N，連接MN，交BC于E”的痕跡，)能看到用同樣的方法“作出另一點F(或以B為圓心，BE為半徑畫弧交BD于點F)”的痕跡.(2)BCBD，E，F(xiàn)分別是BC，BD的中點，BEB

23、F，ABAB，ABCABD,ABEABF.（第二課時）隨堂檢測1用坐標表示軸對稱的點的坐標變換規(guī)律：點（x,y）關于x軸對稱的點的坐標為（x，-y）；點（x,y）關于y軸對稱的點的坐標為（-x ，y）2點（2， b）與（a，- 4）關于y軸對稱，則a= ，b= 3如圖，正方形ABCD的中心為O，ADx軸,CDy軸,若點A的坐標為（1，1），說出點B、C、D的坐標(根據(jù)什么？) 4如圖，ABC，求頂點A、B、C關于y軸對稱點的坐標。 典例分析如圖，已知ABC四個頂點的坐標分別為A(0,3),B(-3,1),C(2,0),作出與ABC關于x軸對稱的軸對稱圖形.分析: 要作與ABC關于x軸的對稱的三

24、角形,根據(jù)關于x軸對稱的點的坐標規(guī)律,得出點A、B、C關于x軸對稱的點的坐標,然后描出對稱點并順次連接即可。解：點(x,y)關于x軸對稱的點的坐標為(x,-y),ABC的頂點關于x軸對稱點的坐標分別是A(0，-3),B(-3，-1),C(2，0),依次連接AB,BC,CA,就可得到與ABC關于x軸對稱的ABC評注:作與已知圖形關于x軸或y軸成軸對稱的對稱圖形,其關鍵是找出已知圖形上的一些特殊點,然后確定這些特殊點的坐標,描出并連接這些特殊點.課下作業(yè)拓展提高1如圖，如果與關于軸對稱，那么點的對應點的坐標為（ ）yxCABO1234-1-2-3-412345A（1，-3） B（-1，-3） C（

25、-1，3） D（3，-1）2關于直線x=m(或直線y=n)對稱的點的坐標變換關系：點(a,b)關于直線x=m對稱的點的坐標為 ；點(a,b)關于直線y=n對稱的點的坐標為 3如圖，在平面直角坐標系中，求出的面積在圖中作出關于軸的對稱圖形（3）寫出點的坐標xyABCO5246-5-24阿里巴巴在一個秘密的山洞里發(fā)現(xiàn)了一張藏寶圖，可圖上很多字跡都已模糊不清，依稀可辨的是山洞A坐標是（-2，3），山洞B坐標是（2，3），藏寶點與A關于x軸對稱你能想個辦法幫阿里巴巴在圖上找到藏寶點嗎？ A（-2，3）. .B（2，3）5如圖，從ABC到ABC是進行的平移變換還是軸對稱變換，如果是軸對稱變換，找出對稱軸

26、，如果是平移變換，是怎樣平移的？體驗中考1.（2009年湖南郴州）點關于軸對稱的點的坐標為（）A B C D 2（2008年河南）如圖，陰影部分組成的圖案既是關于軸成軸對稱的圖形，又是關于坐標原點成中心對稱的圖形若點的坐標是，則點和點的坐標分別為（ ）ABCD 3（2008年湖北省咸寧市）如圖，在平面直角坐標系中，直線l是第一、三象限的角平分線實驗與探究：由圖觀察易知A（0，2）關于直線l的對稱點的坐標為（2，0），請在圖中分別標明B(5,3) 、C(-2,5) 關于直線l的對稱點、的位置，并寫出他們的坐標: 、 ；歸納與發(fā)現(xiàn)：結合圖形觀察以上三組點的坐標，你會發(fā)現(xiàn)：坐標平面內任一點P(a,b

27、)關于第一、三象限的角平分線l的對稱點的坐標為 （不必證明）；運用與拓廣：已知兩點D(1,-3)、E(-1,-4)，試在直線l上確定一點Q，使點Q到D、E兩點的距離之和最小參考答案：隨堂檢測1（x，-y）；（-x ，y）2解析：點（x,y）關于y軸對稱的點的坐標為（-x ，y）故a= - 2，b= - 43解析：點A與B關于x軸對稱，點A與D關于y軸對稱，點C與B關于y軸對稱，點D與C關于x軸對稱。故B（1，-1），C（-1，-1），D（-1，1）4解析：要確定點A、B、C關于y軸對稱點的坐標，首先要寫出A、B、C點的坐標，然后根據(jù)關于y軸對稱點之間的坐標規(guī)律求對稱點的坐標。解：A、B、C點的

28、坐標分別是A(-3，2),B(-4，-2),C(-2，-3),因為點(x,y)關于y軸對稱點的坐標為(-x,y),所以點A、B、C關于y軸對稱點的坐標分別是A(3,2),B(4,-2),C(2,-3). 課下作業(yè)拓展提高1解析：點A坐標是（1，3），與A關于y軸對稱，故的坐標為（-1，3）選C2點(a,b)關于直線x=m對稱的點的坐標為（2m-a,b）；點(a,b)關于直線y=n對稱的點的坐標為（a,2n-b）3（1）53xyABCO5246-5-2A1C1B1見圖的坐標分別是(1，5)、（1，0）、（4，3）4解析：由點A和點B的坐標可以的得出它們關于y軸對稱，所以線段AB的垂直平分線就是y

29、軸，又AB=2-（-2）=4，所以AB的四分之一就是單位長度，故將A沿y軸負方向平移3個單位長度，再沿著與y軸垂直的方向、向B點所在y軸的那一側平移2個單位長度即是原點，過原點作y軸的垂線就得到x軸，最后利用藏寶點與A關于x軸對稱，就能幫阿里巴巴在圖上找到藏寶點。5解析： 要確定從ABC到ABC是哪種變換，需要先確定ABC和ABC各頂點的坐標，然后找出對應點的坐標之間的存在的規(guī)律，根據(jù)規(guī)律確定變換。解：根據(jù)圖形可知A(-2,2),B(1,1）,C(2,-3),A(-2,-2),B(1,-1),C(2,3),對應點A與A,B與B,C與C之間的關系是:橫坐標不變，,縱坐標變成原來的相反數(shù).根據(jù)關于

30、x軸稱點之間的坐標規(guī)律: 點(x,y)關于x軸對稱點的坐標為(x,-y),可知ABC與ABC關于x軸對稱.注意：我們學習過的圖形的變換有兩種,一是平移,二是軸對稱;根據(jù)已知圖形確定變換關系,其關鍵是找出兩個圖形上對應點的坐標,如果對應點的坐標滿足(x,y)(x+m.y+n)(m,n不為0),則圖形之間是平移變換; 如果對應點的坐標滿足(x,y)(-x,y)或(x,y)(x,-y),則圖形之間是軸對稱變換.體驗中考 2. 3.解：（1）如圖：，(2) (b，a) (3)由(2)得，D(1,-3) 關于直線l的對稱點的坐標為(-3,1)，連接E交直線l于點Q，此時點Q到D、E兩點的距離之和最小 （

31、第一課時）隨堂檢測1.等腰三角形中，AB=AC，70，= ，= 2在等腰三角形中，有一個角為80，則另外兩個角的度數(shù)為 3.已知等腰三角形兩邊長分別為4和9，則第三邊的長為 4.如圖，在ABC中，AB=AC，A30，DE垂直平分AC，則BCD的度數(shù)為（ ）A80 B75 C65 D45典例分析例 如圖，ABAC，DBDC，P是AD上一點求證： ABP ACP解析：本題如果用三角形全等來證明兩角相等，則至少需要證明兩次三角形全等，若用線段垂直平分線的判定和性質以及等腰三角形的性質就會顯得較為簡單證明：連結BC ABAC， ABC ACB又 點A、D在線段BC的垂直平分線上， AD就是線段BC的垂

32、直平分線 PBPC PBC PCB ABC PBC ACB PCB即 ABP ACP課下作業(yè)拓展提高1已知一個等腰三角形的一邊長為5，另一邊長為7，則這個等腰三角形的周長為 2已知在等腰三角形中，有一個角的度數(shù)為120,則另外兩個角的度數(shù)為 3等腰三角形底邊為5，一腰上的中線把其周長分為兩部分的差為3，則腰長為（ ）A.8 B.2 C.8或2 D.以上都不對4. 如圖，等腰ABC中，ABAC，AD是頂角BAC的外角的平分線。證明：ADBC5等腰三角形中，一邊與另一邊之比為：，該三角形周長為，求腰長是多少？6.如圖，等腰ABC中，ABAC，D是AB邊上一點，E是AC延長線上一點，且BDCE，DE

33、交BC于F。說明：DFEF7.已知，如圖， ABC中，ABAC，E在CA的延長線上， AEF AFE求證：EF BC體驗中考DCBEAF1（2009年浙江湖州）如圖：已知在中，為邊的中點，過點作，垂足分別為.求證：；2.（2009年大興安嶺）在邊長為4和6的矩形中作等腰三角形，使等腰三角形的一條邊是矩形的長或寬，第三個頂點在矩形的邊上，求所作三角形的面積參考答案：隨堂檢測1.解析：AB=AC，2.解析：此題中只給了一個角的度數(shù)，這個角即可以為等腰三角形的頂角，又可以為等腰三角形的底角。當此角為等腰三角形的頂角時，根據(jù)等腰三角形兩個底角相等的性質可知兩個底角是（180-80）2=50；當已知角為

34、底角時，則另一個底角也是80，所以可知這個等腰三角形的頂角為（180-802）=180-160=20。通過以上分析可知此題的答案為50，50或80，20。3.解析：根據(jù)已知的條件可知此等腰三角形的腰長可能是4也可能是9，但是由于三角形的任意兩邊之和大于第三邊，所以當腰長是4時，不符合要求，所以此等腰三角形的腰長只能是9，所以第三邊的長為9。4.解析：此題主要考查了線段垂直平分線和等腰三角形有關知識。因為DE是AC的垂直平分線，所以AD=DC，所以DCA=A30。因為AB=AC，A30，所以ACB=ABC=（180-30）=75。所以BCD=ACB-DCA=75-30=45。故應選D課下作業(yè)拓展

35、提高1.解析：此題用到的知識點是三角形三邊的關系與等腰三角形的性質。根據(jù)等腰三角形的性質可知腰長可以是5或7，根據(jù)等腰三角形的三邊關系可知腰長是5或7都符合要求，因此當腰長為5時，等腰三角形的周長是17；當腰長為7時，等腰三角形的周長為19。所以此題的答案為17或19。2.解析：當此角是頂角時，等腰三角形的兩個底角的度數(shù)分別為30，但是當120為底角時，由于三角形的內角和為180，所以120為底角不行，所以此題答案為：30，30。3.解析：此題應該分兩種情況進行討論（如圖所示），第一種情況：根據(jù)題意可知AB+AD-（BC+CD）=3，得AB+AD-CD=8，又因為D為AC的中點，所以AD=CD

36、，可得AB=8；第二種情況：BC+CD-（AB+AD）=3，得CD-AB-AD= -2，所以AB=2，當腰長為2時，根據(jù)三角形三邊的關系可知，AB=2不符合要求，所以此等腰三角形的腰長為8。選A4.解析：要證ADBC，只需說明同位角1B（或內錯角2C）即可，竟有什么關要說明這些角相等，應考慮已知條件ABAC，得到BC。又因AD平分BAC的外角，得12，又12BC（三角形外角等于與它不相鄰的兩個內角的和）,由這三個相等關系即可得：1B。故ADBC成立。解：因為 AD是頂角BAC的外角的平分線 所以12 因為 ABAC所以BC 又因為 12BC 212B 所以1B5.解析：此題有兩種情況解：設腰長

37、為，則底為，則，腰長為，設當腰為時，底為，則有，腰長為6.解析：要證DFEF，只需設法說明DF與EF所在的三角形全等，又因為DFB與EFC不是全等的三角形，因此應考慮添加輔助線。過點D作DGAC，即可得到DFG，然后通過說明能得到DFG與EFC全等，從而證得DFEF。解：過點D作DGAC，交BC于G，得DGBACB所以DGFECF（等角的補角相等）因為ABAC，所以BACB所以DGBB所以DGBD又因為BDCE所以CE=DG在DFG與EFC中，因為DGFECF，DFGEFC（對頂角相等）DGCE所以DFGEFC（AAS）所以DFEF7.解析：本題主要考查等腰三角形和平行線的性質及其應用解決問題

38、的關鍵是通過添加輔助線，建立EF與BC的聯(lián)系本題由于添加不同的輔助線，可以得到以下四種不同的證法圖1證法一：如圖1，作BC邊上的高AD，D為垂足， ABAC，ADBC， BADCAD又 BACEAFE，AEFAFE CADE， ADEF ADBC， EFBC證法二：如圖2，過點A作AGEF于G圖2 AEFAFE，AGAG，AGEAGF90， AGEAGF ABAC， BC又 EAFBC， EAGGAFBC EAGC， AGBC AGEF， EFBC證法三：如圖3過點E作EHBC交BA的延長線于H圖3 ABAC， BC， HBCAEH， AEFAFE，HAFEFEH180， HAEHAEFAFE

39、180， AEFAEH90，即 FEH90， EFEH，又EHBC， EFBC證法四：如圖4延長EF交BC于K圖4 ABAC， BC B(180BAC) AEFAFE， AFE(180EAF) BFKAFE BFK(180EAF) BBFK(180BAC)(180EAF)360(EAFBAC) EAFBAC180， BBFK90，即FKB90. EFBC體驗中考1.解析：連接AD，為邊的中點AD平分BAC， DE=DF，是的中點，.2.解析：利用等腰三角形的性質分兩張情況：面積是12 面積是8和12（第二課時）隨堂檢測中，=，的垂直平分線與所在的直線相交所成的角為，則底角的度數(shù)為_2.已知等腰

40、三角形一腰上的中線把等腰三角形的周長分成9和12兩部分，則等腰三角形的腰長為_ 3.如圖，已知AB=AC，A=36，AB的中垂線MN交AC于點D，交AB于點M，求證：（1）BD平分ABCBCD為等腰三角形4沿矩形ABCD的對角線BD翻折ABD得A/BD,A/D交BC于F,如圖所示,BDF是何種三角形？請說明理由.典例分析已知，如圖所示，在ABC中，B=2C，AD是ABC的角平分線，請說明AC=AB+BD。分析：利用線段的截長補短，構造全等三角形，把分散的條件集中到一起，來解決此題。方法一：采用截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段。解：在線段AC上截取點E，使AE=AB，連結DE。 A

41、D平分BACBAD=DAE在ABD和AED中AB=AEBAD=DAEAD=AD ABDAEDBD=DE B=AEDB=2CAED=2CAED=C+EDCC=EDCED=ECBD=EC AC=AE+ECAC=AB+BD方法二：采用補短法：延長較短線段和較長線段相等。解：延長線段AB至點F，使AF=AC，連結DF。AD平分BAC FAD=CAD又AC=AF AD=ADAFDACDF=CABC=2CABC=2F又ABC=F+BDFF=BDFBF=BDAF=AB+BF AF=AB+BDAC=AB+BD點評：利用構造全等三角形來解決一些問題是我們在做題過程中經(jīng)常遇到的解題方法，下面就利用一例題來說明一下

42、利用三角形全等來證明一條線段等于另外兩條線段和的方法。課下作業(yè)拓展提高1.如圖，已知線段a，h作等腰ABC，使ABAC，且BCa，BC邊上的高ADh. 張紅的作法是：（1）作線段BCa；（2）作線段BC的垂直平分線MN，MN與BC相交于點D；（3）在直線MN上截取線段h；（4）連結AB，AC，ABC為所求的等腰三角形. 上述作法的四個步驟中，有錯誤的一步你認為是（ ）A. （1）B. （2）C.（3） D. （4） 2.已知點A和點B，以點A和點B為兩個頂點作等腰直角三角形，則一共可作出（ ）A.3個 B.4個 C.6個 D.7個DNMCBA3. ABC中，ABAC，AB的垂直平分線MN交AC

43、于D，若A36，則下列結論中成立的有_，并且證明結論的正確性C72BD是ABC的平分線ABD是等腰三角形BCD的周長AC+BC4.如圖，在ABC中，ACB=90，D是BC延長線上一點，E是BD垂直平分線與AB的交點，DE交AC于F.求證：點E在AF的垂直平分線上. A E 1 F 2 B C D5.如圖所示，在ABC中，D為BC上的一點，連結AD，點E在AD上，并且1=2，3=4。求證：AD垂直平分BC。6.如圖所示，點是的交點，點是的中點試判斷和的位置關系，并給出證明COEABD7.如圖，在ABC中，BP、CP分別是ABC和ACB的平分線，且PD/AB，PE/AC，BC=5cm求PED的周長

44、8.已知：三角形ABC中，A90，ABAC，D為BC的中點，如圖1，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點，且BEAF，試說明DEF為等腰直角三角形若E，F(xiàn)分別為AB，CA延長線上的點，仍有BEAF，其他條件不變，那么，DEF是否仍為等腰直角三角形？請說明理由.9.小明將三角形紙片沿過點A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展開紙片（如圖）；再次折疊該三角形紙片，使點A和點D重合，折痕為EF，展平紙片后得到（如圖）小明認為是等腰三角形，你同意嗎？請說明理由ACDB圖ACDB圖FE（2）實踐與運用將矩形紙片沿過點B的直線折疊，使點A落在BC邊上的點F處，折痕為BE（如圖）；再沿過點E的直線折疊，

45、使點D落在BE上的點處，折痕為EG（如圖）；再展平紙片（如圖）求圖中的大小EDDCFBA圖EDCABFGADECBFG圖圖體驗中考1（2009年山東泰安市）如圖，ABC中，D是BC的中點，DEAB，BF平分ABC，交DE于點F，若BC=6，則DF的長是A.2 B.3 C.2.(2008新疆烏魯木齊市)在一次數(shù)學課上，王老師在黑板上畫出圖，并寫下了四個等式：，要求同學從這四個等式中選出兩個作為條件，推出是等腰三角形請你試著完成王老師提出的要求，并說明理由（寫出一種即可）BEDAC參考答案：隨堂檢測1.解析：已知條件中的垂直平分線相交的具體位置不確定，從題意上看，故只考慮的垂直平分線與另一腰（或另

46、一腰的延長線）相交時，會掉進命題“陷阱”，出現(xiàn)漏解現(xiàn)象所以此問題應分為的垂直平分線與另一腰相交和的垂直平分線與另一腰的延長線相交兩種情形，如圖1所示，即（1）當?shù)拇怪逼椒志€與腰相交，且時，底角B的度數(shù)為；（2）的垂直平分線與腰的延長線相交，且時，則，所以底角的度數(shù)為ACBDEEADBC（1）（2）圖1：已知條件中未具體指明等腰三角形一腰上的中線把等腰三角形周長分成的哪兩部分的大小，從題意上看，故只考慮一部分長度為9（或12）時，會掉進命題“陷阱”，出現(xiàn)漏解現(xiàn)象所以此問題應分為一部分長度為9 和12兩種情形，如圖2所示，即（1）當+=12、+=9時，解得=8、=5；（2）當+=9、+=12時，解

47、得=6、=9所以它的腰長為8或6圖2ADBC（2）ACBD（1）總之，解等腰三角形問題時，若題中未給出圖形，則應考慮按一定標準進行分類討論，獲取完整的解答，更應盡量避免因思維定勢造成漏解的情形3.證明：AB=AC，A=36ABC=C=72MN為AB的中垂線AD=BD則A=1=362=36，BDC=180-36-72=72，因此，BD平分ABCBCD為等腰三角形4.解:BDF是等腰三角形ABD翻折后得A/BDABDA/BD12四邊形ABCD是矩形ADBC1323BFDF（等角對等邊）BDF是等腰三角形課下作業(yè)拓展提高“在射線DA上截取一點A，使DA=h”.解：選（C）.析：本題沒有指明AB的腰還

48、是底邊，所以需分類討論（1）以AB為底邊，有C1、C2兩個點符合要求，如圖2；（2）以AB為腰，有C3、C4、C5、C6四個點符合條件，如圖3綜合（1），（2）可知一共可作出6個等腰三角形，所以選（C）3.分析：這是課本上例題改編的，平時的學習要注意把課本知識知識學扎實，本題考查的知識點較多需要綜合運用知識解決問題的能力要求較高正確的結論有4.分析：本題可運用線段垂直平分線的性質定理證明BE=DE，再結合等腰三角形兩底角相等、對頂角相等及等角的余角相等推出EA=EF，從而運用線段垂直平分線的判定定理獲證.證明：E是BD的垂直平分線上的一點，EB=ED. A又ACB=90， EA=90B，2=9

49、0D. 1 F2=A. 2又1=2， B C D1=A. EF=EA.點E在AF的垂直平分線上.5.解析：通過條件得出EB=EC，AB=AC，從而證明出AD垂直平分BC。證明：因為1=2，所以EB=EC，所以點E在線段BC的垂直平分線上。又因為1=2，3=4，所以ABC=ACB，所以點A也在線段BC的垂直平分線上。所以AD垂直平分BC。6.解析：通過所給條件可以證出，得出，利用三線合一即可解： 證明：在和中，又7.解析：因為BP是ABC的平分線，CP是ACB的平分線，所以1=2，3=4，因為PD/AB，所以1=5，所以2=5，所以BD=PD（等角對等邊）因為PE/AC，所以4=6，所以6=3，

50、所以PE=EC，（等角對等邊）所以PDE的周長等于PD+PE+DE=BD+DE+EC=BC=5cm點評：“等角對等邊”是等腰三角形識別的重要方法，本題主要通過角的平行線以及平行線特征，運用“等邊對等角”來解決問題的8.解析：第（1）問要說明DEF為等腰直角三角形，就要說明DE=DF且EDF=900，這就要構造兩個三角形全等，由題意BEAF，再加上三角形ABC是等腰直角三角形，圖1D為BC的中點的條件，顯然要連接AD而達到目的；第（2）問，只要在第（1）問的基礎上很容易猜想到，說明方法也類似解：連結，因為 BAC90，為BC的中點，所以ADBC ，BDAD ，所以BDAC45，又BEAF，所以B

51、DEADF （S.A.S）所以EDFD BDEADF所以EDFEDAADFEDABDEBDA90圖2所以DEF為等腰直角三角形若E，F(xiàn)分別是AB，CA延長線上的點，如圖2所示連結AD因為ABAC BAC90，D為BC的中點 ，所以ADBD ，ADBC ，所以DACABD45所以DAFDBE135，又AFBE，所以DAFDBE （S.A.S），所以FDED，F(xiàn)DAEDBEDFEDBFDBFDAFDBADB90，所以DEF仍為等腰直角三角形ACDBFEG9.解：（1）同意如圖，設與交于點由折疊知，平分，所以又由折疊知，所以，所以所以，即為等腰三角形（2）由折疊知，四邊形是正方形，所以又由折疊知，所

52、以從而體驗中考1.解析：由DEAB得ABF=BFD，由BF平分ABC得ABF=FBD，所以FBD=BFD，故BD=DF，因為D是BC的中點，故DF=3，選B2.解析：此題答案不唯一，條件可以是、已知：，求證：是等腰三角形證明：在和中，即是等腰三角形12.3等腰三角形（第三課時）隨堂檢測1一個等邊三角形的角平分線、高、中線的總條數(shù)為_. 2.如圖 ，已知線段，分別以為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點C、Q，連結CQ與AB相交于點D，連結AC，BC那么：（1）_度； CBDAQ（2）當線段時， _度，周長= 3 如圖，在ABC中，C=90，B=15，AB的垂直平分線交AB于E，交BC于D，BD=8，則AC=_.CABE D典例分析例 已知，如圖，ABC中，ABAC，BAC120，EF為AB的垂直平分線，EF交BC于F，交AB于E求證：解析：本題有兩種不同的證法證法一利用線段的垂直平分線是常見的對稱軸，證得BFAF后，再利用直角三角形的性質即可得證證法二利用垂直平分線的對稱性得AFBF，再證得 AFG為等邊三角形即可證法一：如圖1:圖1連結AF，則AFB